Vad är egentligen \pi ?
\pi är konstanten som representerar förhållandet mellan omkretsen och diametern i en cirkel. \pi approximeras till \approx 3.14159265
Ställen där \pi dyker upp
Leonhard Euler formulerade en oändlig serie som visade sig ha ett rätt oväntat resultat
\frac{\pi^2}{6}= \frac{1}{1^2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{3^2}+\frac{4}{4^2}…Man kan också uttrycka vinklar i avdelar av \pi i enhet som heter radianer (Radianer introduceras i kursen Matematik 4).
2\pi = 360\degree .
Radianer blir väldigt praktiskt när man jobbar med trigonometri och komplexa tal. Om man vill omvandla grader till radianer kan man använda följande formel: radianer = grader \cdot \frac{\pi}{180} . Radianer används bland annat när man formulerar Eulers identitet e^{\pi i}+1=0 .
Ett annat intressant resultat som resulterar i \pi är Gabriels horn. Gabriels horn är ett horn eller en trumpet som smalnar av och går mot oändligheten (se bilden nedan). Det finns paradoxer kopplat till Gabriels horn. Till exempel är det omöjligt måla hela trumpeten, arean på utsidan av hornet är alltså oändligt ( \infty ). Däremot är volymen på hornet ändligt, man kan alltså fylla hornet med en ändlig mängd. Om vi antar att radien för den cirkulära öppningen på hornet är 1 l.e kommer volymen för Gabriels horn att vara \pi . Båda dessa slutsatser går att visa matematiskt.
Man kan visa att volymen är \pi med hjälp av rotationsvolymer. Den generella formeln för rotationsvolymer är V = \pi\cdot\int_a^b (f(x))^2 dx
Om vi delar Gabriels horn i två lika stora delar och tittar på hornet i två dimensioner kan vi se att det ser ut som grafen till funktionen f(x)=\frac{1}{x} . Om vi sedan applicerar vår formel för rotationsvolymer på funktionen f(x)=\frac{1}{x} får vi följande uttryck: V = \pi\cdot\int_a^b (\frac{1}{x})^2 dx . Vi behöver sedan definiera våra gränser för integralen a och b .
Vi antar att radien för den cirkulära öppningen ska vara 1 l.e det betyder att vi behöver ha funktionsvärdet 1 och ta reda på för vilket x är f(x)=1 och det är då x=1 . Vår nedre gräns blir således a=1 . Den övre gränsen däremot ska vara oändligheten eftersom Gabriels horn är oändligt lång. Vi får då integralen: V = \pi\cdot\int_1^{\infty} (\frac{1}{x})^2 dx . Om man sedan beräknar den integralen får vi svaret V=\pi . Att visa att arean är oändlig är en svårare historia, det kommer jag inte visa i det här dokumentet. Om du vill se beviset för att arean på Gabriels horn är oändlig och en fördjupad förståelse för matematiken bakom kan du kolla här.
Försöken att definiera \pi
Idag vet vi att \pi inte är ett rationellt tal. Det betyder att \pi inte går att skrivas som en kvot \frac{a}{b}
Samtidigt har man genom historien försökt approximera \pi . I Babylonien som var en civilisation som hade sin högtid ungefär 2000 f.kr approximera man \pi till \frac{25}{8}= 3.125
Försöken att definiera \pi fortsatte. Den kända matematikern Arkimedes kunde definiera en exakthet med 3 decimaler det vill säga \approx 3.141.
Ett stort genombrott i försöken att definiera \pi var när den indiska matematikern Madhava (1340-1425) började experimentera med oändliga serier. En oändlig serie innebär att man enligt ett visst mönster adderar eller subtraherar tal som går mot oändligheten. Ett exempel på en oändlig serie är 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4} +\frac{1}{8}+\frac{1}{16}… som visar sig vara lika med 2 om man drar det mot ändligheten. Med Madhavas oändliga serie 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}… kunde han visa att det var lika med \frac{\pi}{4} om man drog det mot oändligheten. Idag ger man ofta äran för den serien till Gottfried Leibniz (1646-1716) men Madhava var först med att formulera den.
Ett annat genombrott var när Johan Heinrich Lambert 1761 visade att \pi var en irrationellt tal. Efter det slutade man försöka definiera \pi som en kvot. Men man har lyckats definiera det utifrån flera andra sätt nedan finns några exempel.
\frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}… \frac{\pi}{2}=\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}…\pi =\int_ {\infty}^{-\infty} \frac{sinx}{x} dx