Skapa \u00f6vningsprov \u2013 mahifi.se<\/title>\n\n\n<link rel=\"stylesheet\" href=\"https:\/\/cdn.jsdelivr.net\/npm\/katex@0.16.8\/dist\/katex.min.css\">\n<script defer src=\"https:\/\/cdn.jsdelivr.net\/npm\/katex@0.16.8\/dist\/katex.min.js\"><\/script>\n<script defer src=\"https:\/\/cdn.jsdelivr.net\/npm\/katex@0.16.8\/dist\/contrib\/auto-render.min.js\" onload=\"initKaTeX()\"><\/script>\n\n<style>\n:root {\n --primary-color: #4747D7; \/* Mahifi Bl\u00e5 *\/\n --primary-hover: #3535bd; \/* M\u00f6rkare bl\u00e5 vid hover *\/\n --primary-light: #f0f0fd; \/* Ljusbl\u00e5 bakgrundston f\u00f6r kort\/grupper *\/\n --bg-color: #f8fafc;\n --card-bg: #ffffff;\n --border-color: #e2e8f0;\n --text-main: #1e1b4b;\n --text-muted: #64748b;\n}\n\n* { box-sizing: border-box; }\nbody {\n margin: 0;\n font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, \"Segoe UI\", Roboto, Helvetica, Arial, sans-serif;\n background-color: var(--bg-color);\n color: var(--text-main);\n line-height: 1.5;\n}\n\n.container {\n max-width: 1200px;\n margin: 0 auto;\n padding: 24px 16px;\n}\n\n\/* PANELER OCH RUBRIKER *\/\n.panel {\n background: var(--card-bg);\n border-radius: 12px;\n padding: 24px;\n margin-bottom: 24px;\n border: 1px solid var(--border-color);\n border-top: 5px solid var(--primary-color); \/* Bl\u00e5 Mahifi-linje *\/\n box-shadow: 0 4px 12px rgba(71, 71, 215, 0.05);\n}\n\n.panel h2 {\n margin-top: 0;\n margin-bottom: 18px;\n font-size: 19px;\n font-weight: 700;\n color: var(--primary-color); \/* Mahifi bl\u00e5 rubrik *\/\n border-bottom: 2px solid var(--primary-light);\n padding-bottom: 10px;\n display: flex;\n align-items: center;\n gap: 8px;\n}\n\n.grid {\n display: grid;\n grid-template-columns: repeat(auto-fit, minmax(260px, 1fr));\n gap: 20px;\n}\n\n.group {\n background: var(--primary-light); \/* Ljusbl\u00e5 mjuk Mahifi-ton *\/\n border: 1px solid #dcdcfe;\n border-radius: 10px;\n padding: 16px;\n}\n\n.group h3 {\n font-size: 14px;\n margin: 0 0 12px 0;\n color: var(--primary-color);\n text-transform: uppercase;\n letter-spacing: 0.5px;\n font-weight: 700;\n}\n\nlabel {\n display: flex;\n align-items: center;\n gap: 8px;\n margin: 8px 0;\n cursor: pointer;\n font-size: 14px;\n color: #334155;\n}\n\ninput[type=checkbox], input[type=radio] {\n width: 16px;\n height: 16px;\n accent-color: var(--primary-color);\n cursor: pointer;\n}\n\ninput[type=text], input[type=number], select {\n padding: 9px 12px;\n border: 1px solid #cbd5e1;\n border-radius: 8px;\n font-size: 14px;\n width: 100%;\n transition: border-color 0.2s;\n background: #fff;\n}\n\ninput[type=text]:focus, input[type=number]:focus, select:focus {\n outline: none;\n border-color: var(--primary-color);\n box-shadow: 0 0 0 3px rgba(71, 71, 215, 0.15);\n}\n\n.level-row {\n display: flex;\n align-items: center;\n justify-content: space-between;\n margin-bottom: 10px;\n}\n\n.level-row label { margin: 0; font-weight: 600; }\n.level-row input { width: 70px; text-align: center; }\n\n\/* KNAPPAR *\/\n.btn {\n border: 0;\n border-radius: 8px;\n padding: 10px 18px;\n cursor: pointer;\n font-size: 14px;\n font-weight: 600;\n transition: all 0.2s;\n display: inline-flex;\n align-items: center;\n gap: 6px;\n}\n\n.btn-primary { \n background: var(--primary-color); \n color: #ffffff; \n}\n.btn-primary:hover { \n background: var(--primary-hover); \n}\n.btn-secondary { \n background: #f1f5f9; \n color: #334155; \n border: 1px solid #cbd5e1;\n}\n.btn-secondary:hover { \n background: #e2e8f0; \n}\n.btn-danger { \n background: #fef2f2; \n color: #dc2626; \n border: 1px solid #fecaca; \n}\n.btn-danger:hover { \n background: #fee2e2; \n}\n\n.summary-bar {\n display: flex;\n align-items: center;\n gap: 12px;\n margin-bottom: 16px;\n}\n\n.badge {\n background: var(--primary-light);\n border: 1px solid #dcdcfe;\n border-radius: 20px;\n padding: 4px 12px;\n font-size: 13px;\n font-weight: 600;\n color: var(--primary-color);\n}\n\n.question-card {\n border: 1px solid var(--border-color);\n border-left: 4px solid var(--primary-color);\n border-radius: 8px;\n padding: 18px;\n margin-bottom: 14px;\n background: #ffffff;\n transition: box-shadow 0.2s;\n}\n\n.question-card:hover { box-shadow: 0 4px 12px rgba(71, 71, 215, 0.08); }\n\n.question-head {\n display: flex;\n justify-content: space-between;\n gap: 16px;\n align-items: flex-start;\n}\n\n.question-number {\n font-weight: 700;\n font-size: 16px;\n color: var(--primary-color);\n min-width: 28px;\n}\n\n.question-content { flex: 1; }\n.question-text { font-size: 15px; line-height: 1.6; }\n\n.meta-tags {\n display: flex;\n gap: 8px;\n margin-top: 10px;\n align-items: center;\n flex-wrap: wrap;\n}\n\n.tag {\n font-size: 11px;\n font-weight: 700;\n padding: 2px 8px;\n border-radius: 6px;\n text-transform: uppercase;\n}\n\n.tag-E { background: #d1fae5; color: #065f46; }\n.tag-C { background: #fef3c7; color: #92400e; }\n.tag-a, .tag-A { background: #fee2e2; color: #991b1b; }\n.tag-digital { background: #e0f2fe; color: #0369a1; }\n.tag-analog { background: #f3e8ff; color: #6b21a8; }\n\n.question-actions { display: flex; gap: 6px; }\n.question-actions .btn { padding: 6px 10px; font-size: 13px; }\n\n\/* FACIT I F\u00d6RHANDSGRANSKNING *\/\n.preview-solution {\n display: none;\n margin-top: 12px;\n padding: 10px 14px;\n background-color: var(--primary-light);\n border-left: 4px solid var(--primary-color);\n border-radius: 4px;\n font-size: 14px;\n}\n\n.preview-solution.show { display: block; }\n\n.empty-state {\n text-align: center;\n padding: 40px 20px;\n color: var(--text-muted);\n border: 2px dashed var(--border-color);\n border-radius: 10px;\n}\n\n\/* MODAL *\/\n.modal-overlay {\n display: none;\n position: fixed;\n top: 0; left: 0; width: 100%; height: 100%;\n background: rgba(15, 23, 42, 0.6);\n backdrop-filter: blur(4px);\n z-index: 1000;\n justify-content: center;\n align-items: center;\n}\n\n.modal-card {\n background: #ffffff;\n width: 90%;\n max-width: 650px;\n max-height: 85vh;\n border-radius: 12px;\n padding: 24px;\n display: flex;\n flex-direction: column;\n box-shadow: 0 20px 25px -5px rgba(0,0,0,0.1);\n border-top: 5px solid var(--primary-color);\n}\n\n.modal-header {\n display: flex;\n justify-content: space-between;\n align-items: center;\n margin-bottom: 16px;\n}\n\n.modal-header h3 { margin: 0; font-size: 18px; color: var(--primary-color); }\n.close-btn { background: none; border: none; font-size: 20px; cursor: pointer; color: #64748b; }\n\n.modal-body { overflow-y: auto; flex: 1; padding-right: 4px; }\n\n.search-box {\n background: var(--primary-light);\n padding: 12px;\n border-radius: 8px;\n border: 1px solid var(--border-color);\n margin-bottom: 16px;\n}\n\n.pick-list-item {\n border: 1px solid var(--border-color);\n border-radius: 8px;\n padding: 12px;\n margin-bottom: 10px;\n display: flex;\n justify-content: space-between;\n align-items: center;\n gap: 12px;\n background: #ffffff;\n}\n\n\/* UTSKRIFTSMALL *\/\n#printArea { display: none; }\n\n@media print {\n @page {\n size: A4;\n margin: 15mm 15mm 20mm 15mm;\n }\n \n body { \n background: #ffffff !important; \n color: #000000 !important; \n }\n \n .no-print { display: none !important; }\n \n #printArea {\n display: block !important;\n font-family: \"Georgia\", \"Times New Roman\", serif;\n font-size: 11pt;\n line-height: 1.5;\n color: #000;\n }\n\n #printArea img {\n max-width: 100% !important;\n height: auto !important;\n display: block;\n margin: 10px 0;\n page-break-inside: avoid;\n }\n\n .pdf-header {\n border-bottom: 2px solid #000;\n padding-bottom: 12px;\n margin-bottom: 20px;\n }\n\n .pdf-title {\n font-size: 26pt;\n font-weight: bold;\n margin-bottom: 16px;\n }\n\n .pdf-section-header {\n font-size: 13pt;\n font-weight: bold;\n border-bottom: 1.5px solid #000;\n margin: 24px 0 14px 0;\n padding-bottom: 4px;\n page-break-after: avoid;\n break-after: avoid;\n }\n\n .pdf-info-grid {\n display: flex;\n justify-content: space-between;\n font-size: 10pt;\n }\n\n .pdf-question-item {\n margin-bottom: 20px;\n page-break-inside: avoid;\n break-inside: avoid;\n }\n\n .pdf-q-head {\n display: flex;\n justify-content: space-between;\n font-size: 11pt;\n font-weight: bold;\n margin-bottom: 4px;\n }\n\n .pdf-answer-item, .pdf-solution-item {\n margin-bottom: 14px;\n page-break-inside: avoid;\n break-inside: avoid;\n }\n\n .pdf-page-break {\n page-break-before: always;\n break-before: page;\n padding-top: 5mm;\n }\n}\n<\/style>\n<\/head>\n<body>\n\n\n<div class=\"container no-print\">\n \n <div class=\"panel\">\n <h2>1. V\u00e4lj kurs och inst\u00e4llningar f\u00f6r Mahifi:s \u00f6vningsprovsgenerator<\/h2>\n \n <div style=\"margin-bottom: 20px; max-width: 300px;\">\n <label style=\"font-weight:bold; margin-bottom:6px;\">V\u00e4lj kurs:<\/label>\n <select id=\"courseSelect\" onchange=\"onCourseChange()\">\n <option value=\"ma1b\">Matematik 1b<\/option>\n <option value=\"ma1c\">Matematik 1c<\/option>\n <option value=\"ma2\">Matematik 2<\/option>\n <option value=\"ma_fort_1\">Matematik fort. 1<\/option>\n <option value=\"ma4\">Matematik 4<\/option>\n <\/select>\n <\/div>\n\n <div class=\"grid\">\n <div class=\"group\">\n <h3>Kategorier<\/h3>\n <div id=\"categoryControls\"><\/div>\n <\/div>\n\n <div class=\"group\">\n <h3>Antal fr\u00e5gor per niv\u00e5<\/h3>\n <div class=\"level-row\">\n <label style=\"color:var(--accent-e);\">Niv\u00e5 E (0<\/span> st)<\/label>\n <input type=\"number\" id=\"countE\" min=\"0\" value=\"3\">\n <\/div>\n <div class=\"level-row\">\n <label style=\"color:var(--accent-c);\">Niv\u00e5 C (0<\/span> st)<\/label>\n <input type=\"number\" id=\"countC\" min=\"0\" value=\"2\">\n <\/div>\n <div class=\"level-row\">\n <label style=\"color:var(--accent-a);\">Niv\u00e5 A (0<\/span> st)<\/label>\n <input type=\"number\" id=\"countA\" min=\"0\" value=\"1\">\n <\/div>\n <\/div>\n\n <div class=\"group\">\n <h3>Minir\u00e4knare & Struktur<\/h3>\n <div style=\"margin-bottom: 12px;\">\n <label style=\"font-weight:600; margin-bottom:4px;\">Minir\u00e4knartyp:<\/label>\n <select id=\"digitalFilter\" onchange=\"oppdateraTillgangligaCount()\">\n <option value=\"all\">Alla fr\u00e5gor (B\u00e5de med & utan)<\/option>\n <option value=\"analogOnly\">Endast utan minir\u00e4knare<\/option>\n <option value=\"digitalOnly\">Endast med minir\u00e4knare<\/option>\n <\/select>\n <\/div>\n <label><input type=\"checkbox\" id=\"separateParts\" checked> Dela upp i Del I (Utan) & Del II (Med minir\u00e4knare)<\/label>\n <label><input type=\"checkbox\" id=\"sortLevels\" checked> Sortera niv\u00e5er internt (E \u2192 C \u2192 A)<\/label>\n <label><input type=\"checkbox\" id=\"showPoints\" checked> Visa po\u00e4ngf\u00f6rdelning<\/label>\n <\/div>\n <\/div>\n\n <div style=\"margin-top:20px;\">\n <label style=\"font-weight:bold; margin-bottom:6px;\">Provets titel<\/label>\n <input type=\"text\" id=\"testTitle\" value=\"\u00d6vningsprov\">\n <\/div>\n\n <div style=\"margin-top:20px; display:flex; gap:10px; align-items:center;\">\n <button class=\"btn btn-primary\" onclick=\"createTest()\">\u26a1 Skapa \u00f6vningsprov<\/button>\n <button class=\"btn btn-secondary\" onclick=\"resetTest()\">\u00c5terst\u00e4ll<\/button>\n <\/div>\n <\/div>\n\n \n <div class=\"panel\">\n <h2>2. F\u00f6rhandsgranska och anpassa<\/h2>\n <div class=\"summary-bar\">\n 0 fr\u00e5gor<\/span>\n 0 p (0E \/ 0C \/ 0A)<\/span>\n <\/div>\n <div id=\"preview\">\n <div class=\"empty-state\">Inga fr\u00e5gor valda \u00e4n. Klicka p\u00e5 \"Skapa \u00f6vningsprov\" ovan.<\/div>\n <\/div>\n <button class=\"btn btn-secondary\" onclick=\"openAddModal()\" style=\"margin-top:12px;\">+ L\u00e4gg till fr\u00e5ga<\/button>\n <\/div>\n\n \n <div class=\"panel\">\n <h2>3. Exportera PDF \/ Skriv ut<\/h2>\n <div style=\"display:flex; flex-wrap:wrap; gap:20px; margin-bottom:18px;\">\n <label><input type=\"checkbox\" id=\"pdfQuestions\" checked> Inkludera Fr\u00e5gedel<\/label>\n <label><input type=\"checkbox\" id=\"pdfAnswers\" checked> Inkludera Facit<\/label>\n <label><input type=\"checkbox\" id=\"pdfSolutions\" checked> Inkludera L\u00f6sningsf\u00f6rslag<\/label>\n <label><input type=\"checkbox\" id=\"pdfPoints\" checked> Visa po\u00e4ng i PDF<\/label>\n <\/div>\n <button class=\"btn btn-primary\" onclick=\"printPDF()\">\ud83d\udda8\ufe0f Skriv ut \/ Spara som PDF<\/button>\n <\/div>\n<\/div>\n\n\n<div id=\"addModal\" class=\"modal-overlay\">\n <div class=\"modal-card\">\n <div class=\"modal-header\">\n <h3>L\u00e4gg till fr\u00e5ga manuellt<\/h3>\n <button class=\"close-btn\" onclick=\"closeAddModal()\">\u2715<\/button>\n <\/div>\n <div class=\"modal-body\">\n <div class=\"search-box\">\n <label style=\"font-weight:bold; margin-bottom:4px;\">S\u00f6k p\u00e5 uppgiftskod:<\/label>\n <div style=\"display:flex; gap:8px;\">\n <input type=\"text\" id=\"searchCodeInput\" placeholder=\"t.ex. a8, f1...\">\n <button class=\"btn btn-primary\" onclick=\"addByCode()\">L\u00e4gg till<\/button>\n <\/div>\n <\/div>\n\n <div style=\"display:grid; grid-template-columns: 1fr 1fr 1fr; gap:10px; margin-bottom:16px;\">\n <div>\n <label style=\"font-size:12px; font-weight:bold;\">Kategori<\/label>\n <select id=\"modalCatFilter\" onchange=\"filterModalQuestions()\">\n <option value=\"all\">Alla kategorier<\/option>\n <\/select>\n <\/div>\n <div>\n <label style=\"font-size:12px; font-weight:bold;\">Niv\u00e5<\/label>\n <select id=\"modalLevelFilter\" onchange=\"filterModalQuestions()\">\n <option value=\"all\">Alla niv\u00e5er<\/option>\n <option value=\"E\">Niv\u00e5 E<\/option>\n <option value=\"C\">Niv\u00e5 C<\/option>\n <option value=\"A\">Niv\u00e5 A<\/option>\n <\/select>\n <\/div>\n <div>\n <label style=\"font-size:12px; font-weight:bold;\">Minir\u00e4knare<\/label>\n <select id=\"modalDigitalFilter\" onchange=\"filterModalQuestions()\">\n <option value=\"all\">Alla<\/option>\n <option value=\"analog\">Utan minir\u00e4knare<\/option>\n <option value=\"digital\">Med minir\u00e4knare<\/option>\n <\/select>\n <\/div>\n <\/div>\n\n <div id=\"modalQuestionsList\"><\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n<\/div>\n\n<div id=\"printArea\"><\/div>\n\n<script>\n\/\/ =================================================================\n\/\/ 1. DINA UPPGIFTSBIBLIOTEK PER KURS\n\/\/ =================================================================\nconst fragor = {\n \/\/ MATEMATIK 1B\n ma1b: {\n algebra: [\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$2x^2 + 3x^2+2x+4x\\\$.`,\n svar: `\\\$5x^2+6x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a1\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket\n \\\$4(x+4)-(x-2)\\\$.`,\n svar: `\\\$3x+18\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a2\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{x}{2}+\\\\frac{x}{3}+\\\\frac{x}{4}=1\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{12}{13}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"linjara\", \"brak\"],\n kod: \"a3\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x^2-16=9\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a4\"\n },\n\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2x + 5 = 11\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a5\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{3x}{4}=\\\\frac{1}{2} \\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{2}{3}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\", \"brak\"],\n kod: \"a6\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{x+2}{x-7}=\\\\frac{3}{10} \\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{-41}{7}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"linjara\", \"brak\"],\n kod: \"a7\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$2\\\\cdot x^{-2}=\\\\frac{2}{9} \\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a8\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{1}{4^{2x}}=8^5\\\$.`,\n svar: `\\\$x=-\\\\frac{15}{4}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080150.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a9\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$1,2\\\\cdot 10^3\\\\cdot x+1,6\\\\cdot 10^3=2,3\\\\cdot 10^3\\\\cdot x-0,4\\\\cdot 10^3\\\$.`,\n svar: `\\\$x=-3,75\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a10\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{1}{x}+\\\\frac{1}{2x}=1\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a11\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x(2x+6)+3x=2x^2+18\\\$.`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a12\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$(x+1)(x+2)=x^2+3\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{1}{3}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a13\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x^2-16=9\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a14\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket\n \\\$x^2+4x^2+5x-x\\\$.`,\n svar: `\\\$5x^2+4x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a15\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket\n \\\$(2x+1)(x-1)-(x+1)\\\$.`,\n svar: `\\\$2x^2-2x-2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a16\"\n },\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycken s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt <\/p> a) \\\$10x+20\\\$ <\/p> b) \\\$2x^2+4x\\\$ <\/p> c) \\\$xy^2+x^2y\\\$ `,\n svar: `\\\$a) 10(x+2) b) 2x(x+2) c) xy(y+x)\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a17\"\n },\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycken s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt <\/p> a) \\\$2x-x^2\\\$ <\/p> b) \\\$25x^2-5x\\\$ <\/p> c) \\\$x^3-x^2\\\$`,\n svar: `\\\$a)\\\$ \\\$x(2-x)\\\$ b) \\\$5x(5x-1)\\\$ c) \\\$x^2(x-1)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a17\"\n },\n\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycken \n \\\$x^2+4x^2+5x-x\\\$.`,\n svar: `\\\$x=5x^2+4x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a18\"\n },\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycket \n \\\$5^{x+2}-5^{2x}\\\$.`,\n svar: `\\\$5^x(25-5^x)\\\$`,\n niva: \"A\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080049.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n poang: [0,0,1],\n \n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a19\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{2}{x}+\\\\frac{1}{2}=\\\\frac{1}{2x} \\\$.`,\n svar: `\\\$x=-3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a20\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m talet a\n \\\$4^{1000}+4^{1000}+4^{1000}+4^{1000}=2^a\\\$`,\n svar: `\\\$a=2002\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080201.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a21\"\n },\n{\n fraga: `Om vi vet att \n \\\$x^2y=4^3\\\$ samt att \\\$xy^2z^3=4^9\\\$. Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$xyz\\\$ p\u00e5 valfri form`,\n svar: `\\\$xyz=2^8=4^4=16^2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080214.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a22\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x(x-10)-(25+x^2)=0 \\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{-5}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a23\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$(x+1)^2=25 \\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=4, x_2=-6\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080057.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a24\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$6^{10}=9^5\\\\cdot2^x \\\$.`,\n svar: `\\\$x=10\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a25\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$(x+4)(x-2)=x^2 \\\$.`,\n svar: `\\\$x=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a26\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x^7=200 \\\$.`,\n svar: `\\\$x=2,13\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a27\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 b\n \\\$\\\\frac{4}{a}-\\\\frac{3+b}{3a}=\\\\frac{10}{4a} \\\$.`,\n svar: `\\\$b=\\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080229.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a28\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$3^{2x}\\\\cdot9^2=3^{10} \\\$.`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a29\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x^2=33^2+44^2\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 55\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080241.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a30\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6renkla det algebraiska uttrycket\n \\\$(\\\\frac{1}{n})^{-1}+ (\\\\frac{1}{n})^{-1}+ (\\\\frac{1}{n})^{-1}\\\$.`,\n svar: `\\\$3n\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080103.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a31\"\n },\n{\n fraga: `Skriv uttrycket \\\$2x+y\\\$ i enbart variabeln y om du vet att \\\$x-3y=10\\\$`,\n svar: `\\\$7y+60\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a32\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{(4x)^2}{4x^2}\\\$`,\n svar: `4`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a33\"\n },\n {\n fraga: `Skriv uttrycket \\\$a-b\\\$ i en variabel om du vet att \\\$a+b=1\\\$`,\n svar: `\\\$1-2b\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a34\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6ljande likhet g\u00e4ller<\/p> \\\$(2x+1)(4-x)=-2x^2+ax+b\\\$ <\/p> Best\u00e4m konstanterna \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ `,\n svar: `\\\$a=7\\\$ och \\\$b=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a35\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+1)(x-1)\\\$`,\n svar: `\\\$x^2-1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a36\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$2y-x+5\\\$ i enbart variabeln \\\$y\\\$ om du vet att \\\$x=y+6\\\$`,\n svar: `\\\$y-1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a37\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x^5-10+x=15+x\\\$.`,\n svar: `\\\$x=1,9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a38\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$4^{x+2}-3\\\\cdot 4^x=13\\\\cdot 2^{x+1}\\\$.`,\n svar: `\\\$x=1\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080256.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a39\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m det positiva talet a\n \\\$a^{\\\\frac{2}{3}}=9\\\$.`,\n svar: `\\\$a=27\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080116.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a40\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x(x+30)=x^2-15\\\$.`,\n svar: `\\\$x=-\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a41\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{1}{x}+\\\\frac{1}{2x}+\\\\frac{1}{3x}=1\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\x=\\\\frac{11}{6}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a42\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \n \\\$16^5\\\\cdot25^5=100^5\\\\cdot32^x\\\$.`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080318.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a43\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \n \\\$\\\\sqrt{16x^2}+\\\\sqrt{36x^2}=100\\\$.`,\n svar: `\\\$x=10\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a44\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m summan \\\$a+b+c\\\$ om du vet att \\\$a=\\\\frac{1}{3}\\\$, \\\$a\\\\cdot b=\\\\frac{2}{9}\\\$ samt \\\$a\\\\cdot b\\\\cdot c=\\\\frac{7}{36}\\\$.`,\n svar: `\\\$a+b+c=\\\\frac{15}{8}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a45\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \n \\\$\\\\frac{4}{x}+\\\\frac{16}{8}=\\\\frac{4+x^2}{2}\\\$.`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a46\"\n },\n {\n fraga: `Om du vet att \\\$x+y=0\\\$ best\u00e4m d\u00e5 kvoten \\\$\\\\frac{x^{2025}}{y^{2025}}\\\$`,\n svar: `Kvoten blir -1`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080123.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a47\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ut variabeln \\\$R\\\$ i f\u00f6ljande formel \\\$\\\\frac{1}{R}=\\\\frac{1}{R_1}+\\\\frac{1}{R_2}\\\$.`,\n svar: `\\\$R=\\\\frac{R_1\\\\cdot R_2}{R_1+R_2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080132.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a48\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^{\\\\frac{1}{5}}=11\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=161051\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n digital: true ,\n kod: \"a49\"\n }, \n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2,5x+10=4,5x\\\$ `,\n svar: `\\\$x=5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n digital: true ,\n kod: \"a50\"\n }, \n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^{\\\\frac{3}{2}}=5\\\$ . Svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar: `\\\$x=2,92\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n digital: true ,\n kod: \"a51\"\n }, \n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$16^x\\\\cdot 5^{4x}=100^{36}\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=18\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a52\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$3(x+6)=4\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=-\\\\frac{14}{3}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a53\"\n},\n {\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck \\\$2x^2+4x\\\$`,\n svar: `\\\$2x(x+2)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a54\"\n},\n {\n fraga: `Vilka av f\u00f6ljande uttryck g\u00e5r att faktorisera?<\/p> \\\$3x^2+6\\\$ <\/p> \\\$x^2+y^2\\\$ <\/p> \\\$x^{99}+x^{100}\\\$`,\n svar: `\\\$3x^2+6\\\$ och \\\$x^{99}+x^{100}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a55\"\n},\n{\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck \\\$y^3x^2+xy^4\\\$`,\n svar: `\\\$xy^3(x+y)\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a70\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\frac{1}{2}(6x+10)=10\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{5}{3}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a56\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+4)(x-2)+8\\\$ .`,\n svar: `\\\$x^2-2x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a57\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$2(x+1)(x-1)\\\$.`,\n svar: `\\\$2x^2-2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a58\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation \\\$\\\\frac{x+6}{x}=13\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a59\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r tv\u00e5 siffror vet du f\u00f6ljande <\/p> Det ena talet \u00e4r dubbelt s\u00e5 stort som det andra <\/p> Om man summerar talen f\u00e5r 24 <\/p> Best\u00e4m talen. `,\n svar: `8 och 16 \u00e4r talen`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a60\"\n},\n{\n fraga: `Joakim l\u00f6ser ekvationen \\\$x^2=36\\\$ och f\u00e5r svaret \\\$x=6\\\$. Hans kompis Victor menar att Joakim har missat en l\u00f6sning. F\u00f6rklara f\u00f6r Joakim varf\u00f6r han har missat en l\u00f6sning.`,\n svar: `Ekvationen har l\u00f6sningen \\\$x= \\\\pm 6\\\$ eftersom om du h\u00f6jer upp \\\$-6\\\$ i 2 kommer du ocks\u00e5 f\u00e5 36. Ekvationen har s\u00e5ledes tv\u00e5 l\u00f6sningar.`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a61\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2=32-x^2\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a62\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$4(x+5)+10=22\\\$`,\n svar: `\\\$x=-2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a63\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(\\\\frac{4}{3})^x=(\\\\frac{2}{3})^x \\\\cdot 2^3\\\$`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a64\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(\\\\frac{1}{4})^x=2^{2x}\\\\cdot 4^{10}\\\$`,\n svar: `\\\$x=-5\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a65\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(4,5x-10=2,5x+12\\\$`,\n svar: `\\\$x=11\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a66\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$3^x+3^x+3^x=81\\\$`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a67\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x+\\\\frac{1}{2})(x-\\\\frac{1}{2})=2\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm \\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a68\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x(x+7)=7x+9\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a69\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilket \\\$x\\\$ \u00e4r f\u00f6ljande algebraiskt uttryck lika med 7<\/p> \\\$3x+28\\\$ <\/p>`,\n svar: `\\\$x=-7\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a71\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilket \\\$x\\\$ \u00e4r f\u00f6ljande tv\u00e5 algebraiska uttryck \\\$4x+10\\\$ och \\\$-2x+22\\\$ lika med varandra?<\/p>`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a72\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanterna \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ om f\u00f6ljande likhet ska st\u00e4mma <\/p> \\\$(2x+1)(4-x)=-2x^2+ax+b\\\$ <\/p>`,\n svar: `\\\$a=7\\\$ och \\\$b=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a73\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ om f\u00f6ljande likhet ska st\u00e4mma <\/p> \\\$(x+a)(x+5)=x^2+7x+10\\\$ <\/p>`,\n svar: `\\\$a=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a74\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x-2)(x+2)=12\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a75\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x(x+2)=x^2-10\\\$`,\n svar: `\\\$x=-5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a76\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har \u00e5ldern \\\$x\\\$ idag, om 3 \u00e5r \u00e4r Joakims pappa dubbelt s\u00e5 gammal som Joakim. Best\u00e4m ett uttryck f\u00f6r Joakims pappas \u00e5lder idag. `,\n svar: `2x-3`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a77\"\n},\n{\n fraga: `Joakims bror \u00e4r 3 \u00e5r \u00e4ldre \u00e4n Joakim. Om 3 \u00e5r \u00e4r deras summerade \u00e5lder 69 \u00e5r. Hur gammal \u00e4r Joakim?`,\n svar: `30 \u00e5r`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a78\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x^4+x)(x^4-2x)=x^8-x^5-18\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a79\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt \\\$(x+2)(x+1)\\\$`,\n svar: `\\\$x^2+3x+2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a80\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt \\\$(x-3)(x+4)\\\$`,\n svar: `\\\$x^2+x-12\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a81\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt \\\$(x+10)(x-1)+10\\\$`,\n svar: `\\\$x^2+9x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a82\"\n},\n{\n fraga: `Joakim menar att \\\$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\\$ Visa att likheten st\u00e4mmer.`,\n svar: `Skriv ut \\\$(a+b)^2\\\$ som tv\u00e5 parenteser. F\u00f6renkla sedan uttrycket och visa att \\\$HL=VL\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a83\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x+2)(x+2)-4x-4=8\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a84\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(2x+2)(2x-2)+4=16\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a85\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$4x^2 + 2x^2 + 7x - 3x\\\$.`,\n svar: `\\\$6x^2+4x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a86\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$3(x+2) - 2(x-1)\\\$.`,\n svar: `\\\$x+8\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a87\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$3x - 4 = 14\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a88\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2 - 9 = 16\\\$.`,\n svar: `\\\$x = \\\\pm 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a89\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\frac{2x}{5} = 4\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 10\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\", \"brak\"],\n kod: \"a90\"\n },\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycket \\\$3x^2 + 9x\\\$.`,\n svar: `\\\$3x(x+3)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a91\"\n },\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycket \\\$4x - 12\\\$.`,\n svar: `\\\$4(x-3)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a92\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x(x+4) = x^2 + 12\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a93\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+3)(x-3)\\\$.`,\n svar: `\\\$x^2 - 9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a94\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$1,5x + 3 = 4,5x - 6\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a95\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^3 = 27\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a96\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$(x+3)(x+2) - 5x\\\$.`,\n svar: `\\\$x^2 + 6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a97\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\frac{x+4}{2} = 7\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 10\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\", \"brak\"],\n kod: \"a98\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r vilket \\\$x\\\$ har det algebraiska uttrycket \\\$5x - 15\\\$ v\u00e4rdet 10?<\/p>`,\n svar: `\\\$x = 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a99\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2 = 50 - x^2\\\$.`,\n svar: `\\\$x = \\\\pm 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a100\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2(x-3) + 4 = 10\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a101\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r vilket \\\$x\\\$ \u00e4r de tv\u00e5 uttrycken \\\$3x + 2\\\$ och \\\$x + 10\\\$ lika med varandra?<\/p>`,\n svar: `\\\$x = 4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a102\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$5a - (2a - 4)\\\$.`,\n svar: `\\\$3a + 4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a103\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^4 = 81\\\$.`,\n svar: `\\\$x = \\\\pm 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a104\"\n },\n {\n fraga: `Ett tal \u00e4r tre g\u00e5nger s\u00e5 stort som ett annat tal.<\/p>Sammantaget \u00e4r talens summa 32.<\/p>Best\u00e4m de tv\u00e5 talen.`,\n svar: `8 och 24`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a105\"\n }\n ],\n\n procent: [\n {\n fraga: `En vara kostar 600 kr och s\u00e4nks med 25%. Vad blir priset?`,\n svar: `450 kr`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n losningsforslag: `Ber\u00e4kna 25% av 600: \\\$0.25 \\\\cdot 600 = 150\\\$. Subtrahera fr\u00e5n 600: 600-150=450`,\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b1\"\n },\n {\n fraga: `Ett belopp \u00f6kar fr\u00e5n 1200 kr till 1500 kr. Hur stor \u00e4r \u00f6kningen i procent?`,\n svar: `25\\\\%`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b2\"\n },\n {\n fraga: `En akties v\u00e4rde var 20 000 kr i slutet av 2025, dess v\u00e4rde f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka\nmed 15% under det f\u00f6rsta halv\u00e5ret, sedan minska med 10% det andra\nhalv\u00e5ret. D\u00e4refter kommer den processen upprepas under de f\u00f6ljande\n\u00e5ren. Ber\u00e4kna v\u00a8ardet p\u00e5 aktien i slutet av 2028`,\n svar: `V\u00e4rdet \u00e4r ungef\u00e4r 22174 kr`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b3\"\n },\n {\n fraga: `En varas v\u00e4rde minskar med 41%. Vilken f\u00f6r\u00e4ndringsfaktor motsvarar det?`,\n svar: `0,59`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b4\"\n },\n {\n fraga: `En varas v\u00e4rde \u00f6kar med 120%. Vilken f\u00f6r\u00e4ndringsfaktor motsvarar det?`,\n svar: `2,2`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b5\"\n },\n {\n fraga: `En aktie v\u00e4ntas \u00f6ka med 50% tv\u00e5 \u00e5r i rad. Vilken blir d\u00e5 den totala f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn`,\n svar: `2,25`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b6\"\n },\n {\n fraga: `Joakim ska unders\u00f6ka hur mycket en varas v\u00e4rde har \u00f6kat de senaste 3 \u00e5ren. Han vet att den \u00f6kade med samma procentsats varje \u00e5r. Han st\u00e4ller upp f\u00f6ljande uttryck f\u00f6r varans v\u00e4rde efter dessa 3 \u00e5r. \\\$150\\\\cdot1,04^3\\\$ Best\u00e4m hur m\u00e5nga procent varans v\u00e4rde \u00f6kade varje \u00e5r.`,\n svar: `4%`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b7\"\n },\n {\n fraga: `Joakim multiplicerar ett tal med f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn 0,21. Mycket minskar talet i procent i och med den f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn `,\n svar: `79%`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b8\"\n },\n {\n fraga: ` Joakim k\u00f6per en bil 2024 med v\u00e4rdet 15 000. 2025 f\u00f6rv\u00e4ntas bilens v\u00e4rde minska med 7%. D\u00e4refter f\u00f6rv\u00e4ntas bilens v\u00e4rde minska med 9% varje \u00e5r fram\u00f6ver. Best\u00e4m ett algebraiskt uttryck f\u00f6r bilens v\u00e4rde V efter t \u00e5r om t \u00e4r antalet \u00e5r fr\u00e5n 2024.`,\n svar: `\\\$V=0,93\\\\cdot0,91^{t-1}\\\$ d\u00e4r t st\u00f6rre eller lika med 1`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b9\"\n},\n {\n fraga: `V\u00e4rdet p\u00e5 en produkt \u00f6kar f\u00f6rst med 12% varje \u00e5r i tre \u00e5r. D\u00e4refter minskar produktens v\u00e4rde med 12% varje \u00e5r i tre \u00e5r. Vilket blir den totala f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn efter dessa sex \u00e5r?`,\n svar: `0,96`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b10\"\n },\n {\n fraga: `Joakim s\u00e4tter in 10000 kr p\u00e5 en fond som kan g\u00e5 upp och ner i v\u00e4rde.\n De f\u00f6rsta 4 \u00e5ren minskar v\u00e4rdet p\u00e5 pengarna med 25%. D\u00e4refter \u00f6kar v\u00e4rdet p\u00e5 pengarna, \n p\u00e5 8 \u00e5r \u00e4r de tillbaka p\u00e5 det ursprungliga v\u00e4rdet. Vilken var den \u00e5rliga f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn de sista 8 \u00e5ren?`,\n svar: `\u00d6kning med ca. 3.66% per \u00e5r (ungef\u00e4r \\\$1.0366\\\$)`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b11\"\n },\n {\n fraga: `I ett land har 80% av befolkningen r\u00e4tt att r\u00f6sta. I ett riksdagsval r\u00f6star 75% av de som har r\u00e4tt att r\u00f6sta. \n Partiet Joakimspartiet f\u00e5r 135 000 r\u00f6ster som motsvarar 8% av alla r\u00f6ster i riksdagsvalet. \n Hur m\u00e5nga m\u00e4nniskor bor det i landet som har r\u00f6str\u00e4tt?`,\n svar: `2 812 500`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b12\"\n },\n {\n fraga: ` Anna fick nya arbetsuppgifter och d\u00e4rigenom en l\u00f6neh\u00f6jning p\u00e5 6 %. N\u00e4sta \u00e5r gick det s\u00e4mre och hon fick en l\u00f6nes\u00e4nkning p\u00e5 2 %. P\u00e5 dessa tv\u00e5 \u00e5r \u00f6kade \u00e4nd\u00e5 hennes l\u00f6n med 1358 kr. Hur stor var Annas l\u00f6n innan hon fick de nya arbetsuppgifterna?`,\n svar: `Ungef\u00e4r 35000 kr`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b13\"\n},\n {\n fraga: `Joakim har k\u00f6pt en klocka. Tyv\u00e4rr minskar klockan 20% i v\u00e4rde f\u00f6rsta \u00e5ret. \n Hur mycket m\u00e5ste klockans v\u00e4rde \u00f6ka i procent det andra \u00e5ret f\u00f6r att klockan ska bli 10% \u00f6ver ink\u00f6pspriset?`,\n svar: `37,5%`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b14\"\n },\n {\n fraga: `V\u00e4rdet p\u00e5 en t-shirt minskar under 6 \u00e5r med 5% varje \u00e5r. Sedan \u00f6kar v\u00e4rdet under 3 \u00e5r\nmed 10% eftersom en k\u00e4nd tiktok-profil anv\u00e4nde den under alla sina videos under\ndessa 3. Hur mycket hade v\u00e4rdet p\u00e5 t-shirten \u00f6kar eller minskat efter dessa 9 \u00e5r?`,\n svar: `Minskat med ungef\u00e4r 2%`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b15\"\n },\n {\n fraga: `V\u00e4rdet p\u00e5 en aktie minskar med lika stor procentsats varje \u00e5r. Efter 10 \u00e5r har aktiens v\u00e4rde halverats. \n Skriv ett f\u00f6renklat uttryck f\u00f6r aktiens v\u00e4rde efter 15 \u00e5r om den hade v\u00e4rdet V fr\u00e5n b\u00f6rjan.`,\n svar: `0.34V`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-213438.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b16\"\n },\n {\n fraga: `En vara med v\u00e4rdet 1000 kr 2024 minskar med 4% varje \u00e5r. Joakim vill veta vilket \u00e5r varan \u00e4r v\u00e4rd en fj\u00e4rdedel av ursprungspriset. \n St\u00e4ll upp ekvationen Joakim m\u00e5ste l\u00f6sa d\u00e4r x \u00e4r antalet \u00e5r (du beh\u00f6ver inte l\u00f6sa den).`,\n svar: `\\\$250 = 1000 \\\\cdot 0.96^{x}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b17\"\n },\n {\n fraga: `Joakim hade \u00e5r 2013 en l\u00f6n p\u00e5 20 000 kr. Varje \u00e5r f\u00e5r han samma procentuella l\u00f6ne\u00f6kning. Efter 10 \u00e5r fick han en tillsammans med den procentuella \u00f6kningen en klumpsumma p\u00e5 5000 kr, d\u00e5 tj\u00e4nar han 45 000 kr. \n Hur stor \u00e4r l\u00f6ne\u00f6kningen i procent per \u00e5r?`,\n svar: `\u00d6kar med ca. 7% varje \u00e5r (uppgiftens data i ursprungsfilen)`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-094329.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b18\"\n },\n {\n fraga: `Joakims flickv\u00e4n tj\u00e4nar 5000 kr mer \u00e4n Joakim. Efter att b\u00e5da har f\u00e5tt en l\u00f6ne\u00f6kning\nmed 4% tj\u00e4nar de tillsammans 67600 kr hur mycket tj\u00e4nar Joakim innan h\u00f6jningen? `,\n svar: `30 000 kr`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b19\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r Joakim investerar lika mycket pengar i tv\u00e5 olika fonder. Den ena fonden \u00f6kar med \\\$p\\\$% varje \u00e5r och den andra \u00f6kar med 4% mer \u00e4n den andra fonden varje \u00e5r.<\/p> Efter 10 \u00e5r har v\u00e4rdet p\u00e5 summan av fonderna \u00f6kat med 100%. Best\u00e4m \\\$p\\\$ <\/p>`,\n svar: `p=5`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b20\"\n },\n {\n fraga: `En blomma som \u00e4r 10 cm l\u00e5ng v\u00e4xer med samma procentsats varje \u00e5r i fyra \u00e5r i rad. Efter dessa fyra \u00e5r \u00e4r blomman 18 cm. Best\u00e4m hur m\u00e5nga procent blomman v\u00e4xte varje \u00e5r. `,\n svar: `15% varje \u00e5r`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b21\"\n },\n {\n fraga: `En bils v\u00e4rde \u00f6kar f\u00f6rst med 10% och sedan minskar med 20%, vilket blir den totala f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn d\u00e5?`,\n svar: `0,88`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b22\"\n },\n {\n fraga: `En produkts v\u00e4rde \u00f6kar med 50% f\u00f6rsta \u00e5ret. Vad ska produktens v\u00e4rde \u00f6ka med i procent f\u00f6r att produktens ska ha \u00f6kat med 100% efter dessa tv\u00e5 \u00e5r.`,\n svar: `\u00d6ka med 33%`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b23\"\n }\n ],\n\n potenser: [\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$x^3 \\\\cdot x^2\\\$.`,\n svar: `\\\$x^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p1\"\n },\n {\n fraga: `Skriv talet 0.001 som en potens med basen 10.`,\n svar: `\\\$10^{-3}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p2\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$2^3+2^2+2^1+2^0\\\$`,\n svar: `\\\$15\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p3\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\sqrt{2}\\\\cdot \\\\sqrt{8}\\\$`,\n svar: `\\\$4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p4\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck i en gemensam bas \\\$3^5\\\\cdot 2^5\\\$`,\n svar: `\\\$6^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p5\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{6x^7}{2x^4}\\\$`,\n svar: `\\\$3x^3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p6\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x^4)^2 \\\\cdot x^2\\\$`,\n svar: `\\\$x^{10}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p7\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna \\\$2^{-2}+2^{-2}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p8\"\n },\n {\n fraga: `Joakim menar att \\\$4^{-2}\\\$ \u00e4r mindre \u00e4n \\\$3^{-2}\\\$ Visa att han har r\u00e4tt`,\n svar: `Joakim har r\u00e4tt. Tips:Skriv om uttrycken till br\u00e5k.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p9\"\n },\n {\n fraga: `Skriv om f\u00f6ljande uttryck till en gemensam bas \\\$2^{3x}\\\\cdot 3^x\\\$`,\n svar: `\\\$24^x\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p10\"\n },\n {\n fraga: `Du vet att \\\$3=p^3\\\$. Best\u00e4m ett potensuttryck i basen \\\$p\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$27\\\\cdot p\\\$ `,\n svar: `\\\$p^{10}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-083737.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p11\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande uttryck till en gemensam bas \\\$27^{2x}\\\\cdot 4^{3x}\\\$`,\n svar: `\\\$6^{6x}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p12\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck i basen 2<\/p> \\\$8^x\\\\cdot 4^x\\\\cdot 2^x\\\$`,\n svar: `\\\$2^{6x}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p13\"\n },\n {\n fraga: `Vilken av f\u00f6ljande potenser \u00e4r st\u00f6rst? \\\$3^{60}\\\$ eller \\\$9^{25}\\\$.`,\n svar: `\\\$3^{60}\\\$ \u00e4r st\u00f6rst. Tips: skriv om i gemensam bas.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p14\"\n },\n {\n fraga: `Vilken av f\u00f6ljande tal \u00e4r inte kvadrat- eller kubiktal?\n a) \\\$3^{10}\\\$ b) \\\$5^{12}\\\$ c) \\\$4^{9}\\\$ d) \\\$6^{13}\\\$.`,\n svar: `d) (Tips: unders\u00f6k vilka du kan skriva om)`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p15\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck i basen 6\n \\\$18^{x}\\\\cdot8^{x}\\\\cdot3^{2x}\\\$.`,\n svar: `\\\$6^{4x}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-083750.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p16\"\n },\n {\n fraga: `Joakim menar att multiplikationen \\\$\\\\sqrt{x}\\\\cdot \\\\sqrt{x} \\\\cdot \\\\sqrt{x}\\\$ \u00e4r samma sak som \\\$x^{\\\\frac{3}{2}}\\\$. Unders\u00f6k om Joakim har r\u00e4tt.`,\n svar: `Joakim har r\u00e4tt. Tips: Skriv om uttrycken som potenser`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p17\"\n },\n {\n fraga: `Hur m\u00e5nga g\u00e5nger st\u00f6rre \u00e4r \\\$4\\\\cdot 2^{3+a}\\\$ \u00e4n \\\$2^a\\\$`,\n svar: `32 g\u00e5nger st\u00f6rre`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-083802.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p18\"\n },\n {\n fraga: `Skriv potensuttrycket som en potens \\\$2^4\\\\cdot2^3\\\\cdot2^2\\\$`,\n svar: `\\\$2^{9}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p19\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$5^0\\\\cdot 5^2-(2^2)^2\\\$`,\n svar: `\\\$9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p20\"\n },\n {\n fraga: `Om \\\$a^{-\\\\frac{1}{2}}=\\\\frac{2}{3}\\\$ Best\u00e4m d\u00e5 \\\$a^2\\\$`,\n svar: `\\\$a^2=\\\\frac{81}{16}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-083756.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p21\"\n },\n {\n fraga: `Skriv potensuttrycket som en potens \\\$\\\\frac{x^3\\\\cdot x^8}{x^6}\\\$`,\n svar: `\\\$x^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p22\"\n }, \n {\n fraga: `Skriv potensuttrycket som en potens \\\$\\\\frac{x^3\\\\cdot x^8}{x^6}\\\$`,\n svar: `\\\$x^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p23\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck som en potens p\u00e5 gemensam bas \\\$\\\\frac{6^{20}}{3^{10}}\\\$`,\n svar: `\\\$12^{10}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p24\"\n },\n {\n fraga: `Joakim menar att f\u00f6ljande likhet g\u00e4ller <\/p> \\\$81^{5}\\\\cdot 3^{10}=27^{10}\\\$ Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt`,\n svar: `Det st\u00e4mmer. Tips: Skriv om alla potenser i gemensam bas`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p25\"\n },\n {\n fraga: `Skriv potensuttrycket som en potens \\\$(x^4)^2\\\\cdot x^2\\\$`,\n svar: `\\\$x^{10}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p26\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vad som ska st\u00e5 i den tomma rutan : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-112958.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Det ska st\u00e5 3`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-113111.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p27\"\n },\n {\n fraga: `Vilket av f\u00f6ljande uttryck \u00e4r st\u00f6rst om \\\$x=\\\\tfrac{\\\\pi}{4}\\\$?\n a) \\\$x\\\$ b) \\\$x^{10}\\\$ c) \\\$x^{-100}\\\$ d) \\\$(\\\\tfrac{1}{x})^{10}\\\$`,\n svar: `Svar: \\\$x^{-100}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p28\"\n },\n {\n fraga: `Visa att talet \\\$2^{64}\\\$ g\u00e5r att skriva p\u00e5 formen \\\$a^a\\\$ d\u00e4r a \u00e4r ett heltal.`,\n svar: `\\\$16^{16}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-210027.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p29\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m antalet siffror f\u00f6ljande tal inneh\u00e5ller: \\\$2^{13}\\\\cdot3^{3}\\\\cdot5^{10}\\\$.`,\n svar: `12 st`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-214005.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p30\"\n },\n {\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\sqrt{45}+\\\\sqrt{20}=\\\\sqrt{125}\\\$ .`,\n svar: `Likheten st\u00e4mmer. Tips: Skriv om kvadratrotsuttrycken `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-213828.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p31\"\n \n},\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande utan minir\u00e4knare \\\$\\\\frac{4444^2}{2222\\\\cdot2222}\\\$`,\n svar: `4`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p32\"\n},\n\n {\n fraga: `Vilket \u00e4r det minsta heltalet n s\u00e5 att \\\$n^{25} > 2^{100}\\\$?`,\n svar: `n = 17`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p33\"\n },\n {\n fraga: `Joakim p\u00e5st\u00e5r att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer:\n \\\$4^{7}+4^{7}+4^{7}+4^{7}=\\\\sqrt{2^{32}}\\\$. Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt.`,\n svar: `Det st\u00e4mmer bra`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-064214.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p34\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{(3x^2)^3}{9x^2}\\\$`,\n svar: `\\\$3x^4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p35\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{(2x)^4}{3^2x^4}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{16}{9}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p36\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck med en gemensam bas \\\$81^x \\\\cdot 2^{4x} \\\\cdot 16^{2x}\\\$`,\n svar: `\\\$24^{4x}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p37\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$2^{-1}+2^{-2}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{3}{4}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p38\"\n },\n {\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande uttryck \u00e4r ett heltal<\/p> \\\$16^{\\\\frac{3}{4}}\\\$<\/p> `,\n svar: `Skriv om 16 till \\\$16=2^4\\\$. Anv\u00e4nd sedan potensreglerna `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p39\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande uttryck som en potens med en gemensam bas \\\$x^{3,6} \\\\cdot x^{4,4}\\\$ `,\n svar: `\\\$x^8\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p40\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$1^0+2^0+3^0+4^0+5^0\\\$ `,\n svar: `5`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p41\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$\\\\frac{25y^9}{5y^4}\\\$.`,\n svar: `\\\$5y^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p42\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna v\u00e4rdet av \\\$3^{-2}\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{9}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p43\"\n },\n {\n fraga: `Skriv talet 100000 som en potens med basen 10.`,\n svar: `\\\$10^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p44\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$(2a^3)^4\\\$.`,\n svar: `\\\$16a^{12}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p45\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$\\\\sqrt{9} + \\\\sqrt{16}\\\$.`,\n svar: `\\\$7\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p46\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck med en gemensam bas \\\$4^3 \\\\cdot 5^3\\\$.`,\n svar: `\\\$20^3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p47\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{10x^8}{5x^2}\\\$.`,\n svar: `\\\$2x^6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p48\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna v\u00e4rdet av \\\$7^0 \\\\cdot 2^3\\\$.`,\n svar: `\\\$8\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p49\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$\\\\frac{a^5 \\\\cdot a^3}{a^4}\\\$.`,\n svar: `\\\$a^4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p50\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna uttrycket \\\$10^3 - 10^2\\\$.`,\n svar: `\\\$900\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p51\"\n },\n {\n fraga: `Skriv uttrycket \\\$\\\\frac{1}{x^5}\\\$ med negativ exponent.`,\n svar: `\\\$x^{-5}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p52\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$\\\\frac{\\\\sqrt{100}}{2}\\\$.`,\n svar: `\\\$5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p53\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$(2b)^3\\\$.`,\n svar: `\\\$8b^3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p54\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna v\u00e4rdet av \\\$10^{-2} \\\\cdot 10^4\\\$.`,\n svar: `\\\$100\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p55\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$x^{2,5} \\\\cdot x^{1,5}\\\$.`,\n svar: `\\\$x^4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p56\"\n }\n ],\n\n funktioner: [\n {\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet av \\\$f(x) = 2x+3\\\$ n\u00e4r \\\$x=4\\\$.`,\n svar: `\\\$f(4)=11\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f1\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4t linje g\u00e5r igenom punkterna \\\$(1, 5)\\\$ och \\\$(-2, -1)\\\$ best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen`,\n svar: `\\\$y=2x+3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f2\"\n},\n{\n fraga: `En r\u00e4t linje g\u00e5r igenom punkterna \\\$(4, 1)\\\$ och \\\$(1, 7)\\\$. Best\u00e4m k-v\u00e4ret f\u00f6r den r\u00e4ta linjen.`,\n svar: `\\\$k=-2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f3\"\n},\n{\n fraga: `Nedan visas en r\u00e4t linje. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-081638.png\">`,\n svar: `\\\$y=-4x+2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"grafer\"],\n kod: \"f4\"\n},\n{\n fraga: `Du \u00e4r en matematiker som \u00e4r med i ett forskarteam som ska unders\u00f6k hur bakterien Joakimilus bakterlius f\u00f6r\u00e4ndras n\u00e4r den exponeras f\u00f6r direkt solljus. Allt i experimentet gick bra f\u00f6rutom att de tv\u00e5 f\u00f6rsta dygnens data inte kunde tolkas. Du som matematiker s\u00e4ger att det inte spelar n\u00e5gon roll. Eftersom du vet att f\u00f6r\u00e4ndringen g\u00e5r att beskriva \u00e4nd\u00e5 utifr\u00e5n den k\u00e4nda datan d\u00e5 den \u00e4r exponentiell. Utg\u00e5 fr\u00e5n grafen nedan och konstruera en funktion som beskriver f\u00f6r\u00e4ndring av bakterien Joakimilus bakterlius och best\u00e4m hur m\u00e5nga bakterier som planterades fr\u00e5n b\u00f6rjan. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-102555.png \">`,\n svar: `Det var 2000 bakterier fr\u00e5n b\u00f6rjan`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-214727.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\", \"grafer\"],\n kod: \"f5\"\n},\n{\n fraga: ` Bromsstr\u00e4ckan f\u00f6r en bil g\u00e5r att beskrivas med \\\$s(v)=\\\\frac{v^2}{2k}\\\$ d\u00e4r \u00e4r bromsstr\u00e4ckan \u00e4r \\\$s(v)\\\$, \ud835\udc63 \u00e4r hastigheten i km\/h och \ud835\udc58 \u00e4r kvaliteten p\u00e5 d\u00e4cken. D\u00e4r \ud835\udc58 = 1 \u00e4r de s\u00e4msta d\u00e4cken och \ud835\udc58 = 100 \u00e4r de perfekta d\u00e4cken.<\/p> a) En f\u00f6rare k\u00f6r med perfekta d\u00e4ck. Hur snabbt k\u00f6r f\u00f6raren om bromsstr\u00e4ckan \u00e4r 50 meter? <\/p> b) Observera bromsstr\u00e4ckan f\u00f6r ett d\u00e4ck i grafen nedan. Best\u00e4m kvaliteten p\u00e5 d\u00e4cken. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-190104.png\">`,\n svar: `a) 100 km\/h b) \\\$k=20\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-212400.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensfunktioner\", \"grafer\"],\n kod: \"f6\"\n},\n{\n fraga: `1820 levde 90% av jordens befolkning i extrem fattigdom. Idag \u00e4r det ungef\u00e4r 10% av befolkningen som lever i extrem fattigdom. Organisationen Joakim-aid vill f\u00e5 fram modeller som beskriver hur den extrema fattigdomen har f\u00f6r\u00e4ndrats och kommer f\u00f6r\u00e4ndras fram\u00f6ver.<\/p> a) Skapa tv\u00e5 olika modeller (en linj\u00e4r och en exponentiell) som beskriver f\u00f6r\u00e4ndringen i fattigdom fr\u00e5n 1820 till idag <\/p> b) Best\u00e4m vilket \u00e5r den extrema fattigdomen kommer vara p\u00e5 1% av befolkningen enligt respektive modell.`,\n svar:` a) \\\$f(x)=-0,4+90\\\$ och \\\$f(x)=90\\\\cdot (\\\\frac{1}{9})^{\\\\frac{x}{202}}\\\$ <\/p> b) 2042 enligt den linj\u00e4ra och 2233 enligt den exponentiella`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f7\"\n},\n{\n fraga: `Tv\u00e5 r\u00e4ta linjer \u00e4r parallella. Den ena ekvationen \\\$y=4x+1\\\$ och den andra linjen g\u00e5r igenom punkten \\\$(6, 10)\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den andra r\u00e4ta linjen.`,\n svar: `\\\$y=4x-14\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f8\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4t linje vet du att den har ett k-v\u00e4rde som \u00e4r 10 och g\u00e5r igenom punkterna \\\$(2,7)\\\$ och \\\$(4,a)\\\$ Best\u00e4m f\u00f6ljande<\/p> a) Best\u00e4m en r\u00e4t linje som \u00e4r parallell med den r\u00e4ta linjen <\/p> b) Best\u00e4m talet \\\$a\\\$`,\n svar: `a) Till exempel \\\$y=10x+10\\\$ b) \\\$a=27\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f9\"\n},\n{\n fraga: `En bakteriekultur \u00f6kar exponentiellt enligt en funktion \ud835\udc35(\ud835\udc61) d\u00e4r \ud835\udc35(\ud835\udc61) \u00e4r antalet\nbakterier och \ud835\udc61 \u00e4r tiden i dagar. Fr\u00e5n b\u00f6rjan var det 150 000 bakterier efter 2 dag var\ndet 600 000 bakterier. Best\u00e4m \ud835\udc35(\ud835\udc61)`,\n svar: `\\\$B(t)=150 000\\\\cdot 2^t\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f10\"\n},\n{\n fraga: `Befolkningen minskar exponentiellt i en liten by som heter Joakimsbyn. 2022 r\u00e4knar\nman med att det finns 150 personer i byn och att byns inv\u00e5nare minskar med 10 procent\nf\u00f6r varje \u00e5r. Formulera en funktion som beskriver minskningen och unders\u00f6k hur m\u00e5nga\nsom kommer bo i byn om 10 \u00e5r. `,\n svar: `\\\$f(x)=150\\\\cdot 0,9^x\\\$ och ungef\u00e4r 52 personer efter 10 \u00e5r.`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f11\"\n},\n{\n fraga: `Den r\u00e4ta linjen \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \u22127\ud835\udc65 + 20 har v\u00e4rdem\u00e4ngden \u22123 < \ud835\udc66 < 20. Best\u00e4m linjens\ndefinitionsm\u00e4ngd. `,\n svar: `\\\$0< x <\\\\frac{23}{7}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f12\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilka\/vilka \\\$x\\\$-v\u00e4rden \u00e4r \\\$f(x)=g(x)\\\$ f\u00f6r funktionerna \\\$f(x)=x^2+2x+1\\\$ och \\\$g(x)=2x+2\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f13\"\n},\n {\n fraga: `F\u00f6r funktionen \\\$f(x)=ax^4+2\\\$ vet du att \\\$f(1)=6\\\$. Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$`,\n svar: `\\\$a=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f14\"\n},\n {\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4t linje vet du att den g\u00e5r igenom punkterna \\\$(a, 3)\\\$ och \\\$(2a, 12)\\\$ och har k-v\u00e4rdet 3. Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$`,\n svar: `\\\$a=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f15\"\n},\n{\n fraga: `Ljudvolymen i decibel fr\u00e5n h\u00f6gtalarna fr\u00e5n en\nh\u00e5rdrockskonsert g\u00e5r att beskriva med f\u00f6ljande funktion\n\\\$L(a)=L_0-5,31\\\\cdot a^{0,45}\\\$ d\u00e4r \ud835\udc3f \u00e4r ljudvolymen med\navst\u00e5ndet \ud835\udc4e i meter fr\u00e5n h\u00f6gtalarna\\\$L_0\\\$ \u00e4r den\nursprungliga ljudvolymen. P\u00e5 den h\u00e4r rockkonserten \u00e4r\nursprungsvolymen p\u00e5 120 decibel och man menar att 85\ndecibel och \u00f6ver \u00e4r skadligt f\u00f6r v\u00e5r h\u00f6rsel. Vilket\navst\u00e5nd ska man st\u00e5 p\u00e5 f\u00f6r att inte riskera att skada sin\nh\u00f6rsel? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-115559.png\">`,\n svar: `Ungef\u00e4r 66 meter`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-212650.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensfunktioner\"],\n kod: \"f16\"\n},\n{\n fraga: `En exponentiell funktion \\\$f(x)=C\\\\cdot 0,45^x\\\$ g\u00e5r igenom punkten \\\$(2,5)\\\$ Best\u00e4m talet \\\$C\\\$ med tv\u00e5 decimalers exakthet.`,\n svar: `\\\$C=24,69\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"exponential\"],\n kod: \"f17\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. L\u00f6s olikheten \\\$g(x) > f(x)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-29-072212.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$0 < x < 2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"olikheter\", \"grafer\"],\n kod: \"f18\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)\\\$. L\u00f6s olikheten \\\$3 < f(x)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-29-073009.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$4 < x\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"olikheter\", \"grafer\"],\n kod: \"f19\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar den linj\u00e4ra funktionen \\\$f(x)=-4x+8\\\$ l\u00f6s olikheten \\\$f(x) > 0\\\$`,\n svar: `\\\$x < 2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"olikheter\"],\n kod: \"f20\"\n},\n{\n fraga: `Unders\u00f6k om punkten \\\$(2,8)\\\$ ligger p\u00e5 den r\u00e4ta linjen \\\$y=3x+2\\\$.`,\n svar: `Ja, den ligger p\u00e5 linjen `,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f21\"\n},\n{\n fraga: `En r\u00e4t linje p\u00e5 formen \\\$y=5x+m\\\$ g\u00e5r igenom punkten \\\$(-2,12)\\\$ Best\u00e4m var den r\u00e4ta linjen sk\u00e4r y-axeln.`,\n svar: `Den sk\u00e4r i \\\$y=22\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f22\"\n},\n{\n fraga: `En r\u00e4t linje sk\u00e4r x-axeln i \\\$x=4\\\$ och sk\u00e4r y-axeln i \\\$y=12\\\$ Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen`,\n svar: \"\\\$y=-3x+12\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f23\"\n},\n{\n fraga: `Om du vet att \\\$f(x)=2x+1\\\$ och \\\$g(x)=-4x+2\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 den sammansatta funktionen \\\$f(g(x))\\\$`,\n svar: \"\\\$f(g(x))=-8x+5\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f24\"\n},\n{\n fraga: `\tTv\u00e5 r\u00e4ta linjer har samma k-v\u00e4rde. Den ena g\u00e5r igenom punkterna (a,10) och (6,16). Den andra g\u00e5nger igenom punkterna (-2,-1) och (a,17). Best\u00e4m k-v\u00e4rdet f\u00f6r de r\u00e4ta linjerna. `,\n svar: \"\\\$k=3\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f25\"\n},\n{\n fraga: `\tFunktionen \\\$f(t)=2+10\\\\cdot 0,92^t\\\$ visar hur m\u00e5nga ton koldioxid som ett f\u00f6retag sl\u00e4pper ut varje \u00e5r fr\u00e5n 2023. \ud835\udc66 \u00e4r antalet ton och t \u00e4r \u00e5r fr\u00e5n 2023. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p>\n\na) Hur m\u00e5nga ton koldioxid sl\u00e4pper f\u00f6retaget ut 2023? <\/p>\nb) Hur m\u00e5nga ton koldioxid sl\u00e4pper f\u00f6retaget ut 2027 enligt modellen. Svara med tv\u00e5 decimaler <\/p>\nc) Vilket \u00e5r har utsl\u00e4ppen halverats i f\u00f6rh\u00e5llande till 2023 \u00e5rs niv\u00e5er. \n`,\n svar: \"a) 12 ton b) 9,16 ton c) 11 \u00e5r\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f26\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilket x-v\u00e4rde f\u00f6ljande r\u00e4ta linjer sk\u00e4r varandra \\\$y=-3x+8\\\$ och \\\$y=2x-2\\\$`,\n svar: \"\\\$x=2\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f27\"\n},\n{\n fraga: `Para ihop ekvationerna med graferna. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-09-064641.png\">`,\n svar: \"5.\t1-D, 2-C, 3-A, 4-B\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"grafer\"],\n kod: \"f28\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s olikheten \\\$3x+4<2x+10\\\$`,\n svar: \"\\\$x<6\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f29\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en linj\u00e4r funktion \\\$f(x)\\\$ vet du att \\\$f(a+7)=f(a)+21\\\$ Best\u00e4m \\\$k\\\$-v\u00e4rdet f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ `,\n svar: \"\\\$k=3\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f30\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4t linje \\\$f(x)\\\$ vet du att den sk\u00e4r \\\$y\\\$-axeln i \\\$y=5\\\$. Du vet ocks\u00e5 att \\\$f(a+1)=5\\\$ samt \\\$f(a-3)=-5\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen.`,\n svar: \"\\\$f(x)=\\\\frac{5}{2}x+5\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f31\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s olikheten \\\$10x+12<5x+22\\\$`,\n svar: \"\\\$x<2\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f32\"\n},\n{\n fraga: `Joakim definierar den r\u00e4ta linjen \\\$y=4x+10\\\$ <\/p> a) Best\u00e4m en r\u00e4t linje som \u00e4r parallell med Joakims linje <\/p> b) Best\u00e4m en r\u00e4t linje som \u00e4r vinkelr\u00e4t med Joakims linje `,\n svar: \"a) Till exempel \\\$y=4x+1\\\$ b) Till exempel \\\$y=-\\\\frac{x}{4}+1\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f33\"\n},\n{\n fraga: `En r\u00e4t linje p\u00e5 formen \\\$y=-3x+m\\\$ g\u00e5r igenom punkten (2,6). Best\u00e4m m-v\u00e4rdet f\u00f6r den r\u00e4ta linjen`,\n svar: \"\\\$m=12\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f34\"\n},\n{\n fraga: `En exponentiell funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=C\\\\cdot a^x\\\$ vet du att \\\$f(0)=20\\\$ Best\u00e4m d\u00e5 konstanten \\\$C\\\$`,\n svar: \"\\\$C=20\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f35\"\n},\n{\n fraga: `Det l\u00e4cker i en tunna med vatten. M\u00e4ngden vatten g\u00e5r att beskriva med funktionen\n\ud835\udc53(\ud835\udc61) = 500 \u2212 10\ud835\udc61 d\u00e4r \ud835\udc61 \u00e4r tiden i timmar och \ud835\udc53(\ud835\udc61) \u00e4r m\u00e4ngden vatten.<\/p> a) Efter hur m\u00e5nga timmar \u00e4r tunnan tom?<\/p> b) Best\u00e4m definitionsm\u00e4ngden och v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r \\\$f(t)\\\$`,\n svar: `a) 50 timmar b) Definitionsm\u00e4ngd \\\$0\\\\leq x \\\\leq 50\\\$ V\u00e4rdem\u00e4ngd \\\$0\\\\leq y \\\\leq500\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f36\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du en del av grafen till \\\$f(x)\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a)Best\u00e4m \\\$f(4)\\\$ <\/p> b) L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=1\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-111235.png\">`,\n svar: `a) \\\$f(4)=2\\\$b) \\\$x=1\\\$ `,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f37\"\n},\n{\n fraga: `Grafen nedan \u00e4r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=Ca^x\\\$ Best\u00e4m konstanterna \\\$C\\\$ och \\\$a\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-094921.png\">`,\n svar: `\\\$C=3, a=1,41\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"grafer\", \"exponential\"],\n kod: \"f38\"\n},\n{\n fraga: `Virussjukdomen Polio har minskat exponentiellt i ett omr\u00e5de de senaste \u00e5ren. 2008 bekr\u00e4ftades av WHO (V\u00e4rldsh\u00e4lsoorganisationen) 1651 fall av Polio, 2023 var det bara 12 st. Om man antar att minskningen g\u00e5r att uttrycka exponentiellt enligt \\\$P(t)\\\$. Hur m\u00e5nga procent minskade antalet bekr\u00e4ftade fall av Polio med varje \u00e5r fr\u00e5n 2008 enligt funktionen? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-181827.png\">`,\n svar:`Minskade med 28% per \u00e5r.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f39\"\n},\n{\n fraga: `Joakim h\u00e4ller upp en kopp kaffe. Efter 7 minuter har 40% av den ursprungliga v\u00e4rmen i kaffet f\u00f6rsvunnit. Hur l\u00e5ngt tar det till att ursprungsv\u00e4rmen p\u00e5 kaffet har minskat med 60%. Anta av v\u00e4rmen avtar exponentiellt.`,\n svar:`Ungef\u00e4r 12,5 minuter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f40\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4t linje vet du att k-v\u00e4rdet \u00e4r 3 och sedan vet du att \\\$f(a)=3\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 \\\$f(a+2)\\\$`,\n svar:`\\\$f(a+2)=9\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f41\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en exponentiell funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=C \\\\cdot a^x\\\$. Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ om du vet att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$f(x+1)=\\\\frac{1}{2}\\\\cdot f(x)\\\$`,\n svar:`\\\$a=\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"exponential\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f42\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar funktionerna \\\$f(x)=4x+1\\\$ och \\\$g(x)=-2x-2\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 \\\$f(g(x))\\\$`,\n svar:`\\\$f(g(x))=-8x-7\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f43\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2\\\$ f\u00f6r vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$x\\\$ \u00e4r \\\$f(x)=16\\\$`,\n svar:`\\\$x=\\\\pm4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f44\"\n},\n{\n fraga: `Para ihop graferna med f\u00f6ljande funktionsekvationer<\/p> \\\$f(x)=1,3^x\\\$ <\/p> \\\$g(x)=2\\\\cdot 0,5^x\\\$ <\/p> \\\$h(x)=2\\\\cdot 1,5^x\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-194804.png\">`,\n svar:`\\\$f(x)\\\$ \u00e4r bl\u00e5, \\\$g(x)\\\$ \u00e4r gr\u00f6n, \\\$h(x)\\\$ \u00e4r r\u00f6d`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\", \"exponential\"],\n kod: \"f45\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar funktionerna \\\$f(x)=2x+1\\\$ och \\\$g(x)=-x-8\\\$. L\u00f6s ekvationen \\\$f(g(x))=1\\\$`,\n svar:`\\\$x=-8\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f46\"\n},\n{\n fraga: `Unders\u00f6k f\u00f6r vilka r\u00e4ta linjer f\u00f6ljande samband g\u00e4ller \\\$f(a\\\\cdot x)=a\\\\cdot f(x)\\\$ d\u00e4r \\\$a\\\$ \u00e4r ett heltal skilt fr\u00e5n 0`,\n svar: `Det g\u00e4ller alla funktioner p\u00e5 formen \\\$f(x)=kx\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f47\"\n},\n{\n fraga: `Funktionen \\\$f(x)=x^2+1\\\$ \u00e4r given. Unders\u00f6k om det finns n\u00e5got \\\$a\\\$ s\u00e5dan att \\\$f(a+2)=f(a-1)\\\$`,\n svar: `\\\$a=-\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-211937.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\",\"potensfunktioner\"],\n kod: \"f48\"\n},\n{\n fraga: `Antalet \u00e5lar har minskat kraftigt under m\u00e5nga \u00e5r. Om man j\u00e4mf\u00f6r med 1950 finns idag bara 3% av best\u00e5ndet kvar. Man r\u00e4knar med att \u00e5lens best\u00e5nd minskar exponentiellt. Konstruera en funktion som beskriver minskningen av antalet \u00e5lar. Hur m\u00e5nga procent av 1950 \u00e5rs best\u00e5nd kommer vara kvar 2050 enligt din modell?`,\n svar: `0,59% av best\u00e5ndet \u00e4r kvar`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f49\"\n},\n{\n fraga: `Ebbingshaus gl\u00f6mskekurva \u00e4r en psykologisk modell f\u00f6r hur vi\ngl\u00f6mmer saker \u00f6ver tid. Modellen anpassas efter vad vi ska\nkomma ih\u00e5g namn i en grupp man inte l\u00e4ngre tr\u00e4ffar. Modellen\ng\u00e5r att beskriva med funktionen <\/p>\n \\\$N(t)=N_0\\\\cdot 0,93^t\\\$ <\/p>\nD\u00e4r \\\$N_0\\\$ \u00e4r antalet namn man kan fr\u00e5n b\u00f6rjan och \ud835\udc61 \u00e4r tiden i \u00e5r.\nBest\u00e4m efter hur m\u00e5nga \u00e5r man enbart vet h\u00e4lften av de namn\nman kunde fr\u00e5n b\u00f6rjan. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-11-082328.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Ungef\u00e4r 9,5 \u00e5r`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f50\"\n},\n{\n fraga: `Transportstyrelsen menar att antalet trafikolyckor d\u00e4r personer blir sv\u00e5rt skadade\nminskar exponentiellt. I och med att s\u00e4kerheten blir b\u00e4ttre i bilar och att teknologin\nf\u00f6rb\u00e4ttrar den m\u00e4nskliga faktorn f\u00f6rv\u00e4ntas allvarliga skador ocks\u00e5 minska. 2020\nskadades 1645 personer sv\u00e5rt i trafikolyckor. Enligt Transportstyrelsens prognos\nkommer det bara vara 1000 sv\u00e5rt skadade \u00e5r 2045.<\/p> \na) Skapa en funktion \ud835\udc53(\ud835\udc61) som beskriver Transportsstyrelsens prognos. \ud835\udc53(\ud835\udc61) ska vara\nantalet allvarligt skadade i trafiken och \ud835\udc61 \u00e4r \u00e5r fr\u00e5n 2020.<\/p>\nb) Efter hur m\u00e5nga \u00e5r \u00e4r olycksantalet 500 sv\u00e5rt skadade?`,\nsvar: `a) \\\$f(t)=1650\\\\cdot 0,98^t\\\$ b) 59 \u00e5r`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f51\"\n},\n{\n fraga: ` Observera funktionerna \ud835\udc53(\ud835\udc65) och \ud835\udc54(\ud835\udc65) nedan.<\/p> a) Funktionen \u210e(\ud835\udc65) definieras som \u210e(\ud835\udc65) = \ud835\udc54(\ud835\udc65) + \ud835\udc53(\ud835\udc65). Best\u00e4m \u210e(4) <\/p> b) Funktionen \u210e(\ud835\udc65) definieras nu som \u210e(\ud835\udc65) = \ud835\udc53(\ud835\udc54(\ud835\udc65)). Best\u00e4m \u210e(4). <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-173238.png\">`,\n svar:`a) \\\$h(4)=4\\\$ b) \\\$h(4)=-2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f52\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim har hyra en bil f\u00f6r att resa till Vasaloppet och \u00e5ka skidor. Han har tittar p\u00e5 tv\u00e5\nolika bilfirmor. <\/p> <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-092905.png\"> <\/p> Joakim vet att om han hyr bilen i en vecka kommer det inte spela n\u00e5gon roll vilken\nbilfirma han v\u00e4ljer. Hur mycket \u00e4r dagskostnaden f\u00f6r bilfirman B. `,\n svar:`Dagskostnaden \u00e4r 400 kr`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f53\"\n},\n{\n fraga: `Observera listorna f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-174955.png\"> Best\u00e4m ekvationerna f\u00f6r funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$`,\n svar:`\\\$f(x)=3x+4\\\$ och \\\$g(x)=243\\\\cdot (\\\\frac{1}{3})^x\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f54\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en linj\u00e4r funktion vet du att \\\$f(a-1)=1\\\$ samt att \\\$f(a+1)=7\\\$ Best\u00e4m k-v\u00e4rdet f\u00f6r funktionen `,\n svar:`\\\$k=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f55\"\n},\n{\n fraga: `I Joakimk\u00f6ping har befolkning minskat fr\u00e5n 10 000 personer 2014 till 5000 personer\np\u00e5 2024 \u00e5r.<\/p> \na) Konstruera en linj\u00e4r funktion som beskriver befolkningsminskningen fr\u00e5n 2014 <\/p>\nb) Konstruera en exponentiell funktion som beskriver befolkningsminskningen 2014`,\n svar:`a) \\\$y=-500+10000\\\$ b) \\\$y=10000\\\\cdot 0,933^x\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"exponential\"],\n kod: \"f56\"\n},\n{\n fraga: `Hyreskostnaden \ud835\udc3b att bo i en hyresbostad f\u00f6r ett f\u00f6retag g\u00e5r att beskriva med\nfunktionen \ud835\udc3b(\ud835\udc34) = 2500 + \ud835\udc58 \u22c5 \ud835\udc34 d\u00e4r \ud835\udc34 \u00e4r boarean f\u00f6r bostaden och \ud835\udc58 \u00e4r kostnaden\nper kvadratmeter. Best\u00e4m konstanten \ud835\udc58 med hj\u00e4lp av statistiken nedan, tolka ocks\u00e5 i\nord vad \ud835\udc58 betyder. . <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-175633.png\">`,\n svar:`\\\$k\\\$ st\u00e5r f\u00f6r konstnaden p\u00e5 kvadratmeter och \\\$k=50\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f57\"\n},\n{\n fraga: ` Nedan har du funktionen \\\$f(x)\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) \\\$f(4)\\\$ <\/p> b) L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=5\\\$ <\/p> c) Best\u00e4m definitionsm\u00e4ngden f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ <\/p>d) Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ . <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-075751.png\">`,\n svar:`a) \\\$f(4)=3\\\$ b) \\\$x=5\\\$ c) \\\$0\\\\leq x \\\\leq6\\\$ d) \\\$0\\\\leq y \\\\leq 7\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [4,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f58\"\n},\n{\n fraga: ` Nedan har du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ \\\$g(x)\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) \\\$g(1)\\\$ <\/p> b) L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=4\\\$ <\/p> c) Best\u00e4m definitionsm\u00e4ngden f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ <\/p>d) L\u00f6s olikheten \\\$g(x) < f(x)\\\$ . <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-11-080439.png\">`,\n svar:`a) \\\$g(1)=2\\\$ b) \\\$x=2\\\$ c) \\\$0\\\\leq x \\\\leq3\\\$ d) \\\$0 < x < 2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [3,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\",\"olikheter\"],\n kod: \"f59\"\n},\n{\n fraga: `Anv\u00e4nd graferna nedan f\u00f6r att l\u00f6sa ekvationen \\\$f(g(x))=2\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-103720.png\">`,\n svar:`\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f60\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r funktionen \\\$h(x)\\\$ om \\\$h(x)=f(x)+g(x)\\\$. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-184511.png\">`,\n svar:`\\\$10\\\\leq y \\\\leq28\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f61\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen som sk\u00e4r den exponentiella funktionen \\\$f(x)=16\\\\cdot (\\\\frac{1}{2})^x\\\$`,\n svar:`\\\$y=-3x+11\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f62\"\n},\n{\n fraga: `\\\$f(x)=20x-30\\\$ \u00e4r definierad. Best\u00e4m \\\$a\\\$ om \\\$f(a+2)=40\\\$`,\n svar:`\\\$a=\\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f63\"\n},\n{\n fraga: ` F\u00f6r funktionen \\\$f(x)=1,23^x\\\$ placerar vi en punkt l\u00e4ngst med grafen. Fr\u00e5n den punkten dras en r\u00e4t linje till \ud835\udc65-axeln och \ud835\udc66-axeln vilket bildar en rektangel. F\u00f6r vilken punkt \ud835\udc34 skapas en kvadrat? Funktionen \\\$f(x)\\\$ har definitionsm\u00e4ngden 0 \u2264 \ud835\udc65 \u2264 5. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-172358.png\">`,\n svar:`\\\$(1,31; 1,31)\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-211323.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f64\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har tagit fram statistik f\u00f6r skatteint\u00e4kter och befolkningstillv\u00e4xten i staden Joakimk\u00f6ping. Funktionen \ud835\udc46(\ud835\udc4f) beskriver skatteint\u00e4kterna beroende p\u00e5 befolkningen \ud835\udc4f i staden och funktionen \ud835\udc35(\ud835\udc61) beskriver den f\u00f6rv\u00e4ntade befolkningen fr\u00e5n 2024 d\u00e4r \ud835\udc61 \u00e4r antal \u00e5r fr\u00e5n 2024.<\/p> a) Tolka vad man vill ta reda p\u00e5 om man st\u00e4ller upp ekvationen \ud835\udc46(\ud835\udc35(\ud835\udc61)) = 140 <\/p> b) L\u00f6s ekvationen \ud835\udc46(\ud835\udc35(\ud835\udc61)) =140 \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-171217.png\"> `,\n svar:` a) Vilket \u00e5r \u00e4r skatteint\u00e4kterna 140 miljoner <\/p> b)\\\$t=5\\\$ `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f65\"\n},\n{\n fraga: ` Nedan ser du tv\u00e5 r\u00e4ta linjer och en avgr\u00e4nsad area. Om du vet att den ena r\u00e4ta linjen har en riktningskofficient 2 och att linjerna sk\u00e4r varandra i \\\$y=4\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r linje \ud835\udc34 om arean f\u00f6r den markerade triangeln \u00e4r 14 areanenheter. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-153840.png\">`,\n svar:`\\\$y=-5x+14\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f66\"\n},\n{\n fraga: `a) Best\u00e4m den r\u00e4ta linjen i koordinatsystemet\np\u00e5 allm\u00e4n form \\\$ay+bx+c=0\\\$ <\/p> \nb) Best\u00e4m en linje som \u00e4r parallell med linjen i\nKoordinatsystemet p\u00e5 allm\u00e4n form. <\/p>\nc) Best\u00e4m en linje som \u00e4r vinkelr\u00e4t med linjen\ni koordinatsystemet p\u00e5 allm\u00e4n form. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-082548.png\">`,\n svar:`a) \\\$y+3x-5=0\\\$ b)Till exempel \\\$y+3x+7\\\$ c) Till exmepel \\\$y=-\\\\frac{1}{3}x+1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"grafer\"],\n kod: \"f67\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-082530.png\"> Best\u00e4m vilken av graferna A-H som kan beskriva den sammansatta funktionen \\\$g(f(x))\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-082739.png\">`,\n svar:`D`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f68\"\n},\n{\n fraga: `Funktionen \\\$f(x)=C\\\\cdot 2^x\\\$ har definitionsm\u00e4ngden -1<\\\$x\\\$<3. Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r funktionen uttryckt i \\\$C\\\$`,\n svar:`\\\$\\\\frac{C}{2}\\\$ < y < \\\$8C\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f69\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar tv\u00e5 r\u00e4ta linjer \\\$2y+6x-15=15\\\$ och \\\$10x-ay+35=0\\\$ f\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ \u00e4r de r\u00e4ta linjerna <\/p> a) Parallella <\/p> b) Vinkelr\u00e4ta `,\n svar:`a) \\\$a=-\\\\frac{10}{3}\\\$ b) \\\$a=30\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f70\"\n},\n{\n fraga: `Biografen Joakims Bio rymmer 300 personer och \u00e4r alltid fullbokad. Joakim tar 200 kr f\u00f6r en vuxenbiljett och 125 f\u00f6r en barnbiljett <\/p> Om vi antar att biografen \u00e4r fullsatt konstruera en funktion \\\$I(x)\\\$ som beskriver int\u00e4kterna f\u00f6r Joakims Bio beroende p\u00e5 hur m\u00e5nga vuxna som \u00e4r i salongen. Best\u00e4m ocks\u00e5 funktionens v\u00e4rdem\u00e4ngd.`,\n svar:`\\\$I(x)=75x+37500\\\$ och v\u00e4rdem\u00e4ngden 37500 < y < 60000`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f71\"\n},\n{\n fraga: `De amerikanska tr\u00e4den Redwood \u00e4r de tr\u00e4d som blir h\u00f6gst i v\u00e4rlden. Tr\u00e4det Hyperion \u00e4r det h\u00f6gsta uppm\u00e4tta tr\u00e4det p\u00e5 116 meter. Inom tr\u00e4dvetenskapen anv\u00e4nder man f\u00f6ljande funktion f\u00f6r att best\u00e4mma ett Redwood-tr\u00e4ds h\u00f6jd utifr\u00e5n dess diameter. \\\$H(D)=40\\\\cdot D^{\\\\frac{2}{3}}\\\$ d\u00e4r \\\$H(D)\\\$ \u00e4r h\u00f6jden p\u00e5 tr\u00e4den och \\\$D\\\$ \u00e4r diametern p\u00e5 tr\u00e4den, b\u00e5da uttryckt i meter.<\/p> En annan funktion som anv\u00e4nds f\u00f6r att best\u00e4mma ett redwoods-tr\u00e4ds diameter utifr\u00e5n dess \u00e5lder \u00e4r \\\$D(A)=0,1\\\\cdot A^{\\\\frac{3}{5}}\\\$ d\u00e4r \\\$D(A)\\\$ \u00e4r diametern p\u00e5 tr\u00e4det och \\\$A\\\$ \u00e4r \u00e5ldern i \u00e5r.<\/p> a) Best\u00e4m diametern p\u00e5 Hyperion.<\/p> b) Joakim menar att man kan best\u00e4mma ett redwood-tr\u00e4ds h\u00f6jd med hj\u00e4lp av funktionen \\\$H(A)=8,6\\\\cdot A^{\\\\frac{2}{5}}\\\$. Visa hur Joakim tagit fram funktionen \\\$H(A)\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-154636.png\">`,\n svar:`a) 4,94 meter b) Visa med hj\u00e4lp av den sammansatta funktionen`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-211151.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensfunktioner\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f72\"\n},\n{\n fraga: `Fysikern och kemisten Marie Curies anteckningsb\u00f6cker har en stor m\u00e4ngd radioaktivt radium (nuklid 226) p\u00e5 sig. D\u00e4rf\u00f6r f\u00f6rvaras de i ett speciellt sk\u00e5p i Frankrike f\u00f6r att ingen ska skadas av den farliga radioaktiviteten. Radiumk\u00e4rnorna har en halveringstid p\u00e5 1600 \u00e5r. Det inneb\u00e4r att efter 1600 \u00e5r har antalet radiumk\u00e4rnor halverats i f\u00f6rh\u00e5llande till vad det var fr\u00e5n b\u00f6rjan, sedan forts\u00e4tter den processen med halvering var 1600 \u00e5r. Nutidens k\u00e4rnfysiker menar att 99% av radiumk\u00e4rnorna m\u00e5ste f\u00f6rsvinna innan b\u00f6ckerna kan visas f\u00f6r allm\u00e4nheten igen. Hur l\u00e5ng tid kommer det ta? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-165439.png\">`,\n svar: `Ungef\u00e4r 10630 \u00e5r `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-205711.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f73\"\n},\n{\n fraga: `Den bl\u00e5markerande arean \u00e4r 10 areaenheter. Best\u00e4m k-v\u00e4rdet p\u00e5 den r\u00e4ta linjen <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-165418.png\">`,\n svar:`\\\$k=\\\\frac{4}{3}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-205857.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"grafer\"],\n kod: \"f74\"\n},\n{\n fraga: ` Nedan ser du 3 kvadrater med olika areor som \u00e4r inskrivna i ett koordinatsystem. Du ser ocks\u00e5 3 punkter som finns som definieras som \ud835\udc431, \ud835\udc432, \ud835\udc433.<\/p> a) Best\u00e4m den r\u00e4ta linje som g\u00e5r igenom samtliga tre punkter. <\/p> b) Visa att ingen exponentiell funktion kan g\u00e5 igenom samtliga tre punkter <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-165514.png\">`,\n svar:`a) \\\$y=x+a\\\$ b) Unders\u00f6k de olika fallen och visa sedan att de inte kan g\u00e5 igenom de olika punkterna.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,4],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-210039.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"grafer\", \"exponential\"],\n kod: \"f75\"\n},\n{\n fraga: `En exponentiell funktion \\\$g(x)\\\$ har f\u00f6ljande samband <\/p> \\\$g(0)=4\\\$ <\/p> \\\$\\\\frac{g(102)}{g(100)}=25\\\$ <\/p> Best\u00e4m funktionen \\\$g(x)\\\$ `,\n svar:`\\\$g(x)=4\\\\cdot 5^x\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-210239.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f76\"\n},\n{\n fraga: ` Det finns en modell f\u00f6r att r\u00e4kna ut st\u00f6rre havslevande djurs l\u00e4ngd i meter utifr\u00e5n dess\nvikt i kg. Modellen \u00e4r f\u00f6ljande \\\$L(V)=0,46\\\\cdot V^{\\\\frac{1}{3}}\\\$ d\u00e4r \\\$L(V)\\\$ \u00e4r l\u00e4ngden i meter och \\\$V\\\$ \u00e4r vikten i kg <\/p> a) En normal bl\u00e5val \u00e4r 23 meter. Best\u00e4m vikten p\u00e5 en s\u00e5dan bl\u00e5val. <\/p> b) Joakim menar att man kan r\u00e4kna ut ett stort\nhavslevande djurs vikt med hj\u00e4lp av dess l\u00e4ngd\nf\u00f6ljande funktion \\\$V(L)=\\\\frac{L^3}{0,097}\\\$ Visa hur Joakim f\u00e5tt fram sin funktion. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-090339.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar:`a) 125000 kg b) L\u00f6s ut V ur formeln. `,\n niva: \"A\",\n poang: [1,1,2], \n digital: true,\n underkategori: [\"potensfunktioner\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f77\"\n},\n{\n fraga: `Tv\u00e5 linjer \u00e4r vinkelr\u00e4ta. Den ena linjen har ekvationen \\\$y=kx+2\\\$ och den andra g\u00e5r igenom punkterna \\\$(1, 2)\\\$ och \\\$(k, 8)\\\$. Best\u00e4m talet \\\$k\\\$`,\n svar: `\\\$k=\\\\frac{1}{7}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f78\"\n},\n{\n fraga: `En exponentiell funktion \\\$f(x)\\\$ g\u00e5r igenom punkterna \\\$(0,4)\\\$ och \\\$(4,100)\\\$ Best\u00e4m funktionen \\\$f(x)\\\$`,\n svar: `\\\$f(x)=4\\\\cdot 2,24^x\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f79\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m den sammansatta funktionen \\\$h(x)=f(g(x))\\\$ p\u00e5 formen \\\$h(x)=Ca^x\\\$ om du vet att \\\$f(x)=5^x\\\$ och \\\$g(x)=x+2\\\$`,\n svar: `\\\$h(x)=25\\\\cdot 5^x\\\$ `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f80\"\n},\n{\n fraga: `En sj\u00f6 b\u00f6rjar bli mer och mer f\u00f6rorenad. De tv\u00e5 olika fiskpopulationerna som finns i\nsk\u00f6n reagerar olika p\u00e5 det. Fisk A finns det 2024 25 000 individer och f\u00f6rv\u00e4ntas\nminska med 3% varje \u00e5r. Fisk B finns det 2024 12 500 individer och f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka\nmed 5% varje \u00e5r. Vilket \u00e5r finns det lika m\u00e5nga individer av respektive population. `,\n svar: `2032 (8,75 \u00e5r efter 2024)`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f81\"\n},\n{\n fraga: `Skriv den r\u00e4ta linjen \\\$2y+4x=10\\\$ p\u00e5 formen \\\$y=kx+m\\\$`,\n svar: `\\\$y=-2x+5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f82\"\n},\n{\n fraga: ` Observera graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$ nedan. <\/p> a) Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r \\\$f(x)\\\$<\/p> b) Best\u00e4m \\\$f(2)\\\$ <\/p> c) Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngd och definitionsm\u00e4ngd f\u00f6r \\\$g(x)\\\$ <\/p> d) L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=g(x)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-093647.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a) \\\$f(x)=-x+4\\\$ b) \\\$f(2)=2\\\$ c) V\u00e4rdem\u00e4ngd: \\\$0 \\\\leq y \\\\leq 4\\\$ Definitionsm\u00e4ngd: \\\$-1 \\\\leq x \\\\leq 2\\\$ d) \\\$x_1=0,x_2=1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [3,2,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f83\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m en r\u00e4t linje som \u00e4r parallell med den r\u00e4ta linjen \\\$3y-2x+11=0\\\$`,\n svar: `Till exempel \\\$y=\\\\frac{2x}{3}+1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f84\"\n},\n{\n fraga: `I ett experiment med bakterier v\u00e4xer en bakteriekultur exponentiellt med 10% varje dag. N\u00e4r bakteriekulturen har v\u00e4xt med 200% m\u00e5ste man avbryta experimentet. Hur l\u00e5ng tid kommer det ta?`,\n svar: `Det kommer ta 11 dagar`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-210504.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f85\"\n},\n{\n fraga: `Kol-14-metoden \u00e4r ett s\u00e4tt att datera hur gammalt n\u00e5got tidigare levande ting \u00e4r. Alla levande varelser har kol i sig och efter att man d\u00f6r tillf\u00f6rs ingen ny kol och kolatomerna b\u00f6rjar d\u00e4rf\u00f6r f\u00f6rsvinna fr\u00e5n den tidigare levande varelsen eller organismen. Det tar kolatomerna 5730 \u00e5r att halveras och d\u00e4refter halveras de igen efter ytterligare 5730 \u00e5r. Man brukar r\u00e4kna med att man kan f\u00e5 en felmarginal p\u00e5 \u00b150 \u00e5r n\u00e4r man r\u00e4knar med kol-14-metoden. 1936 hittade man ett lik i Halland som man numera kallar Bockstensmannen. Med hj\u00e4lp av kol-14-metoden kunde man konstatera att 92% av kolatomerna \u00e5terstod fr\u00e5n n\u00e4r Bockstensmannen dog. Din uppgift nu \u00e4r att best\u00e4mma mellan vilka \u00e5r Bockstensmannen skulle kunna t\u00e4nkas ha d\u00f6tt?`,\n svar: `N\u00e5gonstans mellan 1197 och 1297`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-210626.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f86\"\n},\n\n{\n fraga: `Joakim s\u00f6ker sig till tv\u00e5 f\u00f6retag f\u00f6r att unders\u00f6ka v\u00e4rdef\u00f6r\u00e4ndringen p\u00e5 hans l\u00e4genhet. Han pratar f\u00f6rst med f\u00f6retaget L\u00e4genhetskungen som v\u00e4rderar l\u00e4genheten till 2 miljoner kr 2022 och att l\u00e4genheten ska \u00f6ka i v\u00e4rde med 3% varje \u00e5r. Det andra f\u00f6retaget heter V\u00e4rderingskungen och menar att Joakims l\u00e4genhet \u00e4r v\u00e4rd 2,1 miljoner 2022 och att den kommer \u00f6ka med 3,8% varje \u00e5r. Joakim observerar att det finns en differens mellan v\u00e4rderingarna och vill unders\u00f6ka vad det f\u00e5r f\u00f6r konsekvenser p\u00e5 l\u00e5ng sikt. Efter hur m\u00e5nga \u00e5r kommer v\u00e4rderingsdifferensen vara mer \u00e4n 1 miljon kronor?`,\n svar: `Efter 23 \u00e5r `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f87\"\n},\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$f(3)\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=x^2+2\\\$.`,\n svar: `\\\$f(3)=11\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f88\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$f(x) = 4\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=4x+2\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f89\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{x^2}{2}\\\$. Med hj\u00e4lp av grafen kan man skapa rektanglar som har\nolika areor beroende p\u00e5 vilket \ud835\udc65 man s\u00e4tter in i funktionen. F\u00f6r vilket \ud835\udc65-v\u00e4rde blir rektangelns\narea 81 areaenheter. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-085413.png\">`,\n svar: `\\\$x=4,33\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-085503.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f90\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har k\u00f6pte en bil f\u00f6r 10 000 kr 2023. Bilens v\u00e4rde f\u00f6rv\u00e4ntas minska med 10% varje \u00e5r fram\u00f6ver. Konstruera en funktion \\\$f(x)\\\$ som beskriver prisminskningen efter \\\$x\\\$ \u00e5r fr\u00e5n 2023.`,\n svar: `\\\$f(x)=10000\\\\cdot 0,9^x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"exponential\"],\n kod: \"f91\"\n },\n {\n fraga: `En produkts v\u00e4rde f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka med 3% varje \u00e5r och \u00e4r v\u00e4rd 150 kr idag. Joakim definierar en funktion \\\$f(x)\\\$ som beskriver produktens v\u00e4rde utifr\u00e5n \\\$x\\\$ \u00e5r fr\u00e5n och med idag.<\/p> \n Best\u00e4m funktionen \\\$f(x)\\\$ <\/p> b) Best\u00e4m och tolka \\\$f(5)\\\$`,\n svar: `a) \\\$f(x)=150\\\\cdot 1,03^x\\\$ b)\\\$f(5)=173,9\\\$ Varans v\u00e4rde efter 5 \u00e5r`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"exponential\"],\n kod: \"f92\"\n },\n {\n fraga: `Nedan f\u00f6ljer tv\u00e5 situationer. Din uppgifter \u00e4r att best\u00e4mma om situationen ger upphov till en linj\u00e4r funktion eller en exponentiell funktion<\/p> A<\/b> Joakim har idag en l\u00f6n p\u00e5 20000 kr. L\u00f6nen f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka med 1000 kr per \u00e5r fram\u00f6ver. \\\$f(x)\\\$ Beskriver Joakims l\u00f6n efter \\\$x\\\$ \u00e5r <\/p> B<\/b> Joakim har idag en l\u00f6n p\u00e5 20000 kr. L\u00f6nen f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka med 4% varje \u00e5r fram\u00f6ver \\\$g(x)\\\$ beskriver Joakims l\u00f6n efter \\\$x\\\$ \u00e5r. <\/p> Para ihop r\u00e4tt funktionstyp med r\u00e4tt situation `,\n svar: `A \u00e4r en linj\u00e4r funktion B \u00e4r en exponentiell.`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"exponential\", \"ratalinjer\"],\n kod: \"f93\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r vilka \\\$x\\\$ g\u00e4ller f\u00f6ljande \\\$2x-4 < 4 < 4x\\\$`,\n svar: `\\\$1 < x < 4\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f94\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r tv\u00e5 exponentiella funktioner \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$ vet du f\u00f6ljande:<\/p>\n\n<ul>\n <li>\\\$f(0)\\\$ \u00e4r tre g\u00e5nger s\u00e5 stor som \\\$g(0)\\\$<\/li>\n <li>\\\$f(x)\\\$ minskar med \\\$p\\\$% f\u00f6r varje x-steg. \\\$g(x)\\\$ \u00f6kar med \\\$p\\\$% f\u00f6r varje x-steg.<\/li>\n <li>\\\$f(5)=g(5)\\\$<\/li>\n<\/ul>\n\nBest\u00e4m \\\$p\\\$.<\/p>\t\n`,\n svar: `\\\$p=11\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\",\"exponential\"],\n kod: \"f95\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m den sammansatta funktionen \\\$h(x)=f(g(x))\\\$ p\u00e5 formen \\\$h(x)=Ca^x\\\$ om <ul>\n <li>\\\$f(x)=3^x\\\$ <\/li>\n <li>\\\$g(x)=2x+3\\\$ .<\/li>\n\n<\/ul>`,\n svar: `\\\$h(x)=27\\\\cdot 9^x\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f96\"\n},\n{\n fraga: `\tNedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. Vi definierar funktionen \\\$h(x)=f(x)-g(x)\\\$. Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r \\\$h(x)\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-10-15-164626.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `\\\$1 < y < 3\\\$ eller \\\$1 \\\\le y \\\\le 3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f97\"\n},\n{\n fraga: `Funktionen nedan g\u00e5r att skriva p\u00e5 formen \\\$f(x)=Ca^x\\\$ Best\u00e4m f\u00f6ljande.<\/p> \n a) \\\$f(1)\\\$ <\/p>\n b) L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=1\\\$<\/p> \n c) Best\u00e4m konstanterna \\\$a\\\$ och \\\$C\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-10-20-085048.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `a) \\\$f(1)=4\\\$ b) \\\$x=3\\\$ c) \\\$a=\\\\frac{1}{2}\\\$ och \\\$C=8\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [3,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"exponential\", \"grafer\"],\n kod: \"f98\"\n},\n{\n fraga: `I kommunen Joakimk\u00f6ping bor det idag 10 000 personer och det f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka med\n200 personer varje \u00e5r fram\u00f6ver fr\u00e5n 2025. Kommunen har tagit fram statistik kring hur\nmycket skatteint\u00e4kter (i miljoner) som kommunen f\u00e5r in beroende p\u00e5 hur m\u00e5nga som\nbor i kommunen. Konstruera en f\u00f6renklad funktion \\\$S(t)\\\$ som beskriver hur mycket\nskatteint\u00e4kter Joakimk\u00f6ping kommer f\u00e5 med avseende p\u00e5 tiden \\\$t\\\$ fr\u00e5n 2025. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-26-091051.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `\\\$S(t)=2,1t+105\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"ratalinjer\"],\n kod: \"f99\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du en tabell som beskriver en exponentialfunktion \\\$f(x)\\\$. Best\u00e4m vad som ska st\u00e5 i a). <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-26-091615.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `a)=4,44`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f100\"\n},\n{\n fraga: `Antalet elbilar har \u00f6kat exponentiellt i Sverige under\nde senaste \u00e5ren. Hemsidan Alltomelbil.se publicerar\nstatistik kring antalet elbilar i Sverige. 2016 fanns det\n10 000 elbilar i Sverige och 2024 fanns det 400 000\nelbilar. Alltomelbil.se menar att Sverige kommer ha\nmer \u00e4n 1 miljon elbilar redan 2026 om exponentiella\ntrenden forts\u00e4tter. Unders\u00f6k om Alltomelbil.se har r\u00e4tt\ni sin prognos. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-072632.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `Det st\u00e4mmer. Konstruera en exponentiell funktion som beskriver utvecklingen.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-073008.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n kod: \"f101\"\n},\n{\n fraga: `Matcha f\u00f6ljande situationer med vilken graf som beskriver f\u00f6rloppet <\/p> \na) Joakims l\u00f6n \u00f6kar med 2000 kr per \u00e5r och f\u00f6rv\u00e4ntas g\u00f6ra det fram\u00f6ver. \\\$f(t)\\\$ beskriver\nl\u00f6nen utifr\u00e5n tiden \ud835\udc61.<\/p>\nb) Joakim l\u00f6n \u00f6kar med 4% varje \u00e5r och f\u00f6rv\u00e4ntas g\u00f6ra det fram\u00f6ver. \\\$f(t)\\\$ beskriver\nl\u00f6nen utifr\u00e5n tiden \ud835\udc61. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-04-203314.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a)-C och b)-A`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"grafer\"],\n kod: \"f102\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilken\/vilka av f\u00f6ljande grafer g\u00e4ller f\u00f6ljande \\\$f(a)<f(a+1)\\\$ f\u00f6r alla \\\$a\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-04-203254.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `B och C`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"grafer\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f103\"\n},\n{\n fraga: `En l\u00e4genhet f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka i v\u00e4rde exponentiellt fr\u00e5n 2020. 2022 var l\u00e4genheten v\u00e4rd\n1,5 miljoner och 2025 var l\u00e4genheten v\u00e4rd 1,7 miljoner. Hur mycket var l\u00e4genheten\nv\u00e4rd 2020 om vi antar att l\u00e4genhetens v\u00e4rde \u00f6kade exponentiellt.`,\n svar: `1,38 miljoner`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f104\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en funktion \\\$f(x)=a\\\\cdot x^4-20\\\$ vet du att \\\$f(2)=12\\\$.`,\n svar: `\\\$a=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"potensfunktioner\"],\n kod: \"f105\"\n},\n{\n fraga: `Joakim investerade i tv\u00e5 olika fonder 2020. Han investerade 3 g\u00e5nger s\u00e5 mycket i den\nena fonden. Efter 5 \u00e5r visar det sig att den fonden han investerade mer i \u00f6kade med 8%\ni snitt per \u00e5r och den andra fonden \u00f6kade med 6% i snitt per \u00e5r. Det totala v\u00e4rdet f\u00f6r\nfonderna var d\u00e5 20 000 kr.<\/p> \na) Hur mycket investerade Joakim i respektive fond? <\/p>\nb) Vilket \u00e5r kommer det totala v\u00e4rdet vara 30 000 kr?`,\n svar: `a) 3480 b) 10,5 \u00e5r`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"exponential\"],\n kod: \"f106\"\n},\n{\n fraga: ` Markera i ett koordinatsystem det omb\u00e5rde som definieras av f\u00f6ljande begr\u00e4nsningar <\/p> \\\$0 \\\\le x \\\\le 4\\\$ <\/p> \\\$y \\\\le x\\\$ <\/p>`,\n svar: ` <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-152951.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f107\"\n},\n{\n fraga: ` En kvadrat \u00f6kar sin sidl\u00e4ngd f\u00f6r varje minut som g\u00e5r. Fr\u00e5n b\u00f6rjan \u00e4r kvadratens\nsidl\u00e4ngd 0 cm och sedan \u00f6kar den linj\u00e4rt. Efter 12 minuter \u00e4r arean f\u00f6r kvadraten\n16 kvadratcentimeter\n. <\/p> \na) Hur m\u00e5nga cm \u00f6kar kvadratens sidl\u00e4ngd varje minut? <\/p>\nb) Best\u00e4m funktionen \ud835\udc34(\ud835\udc65) som beskriver arean f\u00f6r kvadraten d\u00e4r \ud835\udc65 \u00e4r antalet\nminuter.\n`,\n svar: `a) \\\$\\\\frac{1}{3}\\\$ cm\/minut b) \\\$A(x)=(\\\\frac{x}{3})^2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"potensfunktioner\"],\n kod: \"f108\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du en inskriven rektangel i en halvcirkel d\u00e4r rektangelns h\u00f6rn m\u00e5ste vidr\u00f6ra\ncirkelns ytterkant. Radien f\u00f6r cirkeln \u00e4r 1 l\u00e4ngdenhet. Funktionen \\\$A(x)\\\$ beskriver\nrektangelns area d\u00e4r \ud835\udc65 \u00e4r basen p\u00e5 rektangeln. Best\u00e4m definitionsm\u00e4ngden f\u00f6r \\\$A(x)\\\$\ngenom att anv\u00e4nda bilden nedan. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-155007.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$0 \\\\le x \\\\le 2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f109\"\n},\n{\n fraga: ` Vi definierar den r\u00e4ta linjen \\\$2y+4x+a=10\\\$ <\/p> a)Best\u00e4m \\\$a\\\$ om den r\u00e4ta linjen g\u00e5r igenom punkten \\\$(2, 5)\\\$ <\/p> b) Unders\u00f6k om v\u00e5r definierade r\u00e4ta linje \u00e4r parallell med \\\$y=2x+5\\\$ `,\n svar: `a) \\\$a=-8\\\$ b) De \u00e4r inte parallella.`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f110\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. Best\u00e4m antalet l\u00f6sningar till ekvationen \\\$f(x)-g(x)=0\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-12-103306.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `3 st.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"grafer\"],\n kod: \"f111\"\n},\n{\n fraga: `Joakim ritar upp den r\u00e4ta linjen \\\$y=-3x+10\\\$ och den r\u00e4ta linjen \\\$30x+10y-100=0\\\$ i geogebra. Han blir bara lite f\u00f6rvirrad. Han ser bara en r\u00e4t linje. F\u00f6rklara f\u00f6r Joakim vad det beror p\u00e5. `,\n svar: `De \u00e4r samma r\u00e4ta linje`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f112\"\n},\n{\n fraga: `Om du vet att \\\$f(x)=x+5\\\$ har definitionsm\u00e4ngden \\\$0 < x < 3\\\$ samt att \\\$g(x)=x^2\\\$. Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r funktionen \\\$g(f(x))\\\$`,\n svar: `\\\$25 < y < 64\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f113\"\n},\n{\n fraga: `Joakim h\u00e4ller upp en kopp kaffe. Efter 7 minuter har 40% av den ursprungliga v\u00e4rmen i kaffet f\u00f6rsvunnit. Hur l\u00e5ngt tar det innan ursprungsv\u00e4rmen har minskat med 70%. Anta av v\u00e4rmen avtar exponentiellt. `,\n svar: `Ungef\u00e4r 16,5 minuter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true, \n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f114\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet av \\\$f(x) = 5x - 4\\\$ n\u00e4r \\\$x = 3\\\$.`,\n svar: `\\\$f(3) = 11\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f115\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r funktionen \\\$f(x) = 3x + 2\\\$, best\u00e4m \\\$x\\\$ s\u00e5 att \\\$f(x) = 17\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f116\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4t linje g\u00e5r igenom punkterna \\\$(0, 4)\\\$ och \\\$(2, 10)\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen.`,\n svar: `\\\$y = 3x + 4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f117\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$k\\\$-v\u00e4rdet f\u00f6r den r\u00e4ta linjen som g\u00e5r genom punkterna \\\$(1, 2)\\\$ och \\\$(5, 10)\\\$.`,\n svar: `\\\$k = 2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f118\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4t linje har ekvationen \\\$y = -2x + 7\\\$. Best\u00e4m var linjen sk\u00e4r \\\$y\\\$-axeln.`,\n svar: `I punkten \\\$(0, 7)\\\$ (eller \\\$y = 7\\\$)`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f119\"\n },\n {\n fraga: `Unders\u00f6k om punkten \\\$(3, 11)\\\$ ligger p\u00e5 linjen \\\$y = 4x - 1\\\$.`,\n svar: `Ja, den ligger p\u00e5 linjen`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f120\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4t linje har \\\$k\\\$-v\u00e4rdet \\\$3\\\$ och g\u00e5r igenom punkten \\\$(2, 9)\\\$. Best\u00e4m linjens \\\$m\\\$-v\u00e4rde.`,\n svar: `\\\$m = 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f121\"\n },\n {\n fraga: `Tv\u00e5 r\u00e4ta linjer \u00e4r parallella. Den ena linjen har ekvationen \\\$y = 5x - 2\\\$. Ange ett f\u00f6rslag p\u00e5 ekvationen f\u00f6r den andra linjen.`,\n svar: `Till exempel \\\$y = 5x + 1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f122\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s olikheten \\\$4x - 3 < 13\\\$.`,\n svar: `\\\$x < 4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f123\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s olikheten \\\$2x + 5 > 5x - 4\\\$.`,\n svar: `\\\$x < 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2, 0, 0],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f124\"\n },\n {\n fraga: `En exponentiell funktion skrivs p\u00e5 formen \\\$y = C \\\\cdot a^x\\\$. Best\u00e4m startv\u00e4rdet \\\$C\\\$ om du vet att \\\$y = 500\\\$ n\u00e4r \\\$x = 0\\\$.`,\n svar: `\\\$C = 500\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f125\"\n },\n {\n fraga: `Ett kapital p\u00e5 \\\$10\\\\ 000\\\$ kr s\u00e4tts in p\u00e5 ett bankkonto med \u00e5rsr\u00e4ntan \\\$2\\\\%\\\$. Formulera en funktion \\\$K(t)\\\$ som beskriver kapitalet efter \\\$t\\\$ \u00e5r.`,\n svar: `\\\$K(t) = 10000 \\\\cdot 1,02^t\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f126\"\n },\n {\n fraga: `V\u00e4rdet p\u00e5 en moped minskar med \\\$15\\\\%\\\$ varje \u00e5r. Den k\u00f6ptes ny f\u00f6r \\\$20\\\\ 000\\\$ kr. St\u00e4ll upp en funktion \\\$V(x)\\\$ som visar mopeden v\u00e4rde efter \\\$x\\\$ \u00e5r.`,\n svar: `\\\$V(x) = 20000 \\\\cdot 0,85^x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f127\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilket \\\$x\\\$-v\u00e4rde de tv\u00e5 r\u00e4ta linjerna \\\$y = 2x + 1\\\$ och \\\$y = -x + 7\\\$ sk\u00e4r varandra.`,\n svar: `\\\$x = 2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f128\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r funktionen \\\$f(x) = x^2 - 3\\\$, ber\u00e4kna \\\$f(-4)\\\$.`,\n svar: `\\\$f(-4) = 13\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f129\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$f(x) = 25\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x) = x^2\\\$.`,\n svar: `\\\$x = \\\\pm 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f130\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4t linje sk\u00e4r \\\$x\\\$-axeln i \\\$x = 3\\\$ och har \\\$m\\\$-v\u00e4rdet \\\$6\\\$. Best\u00e4m linjens ekvation.`,\n svar: `\\\$y = -2x + 6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f131\"\n },\n {\n fraga: `Givet funktionerna \\\$f(x) = 3x\\\$ och \\\$g(x) = x + 4\\\$, best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$f(2) + g(3)\\\$.`,\n svar: `\\\$13\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f132\"\n },\n {\n fraga: `Skriv om den r\u00e4ta linjen \\\$2y - 6x + 4 = 0\\\$ p\u00e5 k-form (\\\$y = kx + m\\\$).`,\n svar: `\\\$y = 3x - 2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f133\"\n },\n {\n fraga: `En taxiresa kostar en grundavgift p\u00e5 \\\$45\\\$ kr plus \\\$15\\\$ kr per kilometer. Formulera en funktion \\\$K(x)\\\$ f\u00f6r totalkostnaden som funktion av str\u00e4ckan \\\$x\\\$ i km.`,\n svar: `\\\$K(x) = 15x + 45\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f134\"\n }\n ],\n\n sannolikhet: [\n {\n fraga: `En t\u00e4rning kastas. Vad \u00e4r sannolikheten att f\u00e5 en sexa?`,\n svar: `\\\$\\\\tfrac{1}{6}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s1\"\n },\n {\n fraga: `Vad \u00e4r sannolikheten att du sl\u00e5r tv\u00e5 sexor i rad om du har sexsidiga t\u00e4rningar?`,\n svar: \"(\\\$\\\\frac{1}{36}\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s2\"\n},\n {\n fraga: `Joakim kastar staffkast i basket. Joakim har 60% chans att s\u00e4tta en kast.<\/p> a) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim s\u00e4tter tv\u00e5 kast i rad? <\/p> Vad \u00e4r sannolikheten att p\u00e5 3 kast att Joakim har satt 1 och missat 2?`,\n svar: \"a) 36% b) 28,8%\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s3\"\n},\n {\n fraga: `Joakim k\u00f6per 3 trisslotter. Det \u00e4r \\\$\\\\frac{1}{3}\\\$ sannolikhet att det \u00e4r vinst p\u00e5 en lott. <\/p> a) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim vinner p\u00e5 alla lotter? <\/p> b) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim vinner p\u00e5 minst 1 lott?`,\n svar: \"a) 3,7% b) 70%\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s4\"\n},\n {\n fraga: `Joakim har en sk\u00e5l med 10 kulor. 3 av kulorna \u00e4r bl\u00e5, 3 \u00e4r r\u00f6da och 4 \u00e4r svarta. <\/p> a) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim plockar upp en svart kula? <\/p> b) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim plockar upp tv\u00e5 kulor av samma f\u00e4rg?`,\n svar: \"a) 40% b) 26,6%\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s5\"\n},\n {\n fraga: `I en l\u00e5da ligger det 7 vita och 10 svarta bollar. Vad \u00e4r sannolikheten att <\/p> a) Joakim plockar upp tv\u00e5 vita bollar? <\/p> b) Joakim plockar upp etv\u00e5 bollar och en \u00e4r svart och en vit?`,\n svar: \"a) 15% b) 51%\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s6\"\n},\n {\n fraga: `Observera kalkylarket nedan.\n <\/p> a) Best\u00e4m vilken formel som Joakim har skrivit i D2 f\u00f6r att f\u00e5 fram sitt resultat<\/p> b) Best\u00e4m vilken formel som Joakim har skrivit i J2 f\u00f6r att f\u00e5 fram sitt resultat <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmavbild-2025-09-25-kl.-17.43.38.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: \"a) =A2*0,7 b) =D2+B2-H2\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"statistik\"],\n kod: \"s7\"\n},\n {\n fraga: `I ett land \u00e4r det riksdagsval om n\u00e5gra veckor. Man har gjort en valunders\u00f6kning f\u00f6r att\nunders\u00f6ka om partikonstellationen Parti A, Parti B och Parti C kan f\u00e5 majoritet i\nriksdagen. Unders\u00f6kningen visar f\u00f6ljande. Unders\u00f6k om det \u00e4r statistiskt signifikant att partikonstellationen f\u00e5r majoritet enligt\nvalunders\u00f6kningen. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-071707.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: \"Det \u00e4r inte statisiskt signifikant att de f\u00e5r majoritet.\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"statistik\"],\n kod: \"s8\"\n},\n {\n fraga: `Joakim utmanar sin kompis p\u00e5 fotbollsstraffar. Sannolikheten att Joakim s\u00e4tter en straff\n\u00e4r 25%. De ska sl\u00e5 3 straffar var. Joakims alla utfall beskrivs av tr\u00e4ddiagrammet nedan.<\/p> \na) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim missar alla sina straffar? <\/p> \nb) Joakim p\u00e5st\u00e5r att det \u00e4r lika stor sannolikhet att han missar tv\u00e5 och sen s\u00e4tter en som\natt han s\u00e4tter en och sedan missar tv\u00e5. Unders\u00f6k och motivera om han har r\u00e4tt. <\/p> \nc) Joakims kompis fick b\u00f6rja och satte 1 straff. Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim s\u00e4tter\nfler straffar? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-075609.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: \"a) 42% b) Samma ber\u00e4kning d\u00e4rav \u00e4r det samma sannolikhet c) 15,6%\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s9\"\n},\n {\n fraga: `Joakim ska spela p\u00e5 lotto. P\u00e5 lotteriet \u00e4r sannolikheten att man vinner minst en vinst p\u00e5 3 lotter 51,2%. Vad \u00e4r sannolikheten att vinna p\u00e5 en lott? `,\n svar:`21%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-26-092602.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s10\"\n},\n{\n fraga: `Vad \u00e4r sannolikheten att du f\u00e5r minst tv\u00e5 sexor om du sl\u00e5r en sexsidig t\u00e4rning sex g\u00e5nger?`,\n svar:`26%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-26-091742.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s11\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim singlar slant. Det finns tv\u00e5 m\u00f6jliga utfall: antingen krona eller klave.<\/p> a) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim f\u00e5r minst en krona om han singlar fem g\u00e5nger? <\/p> b) Skriv ett uttryck f\u00f6r sannolikheten att f\u00e5 minst en krona om man singlar \ud835\udc5b g\u00e5nger.`,\n svar:`a) \\\$\\\\frac{31}{32}\\\$ b) \\\$1-(\\\\frac{1}{2})^x\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s12\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim ska ta ett beslut i livet som det \u00e4r 40% chans att han f\u00e5r r\u00e4tt p\u00e5. Han kan ta beslutet sj\u00e4lv eller s\u00e5 kan han ge beslutet till sina 3 b\u00e4sta v\u00e4nner som d\u00e5 ocks\u00e5 har 40% chans att ta r\u00e4tt beslut. Joakim kommer d\u00e5 ta det beslutet som majoriteten av hans kompisar v\u00e4ljer (alla kompisar v\u00e4ljer enskilt). Unders\u00f6k om det \u00e4r b\u00e4st att Joakim tar beslutet sj\u00e4lv eller ger beslutet till sina kompisar.`,\n svar:`Det \u00e4r b\u00e4ttre att Joakim tar beslutet sj\u00e4lv eftersom Joakim har 40% chans att f\u00e5 r\u00e4tt och kompisarna har 35,2% chans att g\u00f6ra r\u00e4tt`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s13\"\n},\n{\n fraga: ` a) Det nyskapade Joakimpartiet vill komma in i kommunfullm\u00e4ktige i Lund. Det kr\u00e4vs 3% f\u00f6r att komma in. Under en valunders\u00f6kning som genomf\u00f6rde i maj fick Joakimpartiet 2,6% av r\u00f6sterna. Unders\u00f6kningen hade en felmarginal p\u00e5 \u00b10,5\nprocentenheter. Best\u00e4m om det \u00e4r statistiskt s\u00e4kerst\u00e4llt att Joakimpartiet inte kommer in i kommunfullm\u00e4ktige. <\/p>\nb) I juli gjorde man en ny unders\u00f6kning d\u00e4r Joakimpartiet fick 3,4% av r\u00f6sterna.\nValunders\u00f6kningen hade samma felmarginal som unders\u00f6kningen i maj. Best\u00e4m om\ndet \u00e4r statistiskt signifikant att Joakimpartiet kommer in i kommunfullm\u00e4ktige och \u00e4r\n\u00f6kningen f\u00f6r partiet statistisk signifikant?`,\n svar:`a) Det \u00e4r inte statistiskt s\u00e4kerst\u00e4llt att Joakimpartiet inte kommer in. b) Det \u00e4r inte statistiskt s\u00e4kerst\u00e4llt att de kommer in eller att en \u00f6kning har skett.`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"statistik\"],\n kod: \"s14\"\n},\n {\n fraga: `Beskriv i ord vad f\u00f6ljande spridningsdiagram s\u00e4ger om korrelationen. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-25-154827.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `1. Positiv korrelation, 2. Ingen korrelation, 3. Svag negativ korrelation, 4. Negativ korrelation.`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"statistik\"],\n kod: \"s15\"\n },\n {\n fraga: `Tv\u00e5 mynt kastas. Vad \u00e4r sannolikheten f\u00f6r tv\u00e5 krona?`,\n svar: `\\\$\\\\tfrac{1}{4}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s16\"\n },\n {\n fraga: `I en p\u00e5se med 10 kulor finns det 4 svarta, 6 bl\u00e5a <\/p>\n\na)\tBest\u00e4m sannolikheten att om man plockar upp tv\u00e5 kulor att de \u00e4r av samma f\u00e4rg. <\/p>\n\nb)\tJoakim l\u00e4gger i ett ok\u00e4nt antal r\u00f6da kulor. Sannolikheten att plocka tv\u00e5 av samma f\u00e4rg \u00e4r nu 30%. Hur m\u00e5nga kulor la Joakim till?\n`,\n svar: `a) 47,7% b) 6 st `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s17\"\n },\n {\n fraga: `I en sk\u00e5l finns det 10 kulor med tv\u00e5 olika f\u00e4rger. Joakim tar ner sin hand och plockar\nupp en kula, l\u00e4gger tillbaka den, blandar om och sedan plockar upp en kula igen. Hur\nm\u00e5nga kulor finns det av respektive f\u00e4rg om sannolikheten att Joakim har plockat upp\ntv\u00e5 av samma f\u00e4rg \u00e4r 52%. \n`,\n svar: `6 respektive 4`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s18\"\n },\n {\n fraga: `P\u00e5v\u00e4g till jobbet passerar Joakim 3 trafikljus. Joakim vet att trafikljusen \u00e4r gr\u00f6na 60%\nav tiden och resterande r\u00f6da. Trafikljusen lyser helt slumpm\u00e4ssigt. <\/p>\na) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim f\u00e5r r\u00f6tt p\u00e5 samtliga trafikljus <\/p> \nb) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim f\u00e5r r\u00f6tt p\u00e5 enbart ett trafikljus <\/p>\nc) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim f\u00e5r r\u00f6tt p\u00e5 minst ett trafikljus\n`,\n svar: `a) 6,4% b) 19,2% c) 78,4%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,3,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s19\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har gjort tv\u00e5 unders\u00f6kningar som unders\u00f6kte hur m\u00e5nga av Spykens elever\nsom gillade matematik. Unders\u00f6kningen hade en felmarginal p\u00e5 \u00b1 4 procentenheter.\n2024 svarade 68% av eleverna att de gillade matematik och 2025 svarade 74% av de\ngillade matematik. \u00c4r \u00f6kningen statistiskt signifikant?`,\n svar: `\u00d6kningen \u00e4r inte statistisk signifikant eftersom konfidensintervallen \u00f6verlappar`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"statistik\"],\n kod: \"s20\"\n },\n {\n fraga: `P\u00e5 Spyken kan 40% av eleverna spela gitarr, 30% av eleverna kan spela piano och en\nok\u00e4nd andel kan spela bas. Om man v\u00e4ljer en slumpm\u00e4ssig elev p\u00e5 Spyken \u00e4r\nsannolikheten 66,4% av eleven kan spela minst ett av instrumenten ovan. Hur m\u00e5nga\nprocent av Spykens elever kan spela bas? `,\n svar: `20% spelar bas`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true, \n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s21\"\n },\n {\n fraga: `I en l\u00e5da med 3 par olika skor (ett par vita, ett par svarta, ett par r\u00f6da) ska Joakim ta\nupp tv\u00e5 stycken skor. <\/p> \na) Var \u00e4r sannolikheten att Joakim har f\u00e5tt upp ett par i vita skor om han tar tv\u00e5 stycken? <\/p>\nb) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim h\u00e5ller i tv\u00e5 olika skor om han tar tv\u00e5 stycken? `,\n svar: `a) \\\$\\\\frac{1}{15}\\\$ b) \\\$\\\\frac{4}{5}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s22\"\n },\n {\n fraga: `I en bestickl\u00e5da finns 10 gafflar, 10 knivar och 10 skedar. Str\u00f6mmen har g\u00e5tt och det \u00e4r sl\u00e4ckt i rummet. Hur stor \u00e4r sannolikheten att du f\u00e5r ett bestick av varje sort n\u00e4r du slumpm\u00e4ssigt tar tre bestick ur l\u00e5dan?`,\n svar: `17,7%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s23\"\n },\n {\n fraga: `Joakim ska kasta pennor i en papperkorg. Det visar sig att Joakim s\u00e4tter \\\$\\\\frac{5}{8}\\\$ av sina kast. <\/p> \n\n\ta) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim s\u00e4tter tre pennor i rad? <\/p> \n\n\tb) Vad \u00e4r sannolikheten att om Joakim kastar tre pennor att han satt tv\u00e5 och missat en? <\/p>\n\n\tc) Vad \u00e4r sannolikheten att han satt minst en om han kastar tre pennor?`,\n svar: `a) 24% b) 44% c) 95%`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,3,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s24\"\n }\n ],\n\n problemlosning: [\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett uttryck f\u00f6r arean av den gr\u00e5a rektangeln: \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-02-141824.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `\\\$h(19-b)\\\$.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l1\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har 8 km mellan hemmet och skolan. Han befinner sig nu n\u00e5gonstans d\u00e4remellan. \n Antingen g\u00e5r han direkt till skolan eller g\u00e5r hem, h\u00e4mtar sin cykel och cyklar till skolan. \n Han cyklar sex g\u00e5nger s\u00e5 fort som han g\u00e5r. Oavsett vilket alternativ kommer han fram samtidigt. Hur l\u00e5ngt fr\u00e5n skolan \u00e4r Joakim nu?`,\n svar: `\\\$\\\\tfrac{14}{3}\\\\,\\\\text{ km}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-195621.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l2\"\n },\n {\n fraga: ` Joakim s\u00e4tter sig i en taxi f\u00f6r f\u00f6retaget Taxi Lund. Chauff\u00f6ren s\u00e4ger att han har ett startpris p\u00e5 100 kr och sedan 40 kr per km. Joakim vet ett konkurrerande bolag som heter Taxi Axi inte har n\u00e5gon startavgift men kostar 50 kr per km. \n \na) Skriv ett algebraiskt uttryck f\u00f6r Taxi Lunds kostnad om Joakim \u00e5ker \ud835\udc65 antal km. \n\nb) Skriv ett algebraiskt uttryck f\u00f6r Taxi Axis kostnad om Joakim \u00e5ker \ud835\udc65 antal km. \n\nc) F\u00f6r vilket km-antal spelar det ingen roll om Joakim v\u00e4ljer Taxi Axi eller Taxi Lund. St\u00e4ll upp en ekvation och l\u00f6s den.`,\n svar: `a) \\\$100+40x\\\$ b) \\\$50x\\\$ c) 5 km `,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l3\"\n},\n{\n fraga: ` I en idrottsf\u00f6rening var dubbelt s\u00e5 m\u00e5nga flickor som pojkar medlemmar. En fj\u00e4rdedel av flickorna och h\u00e4lften av pojkarna var fotbollsspelare. Hur stor andel av medlemmarna var fotbollsspelare?`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{3}\\\$ av medlemmarna \u00e4r fotbollsspelare`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l4\"\n},\n{\n fraga: `Tv\u00e5 raka cylindrar A och B har samma volym. Radien i cylinder B \u00e4r 10% st\u00f6rre \u00e4n\nradien i cylinder A. Hur mycket st\u00f6rre \u00e4r h\u00f6jden i cylinder A \u00e4n h\u00f6jden i cylinder B?`,\n svar: `21%`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l5\"\n},\n{\n fraga: `Tre p\u00e5 varandra f\u00f6ljande heltal summeras till 42 best\u00e4m det f\u00f6rsta av talen. `,\n svar: `F\u00f6rsta talet \u00e4r 13`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l6\"\n},\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande multiplikation \\\$(1-\\\\frac{1}{2})(1-\\\\frac{1}{3})(1-\\\\frac{1}{4})(1-\\\\frac{1}{5})\\\\cdot...\\\\cdot(1-\\\\frac{1}{99})(1-\\\\frac{1}{100})\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{100}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-214421.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l7\"\n},\n{\n fraga: ` P\u00e5 en buss sitter ett antal personer. P\u00e5 h\u00e5llplats A g\u00e5r \\\$\\\\frac{1}{4}\\\$ av bussen passagerare av samtidigt som det stiger p\u00e5 6 personer. P\u00e5 h\u00e5llplats B stiger det av \\\$\\\\frac{1}{2}\\\$ av bussen passagerare och samtidigt stiger det p\u00e5 7 personer. P\u00e5 h\u00e5llplats C stiger \\\$\\\\frac{1}{5}\\\$ av och ingen stiger p\u00e5 och kvar p\u00e5 bussen \u00e4r 17 personer. Hur m\u00e5nga var p\u00e5 bussen inf\u00f6r stoppet p\u00e5 h\u00e5llplats A?\n`,\n svar: `30 personer`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-12-kl.-18.31.20.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l8\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en triangel vet du att basen \u00e4r dubbelt s\u00e5 l\u00e5ng som h\u00f6jden. Arean f\u00f6r triangeln \u00e4r 100 \\\$cm^2\\\$. Best\u00e4m h\u00f6jden p\u00e5 triangeln`,\n svar: `H\u00f6jden \u00e4r 10 cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l9\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har 49 bl\u00e5a och 3 r\u00f6d godis i en p\u00e5se. Hur m\u00e5nga bl\u00e5a godisar m\u00e5ste Joakim\n\u00e4ta f\u00f6r att de bl\u00e5 ska utg\u00f6ra \\\$\\\\frac{5}{8}\\\$\nav det totala antalet?\n`,\n svar: `44 st`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l10\"\n},\n {\n fraga: `Joakim ska k\u00f6pa tv\u00e5 produkter. I originalpris \u00e4r den ena 4 g\u00e5nger s\u00e5 dyr som den andra. P\u00e5 rea kostar den billigare produkten en tredjedel av originalpriset och den dyrare h\u00e4lften. \n Totalt blir rabatten 800 kr p\u00e5 summan av originalpriserna. Best\u00e4m originalpriset p\u00e5 den billigare produkten.`,\n svar: `300 kr`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-211229.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l11\"\n },\n {\n fraga: `Salthalten i en tunna med vatten \u00e4r 2%. Hur m\u00e5nga procent av vattnet m\u00e5ste avdunsta f\u00f6r att salthalten ska stiga till 7%?.`,\n svar: `71,4%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-091114.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l12\"\n },\n {\n fraga: `Visa att om omkretsen f\u00f6r en kvadrat och cirkel \u00e4r samma kommer kvadratens area alltid vara mindre \u00e4n cirkelns area..`,\n svar: `Fullst\u00e4ndigt bevis. Tips: Skriv uttryck f\u00f6r b\u00e5da figurernas omkrets och visa sedan p\u00e5 f\u00f6rh\u00e5llandet mellan areorna`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l13\"\n },\n {\n fraga: `Joakim och hans flickv\u00e4n springer runt en cirkul\u00e4r bana med omkrets m meter. \n Joakim tar 5 minuter runt banan, flickv\u00e4nnen 4 minuter. De startar fr\u00e5n samma punkt i motsatta riktningar. \n Efter hur l\u00e5ng tid m\u00f6ts de?`,\n svar: `2,22 minuter (ungef\u00e4r)`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-071322.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l14\"\n },\n {\n fraga: ` Joakims kompish\u00e4ng inneh\u00e5ller 12 personer. De ska g\u00e5 och fixa p\u00e5 ett caf\u00e9. V\u00e4l framme best\u00e4mmer sig ett antal personer i g\u00e4nget att de enbart vill ha bulle som kostar 15 kr styck och den andra tar bara kaffe f\u00f6r 10 kr styck. N\u00e4r de slog ihop kostnaden f\u00f6r samtliga betalade de 140 kr. Hur m\u00e5nga k\u00f6pte kaffe respektive bulle p\u00e5 caf\u00e9et?`,\n svar: `4 personer \u00e5t bulle och 8 personer drack kaffe `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l15\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim och hans 2 kompisar Pelle och Victor har alla olika l\u00e4ngd. Pelle \u00e4r 20 cm l\u00e4ngre \u00e4n Joakim och Joakim \u00e4r 10 cm kortare \u00e4n Victor. Om man summerar Joakim, Pelles och Victors l\u00e4ngd f\u00e5r man 555 cm. Hur l\u00e5ng \u00e4r Joakim?`,\n svar: `175 cm `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l16\"\n},\n {\n fraga: `Ulrika ska fylla sin swimmingpool. Hon har tv\u00e5 olika vattenkranar\nsom hon kan anv\u00e4nda n\u00e4r hon fyller poolen. Ulrika vet att om\nman v\u00e4ljer den ena kranen tar det 6 timmar att fylla poolen med\nvatten. Om hon anv\u00a8ander den andra tar det 3 timmar. Idag t\u00e4nker\nhon anv\u00e4nda b\u00e5da vattenkranarna. Hur l\u00e5ng tid kommer det att ta\natt fylla poolen?`,\n svar: `2 timmar`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l17\"\n },\n {\n fraga: `Triangelns h\u00f6jd utg\u00f6r radien i en halvcirkel. Hur stor andel av halvcirkeln t\u00e4cker triangeln? \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-070027.png\" alt=\"Halvcirkel och triangel\">`,\n svar: `\\\$\\\\tfrac{2}{\\\\pi}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l18\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har g\u00e5tt med i en klubb f\u00f6r matematiker. N\u00e4r han gick med fick han f\u00f6ljande\nproblem som intagningsprov. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmavbild-2025-09-19-kl.-06.45.48.png\" alt=\"Halvcirkel och triangel\"> Unders\u00f6k om du kommer med i klubben`,\n svar: `\\\$\\\\tfrac{5}{9}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l19\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m h\u00f6jden av glaset. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmavbild-2025-09-19-kl.-06.48.14.png\">`,\n svar: `14 cm`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l20\"\n },\n {\n fraga: `\tEn kvadrat med sidl\u00e4ngden \\\$x\\\$ minskar sin h\u00f6jd men \u00f6kar sin bredd till en rektangel (enligt bilden nedan). Skriv ett uttryck f\u00f6r l\u00e4ngden \\\$p\\\$ uttryckt i \\\$x\\\$ om arean f\u00f6r kvadraten och den nya rektangeln ska vara lika stora. Figuren \u00e4r inte skalenligt ritad. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-09-093645.png\">`,\n svar: `\\\$p=\\\\frac{x}{4}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l21\"\n },\n {\n fraga: `Sidan p\u00e5 en kvadrat \u00f6kar med 100%. Det g\u00f6r att arean \u00f6kar med 1200 \ud835\udc50\ud835\udc5a2. Best\u00e4m\nl\u00e4ngden p\u00e5 kvadratens sidl\u00e4ngd efter \u00f6kningen.`,\n svar: `40 cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l22\"\n },\n {\n fraga: `En stor rektangel indelad i 7 kvadrater. Den sammanlagda l\u00e4ngden f\u00f6r de gr\u00e5markerade kvadraterna \u00e4r 12 cm. \n Best\u00e4m arean p\u00e5 kvadraten som \u00e4r markerad med A. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-211904.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Arean \u00e4r 81 \\\$cm^{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-212112.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l23\"\n },\n {\n fraga: `\"Joakim har hittat ett m\u00f6nster. Unders\u00f6k om det g\u00e4ller f\u00f6r alla heltal.\" \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-072415.png\" alt=\"M\u00f6nster\">`,\n svar: `Det st\u00e4mmer bra`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-072726.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l24\"\n },\n {\n fraga: `I en djurpark best\u00e5r en flock av 80% alpackor och resten lamor. Efter att 5 alpackor s\u00e4ljs och 10 lamor k\u00f6ps in \u00e4ndras andelen alpackor till 70%. Hur m\u00e5nga djur fanns det ursprungligen?`,\n svar: `Flocken var 85 st`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-214452.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l25\"\n },\n {\n fraga: `En glasflaska fylld till en femtedel v\u00e4ger 560 g. Samma flaska fylld till fyra femtedelar v\u00e4ger 740 g. Hur mycket v\u00e4ger en tom flaska?`,\n svar: `500 gram`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-064648.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l26\"\n },\n {\n fraga: `P\u00e5 ett f\u00f6retag \u00f6kade antalet anst\u00e4llda p\u00e5 ingenj\u00f6rsavdelningen med 10% under ett \u00e5r, medan antalet p\u00e5 marknadsavdelningen minskade med 5%. \n Totalt \u00f6kade antalet p\u00e5 de tv\u00e5 avdelningarna fr\u00e5n 150 till 156 personer. Hur m\u00e5nga fanns ursprungligen p\u00e5 varje avdelning?`,\n svar: `90 ingenj\u00f6rer och 60 p\u00e5 marknadsavdelningen`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-215702.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l27\"\n },\n {\n fraga: `Joakim cyklar till stranden i 30 km\/h och p\u00e5 hemv\u00e4gen 20 km\/h. Vad \u00e4r medelhastigheten f\u00f6r hela resan?`,\n svar: `24 km\/h`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-220528.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l28\"\n },\n {\n fraga: `Triangeln nedan har basen 3 och h\u00f6jden 4. Best\u00e4m sidl\u00e4ngden i kvadraten A: \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-082242.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `\\\$\\\\frac{12}{7}\\\$ l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-082346.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l29\"\n },\n {\n fraga: `Visa att den svartmarkerade arean g\u00e5r att beskriva som \\\$r^{2}(4-\\\\pi)\\\$ d\u00e4r r \u00e4r radien f\u00f6r en cirkel: \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-091334.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Visa att det st\u00e4mmer`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-092344.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l30\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m en formel f\u00f6r f\u00f6ljande m\u00f6nster och unders\u00f6k om n\u00e5gon figur inneh\u00e5ller \\\$16^{3}\\\$ prickar: \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-093525.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Figur 32 (enligt ursprungsfilen)`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-093851.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l31\"\n },\n {\n fraga: `Observera m\u00f6nstret nedan. Vilken figur i ordningen inneh\u00e5ller \\\$3^{6}\\\$ prickar? \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-105945.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Figur 14`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-110352.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l32\"\n },\n {\n fraga: `Observera f\u00f6ljande m\u00f6nster d\u00e4r antalet mindre kvadrater f\u00f6r\u00e4ndras. Lotta menar att\nantalet kvadrater g\u00e5r att beskriva med f\u00f6ljande formel \\\$K=n^2+4n+4\\\$ d\u00e4r \ud835\udc3e \u00e4r\nantalet kvadrater och \ud835\udc5b \u00e4r figuren i ordningen. Visa hur Lotta f\u00e5tt fram sin formel.? \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-180017.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Skriv ett uttryck f\u00f6r rutorna och utveckla sedan det uttrycket`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-180057.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l33\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m en formel f\u00f6r m\u00f6nstret och unders\u00f6k eventuell koppling till \\\$16^{3}\\\$: \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-093525.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Figur 32`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-093851.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l34\"\n },\n {\n fraga: `Nedan visas en cirkel och en inskriven kvadrat. Kvadraten har sidl\u00e4ngden \ud835\udc4e. Best\u00e4m\nett uttryck f\u00f6r arean p\u00e5 cirkeln uttryckt i \ud835\udc4e.\n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-083941.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Arean \\\$=2\\\\pi a^2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l35\"\n }\n ],\n geogebra: [\n {\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation med ditt digitala verktyg \\\$x^5=10\\\$, svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar:`\\\$x=1,58\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n kod: \"g1\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$5,2^x=13,71\\\$ med hj\u00e4lp av ditt digitala hj\u00e4lpmedel. Svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar:`\\\$x=1,59\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n kod: \"g2\"\n},\n{\n fraga: `Rita upp funktionerna \\\$f(x)=x^2\\\$ och \\\$g(x)=2x\\\$ i ditt digitala hj\u00e4lpmedel. Best\u00e4m f\u00f6r vilka \\\$x\\\$ \\\$g(x) > f(x)\\\$`,\n svar:`\\\$0< x <2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true,\n kod: \"g3\"\n},\n {\n fraga: `Vi definierar funktioner \\\$f(x)=3x+2\\\$ och \\\$g(x)=2^x\\\$. L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=g(x)\\\$ med ditt digitala hj\u00e4lpmedel och svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar:`\\\$x_1=-0,42, x_2=3,72\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true,\n kod: \"g4\"\n},\n{\n fraga: `Rita upp funktionerna \\\$f(x)=x^2\\\$ och \\\$g(x)=2x-1\\\$ i ditt digitala verktyg. F\u00f6r vilket\/vilka v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$x\\\$ \u00e4r \\\$f(x)=g(x)\\\$`,\n svar:`\\\$x=1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true,\n kod: \"g5\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$x\\\$ \u00e4r funktionen \\\$-x^2+6x>0\\\$. L\u00f6s uppgiften med ditt digitala hj\u00e4lpmedel.`,\n svar:`\\\$0< x <6\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true,\n kod: \"g6\"\n},\n {\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation med ditt digitala verktyg \\\$5^x=21\\\$, svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar:`\\\$x=1,89\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n kod: \"g7\"\n}\n ]\n },\n\n \/\/ MATEMATIK 1C\n ma1c: {\n algebra: [\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$2x^2 + 3x^2+2x+4x\\\$.`,\n svar: `\\\$5x^2+6x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a1\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket\n \\\$4(x+4)-(x-2)\\\$.`,\n svar: `\\\$3x+18\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a2\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{x}{2}+\\\\frac{x}{3}+\\\\frac{x}{4}=1\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{12}{13}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"linjara\", \"brak\"],\n kod: \"a3\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x^2-16=9\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a4\"\n },\n\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2x + 5 = 11\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a5\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{3x}{4}=\\\\frac{1}{2} \\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{2}{3}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\", \"brak\"],\n kod: \"a6\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{x+2}{x-7}=\\\\frac{3}{10} \\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{-41}{7}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"linjara\", \"brak\"],\n kod: \"a7\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$2\\\\cdot x^{-2}=\\\\frac{2}{9} \\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a8\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{1}{4^{2x}}=8^5\\\$.`,\n svar: `\\\$x=-\\\\frac{15}{4}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080150.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a9\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$1,2\\\\cdot 10^3\\\\cdot x+1,6\\\\cdot 10^3=2,3\\\\cdot 10^3\\\\cdot x-0,4\\\\cdot 10^3\\\$.`,\n svar: `\\\$x=-3,75\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a10\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{1}{x}+\\\\frac{1}{2x}=1\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a11\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x(2x+6)+3x=2x^2+18\\\$.`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a12\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$(x+1)(x+2)=x^2+3\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{1}{3}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a13\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x^2-16=9\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a14\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket\n \\\$x^2+4x^2+5x-x\\\$.`,\n svar: `\\\$5x^2+4x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a15\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket\n \\\$(2x+1)(x-1)-(x+1)\\\$.`,\n svar: `\\\$2x^2-2x-2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a16\"\n },\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycken s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt <\/p> a) \\\$10x+20\\\$ <\/p> b) \\\$2x^2+4x\\\$ <\/p> c) \\\$xy^2+x^2y\\\$ `,\n svar: `\\\$a) 10(x+2) b) 2x(x+2) c) xy(y+x)\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a17\"\n },\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycken s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt <\/p> a) \\\$2x-x^2\\\$ <\/p> b) \\\$25x^2-5x\\\$ <\/p> c) \\\$x^3-x^2\\\$`,\n svar: `\\\$a)\\\$ \\\$x(2-x)\\\$ b) \\\$5x(5x-1)\\\$ c) \\\$x^2(x-1)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a17\"\n },\n\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycken \n \\\$x^2+4x^2+5x-x\\\$.`,\n svar: `\\\$x=5x^2+4x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a18\"\n },\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycket \n \\\$5^{x+2}-5^{2x}\\\$.`,\n svar: `\\\$5^x(25-5^x)\\\$`,\n niva: \"A\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080049.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n poang: [0,0,1],\n \n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a19\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{2}{x}+\\\\frac{1}{2}=\\\\frac{1}{2x} \\\$.`,\n svar: `\\\$x=-3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a20\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m talet a\n \\\$4^{1000}+4^{1000}+4^{1000}+4^{1000}=2^a\\\$`,\n svar: `\\\$a=2002\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080201.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a21\"\n },\n{\n fraga: `Om vi vet att \n \\\$x^2y=4^3\\\$ samt att \\\$xy^2z^3=4^9\\\$. Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$xyz\\\$ p\u00e5 valfri form`,\n svar: `\\\$xyz=2^8=4^4=16^2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080214.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a22\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x(x-10)-(25+x^2)=0 \\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{-5}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a23\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$(x+1)^2=25 \\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=4, x_2=-6\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080057.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a24\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$6^{10}=9^5\\\\cdot2^x \\\$.`,\n svar: `\\\$x=10\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a25\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$(x+4)(x-2)=x^2 \\\$.`,\n svar: `\\\$x=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a26\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x^7=200 \\\$.`,\n svar: `\\\$x=2,13\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a27\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 b\n \\\$\\\\frac{4}{a}-\\\\frac{3+b}{3a}=\\\\frac{10}{4a} \\\$.`,\n svar: `\\\$b=\\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080229.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a28\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$3^{2x}\\\\cdot9^2=3^{10} \\\$.`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a29\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x^2=33^2+44^2\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 55\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080241.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a30\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6renkla det algebraiska uttrycket\n \\\$(\\\\frac{1}{n})^{-1}+ (\\\\frac{1}{n})^{-1}+ (\\\\frac{1}{n})^{-1}\\\$.`,\n svar: `\\\$3n\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080103.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a31\"\n },\n{\n fraga: `Skriv uttrycket \\\$2x+y\\\$ i enbart variabeln y om du vet att \\\$x-3y=10\\\$`,\n svar: `\\\$7y+60\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a32\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{(4x)^2}{4x^2}\\\$`,\n svar: `4`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a33\"\n },\n {\n fraga: `Skriv uttrycket \\\$a-b\\\$ i en variabel om du vet att \\\$a+b=1\\\$`,\n svar: `\\\$1-2b\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a34\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6ljande likhet g\u00e4ller<\/p> \\\$(2x+1)(4-x)=-2x^2+ax+b\\\$ <\/p> Best\u00e4m konstanterna \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ `,\n svar: `\\\$a=7\\\$ och \\\$b=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a35\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+1)(x-1)\\\$`,\n svar: `\\\$x^2-1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a36\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$2y-x+5\\\$ i enbart variabeln \\\$y\\\$ om du vet att \\\$x=y+6\\\$`,\n svar: `\\\$y-1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a37\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x^5-10+x=15+x\\\$.`,\n svar: `\\\$x=1,9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a38\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$4^{x+2}-3\\\\cdot 4^x=13\\\\cdot 2^{x+1}\\\$.`,\n svar: `\\\$x=1\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080256.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a39\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m det positiva talet a\n \\\$a^{\\\\frac{2}{3}}=9\\\$.`,\n svar: `\\\$a=27\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080116.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a40\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x(x+30)=x^2-15\\\$.`,\n svar: `\\\$x=-\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a41\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{1}{x}+\\\\frac{1}{2x}+\\\\frac{1}{3x}=1\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\x=\\\\frac{11}{6}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a42\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \n \\\$16^5\\\\cdot25^5=100^5\\\\cdot32^x\\\$.`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080318.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a43\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \n \\\$\\\\sqrt{16x^2}+\\\\sqrt{36x^2}=100\\\$.`,\n svar: `\\\$x=10\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a44\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m summan \\\$a+b+c\\\$ om du vet att \\\$a=\\\\frac{1}{3}\\\$, \\\$a\\\\cdot b=\\\\frac{2}{9}\\\$ samt \\\$a\\\\cdot b\\\\cdot c=\\\\frac{7}{36}\\\$.`,\n svar: `\\\$a+b+c=\\\\frac{15}{8}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a45\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \n \\\$\\\\frac{4}{x}+\\\\frac{16}{8}=\\\\frac{4+x^2}{2}\\\$.`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a46\"\n },\n {\n fraga: `Om du vet att \\\$x+y=0\\\$ best\u00e4m d\u00e5 kvoten \\\$\\\\frac{x^{2025}}{y^{2025}}\\\$`,\n svar: `Kvoten blir -1`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080123.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a47\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ut variabeln \\\$R\\\$ i f\u00f6ljande formel \\\$\\\\frac{1}{R}=\\\\frac{1}{R_1}+\\\\frac{1}{R_2}\\\$.`,\n svar: `\\\$R=\\\\frac{R_1\\\\cdot R_2}{R_1+R_2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080132.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a48\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^{\\\\frac{1}{5}}=11\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=161051\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n digital: true ,\n kod: \"a49\"\n }, \n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2,5x+10=4,5x\\\$ `,\n svar: `\\\$x=5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n digital: true ,\n kod: \"a50\"\n }, \n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^{\\\\frac{3}{2}}=5\\\$ . Svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar: `\\\$x=2,92\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n digital: true ,\n kod: \"a51\"\n }, \n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$16^x\\\\cdot 5^{4x}=100^{36}\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=18\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a52\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$3(x+6)=4\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=-\\\\frac{14}{3}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a53\"\n},\n {\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck \\\$2x^2+4x\\\$`,\n svar: `\\\$2x(x+2)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a54\"\n},\n {\n fraga: `Vilka av f\u00f6ljande uttryck g\u00e5r att faktorisera?<\/p> \\\$3x^2+6\\\$ <\/p> \\\$x^2+y^2\\\$ <\/p> \\\$x^{99}+x^{100}\\\$`,\n svar: `\\\$3x^2+6\\\$ och \\\$x^{99}+x^{100}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a55\"\n},\n{\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck \\\$y^3x^2+xy^4\\\$`,\n svar: `\\\$xy^3(x+y)\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a70\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\frac{1}{2}(6x+10)=10\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{5}{3}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a56\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+4)(x-2)+8\\\$ .`,\n svar: `\\\$x^2-2x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a57\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$2(x+1)(x-1)\\\$.`,\n svar: `\\\$2x^2-2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a58\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation \\\$\\\\frac{x+6}{x}=13\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a59\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r tv\u00e5 siffror vet du f\u00f6ljande <\/p> Det ena talet \u00e4r dubbelt s\u00e5 stort som det andra <\/p> Om man summerar talen f\u00e5r 24 <\/p> Best\u00e4m talen. `,\n svar: `8 och 16 \u00e4r talen`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a60\"\n},\n{\n fraga: `Joakim l\u00f6ser ekvationen \\\$x^2=36\\\$ och f\u00e5r svaret \\\$x=6\\\$. Hans kompis Victor menar att Joakim har missat en l\u00f6sning. F\u00f6rklara f\u00f6r Joakim varf\u00f6r han har missat en l\u00f6sning.`,\n svar: `Ekvationen har l\u00f6sningen \\\$x= \\\\pm 6\\\$ eftersom om du h\u00f6jer upp \\\$-6\\\$ i 2 kommer du ocks\u00e5 f\u00e5 36. Ekvationen har s\u00e5ledes tv\u00e5 l\u00f6sningar.`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a61\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2=32-x^2\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a62\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$4(x+5)+10=22\\\$`,\n svar: `\\\$x=-2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a63\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(\\\\frac{4}{3})^x=(\\\\frac{2}{3})^x \\\\cdot 2^3\\\$`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a64\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(\\\\frac{1}{4})^x=2^{2x}\\\\cdot 4^{10}\\\$`,\n svar: `\\\$x=-5\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a65\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(4,5x-10=2,5x+12\\\$`,\n svar: `\\\$x=11\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a66\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$3^x+3^x+3^x=81\\\$`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a67\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x+\\\\frac{1}{2})(x-\\\\frac{1}{2})=2\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm \\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a68\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x(x+7)=7x+9\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a69\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilket \\\$x\\\$ \u00e4r f\u00f6ljande algebraiskt uttryck lika med 7<\/p> \\\$3x+28\\\$ <\/p>`,\n svar: `\\\$x=-7\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a71\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilket \\\$x\\\$ \u00e4r f\u00f6ljande tv\u00e5 algebraiska uttryck \\\$4x+10\\\$ och \\\$-2x+22\\\$ lika med varandra?<\/p>`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a72\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanterna \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ om f\u00f6ljande likhet ska st\u00e4mma <\/p> \\\$(2x+1)(4-x)=-2x^2+ax+b\\\$ <\/p>`,\n svar: `\\\$a=7\\\$ och \\\$b=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a73\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ om f\u00f6ljande likhet ska st\u00e4mma <\/p> \\\$(x+a)(x+5)=x^2+7x+10\\\$ <\/p>`,\n svar: `\\\$a=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a74\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x-2)(x+2)=12\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a75\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x(x+2)=x^2-10\\\$`,\n svar: `\\\$x=-5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a76\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har \u00e5ldern \\\$x\\\$ idag, om 3 \u00e5r \u00e4r Joakims pappa dubbelt s\u00e5 gammal som Joakim. Best\u00e4m ett uttryck f\u00f6r Joakims pappas \u00e5lder idag. `,\n svar: `2x-3`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a77\"\n},\n{\n fraga: `Joakims bror \u00e4r 3 \u00e5r \u00e4ldre \u00e4n Joakim. Om 3 \u00e5r \u00e4r deras summerade \u00e5lder 69 \u00e5r. Hur gammal \u00e4r Joakim?`,\n svar: `30 \u00e5r`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a78\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x^4+x)(x^4-2x)=x^8-x^5-18\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a79\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt \\\$(x+2)(x+1)\\\$`,\n svar: `\\\$x^2+3x+2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a80\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt \\\$(x-3)(x+4)\\\$`,\n svar: `\\\$x^2+x-12\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a81\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt \\\$(x+10)(x-1)+10\\\$`,\n svar: `\\\$x^2+9x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a82\"\n},\n{\n fraga: `Joakim menar att \\\$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\\$ Visa att likheten st\u00e4mmer.`,\n svar: `Skriv ut \\\$(a+b)^2\\\$ som tv\u00e5 parenteser. F\u00f6renkla sedan uttrycket och visa att \\\$HL=VL\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a83\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x+2)(x+2)-4x-4=8\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a84\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(2x+2)(2x-2)+4=16\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a85\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$4x^2 + 2x^2 + 7x - 3x\\\$.`,\n svar: `\\\$6x^2+4x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a86\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$3(x+2) - 2(x-1)\\\$.`,\n svar: `\\\$x+8\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a87\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$3x - 4 = 14\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a88\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2 - 9 = 16\\\$.`,\n svar: `\\\$x = \\\\pm 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a89\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\frac{2x}{5} = 4\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 10\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\", \"brak\"],\n kod: \"a90\"\n },\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycket \\\$3x^2 + 9x\\\$.`,\n svar: `\\\$3x(x+3)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a91\"\n },\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycket \\\$4x - 12\\\$.`,\n svar: `\\\$4(x-3)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a92\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x(x+4) = x^2 + 12\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a93\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+3)(x-3)\\\$.`,\n svar: `\\\$x^2 - 9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a94\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$1,5x + 3 = 4,5x - 6\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a95\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^3 = 27\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a96\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$(x+3)(x+2) - 5x\\\$.`,\n svar: `\\\$x^2 + 6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a97\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\frac{x+4}{2} = 7\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 10\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\", \"brak\"],\n kod: \"a98\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r vilket \\\$x\\\$ har det algebraiska uttrycket \\\$5x - 15\\\$ v\u00e4rdet 10?<\/p>`,\n svar: `\\\$x = 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a99\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2 = 50 - x^2\\\$.`,\n svar: `\\\$x = \\\\pm 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a100\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2(x-3) + 4 = 10\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a101\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r vilket \\\$x\\\$ \u00e4r de tv\u00e5 uttrycken \\\$3x + 2\\\$ och \\\$x + 10\\\$ lika med varandra?<\/p>`,\n svar: `\\\$x = 4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a102\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$5a - (2a - 4)\\\$.`,\n svar: `\\\$3a + 4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a103\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^4 = 81\\\$.`,\n svar: `\\\$x = \\\\pm 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a104\"\n },\n {\n fraga: `Ett tal \u00e4r tre g\u00e5nger s\u00e5 stort som ett annat tal.<\/p>Sammantaget \u00e4r talens summa 32.<\/p>Best\u00e4m de tv\u00e5 talen.`,\n svar: `8 och 24`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a105\"\n }\n ],\n\n procent: [\n {\n fraga: `En vara kostar 600 kr och s\u00e4nks med 25%. Vad blir priset?`,\n svar: `450 kr`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n losningsforslag: `Ber\u00e4kna 25% av 600: \\\$0.25 \\\\cdot 600 = 150\\\$. Subtrahera fr\u00e5n 600: 600-150=450`,\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b1\"\n },\n {\n fraga: `Ett belopp \u00f6kar fr\u00e5n 1200 kr till 1500 kr. Hur stor \u00e4r \u00f6kningen i procent?`,\n svar: `25\\\\%`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b2\"\n },\n {\n fraga: `En akties v\u00e4rde var 20 000 kr i slutet av 2025, dess v\u00e4rde f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka\nmed 15% under det f\u00f6rsta halv\u00e5ret, sedan minska med 10% det andra\nhalv\u00e5ret. D\u00e4refter kommer den processen upprepas under de f\u00f6ljande\n\u00e5ren. Ber\u00e4kna v\u00a8ardet p\u00e5 aktien i slutet av 2028`,\n svar: `V\u00e4rdet \u00e4r ungef\u00e4r 22174 kr`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b3\"\n },\n {\n fraga: `En varas v\u00e4rde minskar med 41%. Vilken f\u00f6r\u00e4ndringsfaktor motsvarar det?`,\n svar: `0,59`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b4\"\n },\n {\n fraga: `En varas v\u00e4rde \u00f6kar med 120%. Vilken f\u00f6r\u00e4ndringsfaktor motsvarar det?`,\n svar: `2,2`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b5\"\n },\n {\n fraga: `En aktie v\u00e4ntas \u00f6ka med 50% tv\u00e5 \u00e5r i rad. Vilken blir d\u00e5 den totala f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn`,\n svar: `2,25`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b6\"\n },\n {\n fraga: `Joakim ska unders\u00f6ka hur mycket en varas v\u00e4rde har \u00f6kat de senaste 3 \u00e5ren. Han vet att den \u00f6kade med samma procentsats varje \u00e5r. Han st\u00e4ller upp f\u00f6ljande uttryck f\u00f6r varans v\u00e4rde efter dessa 3 \u00e5r. \\\$150\\\\cdot1,04^3\\\$ Best\u00e4m hur m\u00e5nga procent varans v\u00e4rde \u00f6kade varje \u00e5r.`,\n svar: `4%`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b7\"\n },\n {\n fraga: `Joakim multiplicerar ett tal med f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn 0,21. Mycket minskar talet i procent i och med den f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn `,\n svar: `79%`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b8\"\n },\n {\n fraga: ` Joakim k\u00f6per en bil 2024 med v\u00e4rdet 15 000. 2025 f\u00f6rv\u00e4ntas bilens v\u00e4rde minska med 7%. D\u00e4refter f\u00f6rv\u00e4ntas bilens v\u00e4rde minska med 9% varje \u00e5r fram\u00f6ver. Best\u00e4m ett algebraiskt uttryck f\u00f6r bilens v\u00e4rde V efter t \u00e5r om t \u00e4r antalet \u00e5r fr\u00e5n 2024.`,\n svar: `\\\$V=0,93\\\\cdot0,91^{t-1}\\\$ d\u00e4r t st\u00f6rre eller lika med 1`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b9\"\n},\n {\n fraga: `V\u00e4rdet p\u00e5 en produkt \u00f6kar f\u00f6rst med 12% varje \u00e5r i tre \u00e5r. D\u00e4refter minskar produktens v\u00e4rde med 12% varje \u00e5r i tre \u00e5r. Vilket blir den totala f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn efter dessa sex \u00e5r?`,\n svar: `0,96`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b10\"\n },\n {\n fraga: `Joakim s\u00e4tter in 10000 kr p\u00e5 en fond som kan g\u00e5 upp och ner i v\u00e4rde.\n De f\u00f6rsta 4 \u00e5ren minskar v\u00e4rdet p\u00e5 pengarna med 25%. D\u00e4refter \u00f6kar v\u00e4rdet p\u00e5 pengarna, \n p\u00e5 8 \u00e5r \u00e4r de tillbaka p\u00e5 det ursprungliga v\u00e4rdet. Vilken var den \u00e5rliga f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn de sista 8 \u00e5ren?`,\n svar: `\u00d6kning med ca. 3.66% per \u00e5r (ungef\u00e4r \\\$1.0366\\\$)`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b11\"\n },\n {\n fraga: `I ett land har 80% av befolkningen r\u00e4tt att r\u00f6sta. I ett riksdagsval r\u00f6star 75% av de som har r\u00e4tt att r\u00f6sta. \n Partiet Joakimspartiet f\u00e5r 135 000 r\u00f6ster som motsvarar 8% av alla r\u00f6ster i riksdagsvalet. \n Hur m\u00e5nga m\u00e4nniskor bor det i landet som har r\u00f6str\u00e4tt?`,\n svar: `2 812 500`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b12\"\n },\n {\n fraga: ` Anna fick nya arbetsuppgifter och d\u00e4rigenom en l\u00f6neh\u00f6jning p\u00e5 6 %. N\u00e4sta \u00e5r gick det s\u00e4mre och hon fick en l\u00f6nes\u00e4nkning p\u00e5 2 %. P\u00e5 dessa tv\u00e5 \u00e5r \u00f6kade \u00e4nd\u00e5 hennes l\u00f6n med 1358 kr. Hur stor var Annas l\u00f6n innan hon fick de nya arbetsuppgifterna?`,\n svar: `Ungef\u00e4r 35000 kr`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b13\"\n},\n {\n fraga: `Joakim har k\u00f6pt en klocka. Tyv\u00e4rr minskar klockan 20% i v\u00e4rde f\u00f6rsta \u00e5ret. \n Hur mycket m\u00e5ste klockans v\u00e4rde \u00f6ka i procent det andra \u00e5ret f\u00f6r att klockan ska bli 10% \u00f6ver ink\u00f6pspriset?`,\n svar: `37,5%`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b14\"\n },\n {\n fraga: `V\u00e4rdet p\u00e5 en t-shirt minskar under 6 \u00e5r med 5% varje \u00e5r. Sedan \u00f6kar v\u00e4rdet under 3 \u00e5r\nmed 10% eftersom en k\u00e4nd tiktok-profil anv\u00e4nde den under alla sina videos under\ndessa 3. Hur mycket hade v\u00e4rdet p\u00e5 t-shirten \u00f6kar eller minskat efter dessa 9 \u00e5r?`,\n svar: `Minskat med ungef\u00e4r 2%`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b15\"\n },\n {\n fraga: `V\u00e4rdet p\u00e5 en aktie minskar med lika stor procentsats varje \u00e5r. Efter 10 \u00e5r har aktiens v\u00e4rde halverats. \n Skriv ett f\u00f6renklat uttryck f\u00f6r aktiens v\u00e4rde efter 15 \u00e5r om den hade v\u00e4rdet V fr\u00e5n b\u00f6rjan.`,\n svar: `0.34V`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-213438.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b16\"\n },\n {\n fraga: `En vara med v\u00e4rdet 1000 kr 2024 minskar med 4% varje \u00e5r. Joakim vill veta vilket \u00e5r varan \u00e4r v\u00e4rd en fj\u00e4rdedel av ursprungspriset. \n St\u00e4ll upp ekvationen Joakim m\u00e5ste l\u00f6sa d\u00e4r x \u00e4r antalet \u00e5r (du beh\u00f6ver inte l\u00f6sa den).`,\n svar: `\\\$250 = 1000 \\\\cdot 0.96^{x}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b17\"\n },\n {\n fraga: `Joakim hade \u00e5r 2013 en l\u00f6n p\u00e5 20 000 kr. Varje \u00e5r f\u00e5r han samma procentuella l\u00f6ne\u00f6kning. Efter 10 \u00e5r fick han en tillsammans med den procentuella \u00f6kningen en klumpsumma p\u00e5 5000 kr, d\u00e5 tj\u00e4nar han 45 000 kr. \n Hur stor \u00e4r l\u00f6ne\u00f6kningen i procent per \u00e5r?`,\n svar: `\u00d6kar med ca. 7% varje \u00e5r (uppgiftens data i ursprungsfilen)`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-094329.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b18\"\n },\n {\n fraga: `Joakims flickv\u00e4n tj\u00e4nar 5000 kr mer \u00e4n Joakim. Efter att b\u00e5da har f\u00e5tt en l\u00f6ne\u00f6kning\nmed 4% tj\u00e4nar de tillsammans 67600 kr hur mycket tj\u00e4nar Joakim innan h\u00f6jningen? `,\n svar: `30 000 kr`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b19\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r Joakim investerar lika mycket pengar i tv\u00e5 olika fonder. Den ena fonden \u00f6kar med \\\$p\\\$% varje \u00e5r och den andra \u00f6kar med 4% mer \u00e4n den andra fonden varje \u00e5r.<\/p> Efter 10 \u00e5r har v\u00e4rdet p\u00e5 summan av fonderna \u00f6kat med 100%. Best\u00e4m \\\$p\\\$ <\/p>`,\n svar: `p=5`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b20\"\n },\n {\n fraga: `En blomma som \u00e4r 10 cm l\u00e5ng v\u00e4xer med samma procentsats varje \u00e5r i fyra \u00e5r i rad. Efter dessa fyra \u00e5r \u00e4r blomman 18 cm. Best\u00e4m hur m\u00e5nga procent blomman v\u00e4xte varje \u00e5r. `,\n svar: `15% varje \u00e5r`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b21\"\n },\n {\n fraga: `En bils v\u00e4rde \u00f6kar f\u00f6rst med 10% och sedan minskar med 20%, vilket blir den totala f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn d\u00e5?`,\n svar: `0,88`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b22\"\n },\n {\n fraga: `En produkts v\u00e4rde \u00f6kar med 50% f\u00f6rsta \u00e5ret. Vad ska produktens v\u00e4rde \u00f6ka med i procent f\u00f6r att produktens ska ha \u00f6kat med 100% efter dessa tv\u00e5 \u00e5r.`,\n svar: `\u00d6ka med 33%`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b23\"\n }\n ],\n\n potenser: [\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$x^3 \\\\cdot x^2\\\$.`,\n svar: `\\\$x^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p1\"\n },\n {\n fraga: `Skriv talet 0.001 som en potens med basen 10.`,\n svar: `\\\$10^{-3}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p2\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$2^3+2^2+2^1+2^0\\\$`,\n svar: `\\\$15\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p3\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\sqrt{2}\\\\cdot \\\\sqrt{8}\\\$`,\n svar: `\\\$4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p4\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck i en gemensam bas \\\$3^5\\\\cdot 2^5\\\$`,\n svar: `\\\$6^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p5\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{6x^7}{2x^4}\\\$`,\n svar: `\\\$3x^3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p6\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x^4)^2 \\\\cdot x^2\\\$`,\n svar: `\\\$x^{10}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p7\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna \\\$2^{-2}+2^{-2}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p8\"\n },\n {\n fraga: `Joakim menar att \\\$4^{-2}\\\$ \u00e4r mindre \u00e4n \\\$3^{-2}\\\$ Visa att han har r\u00e4tt`,\n svar: `Joakim har r\u00e4tt. Tips:Skriv om uttrycken till br\u00e5k.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p9\"\n },\n {\n fraga: `Skriv om f\u00f6ljande uttryck till en gemensam bas \\\$2^{3x}\\\\cdot 3^x\\\$`,\n svar: `\\\$24^x\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p10\"\n },\n {\n fraga: `Du vet att \\\$3=p^3\\\$. Best\u00e4m ett potensuttryck i basen \\\$p\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$27\\\\cdot p\\\$ `,\n svar: `\\\$p^{10}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-083737.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p11\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande uttryck till en gemensam bas \\\$27^{2x}\\\\cdot 4^{3x}\\\$`,\n svar: `\\\$6^{6x}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p12\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck i basen 2<\/p> \\\$8^x\\\\cdot 4^x\\\\cdot 2^x\\\$`,\n svar: `\\\$2^{6x}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p13\"\n },\n {\n fraga: `Vilken av f\u00f6ljande potenser \u00e4r st\u00f6rst? \\\$3^{60}\\\$ eller \\\$9^{25}\\\$.`,\n svar: `\\\$3^{60}\\\$ \u00e4r st\u00f6rst. Tips: skriv om i gemensam bas.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p14\"\n },\n {\n fraga: `Vilken av f\u00f6ljande tal \u00e4r inte kvadrat- eller kubiktal?\n a) \\\$3^{10}\\\$ b) \\\$5^{12}\\\$ c) \\\$4^{9}\\\$ d) \\\$6^{13}\\\$.`,\n svar: `d) (Tips: unders\u00f6k vilka du kan skriva om)`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p15\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck i basen 6\n \\\$18^{x}\\\\cdot8^{x}\\\\cdot3^{2x}\\\$.`,\n svar: `\\\$6^{4x}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-083750.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p16\"\n },\n {\n fraga: `Joakim menar att multiplikationen \\\$\\\\sqrt{x}\\\\cdot \\\\sqrt{x} \\\\cdot \\\\sqrt{x}\\\$ \u00e4r samma sak som \\\$x^{\\\\frac{3}{2}}\\\$. Unders\u00f6k om Joakim har r\u00e4tt.`,\n svar: `Joakim har r\u00e4tt. Tips: Skriv om uttrycken som potenser`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p17\"\n },\n {\n fraga: `Hur m\u00e5nga g\u00e5nger st\u00f6rre \u00e4r \\\$4\\\\cdot 2^{3+a}\\\$ \u00e4n \\\$2^a\\\$`,\n svar: `32 g\u00e5nger st\u00f6rre`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-083802.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p18\"\n },\n {\n fraga: `Skriv potensuttrycket som en potens \\\$2^4\\\\cdot2^3\\\\cdot2^2\\\$`,\n svar: `\\\$2^{9}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p19\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$5^0\\\\cdot 5^2-(2^2)^2\\\$`,\n svar: `\\\$9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p20\"\n },\n {\n fraga: `Om \\\$a^{-\\\\frac{1}{2}}=\\\\frac{2}{3}\\\$ Best\u00e4m d\u00e5 \\\$a^2\\\$`,\n svar: `\\\$a^2=\\\\frac{81}{16}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-083756.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p21\"\n },\n {\n fraga: `Skriv potensuttrycket som en potens \\\$\\\\frac{x^3\\\\cdot x^8}{x^6}\\\$`,\n svar: `\\\$x^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p22\"\n }, \n {\n fraga: `Skriv potensuttrycket som en potens \\\$\\\\frac{x^3\\\\cdot x^8}{x^6}\\\$`,\n svar: `\\\$x^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p23\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck som en potens p\u00e5 gemensam bas \\\$\\\\frac{6^{20}}{3^{10}}\\\$`,\n svar: `\\\$12^{10}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p24\"\n },\n {\n fraga: `Joakim menar att f\u00f6ljande likhet g\u00e4ller <\/p> \\\$81^{5}\\\\cdot 3^{10}=27^{10}\\\$ Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt`,\n svar: `Det st\u00e4mmer. Tips: Skriv om alla potenser i gemensam bas`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p25\"\n },\n {\n fraga: `Skriv potensuttrycket som en potens \\\$(x^4)^2\\\\cdot x^2\\\$`,\n svar: `\\\$x^{10}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p26\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vad som ska st\u00e5 i den tomma rutan : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-112958.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Det ska st\u00e5 3`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-113111.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p27\"\n },\n {\n fraga: `Vilket av f\u00f6ljande uttryck \u00e4r st\u00f6rst om \\\$x=\\\\tfrac{\\\\pi}{4}\\\$?\n a) \\\$x\\\$ b) \\\$x^{10}\\\$ c) \\\$x^{-100}\\\$ d) \\\$(\\\\tfrac{1}{x})^{10}\\\$`,\n svar: `Svar: \\\$x^{-100}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p28\"\n },\n {\n fraga: `Visa att talet \\\$2^{64}\\\$ g\u00e5r att skriva p\u00e5 formen \\\$a^a\\\$ d\u00e4r a \u00e4r ett heltal.`,\n svar: `\\\$16^{16}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-210027.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p29\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m antalet siffror f\u00f6ljande tal inneh\u00e5ller: \\\$2^{13}\\\\cdot3^{3}\\\\cdot5^{10}\\\$.`,\n svar: `12 st`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-214005.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p30\"\n },\n {\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\sqrt{45}+\\\\sqrt{20}=\\\\sqrt{125}\\\$ .`,\n svar: `Likheten st\u00e4mmer. Tips: Skriv om kvadratrotsuttrycken `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-213828.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p31\"\n \n},\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande utan minir\u00e4knare \\\$\\\\frac{4444^2}{2222\\\\cdot2222}\\\$`,\n svar: `4`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p32\"\n},\n\n {\n fraga: `Vilket \u00e4r det minsta heltalet n s\u00e5 att \\\$n^{25} > 2^{100}\\\$?`,\n svar: `n = 17`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p33\"\n },\n {\n fraga: `Joakim p\u00e5st\u00e5r att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer:\n \\\$4^{7}+4^{7}+4^{7}+4^{7}=\\\\sqrt{2^{32}}\\\$. Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt.`,\n svar: `Det st\u00e4mmer bra`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-064214.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p34\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{(3x^2)^3}{9x^2}\\\$`,\n svar: `\\\$3x^4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p35\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{(2x)^4}{3^2x^4}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{16}{9}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p36\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck med en gemensam bas \\\$81^x \\\\cdot 2^{4x} \\\\cdot 16^{2x}\\\$`,\n svar: `\\\$24^{4x}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p37\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$2^{-1}+2^{-2}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{3}{4}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p38\"\n },\n {\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande uttryck \u00e4r ett heltal<\/p> \\\$16^{\\\\frac{3}{4}}\\\$<\/p> `,\n svar: `Skriv om 16 till \\\$16=2^4\\\$. Anv\u00e4nd sedan potensreglerna `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p39\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande uttryck som en potens med en gemensam bas \\\$x^{3,6} \\\\cdot x^{4,4}\\\$ `,\n svar: `\\\$x^8\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p40\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$1^0+2^0+3^0+4^0+5^0\\\$ `,\n svar: `5`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p41\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$\\\\frac{25y^9}{5y^4}\\\$.`,\n svar: `\\\$5y^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p42\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna v\u00e4rdet av \\\$3^{-2}\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{9}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p43\"\n },\n {\n fraga: `Skriv talet 100000 som en potens med basen 10.`,\n svar: `\\\$10^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p44\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$(2a^3)^4\\\$.`,\n svar: `\\\$16a^{12}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p45\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$\\\\sqrt{9} + \\\\sqrt{16}\\\$.`,\n svar: `\\\$7\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p46\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck med en gemensam bas \\\$4^3 \\\\cdot 5^3\\\$.`,\n svar: `\\\$20^3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p47\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{10x^8}{5x^2}\\\$.`,\n svar: `\\\$2x^6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p48\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna v\u00e4rdet av \\\$7^0 \\\\cdot 2^3\\\$.`,\n svar: `\\\$8\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p49\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$\\\\frac{a^5 \\\\cdot a^3}{a^4}\\\$.`,\n svar: `\\\$a^4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p50\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna uttrycket \\\$10^3 - 10^2\\\$.`,\n svar: `\\\$900\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p51\"\n },\n {\n fraga: `Skriv uttrycket \\\$\\\\frac{1}{x^5}\\\$ med negativ exponent.`,\n svar: `\\\$x^{-5}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p52\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$\\\\frac{\\\\sqrt{100}}{2}\\\$.`,\n svar: `\\\$5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p53\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$(2b)^3\\\$.`,\n svar: `\\\$8b^3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p54\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna v\u00e4rdet av \\\$10^{-2} \\\\cdot 10^4\\\$.`,\n svar: `\\\$100\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p55\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$x^{2,5} \\\\cdot x^{1,5}\\\$.`,\n svar: `\\\$x^4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p56\"\n }\n ],\n\n funktioner: [\n {\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet av \\\$f(x) = 2x+3\\\$ n\u00e4r \\\$x=4\\\$.`,\n svar: `\\\$f(4)=11\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f1\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4t linje g\u00e5r igenom punkterna \\\$(1, 5)\\\$ och \\\$(-2, -1)\\\$ best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen`,\n svar: `\\\$y=2x+3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f2\"\n},\n{\n fraga: `En r\u00e4t linje g\u00e5r igenom punkterna \\\$(4, 1)\\\$ och \\\$(1, 7)\\\$. Best\u00e4m k-v\u00e4ret f\u00f6r den r\u00e4ta linjen.`,\n svar: `\\\$k=-2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f3\"\n},\n{\n fraga: `Nedan visas en r\u00e4t linje. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-081638.png\">`,\n svar: `\\\$y=-4x+2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"grafer\"],\n kod: \"f4\"\n},\n{\n fraga: `Du \u00e4r en matematiker som \u00e4r med i ett forskarteam som ska unders\u00f6k hur bakterien Joakimilus bakterlius f\u00f6r\u00e4ndras n\u00e4r den exponeras f\u00f6r direkt solljus. Allt i experimentet gick bra f\u00f6rutom att de tv\u00e5 f\u00f6rsta dygnens data inte kunde tolkas. Du som matematiker s\u00e4ger att det inte spelar n\u00e5gon roll. Eftersom du vet att f\u00f6r\u00e4ndringen g\u00e5r att beskriva \u00e4nd\u00e5 utifr\u00e5n den k\u00e4nda datan d\u00e5 den \u00e4r exponentiell. Utg\u00e5 fr\u00e5n grafen nedan och konstruera en funktion som beskriver f\u00f6r\u00e4ndring av bakterien Joakimilus bakterlius och best\u00e4m hur m\u00e5nga bakterier som planterades fr\u00e5n b\u00f6rjan. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-102555.png \">`,\n svar: `Det var 2000 bakterier fr\u00e5n b\u00f6rjan`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-214727.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\", \"grafer\"],\n kod: \"f5\"\n},\n{\n fraga: ` Bromsstr\u00e4ckan f\u00f6r en bil g\u00e5r att beskrivas med \\\$s(v)=\\\\frac{v^2}{2k}\\\$ d\u00e4r \u00e4r bromsstr\u00e4ckan \u00e4r \\\$s(v)\\\$, \ud835\udc63 \u00e4r hastigheten i km\/h och \ud835\udc58 \u00e4r kvaliteten p\u00e5 d\u00e4cken. D\u00e4r \ud835\udc58 = 1 \u00e4r de s\u00e4msta d\u00e4cken och \ud835\udc58 = 100 \u00e4r de perfekta d\u00e4cken.<\/p> a) En f\u00f6rare k\u00f6r med perfekta d\u00e4ck. Hur snabbt k\u00f6r f\u00f6raren om bromsstr\u00e4ckan \u00e4r 50 meter? <\/p> b) Observera bromsstr\u00e4ckan f\u00f6r ett d\u00e4ck i grafen nedan. Best\u00e4m kvaliteten p\u00e5 d\u00e4cken. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-190104.png\">`,\n svar: `a) 100 km\/h b) \\\$k=20\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-212400.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensfunktioner\", \"grafer\"],\n kod: \"f6\"\n},\n{\n fraga: `1820 levde 90% av jordens befolkning i extrem fattigdom. Idag \u00e4r det ungef\u00e4r 10% av befolkningen som lever i extrem fattigdom. Organisationen Joakim-aid vill f\u00e5 fram modeller som beskriver hur den extrema fattigdomen har f\u00f6r\u00e4ndrats och kommer f\u00f6r\u00e4ndras fram\u00f6ver.<\/p> a) Skapa tv\u00e5 olika modeller (en linj\u00e4r och en exponentiell) som beskriver f\u00f6r\u00e4ndringen i fattigdom fr\u00e5n 1820 till idag <\/p> b) Best\u00e4m vilket \u00e5r den extrema fattigdomen kommer vara p\u00e5 1% av befolkningen enligt respektive modell.`,\n svar:` a) \\\$f(x)=-0,4+90\\\$ och \\\$f(x)=90\\\\cdot (\\\\frac{1}{9})^{\\\\frac{x}{202}}\\\$ <\/p> b) 2042 enligt den linj\u00e4ra och 2233 enligt den exponentiella`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f7\"\n},\n{\n fraga: `Tv\u00e5 r\u00e4ta linjer \u00e4r parallella. Den ena ekvationen \\\$y=4x+1\\\$ och den andra linjen g\u00e5r igenom punkten \\\$(6, 10)\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den andra r\u00e4ta linjen.`,\n svar: `\\\$y=4x-14\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f8\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4t linje vet du att den har ett k-v\u00e4rde som \u00e4r 10 och g\u00e5r igenom punkterna \\\$(2,7)\\\$ och \\\$(4,a)\\\$ Best\u00e4m f\u00f6ljande<\/p> a) Best\u00e4m en r\u00e4t linje som \u00e4r parallell med den r\u00e4ta linjen <\/p> b) Best\u00e4m talet \\\$a\\\$`,\n svar: `a) Till exempel \\\$y=10x+10\\\$ b) \\\$a=27\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f9\"\n},\n{\n fraga: `En bakteriekultur \u00f6kar exponentiellt enligt en funktion \ud835\udc35(\ud835\udc61) d\u00e4r \ud835\udc35(\ud835\udc61) \u00e4r antalet\nbakterier och \ud835\udc61 \u00e4r tiden i dagar. Fr\u00e5n b\u00f6rjan var det 150 000 bakterier efter 2 dag var\ndet 600 000 bakterier. Best\u00e4m \ud835\udc35(\ud835\udc61)`,\n svar: `\\\$B(t)=150 000\\\\cdot 2^t\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f10\"\n},\n{\n fraga: `Befolkningen minskar exponentiellt i en liten by som heter Joakimsbyn. 2022 r\u00e4knar\nman med att det finns 150 personer i byn och att byns inv\u00e5nare minskar med 10 procent\nf\u00f6r varje \u00e5r. Formulera en funktion som beskriver minskningen och unders\u00f6k hur m\u00e5nga\nsom kommer bo i byn om 10 \u00e5r. `,\n svar: `\\\$f(x)=150\\\\cdot 0,9^x\\\$ och ungef\u00e4r 52 personer efter 10 \u00e5r.`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f11\"\n},\n{\n fraga: `Den r\u00e4ta linjen \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \u22127\ud835\udc65 + 20 har v\u00e4rdem\u00e4ngden \u22123 < \ud835\udc66 < 20. Best\u00e4m linjens\ndefinitionsm\u00e4ngd. `,\n svar: `\\\$0< x <\\\\frac{23}{7}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f12\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilka\/vilka \\\$x\\\$-v\u00e4rden \u00e4r \\\$f(x)=g(x)\\\$ f\u00f6r funktionerna \\\$f(x)=x^2+2x+1\\\$ och \\\$g(x)=2x+2\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f13\"\n},\n {\n fraga: `F\u00f6r funktionen \\\$f(x)=ax^4+2\\\$ vet du att \\\$f(1)=6\\\$. Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$`,\n svar: `\\\$a=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f14\"\n},\n {\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4t linje vet du att den g\u00e5r igenom punkterna \\\$(a, 3)\\\$ och \\\$(2a, 12)\\\$ och har k-v\u00e4rdet 3. Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$`,\n svar: `\\\$a=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f15\"\n},\n{\n fraga: `Ljudvolymen i decibel fr\u00e5n h\u00f6gtalarna fr\u00e5n en\nh\u00e5rdrockskonsert g\u00e5r att beskriva med f\u00f6ljande funktion\n\\\$L(a)=L_0-5,31\\\\cdot a^{0,45}\\\$ d\u00e4r \ud835\udc3f \u00e4r ljudvolymen med\navst\u00e5ndet \ud835\udc4e i meter fr\u00e5n h\u00f6gtalarna\\\$L_0\\\$ \u00e4r den\nursprungliga ljudvolymen. P\u00e5 den h\u00e4r rockkonserten \u00e4r\nursprungsvolymen p\u00e5 120 decibel och man menar att 85\ndecibel och \u00f6ver \u00e4r skadligt f\u00f6r v\u00e5r h\u00f6rsel. Vilket\navst\u00e5nd ska man st\u00e5 p\u00e5 f\u00f6r att inte riskera att skada sin\nh\u00f6rsel? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-115559.png\">`,\n svar: `Ungef\u00e4r 66 meter`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-212650.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensfunktioner\"],\n kod: \"f16\"\n},\n{\n fraga: `En exponentiell funktion \\\$f(x)=C\\\\cdot 0,45^x\\\$ g\u00e5r igenom punkten \\\$(2,5)\\\$ Best\u00e4m talet \\\$C\\\$ med tv\u00e5 decimalers exakthet.`,\n svar: `\\\$C=24,69\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"exponential\"],\n kod: \"f17\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. L\u00f6s olikheten \\\$g(x) > f(x)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-29-072212.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$0 < x < 2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"olikheter\", \"grafer\"],\n kod: \"f18\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)\\\$. L\u00f6s olikheten \\\$3 < f(x)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-29-073009.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$4 < x\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"olikheter\", \"grafer\"],\n kod: \"f19\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar den linj\u00e4ra funktionen \\\$f(x)=-4x+8\\\$ l\u00f6s olikheten \\\$f(x) > 0\\\$`,\n svar: `\\\$x < 2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"olikheter\"],\n kod: \"f20\"\n},\n{\n fraga: `Unders\u00f6k om punkten \\\$(2,8)\\\$ ligger p\u00e5 den r\u00e4ta linjen \\\$y=3x+2\\\$.`,\n svar: `Ja, den ligger p\u00e5 linjen `,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f21\"\n},\n{\n fraga: `En r\u00e4t linje p\u00e5 formen \\\$y=5x+m\\\$ g\u00e5r igenom punkten \\\$(-2,12)\\\$ Best\u00e4m var den r\u00e4ta linjen sk\u00e4r y-axeln.`,\n svar: `Den sk\u00e4r i \\\$y=22\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f22\"\n},\n{\n fraga: `En r\u00e4t linje sk\u00e4r x-axeln i \\\$x=4\\\$ och sk\u00e4r y-axeln i \\\$y=12\\\$ Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen`,\n svar: \"\\\$y=-3x+12\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f23\"\n},\n{\n fraga: `Om du vet att \\\$f(x)=2x+1\\\$ och \\\$g(x)=-4x+2\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 den sammansatta funktionen \\\$f(g(x))\\\$`,\n svar: \"\\\$f(g(x))=-8x+5\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f24\"\n},\n{\n fraga: `\tTv\u00e5 r\u00e4ta linjer har samma k-v\u00e4rde. Den ena g\u00e5r igenom punkterna (a,10) och (6,16). Den andra g\u00e5nger igenom punkterna (-2,-1) och (a,17). Best\u00e4m k-v\u00e4rdet f\u00f6r de r\u00e4ta linjerna. `,\n svar: \"\\\$k=3\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f25\"\n},\n{\n fraga: `\tFunktionen \\\$f(t)=2+10\\\\cdot 0,92^t\\\$ visar hur m\u00e5nga ton koldioxid som ett f\u00f6retag sl\u00e4pper ut varje \u00e5r fr\u00e5n 2023. \ud835\udc66 \u00e4r antalet ton och t \u00e4r \u00e5r fr\u00e5n 2023. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p>\n\na) Hur m\u00e5nga ton koldioxid sl\u00e4pper f\u00f6retaget ut 2023? <\/p>\nb) Hur m\u00e5nga ton koldioxid sl\u00e4pper f\u00f6retaget ut 2027 enligt modellen. Svara med tv\u00e5 decimaler <\/p>\nc) Vilket \u00e5r har utsl\u00e4ppen halverats i f\u00f6rh\u00e5llande till 2023 \u00e5rs niv\u00e5er. \n`,\n svar: \"a) 12 ton b) 9,16 ton c) 11 \u00e5r\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f26\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilket x-v\u00e4rde f\u00f6ljande r\u00e4ta linjer sk\u00e4r varandra \\\$y=-3x+8\\\$ och \\\$y=2x-2\\\$`,\n svar: \"\\\$x=2\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f27\"\n},\n{\n fraga: `Para ihop ekvationerna med graferna. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-09-064641.png\">`,\n svar: \"5.\t1-D, 2-C, 3-A, 4-B\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"grafer\"],\n kod: \"f28\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s olikheten \\\$3x+4<2x+10\\\$`,\n svar: \"\\\$x<6\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f29\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en linj\u00e4r funktion \\\$f(x)\\\$ vet du att \\\$f(a+7)=f(a)+21\\\$ Best\u00e4m \\\$k\\\$-v\u00e4rdet f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ `,\n svar: \"\\\$k=3\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f30\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4t linje \\\$f(x)\\\$ vet du att den sk\u00e4r \\\$y\\\$-axeln i \\\$y=5\\\$. Du vet ocks\u00e5 att \\\$f(a+1)=5\\\$ samt \\\$f(a-3)=-5\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen.`,\n svar: \"\\\$f(x)=\\\\frac{5}{2}x+5\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f31\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s olikheten \\\$10x+12<5x+22\\\$`,\n svar: \"\\\$x<2\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f32\"\n},\n{\n fraga: `Joakim definierar den r\u00e4ta linjen \\\$y=4x+10\\\$ <\/p> a) Best\u00e4m en r\u00e4t linje som \u00e4r parallell med Joakims linje <\/p> b) Best\u00e4m en r\u00e4t linje som \u00e4r vinkelr\u00e4t med Joakims linje `,\n svar: \"a) Till exempel \\\$y=4x+1\\\$ b) Till exempel \\\$y=-\\\\frac{x}{4}+1\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f33\"\n},\n{\n fraga: `En r\u00e4t linje p\u00e5 formen \\\$y=-3x+m\\\$ g\u00e5r igenom punkten (2,6). Best\u00e4m m-v\u00e4rdet f\u00f6r den r\u00e4ta linjen`,\n svar: \"\\\$m=12\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f34\"\n},\n{\n fraga: `En exponentiell funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=C\\\\cdot a^x\\\$ vet du att \\\$f(0)=20\\\$ Best\u00e4m d\u00e5 konstanten \\\$C\\\$`,\n svar: \"\\\$C=20\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f35\"\n},\n{\n fraga: `Det l\u00e4cker i en tunna med vatten. M\u00e4ngden vatten g\u00e5r att beskriva med funktionen\n\ud835\udc53(\ud835\udc61) = 500 \u2212 10\ud835\udc61 d\u00e4r \ud835\udc61 \u00e4r tiden i timmar och \ud835\udc53(\ud835\udc61) \u00e4r m\u00e4ngden vatten.<\/p> a) Efter hur m\u00e5nga timmar \u00e4r tunnan tom?<\/p> b) Best\u00e4m definitionsm\u00e4ngden och v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r \\\$f(t)\\\$`,\n svar: `a) 50 timmar b) Definitionsm\u00e4ngd \\\$0\\\\leq x \\\\leq 50\\\$ V\u00e4rdem\u00e4ngd \\\$0\\\\leq y \\\\leq500\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f36\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du en del av grafen till \\\$f(x)\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a)Best\u00e4m \\\$f(4)\\\$ <\/p> b) L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=1\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-111235.png\">`,\n svar: `a) \\\$f(4)=2\\\$b) \\\$x=1\\\$ `,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f37\"\n},\n{\n fraga: `Grafen nedan \u00e4r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=Ca^x\\\$ Best\u00e4m konstanterna \\\$C\\\$ och \\\$a\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-094921.png\">`,\n svar: `\\\$C=3, a=1,41\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"grafer\", \"exponential\"],\n kod: \"f38\"\n},\n{\n fraga: `Virussjukdomen Polio har minskat exponentiellt i ett omr\u00e5de de senaste \u00e5ren. 2008 bekr\u00e4ftades av WHO (V\u00e4rldsh\u00e4lsoorganisationen) 1651 fall av Polio, 2023 var det bara 12 st. Om man antar att minskningen g\u00e5r att uttrycka exponentiellt enligt \\\$P(t)\\\$. Hur m\u00e5nga procent minskade antalet bekr\u00e4ftade fall av Polio med varje \u00e5r fr\u00e5n 2008 enligt funktionen? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-181827.png\">`,\n svar:`Minskade med 28% per \u00e5r.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f39\"\n},\n{\n fraga: `Joakim h\u00e4ller upp en kopp kaffe. Efter 7 minuter har 40% av den ursprungliga v\u00e4rmen i kaffet f\u00f6rsvunnit. Hur l\u00e5ngt tar det till att ursprungsv\u00e4rmen p\u00e5 kaffet har minskat med 60%. Anta av v\u00e4rmen avtar exponentiellt.`,\n svar:`Ungef\u00e4r 12,5 minuter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f40\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4t linje vet du att k-v\u00e4rdet \u00e4r 3 och sedan vet du att \\\$f(a)=3\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 \\\$f(a+2)\\\$`,\n svar:`\\\$f(a+2)=9\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f41\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en exponentiell funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=C \\\\cdot a^x\\\$. Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ om du vet att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$f(x+1)=\\\\frac{1}{2}\\\\cdot f(x)\\\$`,\n svar:`\\\$a=\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"exponential\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f42\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar funktionerna \\\$f(x)=4x+1\\\$ och \\\$g(x)=-2x-2\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 \\\$f(g(x))\\\$`,\n svar:`\\\$f(g(x))=-8x-7\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f43\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2\\\$ f\u00f6r vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$x\\\$ \u00e4r \\\$f(x)=16\\\$`,\n svar:`\\\$x=\\\\pm4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f44\"\n},\n{\n fraga: `Para ihop graferna med f\u00f6ljande funktionsekvationer<\/p> \\\$f(x)=1,3^x\\\$ <\/p> \\\$g(x)=2\\\\cdot 0,5^x\\\$ <\/p> \\\$h(x)=2\\\\cdot 1,5^x\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-194804.png\">`,\n svar:`\\\$f(x)\\\$ \u00e4r bl\u00e5, \\\$g(x)\\\$ \u00e4r gr\u00f6n, \\\$h(x)\\\$ \u00e4r r\u00f6d`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\", \"exponential\"],\n kod: \"f45\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar funktionerna \\\$f(x)=2x+1\\\$ och \\\$g(x)=-x-8\\\$. L\u00f6s ekvationen \\\$f(g(x))=1\\\$`,\n svar:`\\\$x=-8\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f46\"\n},\n{\n fraga: `Unders\u00f6k f\u00f6r vilka r\u00e4ta linjer f\u00f6ljande samband g\u00e4ller \\\$f(a\\\\cdot x)=a\\\\cdot f(x)\\\$ d\u00e4r \\\$a\\\$ \u00e4r ett heltal skilt fr\u00e5n 0`,\n svar: `Det g\u00e4ller alla funktioner p\u00e5 formen \\\$f(x)=kx\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f47\"\n},\n{\n fraga: `Funktionen \\\$f(x)=x^2+1\\\$ \u00e4r given. Unders\u00f6k om det finns n\u00e5got \\\$a\\\$ s\u00e5dan att \\\$f(a+2)=f(a-1)\\\$`,\n svar: `\\\$a=-\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-211937.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\",\"potensfunktioner\"],\n kod: \"f48\"\n},\n{\n fraga: `Antalet \u00e5lar har minskat kraftigt under m\u00e5nga \u00e5r. Om man j\u00e4mf\u00f6r med 1950 finns idag bara 3% av best\u00e5ndet kvar. Man r\u00e4knar med att \u00e5lens best\u00e5nd minskar exponentiellt. Konstruera en funktion som beskriver minskningen av antalet \u00e5lar. Hur m\u00e5nga procent av 1950 \u00e5rs best\u00e5nd kommer vara kvar 2050 enligt din modell?`,\n svar: `0,59% av best\u00e5ndet \u00e4r kvar`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f49\"\n},\n{\n fraga: `Ebbingshaus gl\u00f6mskekurva \u00e4r en psykologisk modell f\u00f6r hur vi\ngl\u00f6mmer saker \u00f6ver tid. Modellen anpassas efter vad vi ska\nkomma ih\u00e5g namn i en grupp man inte l\u00e4ngre tr\u00e4ffar. Modellen\ng\u00e5r att beskriva med funktionen <\/p>\n \\\$N(t)=N_0\\\\cdot 0,93^t\\\$ <\/p>\nD\u00e4r \\\$N_0\\\$ \u00e4r antalet namn man kan fr\u00e5n b\u00f6rjan och \ud835\udc61 \u00e4r tiden i \u00e5r.\nBest\u00e4m efter hur m\u00e5nga \u00e5r man enbart vet h\u00e4lften av de namn\nman kunde fr\u00e5n b\u00f6rjan. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-11-082328.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Ungef\u00e4r 9,5 \u00e5r`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f50\"\n},\n{\n fraga: `Transportstyrelsen menar att antalet trafikolyckor d\u00e4r personer blir sv\u00e5rt skadade\nminskar exponentiellt. I och med att s\u00e4kerheten blir b\u00e4ttre i bilar och att teknologin\nf\u00f6rb\u00e4ttrar den m\u00e4nskliga faktorn f\u00f6rv\u00e4ntas allvarliga skador ocks\u00e5 minska. 2020\nskadades 1645 personer sv\u00e5rt i trafikolyckor. Enligt Transportstyrelsens prognos\nkommer det bara vara 1000 sv\u00e5rt skadade \u00e5r 2045.<\/p> \na) Skapa en funktion \ud835\udc53(\ud835\udc61) som beskriver Transportsstyrelsens prognos. \ud835\udc53(\ud835\udc61) ska vara\nantalet allvarligt skadade i trafiken och \ud835\udc61 \u00e4r \u00e5r fr\u00e5n 2020.<\/p>\nb) Efter hur m\u00e5nga \u00e5r \u00e4r olycksantalet 500 sv\u00e5rt skadade?`,\nsvar: `a) \\\$f(t)=1650\\\\cdot 0,98^t\\\$ b) 59 \u00e5r`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f51\"\n},\n{\n fraga: ` Observera funktionerna \ud835\udc53(\ud835\udc65) och \ud835\udc54(\ud835\udc65) nedan.<\/p> a) Funktionen \u210e(\ud835\udc65) definieras som \u210e(\ud835\udc65) = \ud835\udc54(\ud835\udc65) + \ud835\udc53(\ud835\udc65). Best\u00e4m \u210e(4) <\/p> b) Funktionen \u210e(\ud835\udc65) definieras nu som \u210e(\ud835\udc65) = \ud835\udc53(\ud835\udc54(\ud835\udc65)). Best\u00e4m \u210e(4). <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-173238.png\">`,\n svar:`a) \\\$h(4)=4\\\$ b) \\\$h(4)=-2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f52\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim har hyra en bil f\u00f6r att resa till Vasaloppet och \u00e5ka skidor. Han har tittar p\u00e5 tv\u00e5\nolika bilfirmor. <\/p> <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-092905.png\"> <\/p> Joakim vet att om han hyr bilen i en vecka kommer det inte spela n\u00e5gon roll vilken\nbilfirma han v\u00e4ljer. Hur mycket \u00e4r dagskostnaden f\u00f6r bilfirman B. `,\n svar:`Dagskostnaden \u00e4r 400 kr`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f53\"\n},\n{\n fraga: `Observera listorna f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-174955.png\"> Best\u00e4m ekvationerna f\u00f6r funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$`,\n svar:`\\\$f(x)=3x+4\\\$ och \\\$g(x)=243\\\\cdot (\\\\frac{1}{3})^x\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f54\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en linj\u00e4r funktion vet du att \\\$f(a-1)=1\\\$ samt att \\\$f(a+1)=7\\\$ Best\u00e4m k-v\u00e4rdet f\u00f6r funktionen `,\n svar:`\\\$k=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f55\"\n},\n{\n fraga: `I Joakimk\u00f6ping har befolkning minskat fr\u00e5n 10 000 personer 2014 till 5000 personer\np\u00e5 2024 \u00e5r.<\/p> \na) Konstruera en linj\u00e4r funktion som beskriver befolkningsminskningen fr\u00e5n 2014 <\/p>\nb) Konstruera en exponentiell funktion som beskriver befolkningsminskningen 2014`,\n svar:`a) \\\$y=-500+10000\\\$ b) \\\$y=10000\\\\cdot 0,933^x\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"exponential\"],\n kod: \"f56\"\n},\n{\n fraga: `Hyreskostnaden \ud835\udc3b att bo i en hyresbostad f\u00f6r ett f\u00f6retag g\u00e5r att beskriva med\nfunktionen \ud835\udc3b(\ud835\udc34) = 2500 + \ud835\udc58 \u22c5 \ud835\udc34 d\u00e4r \ud835\udc34 \u00e4r boarean f\u00f6r bostaden och \ud835\udc58 \u00e4r kostnaden\nper kvadratmeter. Best\u00e4m konstanten \ud835\udc58 med hj\u00e4lp av statistiken nedan, tolka ocks\u00e5 i\nord vad \ud835\udc58 betyder. . <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-175633.png\">`,\n svar:`\\\$k\\\$ st\u00e5r f\u00f6r konstnaden p\u00e5 kvadratmeter och \\\$k=50\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f57\"\n},\n{\n fraga: ` Nedan har du funktionen \\\$f(x)\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) \\\$f(4)\\\$ <\/p> b) L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=5\\\$ <\/p> c) Best\u00e4m definitionsm\u00e4ngden f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ <\/p>d) Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ . <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-075751.png\">`,\n svar:`a) \\\$f(4)=3\\\$ b) \\\$x=5\\\$ c) \\\$0\\\\leq x \\\\leq6\\\$ d) \\\$0\\\\leq y \\\\leq 7\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [4,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f58\"\n},\n{\n fraga: ` Nedan har du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ \\\$g(x)\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) \\\$g(1)\\\$ <\/p> b) L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=4\\\$ <\/p> c) Best\u00e4m definitionsm\u00e4ngden f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ <\/p>d) L\u00f6s olikheten \\\$g(x) < f(x)\\\$ . <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-11-080439.png\">`,\n svar:`a) \\\$g(1)=2\\\$ b) \\\$x=2\\\$ c) \\\$0\\\\leq x \\\\leq3\\\$ d) \\\$0 < x < 2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [3,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\",\"olikheter\"],\n kod: \"f59\"\n},\n{\n fraga: `Anv\u00e4nd graferna nedan f\u00f6r att l\u00f6sa ekvationen \\\$f(g(x))=2\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-103720.png\">`,\n svar:`\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f60\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r funktionen \\\$h(x)\\\$ om \\\$h(x)=f(x)+g(x)\\\$. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-184511.png\">`,\n svar:`\\\$10\\\\leq y \\\\leq28\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f61\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen som sk\u00e4r den exponentiella funktionen \\\$f(x)=16\\\\cdot (\\\\frac{1}{2})^x\\\$`,\n svar:`\\\$y=-3x+11\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f62\"\n},\n{\n fraga: `\\\$f(x)=20x-30\\\$ \u00e4r definierad. Best\u00e4m \\\$a\\\$ om \\\$f(a+2)=40\\\$`,\n svar:`\\\$a=\\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f63\"\n},\n{\n fraga: ` F\u00f6r funktionen \\\$f(x)=1,23^x\\\$ placerar vi en punkt l\u00e4ngst med grafen. Fr\u00e5n den punkten dras en r\u00e4t linje till \ud835\udc65-axeln och \ud835\udc66-axeln vilket bildar en rektangel. F\u00f6r vilken punkt \ud835\udc34 skapas en kvadrat? Funktionen \\\$f(x)\\\$ har definitionsm\u00e4ngden 0 \u2264 \ud835\udc65 \u2264 5. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-172358.png\">`,\n svar:`\\\$(1,31; 1,31)\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-211323.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f64\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har tagit fram statistik f\u00f6r skatteint\u00e4kter och befolkningstillv\u00e4xten i staden Joakimk\u00f6ping. Funktionen \ud835\udc46(\ud835\udc4f) beskriver skatteint\u00e4kterna beroende p\u00e5 befolkningen \ud835\udc4f i staden och funktionen \ud835\udc35(\ud835\udc61) beskriver den f\u00f6rv\u00e4ntade befolkningen fr\u00e5n 2024 d\u00e4r \ud835\udc61 \u00e4r antal \u00e5r fr\u00e5n 2024.<\/p> a) Tolka vad man vill ta reda p\u00e5 om man st\u00e4ller upp ekvationen \ud835\udc46(\ud835\udc35(\ud835\udc61)) = 140 <\/p> b) L\u00f6s ekvationen \ud835\udc46(\ud835\udc35(\ud835\udc61)) =140 \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-171217.png\"> `,\n svar:` a) Vilket \u00e5r \u00e4r skatteint\u00e4kterna 140 miljoner <\/p> b)\\\$t=5\\\$ `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f65\"\n},\n{\n fraga: ` Nedan ser du tv\u00e5 r\u00e4ta linjer och en avgr\u00e4nsad area. Om du vet att den ena r\u00e4ta linjen har en riktningskofficient 2 och att linjerna sk\u00e4r varandra i \\\$y=4\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r linje \ud835\udc34 om arean f\u00f6r den markerade triangeln \u00e4r 14 areanenheter. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-153840.png\">`,\n svar:`\\\$y=-5x+14\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f66\"\n},\n{\n fraga: `a) Best\u00e4m den r\u00e4ta linjen i koordinatsystemet\np\u00e5 allm\u00e4n form \\\$ay+bx+c=0\\\$ <\/p> \nb) Best\u00e4m en linje som \u00e4r parallell med linjen i\nKoordinatsystemet p\u00e5 allm\u00e4n form. <\/p>\nc) Best\u00e4m en linje som \u00e4r vinkelr\u00e4t med linjen\ni koordinatsystemet p\u00e5 allm\u00e4n form. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-082548.png\">`,\n svar:`a) \\\$y+3x-5=0\\\$ b)Till exempel \\\$y+3x+7\\\$ c) Till exmepel \\\$y=-\\\\frac{1}{3}x+1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"grafer\"],\n kod: \"f67\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-082530.png\"> Best\u00e4m vilken av graferna A-H som kan beskriva den sammansatta funktionen \\\$g(f(x))\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-082739.png\">`,\n svar:`D`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f68\"\n},\n{\n fraga: `Funktionen \\\$f(x)=C\\\\cdot 2^x\\\$ har definitionsm\u00e4ngden -1<\\\$x\\\$<3. Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r funktionen uttryckt i \\\$C\\\$`,\n svar:`\\\$\\\\frac{C}{2}\\\$ < y < \\\$8C\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f69\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar tv\u00e5 r\u00e4ta linjer \\\$2y+6x-15=15\\\$ och \\\$10x-ay+35=0\\\$ f\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ \u00e4r de r\u00e4ta linjerna <\/p> a) Parallella <\/p> b) Vinkelr\u00e4ta `,\n svar:`a) \\\$a=-\\\\frac{10}{3}\\\$ b) \\\$a=30\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f70\"\n},\n{\n fraga: `Biografen Joakims Bio rymmer 300 personer och \u00e4r alltid fullbokad. Joakim tar 200 kr f\u00f6r en vuxenbiljett och 125 f\u00f6r en barnbiljett <\/p> Om vi antar att biografen \u00e4r fullsatt konstruera en funktion \\\$I(x)\\\$ som beskriver int\u00e4kterna f\u00f6r Joakims Bio beroende p\u00e5 hur m\u00e5nga vuxna som \u00e4r i salongen. Best\u00e4m ocks\u00e5 funktionens v\u00e4rdem\u00e4ngd.`,\n svar:`\\\$I(x)=75x+37500\\\$ och v\u00e4rdem\u00e4ngden 37500 < y < 60000`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f71\"\n},\n{\n fraga: `De amerikanska tr\u00e4den Redwood \u00e4r de tr\u00e4d som blir h\u00f6gst i v\u00e4rlden. Tr\u00e4det Hyperion \u00e4r det h\u00f6gsta uppm\u00e4tta tr\u00e4det p\u00e5 116 meter. Inom tr\u00e4dvetenskapen anv\u00e4nder man f\u00f6ljande funktion f\u00f6r att best\u00e4mma ett Redwood-tr\u00e4ds h\u00f6jd utifr\u00e5n dess diameter. \\\$H(D)=40\\\\cdot D^{\\\\frac{2}{3}}\\\$ d\u00e4r \\\$H(D)\\\$ \u00e4r h\u00f6jden p\u00e5 tr\u00e4den och \\\$D\\\$ \u00e4r diametern p\u00e5 tr\u00e4den, b\u00e5da uttryckt i meter.<\/p> En annan funktion som anv\u00e4nds f\u00f6r att best\u00e4mma ett redwoods-tr\u00e4ds diameter utifr\u00e5n dess \u00e5lder \u00e4r \\\$D(A)=0,1\\\\cdot A^{\\\\frac{3}{5}}\\\$ d\u00e4r \\\$D(A)\\\$ \u00e4r diametern p\u00e5 tr\u00e4det och \\\$A\\\$ \u00e4r \u00e5ldern i \u00e5r.<\/p> a) Best\u00e4m diametern p\u00e5 Hyperion.<\/p> b) Joakim menar att man kan best\u00e4mma ett redwood-tr\u00e4ds h\u00f6jd med hj\u00e4lp av funktionen \\\$H(A)=8,6\\\\cdot A^{\\\\frac{2}{5}}\\\$. Visa hur Joakim tagit fram funktionen \\\$H(A)\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-154636.png\">`,\n svar:`a) 4,94 meter b) Visa med hj\u00e4lp av den sammansatta funktionen`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-211151.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensfunktioner\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f72\"\n},\n{\n fraga: `Fysikern och kemisten Marie Curies anteckningsb\u00f6cker har en stor m\u00e4ngd radioaktivt radium (nuklid 226) p\u00e5 sig. D\u00e4rf\u00f6r f\u00f6rvaras de i ett speciellt sk\u00e5p i Frankrike f\u00f6r att ingen ska skadas av den farliga radioaktiviteten. Radiumk\u00e4rnorna har en halveringstid p\u00e5 1600 \u00e5r. Det inneb\u00e4r att efter 1600 \u00e5r har antalet radiumk\u00e4rnor halverats i f\u00f6rh\u00e5llande till vad det var fr\u00e5n b\u00f6rjan, sedan forts\u00e4tter den processen med halvering var 1600 \u00e5r. Nutidens k\u00e4rnfysiker menar att 99% av radiumk\u00e4rnorna m\u00e5ste f\u00f6rsvinna innan b\u00f6ckerna kan visas f\u00f6r allm\u00e4nheten igen. Hur l\u00e5ng tid kommer det ta? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-165439.png\">`,\n svar: `Ungef\u00e4r 10630 \u00e5r `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-205711.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f73\"\n},\n{\n fraga: `Den bl\u00e5markerande arean \u00e4r 10 areaenheter. Best\u00e4m k-v\u00e4rdet p\u00e5 den r\u00e4ta linjen <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-165418.png\">`,\n svar:`\\\$k=\\\\frac{4}{3}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-205857.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"grafer\"],\n kod: \"f74\"\n},\n{\n fraga: ` Nedan ser du 3 kvadrater med olika areor som \u00e4r inskrivna i ett koordinatsystem. Du ser ocks\u00e5 3 punkter som finns som definieras som \ud835\udc431, \ud835\udc432, \ud835\udc433.<\/p> a) Best\u00e4m den r\u00e4ta linje som g\u00e5r igenom samtliga tre punkter. <\/p> b) Visa att ingen exponentiell funktion kan g\u00e5 igenom samtliga tre punkter <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-165514.png\">`,\n svar:`a) \\\$y=x+a\\\$ b) Unders\u00f6k de olika fallen och visa sedan att de inte kan g\u00e5 igenom de olika punkterna.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,4],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-210039.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"grafer\", \"exponential\"],\n kod: \"f75\"\n},\n{\n fraga: `En exponentiell funktion \\\$g(x)\\\$ har f\u00f6ljande samband <\/p> \\\$g(0)=4\\\$ <\/p> \\\$\\\\frac{g(102)}{g(100)}=25\\\$ <\/p> Best\u00e4m funktionen \\\$g(x)\\\$ `,\n svar:`\\\$g(x)=4\\\\cdot 5^x\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-210239.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f76\"\n},\n{\n fraga: ` Det finns en modell f\u00f6r att r\u00e4kna ut st\u00f6rre havslevande djurs l\u00e4ngd i meter utifr\u00e5n dess\nvikt i kg. Modellen \u00e4r f\u00f6ljande \\\$L(V)=0,46\\\\cdot V^{\\\\frac{1}{3}}\\\$ d\u00e4r \\\$L(V)\\\$ \u00e4r l\u00e4ngden i meter och \\\$V\\\$ \u00e4r vikten i kg <\/p> a) En normal bl\u00e5val \u00e4r 23 meter. Best\u00e4m vikten p\u00e5 en s\u00e5dan bl\u00e5val. <\/p> b) Joakim menar att man kan r\u00e4kna ut ett stort\nhavslevande djurs vikt med hj\u00e4lp av dess l\u00e4ngd\nf\u00f6ljande funktion \\\$V(L)=\\\\frac{L^3}{0,097}\\\$ Visa hur Joakim f\u00e5tt fram sin funktion. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-090339.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar:`a) 125000 kg b) L\u00f6s ut V ur formeln. `,\n niva: \"A\",\n poang: [1,1,2], \n digital: true,\n underkategori: [\"potensfunktioner\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f77\"\n},\n{\n fraga: `Tv\u00e5 linjer \u00e4r vinkelr\u00e4ta. Den ena linjen har ekvationen \\\$y=kx+2\\\$ och den andra g\u00e5r igenom punkterna \\\$(1, 2)\\\$ och \\\$(k, 8)\\\$. Best\u00e4m talet \\\$k\\\$`,\n svar: `\\\$k=\\\\frac{1}{7}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f78\"\n},\n{\n fraga: `En exponentiell funktion \\\$f(x)\\\$ g\u00e5r igenom punkterna \\\$(0,4)\\\$ och \\\$(4,100)\\\$ Best\u00e4m funktionen \\\$f(x)\\\$`,\n svar: `\\\$f(x)=4\\\\cdot 2,24^x\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f79\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m den sammansatta funktionen \\\$h(x)=f(g(x))\\\$ p\u00e5 formen \\\$h(x)=Ca^x\\\$ om du vet att \\\$f(x)=5^x\\\$ och \\\$g(x)=x+2\\\$`,\n svar: `\\\$h(x)=25\\\\cdot 5^x\\\$ `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f80\"\n},\n{\n fraga: `En sj\u00f6 b\u00f6rjar bli mer och mer f\u00f6rorenad. De tv\u00e5 olika fiskpopulationerna som finns i\nsk\u00f6n reagerar olika p\u00e5 det. Fisk A finns det 2024 25 000 individer och f\u00f6rv\u00e4ntas\nminska med 3% varje \u00e5r. Fisk B finns det 2024 12 500 individer och f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka\nmed 5% varje \u00e5r. Vilket \u00e5r finns det lika m\u00e5nga individer av respektive population. `,\n svar: `2032 (8,75 \u00e5r efter 2024)`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f81\"\n},\n{\n fraga: `Skriv den r\u00e4ta linjen \\\$2y+4x=10\\\$ p\u00e5 formen \\\$y=kx+m\\\$`,\n svar: `\\\$y=-2x+5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f82\"\n},\n{\n fraga: ` Observera graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$ nedan. <\/p> a) Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r \\\$f(x)\\\$<\/p> b) Best\u00e4m \\\$f(2)\\\$ <\/p> c) Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngd och definitionsm\u00e4ngd f\u00f6r \\\$g(x)\\\$ <\/p> d) L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=g(x)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-093647.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a) \\\$f(x)=-x+4\\\$ b) \\\$f(2)=2\\\$ c) V\u00e4rdem\u00e4ngd: \\\$0 \\\\leq y \\\\leq 4\\\$ Definitionsm\u00e4ngd: \\\$-1 \\\\leq x \\\\leq 2\\\$ d) \\\$x_1=0,x_2=1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [3,2,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f83\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m en r\u00e4t linje som \u00e4r parallell med den r\u00e4ta linjen \\\$3y-2x+11=0\\\$`,\n svar: `Till exempel \\\$y=\\\\frac{2x}{3}+1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f84\"\n},\n{\n fraga: `I ett experiment med bakterier v\u00e4xer en bakteriekultur exponentiellt med 10% varje dag. N\u00e4r bakteriekulturen har v\u00e4xt med 200% m\u00e5ste man avbryta experimentet. Hur l\u00e5ng tid kommer det ta?`,\n svar: `Det kommer ta 11 dagar`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-210504.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f85\"\n},\n{\n fraga: `Kol-14-metoden \u00e4r ett s\u00e4tt att datera hur gammalt n\u00e5got tidigare levande ting \u00e4r. Alla levande varelser har kol i sig och efter att man d\u00f6r tillf\u00f6rs ingen ny kol och kolatomerna b\u00f6rjar d\u00e4rf\u00f6r f\u00f6rsvinna fr\u00e5n den tidigare levande varelsen eller organismen. Det tar kolatomerna 5730 \u00e5r att halveras och d\u00e4refter halveras de igen efter ytterligare 5730 \u00e5r. Man brukar r\u00e4kna med att man kan f\u00e5 en felmarginal p\u00e5 \u00b150 \u00e5r n\u00e4r man r\u00e4knar med kol-14-metoden. 1936 hittade man ett lik i Halland som man numera kallar Bockstensmannen. Med hj\u00e4lp av kol-14-metoden kunde man konstatera att 92% av kolatomerna \u00e5terstod fr\u00e5n n\u00e4r Bockstensmannen dog. Din uppgift nu \u00e4r att best\u00e4mma mellan vilka \u00e5r Bockstensmannen skulle kunna t\u00e4nkas ha d\u00f6tt `,\n svar: `N\u00e5gonstans mellan 1197 och 1297`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-210626.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f86\"\n},\n\n{\n fraga: `Joakim s\u00f6ker sig till tv\u00e5 f\u00f6retag f\u00f6r att unders\u00f6ka v\u00e4rdef\u00f6r\u00e4ndringen p\u00e5 hans l\u00e4genhet. Han pratar f\u00f6rst med f\u00f6retaget L\u00e4genhetskungen som v\u00e4rderar l\u00e4genheten till 2 miljoner kr 2022 och att l\u00e4genheten ska \u00f6ka i v\u00e4rde med 3% varje \u00e5r. Det andra f\u00f6retaget heter V\u00e4rderingskungen och menar att Joakims l\u00e4genhet \u00e4r v\u00e4rd 2,1 miljoner 2022 och att den kommer \u00f6ka med 3,8% varje \u00e5r. Joakim observerar att det finns en differens mellan v\u00e4rderingarna och vill unders\u00f6ka vad det f\u00e5r f\u00f6r konsekvenser p\u00e5 l\u00e5ng sikt. Efter hur m\u00e5nga \u00e5r kommer v\u00e4rderingsdifferensen vara mer \u00e4n 1 miljon kronor?`,\n svar: `Efter 23 \u00e5r `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f87\"\n},\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$f(3)\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=x^2+2\\\$.`,\n svar: `\\\$f(3)=11\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f88\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$f(x) = 4\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=4x+2\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f89\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{x^2}{2}\\\$. Med hj\u00e4lp av grafen kan man skapa rektanglar som har\nolika areor beroende p\u00e5 vilket \ud835\udc65 man s\u00e4tter in i funktionen. F\u00f6r vilket \ud835\udc65-v\u00e4rde blir rektangelns\narea 81 areaenheter. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-085413.png\">`,\n svar: `\\\$x=4,33\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-085503.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f90\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har k\u00f6pte en bil f\u00f6r 10 000 kr 2023. Bilens v\u00e4rde f\u00f6rv\u00e4ntas minska med 10% varje \u00e5r fram\u00f6ver. Konstruera en funktion \\\$f(x)\\\$ som beskriver prisminskningen efter \\\$x\\\$ \u00e5r fr\u00e5n 2023.`,\n svar: `\\\$f(x)=10000\\\\cdot 0,9^x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"exponential\"],\n kod: \"f91\"\n },\n {\n fraga: `En produkts v\u00e4rde f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka med 3% varje \u00e5r och \u00e4r v\u00e4rd 150 kr idag. Joakim definierar en funktion \\\$f(x)\\\$ som beskriver produktens v\u00e4rde utifr\u00e5n \\\$x\\\$ \u00e5r fr\u00e5n och med idag.<\/p> \n Best\u00e4m funktionen \\\$f(x)\\\$ <\/p> b) Best\u00e4m och tolka \\\$f(5)\\\$`,\n svar: `a) \\\$f(x)=150\\\\cdot 1,03^x\\\$ b)\\\$f(5)=173,9\\\$ Varans v\u00e4rde efter 5 \u00e5r`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"exponential\"],\n kod: \"f92\"\n },\n {\n fraga: `Nedan f\u00f6ljer tv\u00e5 situationer. Din uppgifter \u00e4r att best\u00e4mma om situationen ger upphov till en linj\u00e4r funktion eller en exponentiell funktion<\/p> A<\/b> Joakim har idag en l\u00f6n p\u00e5 20000 kr. L\u00f6nen f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka med 1000 kr per \u00e5r fram\u00f6ver. \\\$f(x)\\\$ Beskriver Joakims l\u00f6n efter \\\$x\\\$ \u00e5r <\/p> B<\/b> Joakim har idag en l\u00f6n p\u00e5 20000 kr. L\u00f6nen f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka med 4% varje \u00e5r fram\u00f6ver \\\$g(x)\\\$ beskriver Joakims l\u00f6n efter \\\$x\\\$ \u00e5r. <\/p> Para ihop r\u00e4tt funktionstyp med r\u00e4tt situation `,\n svar: `A \u00e4r en linj\u00e4r funktion B \u00e4r en exponentiell.`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"exponential\", \"ratalinjer\"],\n kod: \"f93\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r vilka \\\$x\\\$ g\u00e4ller f\u00f6ljande \\\$2x-4 < 4 < 4x\\\$`,\n svar: `\\\$1 < x < 4\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f94\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r tv\u00e5 exponentiella funktioner \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$ vet du f\u00f6ljande:<\/p>\n\n<ul>\n <li>\\\$f(0)\\\$ \u00e4r tre g\u00e5nger s\u00e5 stor som \\\$g(0)\\\$<\/li>\n <li>\\\$f(x)\\\$ minskar med \\\$p\\\$% f\u00f6r varje x-steg. \\\$g(x)\\\$ \u00f6kar med \\\$p\\\$% f\u00f6r varje x-steg.<\/li>\n <li>\\\$f(5)=g(5)\\\$<\/li>\n<\/ul>\n\nBest\u00e4m \\\$p\\\$.<\/p>\t\n`,\n svar: `\\\$p=11\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\",\"exponential\"],\n kod: \"f95\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m den sammansatta funktionen \\\$h(x)=f(g(x))\\\$ p\u00e5 formen \\\$h(x)=Ca^x\\\$ om <ul>\n <li>\\\$f(x)=3^x\\\$ <\/li>\n <li>\\\$g(x)=2x+3\\\$ .<\/li>\n\n<\/ul>`,\n svar: `\\\$h(x)=27\\\\cdot 9^x\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f96\"\n},\n{\n fraga: `\tNedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. Vi definierar funktionen \\\$h(x)=f(x)-g(x)\\\$. Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r \\\$h(x)\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-10-15-164626.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `\\\$1 < y < 3\\\$ eller \\\$1 \\\\le y \\\\le 3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f97\"\n},\n{\n fraga: `Funktionen nedan g\u00e5r att skriva p\u00e5 formen \\\$f(x)=Ca^x\\\$ Best\u00e4m f\u00f6ljande.<\/p> \n a) \\\$f(1)\\\$ <\/p>\n b) L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=1\\\$<\/p> \n c) Best\u00e4m konstanterna \\\$a\\\$ och \\\$C\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-10-20-085048.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `a) \\\$f(1)=4\\\$ b) \\\$x=3\\\$ c) \\\$a=\\\\frac{1}{2}\\\$ och \\\$C=8\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [3,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"exponential\", \"grafer\"],\n kod: \"f98\"\n},\n{\n fraga: `I kommunen Joakimk\u00f6ping bor det idag 10 000 personer och det f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka med\n200 personer varje \u00e5r fram\u00f6ver fr\u00e5n 2025. Kommunen har tagit fram statistik kring hur\nmycket skatteint\u00e4kter (i miljoner) som kommunen f\u00e5r in beroende p\u00e5 hur m\u00e5nga som\nbor i kommunen. Konstruera en f\u00f6renklad funktion \\\$S(t)\\\$ som beskriver hur mycket\nskatteint\u00e4kter Joakimk\u00f6ping kommer f\u00e5 med avseende p\u00e5 tiden \\\$t\\\$ fr\u00e5n 2025. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-26-091051.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `\\\$S(t)=2,1t+105\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"ratalinjer\"],\n kod: \"f99\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du en tabell som beskriver en exponentialfunktion \\\$f(x)\\\$. Best\u00e4m vad som ska st\u00e5 i a). <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-26-091615.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `a)=4,44`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f100\"\n},\n{\n fraga: `Antalet elbilar har \u00f6kat exponentiellt i Sverige under\nde senaste \u00e5ren. Hemsidan Alltomelbil.se publicerar\nstatistik kring antalet elbilar i Sverige. 2016 fanns det\n10 000 elbilar i Sverige och 2024 fanns det 400 000\nelbilar. Alltomelbil.se menar att Sverige kommer ha\nmer \u00e4n 1 miljon elbilar redan 2026 om exponentiella\ntrenden forts\u00e4tter. Unders\u00f6k om Alltomelbil.se har r\u00e4tt\ni sin prognos. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-072632.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `Det st\u00e4mmer. Konstruera en exponentiell funktion som beskriver utvecklingen.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-073008.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n kod: \"f101\"\n},\n{\n fraga: `Matcha f\u00f6ljande situationer med vilken graf som beskriver f\u00f6rloppet <\/p> \na) Joakims l\u00f6n \u00f6kar med 2000 kr per \u00e5r och f\u00f6rv\u00e4ntas g\u00f6ra det fram\u00f6ver. \\\$f(t)\\\$ beskriver\nl\u00f6nen utifr\u00e5n tiden \ud835\udc61.<\/p>\nb) Joakim l\u00f6n \u00f6kar med 4% varje \u00e5r och f\u00f6rv\u00e4ntas g\u00f6ra det fram\u00f6ver. \\\$f(t)\\\$ beskriver\nl\u00f6nen utifr\u00e5n tiden \ud835\udc61. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-04-203314.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a)-C och b)-A`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"grafer\"],\n kod: \"f102\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilken\/vilka av f\u00f6ljande grafer g\u00e4ller f\u00f6ljande \\\$f(a)<f(a+1)\\\$ f\u00f6r alla \\\$a\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-04-203254.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `B och C`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"grafer\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f103\"\n},\n{\n fraga: `En l\u00e4genhet f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka i v\u00e4rde exponentiellt fr\u00e5n 2020. 2022 var l\u00e4genheten v\u00e4rd\n1,5 miljoner och 2025 var l\u00e4genheten v\u00e4rd 1,7 miljoner. Hur mycket var l\u00e4genheten\nv\u00e4rd 2020 om vi antar att l\u00e4genhetens v\u00e4rde \u00f6kade exponentiellt.`,\n svar: `1,38 miljoner`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f104\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en funktion \\\$f(x)=a\\\\cdot x^4-20\\\$ vet du att \\\$f(2)=12\\\$.`,\n svar: `\\\$a=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"potensfunktioner\"],\n kod: \"f105\"\n},\n{\n fraga: `Joakim investerade i tv\u00e5 olika fonder 2020. Han investerade 3 g\u00e5nger s\u00e5 mycket i den\nena fonden. Efter 5 \u00e5r visar det sig att den fonden han investerade mer i \u00f6kade med 8%\ni snitt per \u00e5r och den andra fonden \u00f6kade med 6% i snitt per \u00e5r. Det totala v\u00e4rdet f\u00f6r\nfonderna var d\u00e5 20 000 kr.<\/p> \na) Hur mycket investerade Joakim i respektive fond? <\/p>\nb) Vilket \u00e5r kommer det totala v\u00e4rdet vara 30 000 kr?`,\n svar: `a) 3480 b) 10,5 \u00e5r`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"exponential\"],\n kod: \"f106\"\n},\n{\n fraga: ` Markera i ett koordinatsystem det omb\u00e5rde som definieras av f\u00f6ljande begr\u00e4nsningar <\/p> \\\$0 \\\\le x \\\\le 4\\\$ <\/p> \\\$y \\\\le x\\\$ <\/p>`,\n svar: ` <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-152951.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f107\"\n},\n{\n fraga: ` En kvadrat \u00f6kar sin sidl\u00e4ngd f\u00f6r varje minut som g\u00e5r. Fr\u00e5n b\u00f6rjan \u00e4r kvadratens\nsidl\u00e4ngd 0 cm och sedan \u00f6kar den linj\u00e4rt. Efter 12 minuter \u00e4r arean f\u00f6r kvadraten\n16 kvadratcentimeter\n. <\/p> \na) Hur m\u00e5nga cm \u00f6kar kvadratens sidl\u00e4ngd varje minut? <\/p>\nb) Best\u00e4m funktionen \ud835\udc34(\ud835\udc65) som beskriver arean f\u00f6r kvadraten d\u00e4r \ud835\udc65 \u00e4r antalet\nminuter.\n`,\n svar: `a) \\\$\\\\frac{1}{3}\\\$ cm\/minut b) \\\$A(x)=(\\\\frac{x}{3})^2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"potensfunktioner\"],\n kod: \"f108\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du en inskriven rektangel i en halvcirkel d\u00e4r rektangelns h\u00f6rn m\u00e5ste vidr\u00f6ra\ncirkelns ytterkant. Radien f\u00f6r cirkeln \u00e4r 1 l\u00e4ngdenhet. Funktionen \\\$A(x)\\\$ beskriver\nrektangelns area d\u00e4r \ud835\udc65 \u00e4r basen p\u00e5 rektangeln. Best\u00e4m definitionsm\u00e4ngden f\u00f6r \\\$A(x)\\\$\ngenom att anv\u00e4nda bilden nedan. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-155007.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$0 \\\\le x \\\\le 2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f109\"\n},\n{\n fraga: ` Vi definierar den r\u00e4ta linjen \\\$2y+4x+a=10\\\$ <\/p> a)Best\u00e4m \\\$a\\\$ om den r\u00e4ta linjen g\u00e5r igenom punkten \\\$(2, 5)\\\$ <\/p> b) Unders\u00f6k om v\u00e5r definierade r\u00e4ta linje \u00e4r parallell med \\\$y=2x+5\\\$ `,\n svar: `a) \\\$a=-8\\\$ b) De \u00e4r inte parallella.`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f110\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. Best\u00e4m antalet l\u00f6sningar till ekvationen \\\$f(x)-g(x)=0\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-12-103306.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `3 st.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"grafer\"],\n kod: \"f111\"\n},\n{\n fraga: `Joakim ritar upp den r\u00e4ta linjen \\\$y=-3x+10\\\$ och den r\u00e4ta linjen \\\$30x+10y-100=0\\\$ i geogebra. Han blir bara lite f\u00f6rvirrad. Han ser bara en r\u00e4t linje. F\u00f6rklara f\u00f6r Joakim vad det beror p\u00e5. `,\n svar: `De \u00e4r samma r\u00e4ta linje`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f112\"\n},\n{\n fraga: `Om du vet att \\\$f(x)=x+5\\\$ har definitionsm\u00e4ngden \\\$0 < x < 3\\\$ samt att \\\$g(x)=x^2\\\$. Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r funktionen \\\$g(f(x))\\\$`,\n svar: `\\\$25 < y < 64\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f113\"\n},\n{\n fraga: `Joakim h\u00e4ller upp en kopp kaffe. Efter 7 minuter har 40% av den ursprungliga v\u00e4rmen i kaffet f\u00f6rsvunnit. Hur l\u00e5ngt tar det innan ursprungsv\u00e4rmen har minskat med 70%. Anta av v\u00e4rmen avtar exponentiellt. `,\n svar: `Ungef\u00e4r 16,5 minuter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true, \n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f114\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet av \\\$f(x) = 5x - 4\\\$ n\u00e4r \\\$x = 3\\\$.`,\n svar: `\\\$f(3) = 11\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f115\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r funktionen \\\$f(x) = 3x + 2\\\$, best\u00e4m \\\$x\\\$ s\u00e5 att \\\$f(x) = 17\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f116\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4t linje g\u00e5r igenom punkterna \\\$(0, 4)\\\$ och \\\$(2, 10)\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen.`,\n svar: `\\\$y = 3x + 4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f117\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$k\\\$-v\u00e4rdet f\u00f6r den r\u00e4ta linjen som g\u00e5r genom punkterna \\\$(1, 2)\\\$ och \\\$(5, 10)\\\$.`,\n svar: `\\\$k = 2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f118\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4t linje har ekvationen \\\$y = -2x + 7\\\$. Best\u00e4m var linjen sk\u00e4r \\\$y\\\$-axeln.`,\n svar: `I punkten \\\$(0, 7)\\\$ (eller \\\$y = 7\\\$)`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f119\"\n },\n {\n fraga: `Unders\u00f6k om punkten \\\$(3, 11)\\\$ ligger p\u00e5 linjen \\\$y = 4x - 1\\\$.`,\n svar: `Ja, den ligger p\u00e5 linjen`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f120\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4t linje har \\\$k\\\$-v\u00e4rdet \\\$3\\\$ och g\u00e5r igenom punkten \\\$(2, 9)\\\$. Best\u00e4m linjens \\\$m\\\$-v\u00e4rde.`,\n svar: `\\\$m = 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f121\"\n },\n {\n fraga: `Tv\u00e5 r\u00e4ta linjer \u00e4r parallella. Den ena linjen har ekvationen \\\$y = 5x - 2\\\$. Ange ett f\u00f6rslag p\u00e5 ekvationen f\u00f6r den andra linjen.`,\n svar: `Till exempel \\\$y = 5x + 1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f122\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s olikheten \\\$4x - 3 < 13\\\$.`,\n svar: `\\\$x < 4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f123\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s olikheten \\\$2x + 5 > 5x - 4\\\$.`,\n svar: `\\\$x < 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2, 0, 0],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f124\"\n },\n {\n fraga: `En exponentiell funktion skrivs p\u00e5 formen \\\$y = C \\\\cdot a^x\\\$. Best\u00e4m startv\u00e4rdet \\\$C\\\$ om du vet att \\\$y = 500\\\$ n\u00e4r \\\$x = 0\\\$.`,\n svar: `\\\$C = 500\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f125\"\n },\n {\n fraga: `Ett kapital p\u00e5 \\\$10\\\\ 000\\\$ kr s\u00e4tts in p\u00e5 ett bankkonto med \u00e5rsr\u00e4ntan \\\$2\\\\%\\\$. Formulera en funktion \\\$K(t)\\\$ som beskriver kapitalet efter \\\$t\\\$ \u00e5r.`,\n svar: `\\\$K(t) = 10000 \\\\cdot 1,02^t\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f126\"\n },\n {\n fraga: `V\u00e4rdet p\u00e5 en moped minskar med \\\$15\\\\%\\\$ varje \u00e5r. Den k\u00f6ptes ny f\u00f6r \\\$20\\\\ 000\\\$ kr. St\u00e4ll upp en funktion \\\$V(x)\\\$ som visar mopeden v\u00e4rde efter \\\$x\\\$ \u00e5r.`,\n svar: `\\\$V(x) = 20000 \\\\cdot 0,85^x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f127\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilket \\\$x\\\$-v\u00e4rde de tv\u00e5 r\u00e4ta linjerna \\\$y = 2x + 1\\\$ och \\\$y = -x + 7\\\$ sk\u00e4r varandra.`,\n svar: `\\\$x = 2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f128\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r funktionen \\\$f(x) = x^2 - 3\\\$, ber\u00e4kna \\\$f(-4)\\\$.`,\n svar: `\\\$f(-4) = 13\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f129\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$f(x) = 25\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x) = x^2\\\$.`,\n svar: `\\\$x = \\\\pm 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f130\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4t linje sk\u00e4r \\\$x\\\$-axeln i \\\$x = 3\\\$ och har \\\$m\\\$-v\u00e4rdet \\\$6\\\$. Best\u00e4m linjens ekvation.`,\n svar: `\\\$y = -2x + 6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f131\"\n },\n {\n fraga: `Givet funktionerna \\\$f(x) = 3x\\\$ och \\\$g(x) = x + 4\\\$, best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$f(2) + g(3)\\\$.`,\n svar: `\\\$13\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f132\"\n },\n {\n fraga: `Skriv om den r\u00e4ta linjen \\\$2y - 6x + 4 = 0\\\$ p\u00e5 k-form (\\\$y = kx + m\\\$).`,\n svar: `\\\$y = 3x - 2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f133\"\n },\n {\n fraga: `En taxiresa kostar en grundavgift p\u00e5 \\\$45\\\$ kr plus \\\$15\\\$ kr per kilometer. Formulera en funktion \\\$K(x)\\\$ f\u00f6r totalkostnaden som funktion av str\u00e4ckan \\\$x\\\$ i km.`,\n svar: `\\\$K(x) = 15x + 45\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f134\"\n }\n ],\n\n trigonometri: [\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna \\\$\\\\sin(30^\\\\circ)\\\$.`,\n svar: `\\\$0.5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t1\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en r\u00e4t linje p\u00e5 formen \\\$y=kx+m\\\$ Best\u00e4m vinkeln \\\$v\\\$.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-12-kl.-21.34.35.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$v=18,43^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t2\"\n },\n {\n fraga: `Joakim och hans kompis Bengt st\u00e5r och diskuterar r\u00e4tvinkliga trianglar (som man g\u00f6r).\nBengt menar att om man d\u00e5 multiplicerar en av kateterna med 2 kommer en av\nvinklarna att bli dubbelt s\u00e5 stor som den andra (som inte \u00e4r r\u00e4t). Joakim h\u00e5ller inte med\nom det. Unders\u00f6k vem som har r\u00e4tt. .`,\n svar: `Joakim har r\u00e4tt`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t3\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4tvinklig triangel vet du att kateterna \u00e4r 6 l\u00e4ngdenheter och 8 l\u00e4ngdenheter.<\/p> a) Best\u00e4m \\\$tanv\\\$ f\u00f6r den minsta vinkeln i triangeln <\/p> b) Best\u00e4m den st\u00f6rsta vinkeln som inte \u00e4r r\u00e4t i triangeln `,\n svar: `a) \\\$tanv)\\\\frac{3}{4}\\\$ b) \\\$53,13^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t4\"\n },\n {\n fraga: `Om du vet att \\\$sinv=\\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\$ Best\u00e4m d\u00e5 vinkeln \\\$v\\\$.`,\n svar: `\\\$v=60^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t5\"\n },\n {\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet g\u00e4ller f\u00f6r alla \\\$v\\\$ \\\$(sinv)^2+(cosv)^2 = 1\\\$`,\n svar: `Likheten st\u00e4mmer. Tips: Skriv om \\\$sinv\\\$ och \\\$cosv\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-211007.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t6\"\n },\n {\n fraga: ` Skriv f\u00f6ljande trigonometriska uttryck i storleksordning \\\$\\\\tan5^\\\\circ, \\\\sin5^\\\\circ, \\\\cos5^\\\\circ\\\$`,\n svar: `I storleksordning med minsta f\u00f6rst: \\\$\\\\sin5^\\\\circ,\\\\tan5^\\\\circ,\\\\cos5^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t7\"\n},\n{\n fraga: ` Under 1300-talet gjorde den indiska matematikern Madhava (1350-1425) en tabell f\u00f6r v\u00e4rden f\u00f6r olika vinkar p\u00e5 sinus. Nedan ser du texten f\u00f6r Madhavas tabell samt en modern f\u00f6rkortad tolkning av den. Best\u00e4m \\\$\\\\cos15^\\\\circ\\\$ med hj\u00e4lp av tabellen. : \n <img decoding=\"async\" src=\" https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-20-114028.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `\\\$cos15 =0,9659\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t8\"\n},\n{\n fraga: ` Best\u00e4m samtliga vinklar i de r\u00e4tvinkliga trianglarna nedan. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-25-081859.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `F\u00f6r den v\u00e4nstra triangeln: 30 och 60 grader. Den h\u00f6gra triangeln 32 och 58 grader`,\n niva: \"E\",\n poang: [4,0,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t9\"\n},\n{\n fraga: ` Best\u00e4m samtliga str\u00e4ckor i de r\u00e4tvinkliga trianglarna nedan. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-25-082023.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `F\u00f6r den v\u00e4nstra triangeln: 15, 8,8 och 12,11 l\u00e4ngdenheter. Den h\u00f6gra triangeln 10,3, 13,7 och 9 l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"E\",\n poang: [4,0,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t10\"\n},\n{\n fraga: ` Den v\u00e4ldiga Cheopspyramiden i Egypten \u00e4r v\u00e4rldens\nh\u00f6gsta pyramid. Byggd f\u00f6r 4500 \u00e5r sedan st\u00e5r den\nfortfarande p\u00e5 Giza-plat\u00e5n. Pyramiden har en kvadratisk\nbotten med sidl\u00e4ngden 230 meter. Vinkeln f\u00f6r pyramiden\nmot marken \u00e4r 50,1\u00b0. Best\u00e4m h\u00f6jden p\u00e5 pyramiden. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-25-081937.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `137 meter`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t11\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du ett antal vektorer.\na) Best\u00e4m samtliga vektorer i koordinatform.\nb) Best\u00e4m resultanten till \\\$u+v\\\$ i koordinatform\nc) Best\u00e4m |w|, svara exakt : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-084012.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `a) \\\$v=(1,-2), u=(3,2), w=(-2,4)\\\$ b) \\\$u+v=(4,0)\\\$ c) \\\$\\\\sqrt{20}\\\$ `,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"vektorer\"],\n kod: \"v1\"\n},\n{\n fraga: ` Best\u00e4m \\\$sinv+cosv\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande triangel. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-25-081808.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `\\\$\\\\frac{7}{5}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t12\"\n},\n{\n fraga: ` Best\u00e4m vinkeln \\\$v\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande figur. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-25-082105.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `\\\$v=27,54^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t13\"\n},\n{\n fraga: ` I grafen nedan \u00e4r en r\u00e4t linje ritad. Best\u00e4m den r\u00e4ta linjens lutning. Svara exakt. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-081318.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `\\\$k=tan35\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t14\"\n},\n {\n fraga: ` Kapten Joakim n\u00e4rmar sig nytt land och har funnit en fyr som han best\u00e4mt sig f\u00f6r att n\u00e4rma. Joakim \u00e4r p\u00e5 ett ok\u00e4nt avst\u00e5nd fr\u00e5n fyren men med hj\u00e4lp av ett verktyg kan han konstatera att fr\u00e5n havet till fyrens topp skapas det en vinkel p\u00e5 32\u00b0. Han r\u00f6r sig ytterligare 70 meter n\u00e4rmare fyren och vinkeln har nu \u00f6kat till 41\u00b0. Hur h\u00f6gt upp \u00e4r pirens topp? : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-20-103944.png\">`,\n svar: `156 meter \u00f6ver havet`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-20-104903.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t15\"\n},\n{\n fraga: `Om du vet att \\\$cosv = \\\\frac{3}{5}\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 \\\$sinv\\\$`,\n svar: `\\\$sinv = \\\\frac{4}{5}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t16\"\n},\n{\n fraga: `Om vi vet att \ud835\udc60\ud835\udc56\ud835\udc5b\ud835\udc63 > \ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc60\ud835\udc63 f\u00f6r en vinkel \ud835\udc63. Vad kan vi s\u00e4ga om den vinkeln d\u00e5?`,\n svar: `Vinkeln \u00e4r st\u00f6rre \u00e4n \\\$45^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t17\"\n},\n{\n fraga: `Anv\u00e4nd den liksidiga triangeln i mahifi-loggan f\u00f6r att best\u00e4mma ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r \\\$\\\\cos30^\\\\circ\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\cos30^\\\\circ\\\\ = \\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t18\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar tv\u00e5 vektorer. \\\$v=(2,5)\\\$ och \\\$u=(-1,4)\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande<\/p> a) \\\$v+u\\\$ i koordinatform <\/p> b) \\\$v-u\\\$ i koordinatform <\/p> c) \\\$ \\\\mid u \\\\mid\\\$ `,\n svar: `a) \\\$v+u=(1,9)\\\$ b) \\\$v-u=(3,1)\\\$ c) \\\$\\\\sqrt{26}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"vektorer\"],\n kod: \"v2\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar vektorerna \\\$v=(3,2)\\\$ och \\\$u=(12,15)\\\$. Best\u00e4m \\\$v+u\\\$ p\u00e5 koordinatform`,\n svar: `\\\$v+u=(15,17)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"vektorer\"],\n kod: \"v4\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m h\u00f6jden p\u00e5 byggnaden : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-181624.png\">`,\n svar: `Ungef\u00e4r 71 meter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-210837.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t19\"\n},\n {\n fraga: `Best\u00e4m arean av den r\u00e4tvinkliga triangeln ABC? : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-20-105448.png\">`,\n svar: `Arean \u00e4r \\\$5\\\\cdot\\\\sqrt{21}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-20-105517.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t20\"\n },\n {\n fraga: `\tVisa att man kan best\u00e4mma arean f\u00f6r vilken triangel som helst om man anv\u00e4nder f\u00f6ljande formel. Notera att \\\$b\\\$ \u00e4r hela basen f\u00f6r triangeln. Utg\u00e5 fr\u00e5n figuren nedan. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-25-204508.png\">`,\n svar: `Skriv ett uttryck f\u00f6r h\u00f6jden och sedan visa att likheten g\u00e4ller f\u00f6r areanformeln f\u00f6r en triangel.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t21\"\n },\n {\n fraga: `\tBest\u00e4m arean p\u00e5 triangeln nedan genom att anv\u00e4nda bland annat trigonometri. Samtliga str\u00e4ckor \u00e4r i cm. Notera att 15 cm utg\u00f6r hela basen f\u00f6r triangeln. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-25-204733.png\">`,\n svar: `\\\$37,5 cm^2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t22\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar vektorn \\\$u=(x,8)\\\$. Du vet att \\\$\\\\mid u \\\\mid=10\\\$. Best\u00e4m det\/de t\u00e4nkbara v\u00e4rdena p\u00e5 \\\$x\\\$ `,\n svar: `\\\$x= \\\\pm 6\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"vektorer\"],\n kod: \"t23\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4tvinklig triangel vet du att de tv\u00e5 vinklarna som inte \u00e4r r\u00e4tvinkliga \u00e4r \\\$v\\\$ och \\\$u\\\$. Om du vet att \\\$tan(v)=0,4\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 \\\$tan(u)\\\$. Svara i decimalform. `,\n svar: `\\\$tan(u)=2,5\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t24\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4tvinklig triangel har sidl\u00e4ngderna 7 cm, 24 cm och 25 cm. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> \na) Best\u00e4m \\\$tanv\\\$ f\u00f6r den minsta vinkeln i triangeln <\/p>\nb) Best\u00e4m samtliga vinklar i triangeln`,\nsvar: \"a) \\\$tanv=\\\\frac{7}{24}\\\$ b) \\\$16,26^{\\\\circ}\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t25\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en cirkel med radien 1 l\u00e4ngdenhet i ett koordinatsystem. Visa att punkten\n\\\$P\\\$ kan definieras som \\\$P=(cosv, sinv)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-083356.png\">`,\nsvar: \"Skapa en r\u00e4tvinklig triangel och visa att \\\$cosv\\\$ enbart \u00e4r \\\$x\\\$-v\u00e4rdet och \\\$sinv\\\$ enbart \u00e4r \\\$y\\\$-v\u00e4rdet.\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t26\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4tvinklig triangel vet du att \\\$sinv=\\\\frac{\\\\sqrt3}{2}\\\$. Best\u00e4m \\\$cosv\\\$ f\u00f6r samma triangel.`,\nsvar: \"\\\$cosv=\\\\frac{1}{2}\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t27\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4tvinklig triangel vet du att den har sidl\u00e4ngderna 1, \\\$\\\\sqrt3\\\$ och 2 l\u00e4ngdenheter. Best\u00e4m den minsta vinkeln i triangeln.`,\nsvar: \"\\\$30^{\\\\circ}\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t28\"\n },\n {\n fraga: `Observera vektorerna till h\u00f6ger. Best\u00e4m\nf\u00f6ljande <\/p> \na) Vektorerna i koordinatform <\/p> \nb) Joakim menar att \\\$\\\\mid v \\\\mid < \\\\mid u \\\\mid \\\$ st\u00e4mmer det?<\/p>\nc) Joakim menar att det finns ett \ud835\udc4e s\u00e5dant att \\\$a\\\\cdot v=u\\\$. Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-08-072056.png\">`,\nsvar: \"a) \\\$v=(-4,-1)\\\$ \\\$u=(2,5)\\\$ b) Det st\u00e4mmer c) Det finns inget s\u00e5dant.\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n underkategori: [\"vektorer\"],\n kod: \"v3\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har ritat upp en likbent r\u00e4tvinklig triangel. Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r \\\$sinv\\\$ f\u00f6r n\u00e5gon av vinklarna som inte \u00e4r \\\$90^{\\\\circ}\\\$`,\nsvar: \"\\\$sinv=\\\\frac{1}{\\\\sqrt2}\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t29\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar vektorerna i koordinatsystemet nedan. Best\u00e4m f\u00f6ljande<\/p> a) Best\u00e4m \\\$v\\\$ och \\\$u\\\$ i koordinatform. <\/p> b) \\\$v-u\\\$ <\/p> c) \\\$\\\\mid v+u \\\\mid \\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-08-073625.png\">`,\nsvar: \"a) \\\$u=(2,4)\\\$ och \\\$v=(-3,-1\\\$ b) \\\$v-u=(-5,-5)\\\$ c)\\\$\\\\mid v+u \\\\mid =\\\\sqrt{10} \\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [3,1,0],\n underkategori: [\"vektorer\"],\n kod: \"v5\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r tv\u00e5 vektorer vet du att \\\$v=(3,5)\\\$, \\\$u=(a,2a)\\\$ samt att \\\$\\\\mid v \\\\mid = \\\\mid u \\\\mid\\\$ Best\u00e4m \\\$a\\\$, svara med tv\u00e5 decimaler`,\nsvar: \"\\\$a=\\\\pm 2,61\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true, \n underkategori: [\"vektorer\"],\n kod: \"v6\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r tv\u00e5 vektorer vet du att \\\$v+u=(3,7)\\\$ och att \\\$v=(1,-1)\\\$ Best\u00e4m vektorn \\\$u\\\$ p\u00e5 koordinatform`,\nsvar: \"\\\$u=(2,8)\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"vektorer\"],\n kod: \"v7\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4tvinklig triangel vet du att \\\$tanv\\\\frac{12}{5}\\\$ <\/p> a) Best\u00e4m samtliga vinklar i triangeln. <\/p> b) Best\u00e4m \\\$sinv\\\$ f\u00f6r den r\u00e4tvinkliga triangeln `,\nsvar: \"a) 67,38 grader och 22,62 grader. b) \\\$sinv=\\\\frac{12}{13}\\\$\",\n niva: \"C\",\n digital: true, \n poang: [2,2,0],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t30\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar vektorn \\\$v=(3,4)\\\$. Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ om \\\$a\\\\cdot v=u\\\$ samt att \\\$\\\\mid u \\\\mid=15 \\\$`,\nsvar: \"\\\$a=\\\\pm 3\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true, \n underkategori: [\"vektorer\"],\n kod: \"v8\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en r\u00e4tvinklig triangel d\u00e4r samtliga str\u00e4ckor \u00e4r i cm. Best\u00e4m l\u00e4ngden av hypotenusan i triangeln.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-13-092455.png\">`,\nsvar: \"14 cm\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t31\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en r\u00e4tvinklig triangel d\u00e4r samtliga str\u00e4ckor \u00e4r i cm. Best\u00e4m l\u00e4ngden av \\\$x\\\$ i triangeln.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-13-093051.png\">`,\nsvar: \"5,77 cm\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t32\"\n }\n ],\n\n sannolikhet: [\n {\n fraga: `En t\u00e4rning kastas. Vad \u00e4r sannolikheten att f\u00e5 en sexa?`,\n svar: `\\\$\\\\tfrac{1}{6}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s1\"\n },\n {\n fraga: `Vad \u00e4r sannolikheten att du sl\u00e5r tv\u00e5 sexor i rad om du har sexsidiga t\u00e4rningar?`,\n svar: \"(\\\$\\\\frac{1}{36}\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s2\"\n},\n {\n fraga: `Joakim kastar staffkast i basket. Joakim har 60% chans att s\u00e4tta en kast.<\/p> a) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim s\u00e4tter tv\u00e5 kast i rad? <\/p> Vad \u00e4r sannolikheten att p\u00e5 3 kast att Joakim har satt 1 och missat 2?`,\n svar: \"a) 36% b) 28,8%\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s3\"\n},\n {\n fraga: `Joakim k\u00f6per 3 trisslotter. Det \u00e4r \\\$\\\\frac{1}{3}\\\$ sannolikhet att det \u00e4r vinst p\u00e5 en lott. <\/p> a) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim vinner p\u00e5 alla lotter? <\/p> b) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim vinner p\u00e5 minst 1 lott?`,\n svar: \"a) 3,7% b) 70%\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s4\"\n},\n {\n fraga: `Joakim har en sk\u00e5l med 10 kulor. 3 av kulorna \u00e4r bl\u00e5, 3 \u00e4r r\u00f6da och 4 \u00e4r svarta. <\/p> a) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim plockar upp en svart kula? <\/p> b) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim plockar upp tv\u00e5 kulor av samma f\u00e4rg?`,\n svar: \"a) 40% b) 26,6%\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s5\"\n},\n {\n fraga: `I en l\u00e5da ligger det 7 vita och 10 svarta bollar. Vad \u00e4r sannolikheten att <\/p> a) Joakim plockar upp tv\u00e5 vita bollar? <\/p> b) Joakim plockar upp etv\u00e5 bollar och en \u00e4r svart och en vit?`,\n svar: \"a) 15% b) 51%\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s6\"\n},\n {\n fraga: `Observera kalkylarket nedan.\n <\/p> a) Best\u00e4m vilken formel som Joakim har skrivit i D2 f\u00f6r att f\u00e5 fram sitt resultat<\/p> b) Best\u00e4m vilken formel som Joakim har skrivit i J2 f\u00f6r att f\u00e5 fram sitt resultat <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmavbild-2025-09-25-kl.-17.43.38.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: \"a) =A2*0,7 b) =D2+B2-H2\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"statistik\"],\n kod: \"s7\"\n},\n {\n fraga: `I ett land \u00e4r det riksdagsval om n\u00e5gra veckor. Man har gjort en valunders\u00f6kning f\u00f6r att\nunders\u00f6ka om partikonstellationen Parti A, Parti B och Parti C kan f\u00e5 majoritet i\nriksdagen. Unders\u00f6kningen visar f\u00f6ljande. Unders\u00f6k om det \u00e4r statistiskt signifikant att partikonstellationen f\u00e5r majoritet enligt\nvalunders\u00f6kningen. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-071707.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: \"Det \u00e4r inte statisiskt signifikant att de f\u00e5r majoritet.\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"statistik\"],\n kod: \"s8\"\n},\n {\n fraga: `Joakim utmanar sin kompis p\u00e5 fotbollsstraffar. Sannolikheten att Joakim s\u00e4tter en straff\n\u00e4r 25%. De ska sl\u00e5 3 straffar var. Joakims alla utfall beskrivs av tr\u00e4ddiagrammet nedan.<\/p> \na) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim missar alla sina straffar? <\/p> \nb) Joakim p\u00e5st\u00e5r att det \u00e4r lika stor sannolikhet att han missar tv\u00e5 och sen s\u00e4tter en som\natt han s\u00e4tter en och sedan missar tv\u00e5. Unders\u00f6k och motivera om han har r\u00e4tt. <\/p> \nc) Joakims kompis fick b\u00f6rja och satte 1 straff. Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim s\u00e4tter\nfler straffar? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-075609.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: \"a) 42% b) Samma ber\u00e4kning d\u00e4rav \u00e4r det samma sannolikhet c) 15,6%\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s9\"\n},\n {\n fraga: `Joakim ska spela p\u00e5 lotto. P\u00e5 lotteriet \u00e4r sannolikheten att man vinner minst en vinst p\u00e5 3 lotter 51,2%. Vad \u00e4r sannolikheten att vinna p\u00e5 en lott? `,\n svar:`21%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-26-092602.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s10\"\n},\n{\n fraga: `Vad \u00e4r sannolikheten att du f\u00e5r minst tv\u00e5 sexor om du sl\u00e5r en sexsidig t\u00e4rning sex g\u00e5nger?`,\n svar:`26%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-26-091742.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s11\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim singlar slant. Det finns tv\u00e5 m\u00f6jliga utfall: antingen krona eller klave.<\/p> a) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim f\u00e5r minst en krona om han singlar fem g\u00e5nger? <\/p> b) Skriv ett uttryck f\u00f6r sannolikheten att f\u00e5 minst en krona om man singlar \ud835\udc5b g\u00e5nger.`,\n svar:`a) \\\$\\\\frac{31}{32}\\\$ b) \\\$1-(\\\\frac{1}{2})^x\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s12\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim ska ta ett beslut i livet som det \u00e4r 40% chans att han f\u00e5r r\u00e4tt p\u00e5. Han kan ta beslutet sj\u00e4lv eller s\u00e5 kan han ge beslutet till sina 3 b\u00e4sta v\u00e4nner som d\u00e5 ocks\u00e5 har 40% chans att ta r\u00e4tt beslut. Joakim kommer d\u00e5 ta det beslutet som majoriteten av hans kompisar v\u00e4ljer (alla kompisar v\u00e4ljer enskilt). Unders\u00f6k om det \u00e4r b\u00e4st att Joakim tar beslutet sj\u00e4lv eller ger beslutet till sina kompisar.`,\n svar:`Det \u00e4r b\u00e4ttre att Joakim tar beslutet sj\u00e4lv eftersom Joakim har 40% chans att f\u00e5 r\u00e4tt och kompisarna har 35,2% chans att g\u00f6ra r\u00e4tt`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s13\"\n},\n{\n fraga: ` a) Det nyskapade Joakimpartiet vill komma in i kommunfullm\u00e4ktige i Lund. Det kr\u00e4vs 3% f\u00f6r att komma in. Under en valunders\u00f6kning som genomf\u00f6rde i maj fick Joakimpartiet 2,6% av r\u00f6sterna. Unders\u00f6kningen hade en felmarginal p\u00e5 \u00b10,5\nprocentenheter. Best\u00e4m om det \u00e4r statistiskt s\u00e4kerst\u00e4llt att Joakimpartiet inte kommer in i kommunfullm\u00e4ktige. <\/p>\nb) I juli gjorde man en ny unders\u00f6kning d\u00e4r Joakimpartiet fick 3,4% av r\u00f6sterna.\nValunders\u00f6kningen hade samma felmarginal som unders\u00f6kningen i maj. Best\u00e4m om\ndet \u00e4r statistiskt signifikant att Joakimpartiet kommer in i kommunfullm\u00e4ktige och \u00e4r\n\u00f6kningen f\u00f6r partiet statistisk signifikant?`,\n svar:`a) Det \u00e4r inte statistiskt s\u00e4kerst\u00e4llt att Joakimpartiet inte kommer in. b) Det \u00e4r inte statistiskt s\u00e4kerst\u00e4llt att de kommer in eller att en \u00f6kning har skett.`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"statistik\"],\n kod: \"s14\"\n},\n {\n fraga: `Beskriv i ord vad f\u00f6ljande spridningsdiagram s\u00e4ger om korrelationen. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-25-154827.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `1. Positiv korrelation, 2. Ingen korrelation, 3. Svag negativ korrelation, 4. Negativ korrelation.`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"statistik\"],\n kod: \"s15\"\n },\n {\n fraga: `Tv\u00e5 mynt kastas. Vad \u00e4r sannolikheten f\u00f6r tv\u00e5 krona?`,\n svar: `\\\$\\\\tfrac{1}{4}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s16\"\n },\n {\n fraga: `I en p\u00e5se med 10 kulor finns det 4 svarta, 6 bl\u00e5a <\/p>\n\na)\tBest\u00e4m sannolikheten att om man plockar upp tv\u00e5 kulor att de \u00e4r av samma f\u00e4rg. <\/p>\n\nb)\tJoakim l\u00e4gger i ett ok\u00e4nt antal r\u00f6da kulor. Sannolikheten att plocka tv\u00e5 av samma f\u00e4rg \u00e4r nu 30%. Hur m\u00e5nga kulor la Joakim till?\n`,\n svar: `a) 47,7% b) 6 st `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s17\"\n },\n {\n fraga: `I en sk\u00e5l finns det 10 kulor med tv\u00e5 olika f\u00e4rger. Joakim tar ner sin hand och plockar\nupp en kula, l\u00e4gger tillbaka den, blandar om och sedan plockar upp en kula igen. Hur\nm\u00e5nga kulor finns det av respektive f\u00e4rg om sannolikheten att Joakim har plockat upp\ntv\u00e5 av samma f\u00e4rg \u00e4r 52%. \n`,\n svar: `6 respektive 4`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s18\"\n },\n {\n fraga: `P\u00e5v\u00e4g till jobbet passerar Joakim 3 trafikljus. Joakim vet att trafikljusen \u00e4r gr\u00f6na 60%\nav tiden och resterande r\u00f6da. Trafikljusen lyser helt slumpm\u00e4ssigt. <\/p>\na) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim f\u00e5r r\u00f6tt p\u00e5 samtliga trafikljus <\/p> \nb) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim f\u00e5r r\u00f6tt p\u00e5 enbart ett trafikljus <\/p>\nc) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim f\u00e5r r\u00f6tt p\u00e5 minst ett trafikljus\n`,\n svar: `a) 6,4% b) 19,2% c) 78,4%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,3,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s19\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har gjort tv\u00e5 unders\u00f6kningar som unders\u00f6kte hur m\u00e5nga av Spykens elever\nsom gillade matematik. Unders\u00f6kningen hade en felmarginal p\u00e5 \u00b1 4 procentenheter.\n2024 svarade 68% av eleverna att de gillade matematik och 2025 svarade 74% av de\ngillade matematik. \u00c4r \u00f6kningen statistiskt signifikant?`,\n svar: `\u00d6kningen \u00e4r inte statistisk signifikant eftersom konfidensintervallen \u00f6verlappar`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"statistik\"],\n kod: \"s20\"\n },\n {\n fraga: `P\u00e5 Spyken kan 40% av eleverna spela gitarr, 30% av eleverna kan spela piano och en\nok\u00e4nd andel kan spela bas. Om man v\u00e4ljer en slumpm\u00e4ssig elev p\u00e5 Spyken \u00e4r\nsannolikheten 66,4% av eleven kan spela minst ett av instrumenten ovan. Hur m\u00e5nga\nprocent av Spykens elever kan spela bas? `,\n svar: `20% spelar bas`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true, \n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s21\"\n },\n {\n fraga: `I en l\u00e5da med 3 par olika skor (ett par vita, ett par svarta, ett par r\u00f6da) ska Joakim ta\nupp tv\u00e5 stycken skor. <\/p> \na) Var \u00e4r sannolikheten att Joakim har f\u00e5tt upp ett par i vita skor om han tar tv\u00e5 stycken? <\/p>\nb) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim h\u00e5ller i tv\u00e5 olika skor om han tar tv\u00e5 stycken? `,\n svar: `a) \\\$\\\\frac{1}{15}\\\$ b) \\\$\\\\frac{4}{5}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s22\"\n },\n {\n fraga: `I en bestickl\u00e5da finns 10 gafflar, 10 knivar och 10 skedar. Str\u00f6mmen har g\u00e5tt och det \u00e4r sl\u00e4ckt i rummet. Hur stor \u00e4r sannolikheten att du f\u00e5r ett bestick av varje sort n\u00e4r du slumpm\u00e4ssigt tar tre bestick ur l\u00e5dan?`,\n svar: `17,7%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s23\"\n },\n {\n fraga: `Joakim ska kasta pennor i en papperkorg. Det visar sig att Joakim s\u00e4tter \\\$\\\\frac{5}{8}\\\$ av sina kast. <\/p> \n\n\ta) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim s\u00e4tter tre pennor i rad? <\/p> \n\n\tb) Vad \u00e4r sannolikheten att om Joakim kastar tre pennor att han satt tv\u00e5 och missat en? <\/p>\n\n\tc) Vad \u00e4r sannolikheten att han satt minst en om han kastar tre pennor?`,\n svar: `a) 24% b) 44% c) 95%`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,3,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s24\"\n }\n ],\n\n problemlosning: [\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett uttryck f\u00f6r arean av den gr\u00e5a rektangeln: \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-02-141824.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `\\\$h(19-b)\\\$.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l1\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har 8 km mellan hemmet och skolan. Han befinner sig nu n\u00e5gonstans d\u00e4remellan. \n Antingen g\u00e5r han direkt till skolan eller g\u00e5r hem, h\u00e4mtar sin cykel och cyklar till skolan. \n Han cyklar sex g\u00e5nger s\u00e5 fort som han g\u00e5r. Oavsett vilket alternativ kommer han fram samtidigt. Hur l\u00e5ngt fr\u00e5n skolan \u00e4r Joakim nu?`,\n svar: `\\\$\\\\tfrac{14}{3}\\\\,\\\\text{ km}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-195621.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l2\"\n },\n {\n fraga: ` Joakim s\u00e4tter sig i en taxi f\u00f6r f\u00f6retaget Taxi Lund. Chauff\u00f6ren s\u00e4ger att han har ett startpris p\u00e5 100 kr och sedan 40 kr per km. Joakim vet ett konkurrerande bolag som heter Taxi Axi inte har n\u00e5gon startavgift men kostar 50 kr per km. \n \na) Skriv ett algebraiskt uttryck f\u00f6r Taxi Lunds kostnad om Joakim \u00e5ker \ud835\udc65 antal km. \n\nb) Skriv ett algebraiskt uttryck f\u00f6r Taxi Axis kostnad om Joakim \u00e5ker \ud835\udc65 antal km. \n\nc) F\u00f6r vilket km-antal spelar det ingen roll om Joakim v\u00e4ljer Taxi Axi eller Taxi Lund. St\u00e4ll upp en ekvation och l\u00f6s den.`,\n svar: `a) \\\$100+40x\\\$ b) \\\$50x\\\$ c) 5 km `,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l3\"\n},\n{\n fraga: ` I en idrottsf\u00f6rening var dubbelt s\u00e5 m\u00e5nga flickor som pojkar medlemmar. En fj\u00e4rdedel av flickorna och h\u00e4lften av pojkarna var fotbollsspelare. Hur stor andel av medlemmarna var fotbollsspelare?`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{3}\\\$ av medlemmarna \u00e4r fotbollsspelare`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l4\"\n},\n{\n fraga: `Tv\u00e5 raka cylindrar A och B har samma volym. Radien i cylinder B \u00e4r 10% st\u00f6rre \u00e4n\nradien i cylinder A. Hur mycket st\u00f6rre \u00e4r h\u00f6jden i cylinder A \u00e4n h\u00f6jden i cylinder B?`,\n svar: `21%`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l5\"\n},\n{\n fraga: `Tre p\u00e5 varandra f\u00f6ljande heltal summeras till 42 best\u00e4m det f\u00f6rsta av talen. `,\n svar: `F\u00f6rsta talet \u00e4r 13`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l6\"\n},\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande multiplikation \\\$(1-\\\\frac{1}{2})(1-\\\\frac{1}{3})(1-\\\\frac{1}{4})(1-\\\\frac{1}{5})\\\\cdot...\\\\cdot(1-\\\\frac{1}{99})(1-\\\\frac{1}{100})\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{100}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-214421.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l7\"\n},\n{\n fraga: ` P\u00e5 en buss sitter ett antal personer. P\u00e5 h\u00e5llplats A g\u00e5r \\\$\\\\frac{1}{4}\\\$ av bussen passagerare av samtidigt som det stiger p\u00e5 6 personer. P\u00e5 h\u00e5llplats B stiger det av \\\$\\\\frac{1}{2}\\\$ av bussen passagerare och samtidigt stiger det p\u00e5 7 personer. P\u00e5 h\u00e5llplats C stiger \\\$\\\\frac{1}{5}\\\$ av och ingen stiger p\u00e5 och kvar p\u00e5 bussen \u00e4r 17 personer. Hur m\u00e5nga var p\u00e5 bussen inf\u00f6r stoppet p\u00e5 h\u00e5llplats A?\n`,\n svar: `30 personer`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-12-kl.-18.31.20.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l8\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en triangel vet du att basen \u00e4r dubbelt s\u00e5 l\u00e5ng som h\u00f6jden. Arean f\u00f6r triangeln \u00e4r 100 \\\$cm^2\\\$. Best\u00e4m h\u00f6jden p\u00e5 triangeln`,\n svar: `H\u00f6jden \u00e4r 10 cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l9\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har 49 bl\u00e5a och 3 r\u00f6d godis i en p\u00e5se. Hur m\u00e5nga bl\u00e5a godisar m\u00e5ste Joakim\n\u00e4ta f\u00f6r att de bl\u00e5 ska utg\u00f6ra \\\$\\\\frac{5}{8}\\\$\nav det totala antalet?\n`,\n svar: `44 st`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l10\"\n},\n {\n fraga: `Joakim ska k\u00f6pa tv\u00e5 produkter. I originalpris \u00e4r den ena 4 g\u00e5nger s\u00e5 dyr som den andra. P\u00e5 rea kostar den billigare produkten en tredjedel av originalpriset och den dyrare h\u00e4lften. \n Totalt blir rabatten 800 kr p\u00e5 summan av originalpriserna. Best\u00e4m originalpriset p\u00e5 den billigare produkten.`,\n svar: `300 kr`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-211229.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l11\"\n },\n {\n fraga: `Salthalten i en tunna med vatten \u00e4r 2%. Hur m\u00e5nga procent av vattnet m\u00e5ste avdunsta f\u00f6r att salthalten ska stiga till 7%?.`,\n svar: `71,4%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-091114.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l12\"\n },\n {\n fraga: `Visa att om omkretsen f\u00f6r en kvadrat och cirkel \u00e4r samma kommer kvadratens area alltid vara mindre \u00e4n cirkelns area..`,\n svar: `Fullst\u00e4ndigt bevis. Tips: Skriv uttryck f\u00f6r b\u00e5da figurernas omkrets och visa sedan p\u00e5 f\u00f6rh\u00e5llandet mellan areorna`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l13\"\n },\n {\n fraga: `Joakim och hans flickv\u00e4n springer runt en cirkul\u00e4r bana med omkrets m meter. \n Joakim tar 5 minuter runt banan, flickv\u00e4nnen 4 minuter. De startar fr\u00e5n samma punkt i motsatta riktningar. \n Efter hur l\u00e5ng tid m\u00f6ts de?`,\n svar: `2,22 minuter (ungef\u00e4r)`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-071322.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l14\"\n },\n {\n fraga: ` Joakims kompish\u00e4ng inneh\u00e5ller 12 personer. De ska g\u00e5 och fixa p\u00e5 ett caf\u00e9. V\u00e4l framme best\u00e4mmer sig ett antal personer i g\u00e4nget att de enbart vill ha bulle som kostar 15 kr styck och den andra tar bara kaffe f\u00f6r 10 kr styck. N\u00e4r de slog ihop kostnaden f\u00f6r samtliga betalade de 140 kr. Hur m\u00e5nga k\u00f6pte kaffe respektive bulle p\u00e5 caf\u00e9et?`,\n svar: `4 personer \u00e5t bulle och 8 personer drack kaffe `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l15\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim och hans 2 kompisar Pelle och Victor har alla olika l\u00e4ngd. Pelle \u00e4r 20 cm l\u00e4ngre \u00e4n Joakim och Joakim \u00e4r 10 cm kortare \u00e4n Victor. Om man summerar Joakim, Pelles och Victors l\u00e4ngd f\u00e5r man 555 cm. Hur l\u00e5ng \u00e4r Joakim?`,\n svar: `175 cm `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l16\"\n},\n {\n fraga: `Ulrika ska fylla sin swimmingpool. Hon har tv\u00e5 olika vattenkranar\nsom hon kan anv\u00e4nda n\u00e4r hon fyller poolen. Ulrika vet att om\nman v\u00e4ljer den ena kranen tar det 6 timmar att fylla poolen med\nvatten. Om hon anv\u00a8ander den andra tar det 3 timmar. Idag t\u00e4nker\nhon anv\u00e4nda b\u00e5da vattenkranarna. Hur l\u00e5ng tid kommer det att ta\natt fylla poolen?`,\n svar: `2 timmar`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l17\"\n },\n {\n fraga: `Triangelns h\u00f6jd utg\u00f6r radien i en halvcirkel. Hur stor andel av halvcirkeln t\u00e4cker triangeln? \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-070027.png\" alt=\"Halvcirkel och triangel\">`,\n svar: `\\\$\\\\tfrac{2}{\\\\pi}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l18\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har g\u00e5tt med i en klubb f\u00f6r matematiker. N\u00e4r han gick med fick han f\u00f6ljande\nproblem som intagningsprov. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmavbild-2025-09-19-kl.-06.45.48.png\" alt=\"Halvcirkel och triangel\"> Unders\u00f6k om du kommer med i klubben`,\n svar: `\\\$\\\\tfrac{5}{9}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l19\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m h\u00f6jden av glaset. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmavbild-2025-09-19-kl.-06.48.14.png\">`,\n svar: `14 cm`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l20\"\n },\n {\n fraga: `\tEn kvadrat med sidl\u00e4ngden \\\$x\\\$ minskar sin h\u00f6jd men \u00f6kar sin bredd till en rektangel (enligt bilden nedan). Skriv ett uttryck f\u00f6r l\u00e4ngden \\\$p\\\$ uttryckt i \\\$x\\\$ om arean f\u00f6r kvadraten och den nya rektangeln ska vara lika stora. Figuren \u00e4r inte skalenligt ritad. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-09-093645.png\">`,\n svar: `\\\$p=\\\\frac{x}{4}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l21\"\n },\n {\n fraga: `Sidan p\u00e5 en kvadrat \u00f6kar med 100%. Det g\u00f6r att arean \u00f6kar med 1200 \ud835\udc50\ud835\udc5a2. Best\u00e4m\nl\u00e4ngden p\u00e5 kvadratens sidl\u00e4ngd efter \u00f6kningen.`,\n svar: `40 cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l22\"\n },\n {\n fraga: `En stor rektangel indelad i 7 kvadrater. Den sammanlagda l\u00e4ngden f\u00f6r de gr\u00e5markerade kvadraterna \u00e4r 12 cm. \n Best\u00e4m arean p\u00e5 kvadraten som \u00e4r markerad med A. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-211904.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Arean \u00e4r 81 \\\$cm^{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-212112.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l23\"\n },\n {\n fraga: `\"Joakim har hittat ett m\u00f6nster. Unders\u00f6k om det g\u00e4ller f\u00f6r alla heltal.\" \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-072415.png\" alt=\"M\u00f6nster\">`,\n svar: `Det st\u00e4mmer bra`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-072726.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l24\"\n },\n {\n fraga: `I en djurpark best\u00e5r en flock av 80% alpackor och resten lamor. Efter att 5 alpackor s\u00e4ljs och 10 lamor k\u00f6ps in \u00e4ndras andelen alpackor till 70%. Hur m\u00e5nga djur fanns det ursprungligen?`,\n svar: `Flocken var 85 st`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-214452.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l25\"\n },\n {\n fraga: `En glasflaska fylld till en femtedel v\u00e4ger 560 g. Samma flaska fylld till fyra femtedelar v\u00e4ger 740 g. Hur mycket v\u00e4ger en tom flaska?`,\n svar: `500 gram`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-064648.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l26\"\n },\n {\n fraga: `P\u00e5 ett f\u00f6retag \u00f6kade antalet anst\u00e4llda p\u00e5 ingenj\u00f6rsavdelningen med 10% under ett \u00e5r, medan antalet p\u00e5 marknadsavdelningen minskade med 5%. \n Totalt \u00f6kade antalet p\u00e5 de tv\u00e5 avdelningarna fr\u00e5n 150 till 156 personer. Hur m\u00e5nga fanns ursprungligen p\u00e5 varje avdelning?`,\n svar: `90 ingenj\u00f6rer och 60 p\u00e5 marknadsavdelningen`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-215702.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l27\"\n },\n {\n fraga: `Joakim cyklar till stranden i 30 km\/h och p\u00e5 hemv\u00e4gen 20 km\/h. Vad \u00e4r medelhastigheten f\u00f6r hela resan?`,\n svar: `24 km\/h`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-220528.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l28\"\n },\n {\n fraga: `Triangeln nedan har basen 3 och h\u00f6jden 4. Best\u00e4m sidl\u00e4ngden i kvadraten A: \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-082242.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `\\\$\\\\frac{12}{7}\\\$ l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-082346.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l29\"\n },\n {\n fraga: `Visa att den svartmarkerade arean g\u00e5r att beskriva som \\\$r^{2}(4-\\\\pi)\\\$ d\u00e4r r \u00e4r radien f\u00f6r en cirkel: \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-091334.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Visa att det st\u00e4mmer`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-092344.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l30\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m en formel f\u00f6r f\u00f6ljande m\u00f6nster och unders\u00f6k om n\u00e5gon figur inneh\u00e5ller \\\$16^{3}\\\$ prickar: \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-093525.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Figur 32 (enligt ursprungsfilen)`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-093851.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l31\"\n },\n {\n fraga: `Observera m\u00f6nstret nedan. Vilken figur i ordningen inneh\u00e5ller \\\$3^{6}\\\$ prickar? \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-105945.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Figur 14`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-110352.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l32\"\n },\n {\n fraga: `Observera f\u00f6ljande m\u00f6nster d\u00e4r antalet mindre kvadrater f\u00f6r\u00e4ndras. Lotta menar att\nantalet kvadrater g\u00e5r att beskriva med f\u00f6ljande formel \\\$K=n^2+4n+4\\\$ d\u00e4r \ud835\udc3e \u00e4r\nantalet kvadrater och \ud835\udc5b \u00e4r figuren i ordningen. Visa hur Lotta f\u00e5tt fram sin formel.? \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-180017.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Skriv ett uttryck f\u00f6r rutorna och utveckla sedan det uttrycket`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-180057.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l33\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m en formel f\u00f6r m\u00f6nstret och unders\u00f6k eventuell koppling till \\\$16^{3}\\\$: \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-093525.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Figur 32`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-093851.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l34\"\n },\n {\n fraga: `Nedan visas en cirkel och en inskriven kvadrat. Kvadraten har sidl\u00e4ngden \ud835\udc4e. Best\u00e4m\nett uttryck f\u00f6r arean p\u00e5 cirkeln uttryckt i \ud835\udc4e.\n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-083941.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Arean \\\$=2\\\\pi a^2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l35\"\n }\n ],\n geogebra: [\n {\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation med ditt digitala verktyg \\\$x^5=10\\\$, svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar:`\\\$x=1,58\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n kod: \"g1\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$5,2^x=13,71\\\$ med hj\u00e4lp av ditt digitala hj\u00e4lpmedel. Svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar:`\\\$x=1,59\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n kod: \"g2\"\n},\n{\n fraga: `Rita upp funktionerna \\\$f(x)=x^2\\\$ och \\\$g(x)=2x\\\$ i ditt digitala hj\u00e4lpmedel. Best\u00e4m f\u00f6r vilka \\\$x\\\$ \\\$g(x) > f(x)\\\$`,\n svar:`\\\$0< x <2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true,\n kod: \"g3\"\n},\n {\n fraga: `Vi definierar funktioner \\\$f(x)=3x+2\\\$ och \\\$g(x)=2^x\\\$. L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=g(x)\\\$ med ditt digitala hj\u00e4lpmedel och svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar:`\\\$x_1=-0,42, x_2=3,72\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true,\n kod: \"g4\"\n},\n{\n fraga: `Rita upp funktionerna \\\$f(x)=x^2\\\$ och \\\$g(x)=2x-1\\\$ i ditt digitala verktyg. F\u00f6r vilket\/vilka v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$x\\\$ \u00e4r \\\$f(x)=g(x)\\\$`,\n svar:`\\\$x=1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true,\n kod: \"g5\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$x\\\$ \u00e4r funktionen \\\$-x^2+6x>0\\\$. L\u00f6s uppgiften med ditt digitala hj\u00e4lpmedel.`,\n svar:`\\\$0< x <6\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true,\n kod: \"g6\"\n},\n {\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation med ditt digitala verktyg \\\$5^x=21\\\$, svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar:`\\\$x=1,89\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n kod: \"g7\"\n}\n ]\n },\n\n \/\/ MATEMATIK 2\n ma2: {\n algebra: [\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x+4)(x-2)=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=-4, x_2=2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a1\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-4x+4=0\\\$`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a2\"\n},\n{\n fraga: `Utveckla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x-4)^2\\\$`,\n svar: `\\\$x^2-8x+16\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a3\"\n},\n{\n fraga: `Anv\u00e4nd konjugatregeln f\u00f6r att ber\u00e4kna f\u00f6ljande<\/p> \\\$96^2-4^2\\\$ `,\n svar: `9200`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a4\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+2)^2-4x\\\$`,\n svar: `\\\$x^2+4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a5\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x-10)^2-(x^2+100)\\\$`,\n svar: `\\\$-20x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a6\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationssystemet \\\$\\\\begin{cases} 2x+y=11 \\\\\\\\ y-x=-4 \\\\end{cases}\\\$`,\n svar: `\\\$x=5, y=1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a7\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6rklara varf\u00f6r f\u00f6ljande ekvatitionssystem saknar l\u00f6sningar \\\$\\\\begin{cases} y-3x=0 \\\\\\\\ 2y=10+6x \\\\end{cases}\\\$`,\n svar: `De r\u00e4ta linjerna som utg\u00f6r ekvationerna har samma k-v\u00e4rde (parallella), d\u00e4rmed sk\u00e4r de inte varandra och systemet saknar l\u00f6sningar. `,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a8\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x-10)(x+10)+100\\\$`,\n svar: `\\\$x^2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a9\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(\\\\sqrt{x}+\\\\sqrt{y})(\\\\sqrt{x}-\\\\sqrt{y})\\\$`,\n svar: `\\\$x-y\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a10\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\sqrt{2x+8}=2x-4\\\$`,\n svar: `\\\$x=4\\\$ \\\$x=\\\\frac{1}{2}\\\$ \u00e4r en falskrot.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a11\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\sqrt{x+9}-\\\\sqrt{x}-1=0\\\$`,\n svar: `\\\$x=16\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-170912.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a11\"\n},\n{\n fraga: `Tv\u00e5 p\u00e5 varandra f\u00f6ljande heltal kvadrerade har summan 265. Best\u00e4m vilka tal som har\ns\u00e5dan egenskap.`,\n svar: `Talen \u00e4r antingen 11, 12 eller -12, -11`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-11-215616.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a12\"\n},\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$123456^2-123454\\\\cdot 123458\\\$`,\n svar: `4`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-11-220257.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a13\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\frac{9}{\\\\sqrt{x+3}}+\\\\sqrt{x+3}=6\\\$`,\n svar: `\\\$x=6\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-17.53.47.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a14\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$c\\\$ kommer f\u00f6ljande ekvation enbart ha en l\u00f6sning \\\$x^2-6x+c=0\\\$`,\n svar: `\\\$c=9\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a15\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x-\\\\sqrt{x}-2=0\\\$`,\n svar: `\\\$x=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a16\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m \\\$y\\\$ om du vet att \\\$y^2+x^2=53\\\$ och \\\$x+y=9\\\$ om du vet att \\\$y>x\\\$`,\n svar: `\\\$y=7\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.24.14.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsekvationer\", \"ekvationssystem\"],\n kod: \"a17\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilket\/vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$c\\\$ har f\u00f6ljande ekvation enbart en l\u00f6sning <\/p> \\\$x^2+2cx+4c-4=0\\\$ `,\n svar: `\\\$c=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a18\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilka \\\$a\\\$ som f\u00f6ljande ekvation saknar l\u00f6sningar \\\$\\\\sqrt{6x+a}-x=3\\\$`,\n svar: `\\\$a<9\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a19\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du en rektangel. Vilken eller vilka m\u00f6jliga tal p\u00e5 \ud835\udc65 kan anta om vi vet att\narean av triangeln \u00e4r 12 areaenheter <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-083836.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$x\\\$ m\u00e5ste vara 2 l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a20\"\n},\n{\n fraga: `Om du vet att \\\$a+b=25\\\$ samt att \\\$a^2-b^2=75\\\$ best\u00e4m differensen \\\$a-b\\\$`,\n svar: `\\\$a-b=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a21\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$p\\\$ om f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer <\/p> \\\$(2x+p)(2x-p)=4x^2-2\\\$ `,\n svar: `\\\$p=\\\\pm \\\\sqrt2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a22\"\n},\n{\n fraga: `Du har 15 sedlar som enbart \u00e4r 20-lappar och 50-lappar. Unders\u00f6k om du\nkan ha 550 kr med de sedlarna. `,\n svar: `Det g\u00e5r tyv\u00e4rr inte. Tips: st\u00e4ll upp ett ekvationssystem`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a23\"\n},\n{\n fraga: ` L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation med hj\u00e4lp av kvadreringsreglerna <\/p> \\\$4x^4-4x^2+1=0\\\$ `,\n svar: `\\\$x=\\\\pm \\\\frac{1}{\\\\sqrt{2}}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a24\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim p\u00e5st\u00e5r att det finns tv\u00e5 tal som har f\u00f6ljande egenskaper.<\/p> \n\u2022 Summan av talen \u00e4r 10 <\/p> \n\u2022 Differensen av talen resulterar i en tredjedel av summan av talen <\/p>\nUnders\u00f6k om Joakim har r\u00e4tt att det finns tv\u00e5 s\u00e5dana tal`,\n svar: `Det ena talet \u00e4r \\\$\\\\frac{10}{3}\\\$ och det andra \u00e4r \\\$\\\\frac{20}{3}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-11-222123.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a25\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m produkten \\\$x\\\\cdot y\\\$ om du vet att \\\$x+y=9\\\$ samt att \\\$x^2+y^2=53\\\$`,\n svar: `\\\$x\\\\cdot y=14\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a26\"\n},\n{\n fraga: `Summan av tv\u00e5 tal \u00e4r 20, differensen av samma tal \u00e4r 10. Vilka tal har de egenskaperna?`,\n svar: `15 och 5 \u00e4r talen`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a27\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{4-x}{2+\\\\sqrt{x}}\\\$`,\n svar: `\\\$2-\\\\sqrt{x}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a28\"\n},\n{\n fraga: `I koordinatssystemet nedan \u00e4r tv\u00e5 linjer ritade. Ange ekvationerna\nf\u00f6r dessa linjer. L\u00f6s d\u00e4refter, exakt, det ekvationssystem som best\u00e5r\nav ekvationerna f\u00f6r de b\u00e5da linjerna. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-080322.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{20}{3}, y=\\\\frac{2}{3}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a29\"\n},\n{\n fraga: `Joakim och Astrid tittar p\u00e5 samma rektangel. Joakim adderar 3 av sidorna och f\u00e5r 20\ncm och Astrid g\u00f6r samma sak och f\u00e5r 13 cm. De blir b\u00e5da fundersamma hur det kan\nbli s\u00e5. Vilka m\u00e5tt har rektangeln? `,\n svar: `2x9 cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a30\"\n},\n{\n fraga: `Joakim t\u00e4nker p\u00e5 tv\u00e5 tal. Summan av talen \u00e4r 20 och det st\u00f6rre talet \u00e4r 3 g\u00e5nger st\u00f6rre\n\u00e4n det mindre talet. Vilka tal t\u00e4nker Joakim p\u00e5? Pr\u00f6vning ger inga po\u00e4ng.`,\n svar: `Talen \u00e4r 5 och 15.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a31\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har gjort ett l\u00f6fte med sin son inf\u00f6r sonens matteprov. Joakim sa att f\u00f6r varje\nr\u00e4tt du f\u00e5r kommer du f\u00e5 5 kr f\u00f6r varje fel f\u00e5r du b\u00f6ta 8 kr (l\u00e4tt omoraliskt). Provet\ninneh\u00f6ll 26 uppgifter och n\u00e4r Joakims son fick tillbaka provet fick han inga pengar\noch slapp betala n\u00e5got. Hur m\u00e5nga r\u00e4tt fick sonen?`,\n svar: `16 r\u00e4tt och 10 fel`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a32\"\n},\n{\n fraga: `I Joakimsk\u00f6ping ska man snart r\u00f6sta. Det finns flera partier men tv\u00e5 av dem\nGladpartiet och Sn\u00e4llpartiet har f\u00f6ljande situation: Om 10 procentenheter av r\u00f6sterna\ng\u00e5r fr\u00e5n Gladpartiet till Sn\u00e4llparitet kommer Sn\u00e4llpartiet vara tv\u00e5 g\u00e5nger s\u00e5 stort som\nGladpartiet. Samtidigt om 10 procentenheter av r\u00f6sterna g\u00e5r fr\u00e5n Sn\u00e4llpartiet till\nGladpartiet kommer Gladpartiet vara tre g\u00e5nger s\u00e5 stort som Sn\u00e4llpartiet. Hur m\u00e5nga\nprocent av r\u00f6sterna har respektive parti?`,\n svar: `Sn\u00e4llpartiet har 22% och Gladpartiet har 26%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a33\"\n},\n{\n fraga: `Joakim extrajobbar p\u00e5 ett fik och tj\u00e4nar 180 kr\/h p\u00e5 l\u00f6rdagar och 210 kr\/h p\u00e5 s\u00f6ndagar.\nEn helg jobbade han 15 timmar och tj\u00e4nade 2880 kr. St\u00e4ll upp ett ekvationssystem och\nbest\u00e4m hur m\u00e5nga timmar Joakim jobbade respektive dag. `,\n svar: `9 timmar p\u00e5 l\u00f6rdagen och 6 timmar p\u00e5 s\u00f6ndagen.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a34\"\n},\n{\n fraga: `Joakim p\u00e5st\u00e5r att det finns tv\u00e5 tal som har f\u00f6ljande egenskaper.\n\u2022 Summan av talen \u00e4r 10\n\u2022 Differensen av talen resulterar i en tredjedel av summan av talen\nUnders\u00f6k om Joakim har r\u00e4tt att det finns tv\u00e5 s\u00e5dana tal`,\n svar: `Ena talet \u00e4r \\\$\\\\frac{10}{3}\\\$ och det andra \u00e4r \\\$\\\\frac{20}{3}\\\$.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a35\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilken\/vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$p\\\$ som f\u00f6ljande ekvationssystem saknar l\u00f6sningar \\\$\\\\begin{cases} p^2x-y=12\\\\\\\\ 4px+y=-5 \\\\end{cases}\\\$`,\n svar: `\\\$p_1=0, p_2=-4\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a36\"\n},\n{\n fraga: `Visa att \\\$a\\\$ m\u00e5ste vara ett kvadrattal f\u00f6r att f\u00f6ljande likhet ska st\u00e4mma<\/p> \\\$\\\\frac{(n+2)(n+1)}{k}+\\\\frac{n+2}{k}-\\\\frac{a}{k}=0\\\$`,\n svar: `Visa att \\\$a\\\$ kan skrivas som ett kvadrattal.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a37\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m med n\u00e5got matematiskt argument vilken av f\u00f6ljande uttryck som \u00e4r st\u00f6rst<\/p> \\\$20123^2+40246+1\\\$ <\/p>\\\$20126^2-40252+1\\\$ <\/p> \\\$20124^2-1\\\$<\/p> `,\n svar: `\\\$20126^2-40252+1\\\$ \u00e4r st\u00f6rst. Tips skriv om alla som kvadreringsregler.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a38\"\n},\n{\n fraga: `Joakim gick till en teaff\u00e4r. Han valde tv\u00e5 olika tesorter d\u00e4r det billigare teet kostade 25\nkr\/hg och det dyrare 35 kr\/hg. Joakim k\u00f6pte totalt 9 hg och betalade 255 kr. Hur\nmycket k\u00f6pte han av respektive sort?`,\n svar: `6 gram av det billigare och 3 gram av det .`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a39\"\n},\n{\n fraga: `Joakim vill ta reda p\u00e5 vad det kostar att \u00e5ka med Taxilund. Han vet att f\u00f6retaget har en\nstartkostnad och ett km-pris. Han hittar tv\u00e5 gamla kvitton d\u00e4r det st\u00e5r att han p\u00e5 den ena\nresan \u00e5kte 7 km f\u00f6r ett pris av 450 kr och en annan resa som han \u00e5kte 13 km med en\nkostnad p\u00e5 750 kr. Best\u00e4m vilket startpris och km-pris Taxilund har.`,\n svar: `50 kr\/km och 100 kr som startkostnad.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a40\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ saknar ekvationssystemet l\u00f6sningar.<\/p> \\\$\\\\begin{cases} ax+y=12 \\\\\\\\ 2y-10x-1=0 \\\\end{cases}\\\$`,\n svar: `\\\$a=-5\\\$.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a41\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har tagit hj\u00e4lp av ett st\u00e4df\u00f6retag vid tv\u00e5 tillf\u00e4llen. Joakim vill veta hur mycket\ndet kostar f\u00f6r en timmes st\u00e4dning respektive en timmes f\u00f6nsterputs. Han tittade\ntillbaka p\u00e5 tv\u00e5 mail fr\u00e5n f\u00f6retaget f\u00f6r att kunna r\u00e4kna ut det. Hj\u00e4lp Joakim best\u00e4mma\npriserna <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-071117.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `St\u00e4dning 250kr\/h och f\u00f6nsterputs 200kr\/h.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a42\"\n},\n{\n fraga: `Joakim och Astrid \u00e4r ute och vandrar i fj\u00e4llen. Efter ett antal dagar b\u00f6rjar de klaga p\u00e5\nvarandra. Joakim s\u00e4ger: om du ger mig 10 kg av din vikt s\u00e5 b\u00e4r jag dubbelt s\u00e5 mycket\nsom du Astrid. Astrid svarar: vad klagar du \u00f6ver? Om du ger mig 10 kg av din vikt\nkommer jag b\u00e4ra 3 g\u00e5nger s\u00e5 mycket som du.\nHur mycket v\u00e4ger Joakims respektive Astrids packning innan de b\u00f6rjar byta?`,\n svar: `Astrid b\u00e4r 26 kg och Joakim 22 kg`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a43\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har \u00f6ppnat ett st\u00e5nd d\u00e4r han s\u00e4ljer champinjoner. Joakim har gjort en analys av\nf\u00f6rs\u00e4ljningen av sina champinjoner. Om Joakim s\u00e4nker sitt kilopris p\u00e5 champinjoner\nmed 5 kr kommer han s\u00e4lja f\u00f6r 10 tusen kr. Om han d\u00e4remot h\u00f6jer priset p\u00e5 sina\nchampinjoner med 7 kr kommer h\u00e4lften s\u00e5 m\u00e5nga kg champinjoner s\u00e4ljas i f\u00f6rh\u00e5llande\ntill s\u00e4nkningen med 5 kr och d\u00e5 kommer f\u00f6rs\u00e4ljningen resultera i 8 tusen kr.\nBest\u00e4m vilket kilopris Joakim har satt p\u00e5 sina champinjoner?`,\n svar: `25 kr \u00e4r kilopriset`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-170849.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a44\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m heltalskonstanterna \\\$a\\\$, \\\$b\\\$ och \\\$c\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande likhet<\/p> \\\$a(bx+c)^2=12x^2+60x+75\\\$`,\n svar: `\\\$a=3, b=2, c=5\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a45\"\n},\n{\n fraga: `Observera n\u00e4ringsintaget f\u00f6r dryck A och dryck B nedan. DRI st\u00e5r f\u00f6r dagligt\nrekommenderat intag av vitaminen.\n<\/p> <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-072311.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> <\/p> St\u00e4ll upp ett ekvationssystem med tydliga definitioner vars l\u00f6sning \u00e4r hur mycket Joakim\nb\u00f6r dricka av varje dryck f\u00f6r att f\u00e5 i sig exakt 50% av DRI av b\u00e5da vitaminerna B12 och\nD. Notera: du beh\u00f6ver inte l\u00f6sa ekvationssystemet bara st\u00e4lla upp det.`,\n svar: `Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-072209.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a46\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationssystemet \\\$\\\\begin{cases} x+y=5 \\\\\\\\ 2x-y=1 \\\\end{cases}\\\$`,\n svar: `\\\$x=2, y=3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a47\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-5x=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a48\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2+8x=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=-8\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a49\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-4x-5=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=5, x_2=-1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a50\"\n},\n{\n fraga: `I en r\u00e4tvinklig triangel \u00e4r den l\u00e4ngsta kateten 2 cm l\u00e4ngre \u00e4n den kortaste.\nHypotenusan \u00e4r dubbelt s\u00e5 l\u00e5ng som den kortaste kateten. Best\u00e4m exakt den kortaste\nkatetens l\u00e4ngd`,\n svar: `L\u00e4ngden \u00e4r \\\$1+\\\\sqrt{3}\\\$ cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a51\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-2x-48=0\\\$ .`,\n svar: `\\\$x_1=6, x_2=8\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a52\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x(x-421)-2(x-421)=0\\\$ .`,\n svar: `\\\$x_1=2, x_2=421\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a53\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-10x+9=0\\\$ .`,\n svar: `\\\$x_1=9, x_2=1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a54\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x-5)(x+2,5)=0\\\$ .`,\n svar: `\\\$x_1=5, x_2=-2,5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a55\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim vill l\u00f6sa ekvationssystemet grafiskt \\\$\\\\begin{cases} 4x+2y=10 \\\\\\\\ y=-2x+5 \\\\end{cases}\\\$. N\u00e4r han skriver in funktionerna i geogebra f\u00f6r att titta p\u00e5 sk\u00e4rningen mellan graferna. Joakim blir f\u00f6rvirrad han ser bara en graf. F\u00f6rklara f\u00f6r Joakim varf\u00f6r.`,\n svar: `Det \u00e4r samma r\u00e4ta linjer respektive ekvation. De ligger s\u00e5ledes \u00f6ver varandra.`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a56\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-3x+2=0\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=2, x_2=1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a57\"\n},\n{\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck \\\$x^2-(y+z)^2\\\$.`,\n svar: `\\\$(x+y+z)(x-y-z)\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a58\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$((x-2)^2+1)^2=4\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=1, x_2=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a59\"\n},\n{\n fraga: `I Joakimk\u00f6ping har befolkningen \u00f6kat med lika m\u00e5nga procent varje \u00e5r de senaste \u00e5ren. Inf\u00f6r n\u00e4sta \u00e5r har matematikern i kommunen hittat att om procentsatsen som kommunen \u00f6kat med varje \u00e5r \u00f6kar med 3% kommer kommunen ha en befolkning p\u00e5 18360 personer efter n\u00e4sta \u00e5r. Om den d\u00e4remot minskar med 2% kommer befolkningen vara 17510 personer. Best\u00e4m hur m\u00e5nga som bor i Joakimk\u00f6ping just nu. `,\n svar: `17000 personer`,\n niva: \"A\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163531.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a60\"\n},\n{\n fraga: `Joakim menar att f\u00f6ljande uttryck g\u00e5r att faktorisera till 4 parenteser. Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt .\\\$x^4-2x^2y^2+y^4\\\$`,\n svar: `Han har r\u00e4tt \\\$x+y)(x+y)(x-y)(x-y)\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a61\"\n},\n{\n fraga: `Joakim \u00e4r lite fundersam. Han tror att f\u00f6ljande p\u00e5st\u00e5ende st\u00e4mmer: <\/p> \n\u201dOm differensen mellan tv\u00e5 tal \u00e4r 1 s\u00e5 \u00e4r differensen mellan det st\u00f6rre talets kvadrat och det mindre talets kvadrat alltid lika stor som talens summa.\u201d. Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt. `,\n svar: `Det st\u00e4mmer. Skriv om uttrycket med hj\u00e4lp av konjugatregeln.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163459.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a62\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation \\\$x+\\\\frac{5}{x}=6\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=1 x_2=5\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a63\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r positiva tal \\\$x\\\$ och \\\$y\\\$ d\u00e4r \\\$y>x\\\$ vet du att <\/p> \\\$x^2+2xy+y^2=25\\\$ samt att <\/p> \\\$x^2-2xy+y^2=9\\\$. <\/p> Best\u00e4m talen \\\$x\\\$ och \\\$y\\\$`,\n svar: `\\\$x=1 y=4\\\$`,\n niva: \"A\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163543.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\", \"ekvationssystem\"],\n kod: \"a64\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en rektangel vet du att den har omkretsen 32 cm. Du vet ocks\u00e5 att om du minskar basen med 2 cm och \u00f6kar h\u00f6jden med 2 cm kommer arean att vara 64\\\$cm^2\\\$. Best\u00e4m sidl\u00e4ngderna f\u00f6r retangeln.`,\n svar: `10 respektive 6 cm. `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163355.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsekvationer\", \"ekvationssystem\"],\n kod: \"a65\"\n},\n{\n fraga: `Joakim ska g\u00f6ra ett smycke med tv\u00e5 olika metaller. Den ena metallen har ett pris p\u00e5 100 kr\/gram och den andra har 150 kr\/gram. Joakims smycke kostar 1225 kr och har nu ett kilopris p\u00e5 136,1 kr\/gram. Hur m\u00e5nga gram av respektive metall anv\u00e4nde Joakim till sitt smycke?`,\n svar: `2,5 gram respektive 6,5 gram.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a67\"\n},\n{\n fraga: `Joakim och hans kompisar g\u00e5r till en pizzeria f\u00f6r att k\u00f6pa pizza. De best\u00e4mmer sig f\u00f6r att alla k\u00f6per antingen Vesuvius eller Kebabpizza. Vesuvius kostar 120 kr och Kebabpizzan kostar 150 kr. Joakim st\u00e4ller upp f\u00f6ljande ekvationssystem f\u00f6r att kunna best\u00e4mma hur m\u00e5nga som k\u00f6pte respektive pizza <\/p> \\\$\\\\begin{cases} x+y=10 \\\\\\\\ 120x+150y=1260 \\\\end{cases}\\\$<\/p> a) Hur m\u00e5nga kompisar var det i s\u00e4llskapet? <\/p> \n\nb) Vad definierade Joakim som variabeln x och vad definierade Joakim som variabeln y <\/p>\n\n\tc) Best\u00e4m hur m\u00e5nga som \u00e5t Vesuvius-pizza\n`,\n svar: `a) 10 st b) \\\$x=\\\$ Antal personer som k\u00f6pte Vesuvius \\\$y=\\\$ Antal personer som k\u00f6pte Kebabpizza. c) 8 st.`,\n niva: \"E\",\n poang: [4,0,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a68\"\n},\n{\n fraga: `\tJoakim ritar upp tv\u00e5 kvadrater d\u00e4r den ena har en sidl\u00e4ngd som \u00e4r 2 cm l\u00e4ngre \u00e4n den andra. Den summerade arean f\u00f6r b\u00e5da kvadraterna \u00e4r 100 kvadratcentimeter . Best\u00e4m sidl\u00e4ngden p\u00e5 den mindre kvadraten.`,\n svar: `6 cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a69\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(\\\\sqrt{x+1}-2)^{2}+3\\\\sqrt{x+1}=6\\\$`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a70\"\n},\n{\nfraga: `Joakim ska plantera blommor p\u00e5 en rektangul\u00e4r ytan. Den totala ytan \u00e4r 48 meter bred och 40 meter h\u00f6g. Men han vill inte planera blommor p\u00e5 allt utan vill ha en grusdel d\u00e4r man kan g\u00e5 runt blommorna vars bredd och h\u00f6jd han definierar som \ud835\udc65 (se bilden nedan). Att planera blommor kostar 20 kr per kvadratmeter och grus 15 kr per kvadratmeter. Vilka m\u00e5tt ska blomdelen ha om Joakim vill l\u00e4gga exakt 37540 kr p\u00e5 omr\u00e5det. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/Skarmbild-2026-02-11-191559.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `46x38 meter`,\n digital: true,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163423.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a71\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-7x=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=7\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a72\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x-2)(x-5)=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=2, x_2=5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a73\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$321(x-450)+x(x-450)=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=450, x_2=-321\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163327.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a74\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2x^2+18=12x\\\$`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a75\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\sqrt{x}+x=6\\\$`,\n svar: `\\\$x=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a76\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{x^2-6x+9}{x-3}\\\$`,\n svar: `\\\$x-3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a77\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim har gjort ett misstag. Han r\u00e5kade k\u00f6pa l\u00e4ttmj\u00f6lk (inneh\u00e5llande 0,5% fett) och\nstandardmj\u00f6lk (inneh\u00e5llande 3% fett) n\u00e4r han skulle k\u00f6pa mellanmj\u00f6lk (inneh\u00e5llande\n1,5% fett). Astrid blev sur p\u00e5 Joakim men Joakim hade en plan. Han blanda\nl\u00e4ttmj\u00f6lken och standardmj\u00f6lken f\u00f6r att kunna f\u00e5 1 liter mellanmj\u00f6lk, allts\u00e5 att\nfetthalten ska vara 1,5%. Hur mycket ska Joakim blanda av l\u00e4ttmj\u00f6lken respektive\nstandardmj\u00f6lken f\u00f6r att f\u00e5 1 liter mellanmj\u00f6lk?`,\n svar: `0,6 liter l\u00e4ttmj\u00f6lk respektive 0,4 liter standardmj\u00f6lk`,\n digital: true, \n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a78\"\n},\n{\n fraga: ` Nedan ser du tv\u00e5 uttryck som inkluderar de positiva konstanterna \ud835\udc50 och \ud835\udc51 d\u00e4r \\\$d < c\\\$ .\nBest\u00e4m f\u00f6r vilka \ud835\udc50 och \ud835\udc51 s\u00e5 b\u00e5da uttrycken g\u00e5r att faktorisera till formen \\\$(a+b)^2\\\$\n.<\/p> \n\u2022 \\\$x^2+cx-dx+9\\\$ <\/p> \n\u2022 \\\$x^2+dx+cx+36\\\$ <\/p>`,\n svar: `\\\$c=9\\\$ och \\\$d=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ekvationssystem\", \"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a79\"\n},\n{\n fraga: ` Observera f\u00f6ljande m\u00f6nster nedan\n.<\/p> \n\u2022 \\\$\\\\frac{10^2-1}{11}=9\\\$ <\/p> \n\u2022 \\\$\\\\frac{21^2-1}{22}=20\\\$ <\/p> \n\u2022 \\\$\\\\frac{100^2-1}{101}=99\\\$ <\/p> Unders\u00f6k om du alltid kommer f\u00e5 ett resultat som \u00e4r ett heltal enligt ovanst\u00e5ende\nm\u00f6nster. Visa generellt.\n`,\n svar: `St\u00e4ll upp det generella uttrycket \\\$\\\\frac{x^2-1}{x+1}\\\$. Vilket g\u00e5r att f\u00f6renkla till uttrycket \\\$x-1\\\$ med hj\u00e4lp av konjugatregeln. Eftersom \\\$x\\\$ \u00e4r ett heltal kommer ocks\u00e5 \\\$x-1\\\$ vara det.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a80\"\n},\n{\n fraga: `En grupp v\u00e4nner ska hyra en stuga f\u00f6r 12000 kr och dela kostnaden lika. Precis innan de ska boka hoppar 2 personer av. Detta medf\u00f6r att kostnaden f\u00f6r de kvarvarande personerna \u00f6kar med 300 kr per person. Best\u00e4m hur m\u00e5nga v\u00e4nner som var med fr\u00e5n b\u00f6rjan.`,\n svar: `10 Personer`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163340.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a81\"\n},\n{\n fraga: `Joakim ska h\u00e4gna in en rektangul\u00e4r hage intill en rak bergv\u00e4gg, vilket betyder att han bara beh\u00f6ver st\u00e4ngsel p\u00e5 tre sidor. Han har totalt 100 meter st\u00e4ngsel. Joakim vill att hagens area ska vara exakt 1250 m\u00b2. St\u00e4ll upp en ekvation f\u00f6r arean d\u00e4r x \u00e4r l\u00e4ngden p\u00e5 de tv\u00e5 kortsidorna som st\u00e5r vinkelr\u00e4tt mot bergv\u00e4ggen och best\u00e4md l\u00e4ngderna p\u00e5 rektangeln. `,\n svar: `25x50 meter`,\n niva: \"A\",\n digital: true,\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a82\"\n},\n{\n fraga: `Joakim plancerade 50,000 kr p\u00e5 tv\u00e5 olika konton. P\u00e5 det ena kontot \u00e4r \u00e5rsr\u00e4ntan 3 % och p\u00e5 det andra 5 %. Efter ett \u00e5r har det totala beloppet p\u00e5 kontona vuxit till 52,100 kr. Hur mycket pengar fanns p\u00e5 respektive konto fr\u00e5n b\u00f6rjan?`,\n svar: `30 000 respektive 20 000 kr`,\n niva: \"C\",\n digital: true,\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a83\"\n},\n{\n fraga: `En guldsmed har tv\u00e5 legeringar av guld. Den f\u00f6rsta inneh\u00e5ller 90 % guld och den andra 50 % guld. Hur m\u00e5nga gram av varje legering ska sm\u00e4ltas samman f\u00f6r att f\u00e5 200 gram av en legering som inneh\u00e5ller 75 % guld?`,\n svar: `125 gram av 90-procentiga och 75 gram av 50-procentiga`,\n niva: \"C\",\n digital: true,\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\", \"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a84\"\n},\n{\n fraga: `Joakim och Roger har konstruerat var sin cylinder. H\u00f6jden i Joakims cylinder \u00e4r dubbelt\nsa stor som h\u00f6jden i Rogers, medan radien i Rogers cylinder ar 5 cm st\u00f6rre \u00e4n\nradien i Joakims. Det visar sig att de b\u00e5da cylindrarna har samma volym. Best\u00e4m i s\u00e5\nfall, p\u00e5 exakt form, radien i Joakims cylinder.\n`,\n svar: `\\\$r=5+\\\\sqrt{50}\\\$. F\u00f6rkasta \\\$r=5-\\\\sqrt{50}\\\$ eftersom det \u00e4r mindre \u00e4n 0`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163434.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a85\"\n},\n{\n fraga: `Joakim ritar upp tv\u00e5 olika kvadrater. Differensen mellan kvadraternas area \u00e4r \\\$56 m^2\\\$ och om man summerar deras omkretser f\u00e5r man 64 m. Best\u00e4m sidl\u00e4ngderna p\u00e5 respektive kvadrat \n`,\n svar: `9,75 m repspektive 6,25 m`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true, \n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163448.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"ekvationssystem\", \"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a86\"\n},\n{\n fraga: `Joakim ska h\u00e4gna in en rektangul\u00e4r hage som ligger intill en rak flod. Han beh\u00f6ver inget st\u00e4ngsel l\u00e4ngs floden. Han har totalt 80 meter st\u00e4ngsel och hagens area ska vara 750 m\u00b2. Vilka m\u00e5tt ska hagen ha?\n`,\n svar: `Antingen 25x30m eller 15x50m`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true, \n underkategori: [\"ekvationssystem\", \"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a87\"\n},\n{\n fraga: `Produkten av tv\u00e5 positiva tal \u00e4r 120. Om det f\u00f6rsta talet \u00f6kas med 2 och det andra talet minskas med 3, f\u00f6rblir produkten 120. Vilka \u00e4r de ursprungliga tv\u00e5 talen?`,\n svar: `8 och 15`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2], \n digital: true, \n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163317.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"ekvationssystem\", \"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a88\"\n},\n{\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck \\\$x^2-2+\\\\frac{1}{x^2}\\\$`,\n svar: `\\\$(x-\\\\frac{1}{x})^2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1], \n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a89\"\n},\n{\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck \\\$x^2+6x+9-y^2\\\$`,\n svar: `Tips: Observera att \\\$x^2+6x+9\\\$ \u00e4r en kvadreringsregel Svar: \\\$(x+3-y)(x+3+y)\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2], \n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163515.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a90\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$a\\\$ saknar f\u00f6ljande ekvation reella l\u00f6sningar \\\$x^2-10x+a=10\\\$`,\n svar: `\\\$a>35\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1], \n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-170830.png\">`,\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a91\"\n},\n{\n fraga: ` Ett logistikf\u00f6retag fakturerar baserat p\u00e5 k\u00f6rstr\u00e4cka (per mil) och tids\u00e5tg\u00e5ng (per timme). En kund har f\u00e5tt tv\u00e5 fakturor men tappat bort prislistan. <\/p>\n\nFaktura A: 12,4 mil k\u00f6rning och 2,5 timmars arbete. Totalkostnad: 2 822 kr. <\/p>\n\n Faktura B: 8,2 mil k\u00f6rning och 4,0 timmars arbete. Totalkostnad: 3 016 kr. <\/p>\n\nBest\u00e4m kostnaden per mil respektive kostnaden per timme.\n`,\n svar: `Kostnad per mil: Ungef\u00e4r 129 kr. Kostnad f\u00f6r arbete: 490 kr`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0], \n digital: true, \n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a92\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation \\\$\\\\sqrt{2x+9}-\\\\sqrt{x+1}=2\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=0\\\$ och \\\$x_2=8\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2], \n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a93\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation \\\$6x^2=36x\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=0\\\$ och \\\$x_2=6\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0], \n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a94\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationssystemet \\\$\\\\begin{cases} x+y=15 \\\\\\\\ 10^{2lgx}-10^{2lgy} \\\\end{cases}\\\$`,\n svar: `\\\$x=9\\\$ och \\\$y=6\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a95\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\sqrt{2x^2+7x+1}+1=x\\\$`,\n svar: `Ekvationen saknar l\u00f6sningar. Alla \u00e4r falskr\u00f6tter.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a96\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2=3x\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a97\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2=\\\\frac{x}{2}\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a98\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(2x-1)(3-x)=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=\\\\frac{1}{2}, x_2=3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a99\"\n},\n{\n fraga: `En klass samlar in pengar genom att s\u00e4lja burkar och flaskor.<\/p> \n\nDag 1: <\/b> De l\u00e4mnar in 45 aluminiumburkar och 20 plastflaskor och f\u00e5r 85 kr. <\/p> \n\nDag 2: <\/b> De l\u00e4mnar in 30 aluminiumburkar och 50 plastflaskor och f\u00e5r 130 kr. <\/p> \nHur mycket f\u00e5r man i pant f\u00f6r en burk respektive en plastflaska?\n`,\n svar: `Burk ger 1 kr och plastflaska ger 2 kr`,\n niva: \"C\",\n digital: true, \n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a100\"\n},\n{\n fraga: ` Ett logistikf\u00f6retag fakturerar baserat p\u00e5 k\u00f6rstr\u00e4cka (per mil) och tids\u00e5tg\u00e5ng (per timme). En kund har f\u00e5tt tv\u00e5 fakturor men tappat bort prislistan. <\/p> \n\nFaktura A:<\/b> 12,4 mil k\u00f6rning och 2,5 timmars arbete. Totalkostnad: 2 822 kr. <\/p> \n\n Faktura B: <\/b> 8,2 mil k\u00f6rning och 4,0 timmars arbete. Totalkostnad: 3 016 kr. <\/p>\n\nBest\u00e4m kostnaden per mil respektive kostnaden per timme.\n\n`,\n svar: `8.\tKostnad per mil: Ungef\u00e4r 129 kr. Kostnad f\u00f6r arbete: 490 kr`,\n niva: \"C\",\n digital: true, \n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a101\"\n},\n{\n fraga: `Utveckla f\u00f6ljande uttryck \\\$(\\\\sqrt{x}-4)(\\\\sqrt{x}+4)\\\$`,\n svar: `\\\$x+16\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a102\"\n},\n{\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck \\\$100a^2-36b^2\\\$`,\n svar: `\\\$(10a-6b)(10a+6b)\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a103\"\n},\n{\n fraga: `Joakim ska bygga en cirkul\u00e4r pool i sin tr\u00e4dg\u00e5rd. Poolen kommer delas in i tv\u00e5 delar, en del med vatten och en poolkant. Tanken \u00e4r att poolkanten ska vara 3 dm bred. Kostnaden f\u00f6r respektive del \u00e4r 800 kr per \\\$dm^2\\\$ f\u00f6r vattendelen och 500 kr per \\\$dm^2\\\$ f\u00f6r poolkanten. Joakim vill spendera 250 000 kr. Hur stor blir vattendelen av polen? Svara med n\u00e4rmsta heltal. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Skarmbild-2026-05-03-205204.png\">`,\n svar: `201 \\\$dm^2\\\$`,\n niva: \"A\",\n digital: true, \n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a104\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har k\u00f6pt ett nytt abonnemang f\u00f6r sin telefon. Joakim betalar f\u00f6r hur m\u00e5nga timmar han talat i telefon varje m\u00e5nad, hur m\u00e5nga sms han skickar samt en fast kostnad f\u00f6r internet p\u00e5 100 kr. Fyll i tabellen i den tomma rutan om f\u00f6ljande g\u00e4ller. Motivera ditt svar <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Skarmbild-2026-05-08-100749.png\">`,\n svar: `407,8 kr`,\n niva: \"C\",\n digital: true, \n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a105\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\sqrt{2x+2}+3-x=0\\\$`,\n svar: `\\\$x=7\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a106\"\n},\n{\n fraga: `Utveckla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+6)^2+4\\\$`,\n svar: `\\\$x^2+12x+40\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a107\"\n},\n{\n fraga: `Utveckla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x-5)(x+5)+x^2\\\$`,\n svar: `\\\$2x^2-25\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a108\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+3)^2-6x\\\$`,\n svar: `\\\$x^2+9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a109\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+4)(x-4)+16\\\$`,\n svar: `\\\$x^2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a110\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x-7)(x+3)=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=7, x_2=-3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a111\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-6x=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a112\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2+10x=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=-10\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a113\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-6x+9=0\\\$`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a114\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-6x+8=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=2, x_2=4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a115\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2+4x-12=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=2, x_2=-6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a116\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationssystemet \\\$\\\\begin{cases} 2x+2y=16 \\\\\\\\ x-y=2 \\\\end{cases}\\\$`,\n svar: `\\\$x=5, y=3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a117\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationssystemet \\\$\\\\begin{cases} 3x+y=10 \\\\\\\\ y=x+2 \\\\end{cases}\\\$`,\n svar: `\\\$x=2, y=4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a118\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationssystemet \\\$\\\\begin{cases} 2x+3y=12 \\\\\\\\ x=y-4 \\\\end{cases}\\\$`,\n svar: `\\\$x=0, y=4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a119\"\n},\n{\n fraga: `Summan av tv\u00e5 tal \u00e4r 15 och deras differens \u00e4r 3. Best\u00e4m de b\u00e5da talen genom att st\u00e4lla upp och l\u00f6sa ett ekvationssystem.`,\n svar: `Talen \u00e4r 9 och 6`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a120\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x-5)^2-(x^2+25)\\\$`,\n svar: `\\\$-10x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a121\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x+1)(x-9)=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=-1, x_2=9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a122\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-12x+35=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=5, x_2=7\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a123\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+7)(x-7)+49\\\$`,\n svar: `\\\$x^2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a124\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationssystemet \\\$\\\\begin{cases} x+2y=10 \\\\\\\\ 2y=2x+4 \\\\end{cases}\\\$`,\n svar: `\\\$x=2, y=4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a125\"\n}\n\n ],\n\n funktioner: [\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2-4x-5\\\$. Best\u00e4m funktionens nollst\u00e4llen.`,\n svar: `\\\$x_1=-1, x_2=5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f1\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=-2x^2-10x+105\\\$. Best\u00e4m om funktionen har en maximipunkt eller en minimipunkt.`,\n svar: `Maximipunkt`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f2\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2-6x+5\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r funktionens symmetrilinje.`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f3\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en andragradsfunktion vet du att den har nollst\u00e4llen i \\\$x_1=2\\\$ samt i \\\$x_2=4\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r symmetrilinjen.`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f4\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en andragradsfunktion vet du att den har nollst\u00e4llen i \\\$x_1=1\\\$ samt symmetrilinje i \\\$x=5\\\$. Best\u00e4m det andra nollst\u00e4llen f\u00f6r funktionen.`,\n svar: `\\\$x=9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f5\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$ vet du att den sk\u00e4r \\\$y\\\$-axeln i \\\$y=5\\\$. Best\u00e4m konstaten \\\$c\\\$.`,\n svar: `\\\$c=5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f6\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en exponentiell funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=C\\\\cdot a^x\\\$ vet du f\u00f6ljande <\/p> \\\$\\\\frac{f(b+7)}{f(b+4)}=27\\\$ <\/p> \\\$f(4)-f(2)=100\\\$<\/p> Best\u00e4m funktionen \\\$f(x)\\\$ `,\n svar: `\\\$f(x)=\\\\frac{25}{18}\\\\cdot 3^x\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"exponentialfunktioner\"],\n kod: \"f7\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$ vet du att \\\$a>0\\\$ Best\u00e4m d\u00e5 om funktionen har en maximipunkt eller minimipunkt.`,\n svar: `Minimipunkt.`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f8\"\n },\n{\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2-6x+c\\\$. Best\u00e4m f\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$c\\\$ som funktionen enbart f\u00e5r ett nollst\u00e4lle.`,\n svar: `\\\$c=9\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f9\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m extremv\u00e4rdet f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=x^2-10x+16\\\$`,\n svar: `\\\$y=-9\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f10\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m \\\$f(4)\\\$ om \\\$f(x+y)=x^2+2xy+y^2\\\$`,\n svar: `\\\$f(4)=16\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f11\"\n },\n{\n fraga: `Joakim ser grafen till en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$. Tyv\u00e4rr \u00e4r hans datorsk\u00e4rm skadad och d\u00e4rf\u00f6r kan han inte se hela grafen. Joakim vill best\u00e4mma funktionsekvationen. Hj\u00e4lp honom g\u00f6ra det. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-152937.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$f(x)=x^2-4x+4\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f12\"\n },\n{\n fraga: `Joakim ser grafen till en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande.<\/p> a) Funktionens nollst\u00e4llen<\/p> b) Ekvationen f\u00f6r symmetrilinjen<\/p> c) Funktionens extremv\u00e4rde <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-07.06.38.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a) \\\$x_1=-2, x_2=2\\\$ b) \\\$x=0\\\$ c) \\\$y=4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f13\"\n },\n{\n fraga: `Funktionen \\\$f(x)=ax^2+a^2x+2\\\$ \u00e4r definierad. Du vet att \\\$f(x)\\\$ har enbart en nollst\u00e4lle. Best\u00e4m \\\$f(1)\\\$`,\n svar: `\\\$f(1)=8\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f14\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r en andragradsfunktion vet du f\u00f6ljande<\/p> \\\$f(a+3)\\\$ ger funktionens extremv\u00e4rde<\/p> \\\$f(a+6)\\\$ \u00e4r ett nollst\u00e4lle <\/p> Best\u00e4m \\\$f(a)\\\$ `,\n svar: `\\\$f(a)=0\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f15\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du grafen till en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$ Best\u00e4m talet \\\$k\\\$ om \\\$f(k+7)=f(k-7)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-151300.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$k=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f16\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du grafen till en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$ Best\u00e4m \\\$f(2)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-151426.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$f(2)=11\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f17\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du grafen till en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$ Best\u00e4m med n\u00e5gon matematisk motivering om produkten \\\$a\\\\cdot b\\\\cdot c\\\$ \u00e4r st\u00f6rre eller mindre \u00e4n noll. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-07-092037.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$a\\\\cdot b\\\\cdot c\\\\ <0 \\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f18\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en andragradsfunktion \\\$f(x)\\\$ vet du att funktionen har nollst\u00e4llen i \\\$x_1=4+\\\\sqrt{13}\\\$ och \\\$x_2=-\\\\sqrt{13}\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r symmetrilinjen f\u00f6r \\\$f(x)\\\$.`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f19\"\n },\n{\n fraga: ` F\u00f6r en exponentiell funktion \\\$f(x)\\\$ vet du f\u00f6ljande <\/p> \\\$f(1)=12\\\$<\/p> \\\$f(3)=3\\\$ <\/p> Best\u00e4m funktionen \\\$f(x)\\\$.`,\n svar: `\\\$f(x)=24\\\\cdot (\\\\frac{1}{2})^x\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"exponentialfunktioner\"],\n kod: \"f20\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$ vet du att \\\$a>0\\\$. Du vet ocks\u00e5 att funktionen har nollst\u00e4llet i \\\$x=2\\\$ och \\\$x=6\\\$. Skriv f\u00f6ljande funktionsuttryck i storleksordning med minsta f\u00f6rst.<\/p> \\\$f(1), f(5), f(-10), f(8)\\\$`,\n svar: `Minst: \\\$f(5), f(1), f(8), f(-10)\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n losningsforslag:`<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-154000.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f21\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du graferna till \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$ Best\u00e4m konstanten \\\$k\\\$ om \\\$f(k)=g(k-3)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-151718.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$k=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\", \"exponentialfunktioner\"],\n kod: \"f22\"\n },\n{\n fraga: ` Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2-3x+4\\\$ <\/p> L\u00f6s ekvationen \\\$f(\\\\sqrt{x})=3\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=1, x_2=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\", \"rotekvationer\"],\n kod: \"f23\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$ vet du att funktionen har en maximipunkt i \\\$(4,8)\\\$ och har en nollst\u00e4lle i \\\$x=2\\\$. Best\u00e4m funktionen.`,\n svar: `\\\$f(x)=-2x^2+16x-24\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163249.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f24\"\n },\n{\n fraga: `Visa att funktionen \\\$f(x)=x^2+ax+a^2\\\$ d\u00e4r \\\$a\\\\neq 0\\\$ saknar nollst\u00e4llen f\u00f6r alla v\u00e4rden p\u00e5 \\\$a\\\$`,\n svar: `St\u00e4mmer. Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag f\u00f6r bevis.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-06-132932.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f25\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du 3 bilder p\u00e5 olika delar av en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$. Anv\u00e4nd bilderna f\u00f6r att best\u00e4mma en annan punkt p\u00e5 grafen. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-152359.png\">`,\n svar: `\\\$(-1,0)\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f26\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du en del av grafen till en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$ L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=3\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-155450.png\">`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=-2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f27\"\n },\n{\n fraga: `En andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=a^2+bx+c\\\$ har nollst\u00e4llen i \\\$x_1=-1\\\$ och \\\$x_2=3\\\$ samt har ett extremv\u00e4rde i \\\$y=4\\\$<\/p> a) Best\u00e4m extrempunkten f\u00f6r funktionen <\/p>b) Vilken av f\u00f6ljande funktionsekvationen kan \\\$f(x)\\\$ vara om samtliga krav i a) ska uppfyllas. . <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-17.28.04.png\">`,\n svar: `a)\\\$(1,4)\\\$ b) A) `,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f28\"\n },\n{\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2+2bx+6\\\$. Du vet att funktionen g\u00e5r igenom punkten \\\$(1,12)\\\$. Best\u00e4m konstanten \\\$b\\\$`,\n svar: `\\\$b=2,5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f29\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du grafen till en andragradsfunktion. Best\u00e4m ett \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ s\u00e5dant att \\\$f(a)=f(b)\\\$ d\u00e4r \\\$a\\\$ inte \u00e4r lika med \\\$b\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-154759.png\">`,\n svar: `Till exempel \\\$a=0, b=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f30\"\n },\n{\n fraga: `Under grafen till funktionen \\\$f(x)=4x-x^2\\\$ placeras en rektangel med bas l\u00e4ngst med x-axeln och en h\u00f6jden som n\u00e5r grafen<\/p> Visa att omkretsen f\u00f6r rektangeln \\\$R\\\$ g\u00e5r att beskriva med funktionen \\\$O(x)=-2x^2+4x+8\\\$ om \\\$x\\\$ \u00e4r x-v\u00e4rdet f\u00f6r punkten P. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-145729.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Det st\u00e4mmer. Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-150353.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f31\"\n },\n {\n fraga: `Observera funktionen p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$ nedan. Best\u00e4m f\u00f6ljande.<\/p> a) Funktionens nollst\u00e4llen<\/p> b) Extremv\u00e4rdet f\u00f6r funktionen <\/p> c) Best\u00e4m konstanten \\\$c\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-085342.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `a) \\\$x_1=1, x_2=3\\\$ b) \\\$y=-1\\\$ c) \\\$c=3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f32\"\n },\n{\n fraga: `Vi definierar funktionerna \\\$f(x)=x+6\\\$ och \\\$g(x)=x^2\\\$<\/p> L\u00f6s ekvationen \\\$g(f(x))=0\\\$`,\n svar: `\\\$x=-6\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f33\"\n},\n{\n fraga: `Joakim p\u00e5st\u00e5r att det finns ett samband f\u00f6r andragradsfunktioner p\u00e5 formen \\\$f(x)=x^2+px+q\\\$. Enligt Joakim kommer alltid produkten av nollst\u00e4llena f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ vara lika med konstanten \\\$q\\\$. <\/p> a) Unders\u00f6k om det g\u00e4ller f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=x^2-4x-5\\\$ <\/p> b) Visa att det g\u00e4ller f\u00f6r alla funktioner p\u00e5 formen \\\$f(x)=x^2+px+q\\\$`,\n svar: `a) Det st\u00e4mmer. b) Tips: St\u00e4ll upp ett uttryck f\u00f6r respektive nollst\u00e4lle f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ och visa sedan produkten g\u00e5r att f\u00f6renkla till \\\$q\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [2,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163232.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f34\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=x^2+px+q\\\$ vet du att den har nollst\u00e4llen i \\\$x_1=3+\\\\sqrt{2}\\\$ samt \\\$x_2=3-\\\\sqrt{2}\\\$. Best\u00e4m konstanterna \\\$p\\\$ och \\\$q\\\$.`,\n svar: `\\\$p=-6\\\$ och \\\$q=7\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f35\"\n},\n{\n fraga: `Observera andragradsfunktionen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$ nedan. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) Best\u00e4m om konstanten \\\$a\\\$ \u00e4r st\u00f6rre eller mindre \u00e4n noll <\/p> b) Best\u00e4m konstanten \\\$c\\\$ <\/p> c) Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r symmetrilinjen <\/p> d) Avg\u00f6r vilket av f\u00f6ljande uttryck som \u00e4r st\u00f6rst \\\$f(100)\\\$ eller \\\$f(-100)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-03-23-123543.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `a) \\\$a>0\\\$ b) \\\$c=3\\\$ c) \\\$x=1\\\$ d) \\\$f(-100)>f(100)\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [3,1,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f36\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=x^2+bx+c\\\$ har extrempunkten \\\$(4, 10)\\\$ Best\u00e4m konstanterna \\\$b\\\$ och \\\$c\\\$ `,\n svar:`\\\$b=-8\\\$ och \\\$c=26\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f37\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m det minsta v\u00e4rdet f\u00f6ljande funktion kan anta \\\$f(x)=\\\\sqrt{x^2-4x+8}\\\$ `,\n svar: `Minsta v\u00e4rdet \u00e4r \\\$y=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f38\"\n},\n{\n fraga: `Skriv ett uttryck f\u00f6r symmetrilinjen f\u00f6r andragradsfunktionen \\\$f(x)=(x-a)(x-5a)\\\$`,\n svar: `\\\$x=3a\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f39\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m om f\u00f6ljande funktion har en maximipunkt eller minimipunkt, motivera ocks\u00e5 ditt svar \\\$f(x)=-0,36x^2-54x+101\\\$`,\n svar: `Maximipunkt eftersom konstanten framf\u00f6r \\\$x^2\\\$ \u00e4r negativ.`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f40\"\n},\n{\n fraga: `En rektangel skapas fr\u00e5n en andragradsfunktions \\\$f(x)\\\$ maximipunkt och nollst\u00e4llen. Basen \u00e4r l\u00e4ngre \u00e4n h\u00f6jden p\u00e5 rektangeln. Arean f\u00f6r rektangeln \u00e4r 8 areaenheter och omkretsen \u00e4r 12 l\u00e4ngdenheter. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r andragradsfunktionen. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-29-133447.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `\\\$f(x)=-\\\\frac{x^2}{2}+2x\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f41\"\n},\n{\n fraga: `\tF\u00f6r en andragradsfunktion vet du att \\\$f(a)=6\\\$, att \\\$f(24)=6\\\$ samt att funktionen har en extrempunkt i \\\$(-2,542)\\\$. Best\u00e4m talet \\\$a\\\$. `,\n svar: `\\\$a=-28\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f42\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r f\u00f6ljande funktion <\/p>\n\n \\\$f(x)=x^2-6x-16\\\$`,\n svar: `\\\$-25 \\\\leq y\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f43\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en andragradsfunktion vet du att \\\$f(a)=6\\\$, att \\\$f(24)=6\\\$ samt att funktionen har en extrempunkt i \\\$(-2,542)\\\$. Best\u00e4m talet \\\$a\\\$. `,\n svar: `\\\$a=-28\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f44\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2-6x+25\\\$ <\/p> a) Har funktionen en maximipunkt eller en minimipunkt? <\/p> b) Best\u00e4m koordinaterna f\u00f6r funktionens extrempunkt`,\n svar: `a) Minimipunkt b) \\\$y=-25\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f45\"\n},\n{\n fraga: `En andragradsfunktion \\\$f(x)\\\$ g\u00e5r igenom punkterna \\\$(3,0)\\\$ och \\\$(5,0)\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r symmetrilinjen f\u00f6r \\\$f(x)\\\$`,\n svar: `\\\$x=4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f46\"\n},\n{\n fraga: `Funktionen \\\$f(x)=x^2-4x+4\\\$ har enbart ett nollst\u00e4lle. Best\u00e4m det nollst\u00e4llet.`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f47\"\n},\n{\n fraga: `Funktionen \\\$f(x)=(x-4)(x-6)\\\$ har tv\u00e5 nollst\u00e4llen. Best\u00e4m dessa nollst\u00e4llen.`,\n svar: `\\\$x_1=4\\\$ och \\\$x_2=6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f48\"\n},\n{\n fraga: ` Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2-8x+7\\\$ <\/p> a) F\u00f6r vilket \\\$y\\\$-v\u00e4rde sk\u00e4r funktionen \\\$y\\\$-axeln. <\/p> b) Best\u00e4m symmetrilinjens ekvation f\u00f6r funktionen`,\n svar: `a) \\\$y=7\\\$ b) \\\$x=4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f49\"\n},\n{\n fraga: `Joakim menar att funktionen \\\$f(x)=x^2-6x+10\\\$ saknar nollst\u00e4llen. Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt. `,\n svar: `Han har r\u00e4tt. V\u00e4rdet under rottecknet \u00e4r mindre \u00e4n noll.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f50\"\n},\n{\n fraga: `Funktionerna \\\$f(x)=x^2-4x+5\\\$ och \\\$g(x)=x^2-3x+4\\\$ sk\u00e4r varandra i en punkt. Best\u00e4m \\\$x\\\$-v\u00e4rdet f\u00f6r den sk\u00e4rningspunkten.`,\n svar: `\\\$x=1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f51\"\n},\n{\n fraga: ` Vilken av f\u00f6ljande nollst\u00e4llen kan andragradsfunktion \\\$f(x)\\\$ ha och den har en extrempunkt i \\\$(5, 10)\\\$ <\/p> \n a) \\\$x_1=4, x_2=7\\\$ \\\$\\\\space\\\$ b) \\\$x_1=0, x_2=10\\\$ \\\$\\\\space\\\$ c) \\\$x_1=8, x_2=5\\\$ \\\$\\\\space\\\$ d) \\\$x_1=4, x_2=6\\\$`,\n svar: `b) och d) `,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f52\"\n},\n{\n fraga: ` Sant eller falskt? <\/p> En funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2\\\$ har alltid extrempunkt i origo `,\n svar: `Sant, oavsett v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$a\\\$ kommer \\\$f(0)=0\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f53\"\n},\n{\n fraga: ` Om en andragradsfunktion \\\$f(x)\\\$ har nollst\u00e4llen i \\\$x_1=1\\\$ och \\\$x_2=5\\\$. Vilken av f\u00f6ljande punkter kan vara en extrempunkt f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ <\/p> \n a) \\\$(1,12)\\\$ \\\$\\\\space\\\$ b) \\\$(3,-8)\\\$ \\\$\\\\space\\\$ c) \\\$(5,3)\\\$ \\\$\\\\space\\\$ d) \\\$(2,-5)\\\$`,\n svar: `b) eftersom symmetrilinjen m\u00e5ste ligga p\u00e5 \\\$x=3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f54\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2\\\$ vet du att \\\$f(-31)=14\\\$ Best\u00e4m \\\$f(31)\\\$`,\n svar: `\\\$f(31)=14\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f55\"\n},\n{\n fraga: `En andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=x^2+bx\\\$ har ett nollst\u00e4lle i \\\$x=5\\\$. Best\u00e4m konstanten \\\$b\\\$`,\n svar: `\\\$b=-5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f56\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2-2x-8\\\$. Best\u00e4m funktionens nollst\u00e4llen.`,\n svar: `\\\$x_1=-2, x_2=4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f57\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilket \\\$y\\\$-v\u00e4rde funktionen \\\$f(x)=3x^2-5x+12\\\$ sk\u00e4r \\\$y\\\$-axeln.`,\n svar: `\\\$y=12\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f58\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m om funktionen \\\$f(x)=5x^2+12x-7\\\$ har en maximipunkt eller en minimipunkt. Motivera ditt svar.`,\n svar: `Minimipunkt, eftersom koefficienten framf\u00f6r \\\$x^2\\\$ \u00e4r positiv (\\\$5>0\\\$).`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f59\"\n },\n {\n fraga: `En andragradsfunktion har sina nollst\u00e4llen i \\\$x_1=-3\\\$ och \\\$x_2=7\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r funktionens symmetrilinje.`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f60\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en exponentialfunktion g\u00e4ller att \\\$f(x)=150 \\\\cdot 1{,}05^x\\\$. Best\u00e4m startv\u00e4rdet \\\$f(0)\\\$.`,\n svar: `\\\$f(0)=150\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"exponentialfunktioner\"],\n kod: \"f61\"\n },\n {\n fraga: `En andragradsfunktion har symmetrilinjen \\\$x=4\\\$ och ett nollst\u00e4lle i \\\$x=1\\\$. Best\u00e4m det andra nollst\u00e4llet.`,\n svar: `\\\$x=7\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f62\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna \\\$f(3)\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=2 \\\\cdot 3^x\\\$.`,\n svar: `\\\$f(3)=54\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"exponentialfunktioner\"],\n kod: \"f63\"\n },\n {\n fraga: `Givet funktionen \\\$f(x)=(x-3)(x+5)\\\$, best\u00e4m funktionens nollst\u00e4llen.`,\n svar: `\\\$x_1=3, x_2=-5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f64\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m symmetrilinjens ekvation f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=x^2-10x+18\\\$.`,\n svar: `\\\$x=5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f65\"\n },\n {\n fraga: `En exponentialfunktion beskrivs av \\\$f(x)=500 \\\\cdot 0{,}85^x\\\$. Ange med hur m\u00e5nga procent v\u00e4rdet minskar f\u00f6r varje \u00f6kning av \\\$x\\\$ med 1.`,\n svar: `\\\$15\\\\%\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"exponentialfunktioner\"],\n kod: \"f66\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m koordinaterna f\u00f6r minimipunkten till funktionen \\\$f(x)=(x-2)^2+5\\\$.`,\n svar: `\\\$(2, 5)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f67\"\n },\n {\n fraga: `Funktionerna \\\$f(x)=2x+3\\\$ och \\\$g(x)=x^2-5\\\$ \u00e4r givna. Best\u00e4m \\\$g(f(1))\\\$.`,\n svar: `\\\$g(f(1))=20\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f68\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$b\\\$ om funktionen \\\$f(x)=x^2+bx+9\\\$ har symmetrilinjen \\\$x=3\\\$.`,\n svar: `\\\$b=-6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f69\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=0\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=4x^2-16\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=-2, x_2=2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f70\"\n },\n {\n fraga: `Avg\u00f6r om punkten \\\$(2, 9)\\\$ ligger p\u00e5 grafen till funktionen \\\$f(x)=x^2+2x+1\\\$. Motivera med en ber\u00e4kning.`,\n svar: `Nej, eftersom \\\$f(2)=2^2+2\\\\cdot 2+1=9\\\$ st\u00e4mmer, s\u00e5 punkten ligger faktiskt p\u00e5 grafen. (Svar: Ja, punkten ligger p\u00e5 grafen).`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f71\"\n }\n\n ],\n\n logaritmer: [\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$10^x=13\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `\\\$x=lg13\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l1\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$3^x=20\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{lg20}{lg3}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l2\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$5^x=11\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{lg11}{lg5}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l3\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$lgx=2\\\$.`,\n svar: `\\\$x=100\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l4\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$lgx=3,4\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `\\\$x=10^{3,4}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l5\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2^x=14\\\$. Svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar: `\\\$x=3,81\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l6\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$8^x=25\\\$. Svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar: `\\\$x=1,55\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l7\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 f\u00f6ljande uttryck \\\$lg100+lg1000\\\$`,\n svar: `5`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l8\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 f\u00f6ljande uttryck \\\$lg10^4+lg1\\\$`,\n svar: `4`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l9\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$3^{2x}=10\\\$. Svara exakt`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{2lg3}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l10\"\n },\n {\n fraga: `Du vet att \\\$lg2=0,3\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 \\\$lg8\\\$`,\n svar: `0,9`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l11\"\n },\n {\n fraga: `Du vet att \\\$lg4=0,6\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 \\\$lg40^3\\\$`,\n svar: `4,8`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l12\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck om du vet att \\\$lg5=0,7\\\$<\/p> \\\$lg5^{10}+lg25\\\$`,\n svar: `8,4`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l13\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$(\\\\frac{1}{10})^{lg2}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l14\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$10^{\\\\frac{lg16}{lg100}}\\\$`,\n svar: `4`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163018.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l15\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m talet \\\$a\\\$ om \\\$lg(a^{\\\\frac{1}{3}})=2\\\$`,\n svar: `\\\$a=1000000\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-162850.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l16\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$lg4^x+lg25^x=10\\\$`,\n svar: `\\\$x=5\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l17\"\n },\n {\n fraga: `Den brittiska matematikern Henry Briggs var viktigt i f\u00f6rst\u00e5elsen och inf\u00f6randet av logaritmer. Han skrev en bok d\u00e4r han gjorde logaritmiska v\u00e4rden i basen 10. Nedan ser du en del av tabellen. Best\u00e4m a och b med hj\u00e4lp av tabellen nedan. Svara med 3 decimaler vid behov. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-06-125239.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$a=1\\\$ \\\$b=0,778\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l18\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$10^{7x}=17\\\$. Svara exakt`,\n svar: `\\\$\\\\frac{lg17}{7}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l19\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 f\u00f6ljande uttryck \\\$10^{lg19}\\\$`,\n svar: `19`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l20\"\n },\n {\n fraga: `Joakim menar att att uttrycket \\\$lg921-lg16\\\$ \u00e4r mindre \u00e4n 2. Hur kan han veta det? `,\n svar: `\\\$lg921\\\$ \u00e4r mindre \u00e4n 3 och \\\$lg16\\\$ \u00e4r lite st\u00f6rre \u00e4n 1.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l21\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 f\u00f6ljande uttryck \\\$10^{lg1}+10^{lg10}\\\$`,\n svar: `11`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l22\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vilket som \u00e4r det n\u00e4rmaste heltalet till f\u00f6ljande uttryck \\\$lg2194-lg220\\\$`,\n svar: `Ungef\u00e4r lika med 1`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l23\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation \\\$10^{lg2x}+10^{lg5}=3x+lg10\\\$`,\n svar: `\\\$x=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l24\"\n },\n { \n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r \\\$lgx^2+lgy^2\\\$ om \\\$x\\\\cdot y=10^3\\\$`,\n svar: `6`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163024.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l25\"\n },\n { \n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r \\\$lg0,01\\\$`,\n svar: `-2`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l26\"\n },\n { \n fraga: `Best\u00e4m de positiva talen \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ om <\/p> \\\$\\\\begin{cases} lga^b=16 \\\\\\\\ 10^b=a \\\\end{cases}\\\$ `,\n svar: `\\\$a=10000, b=4\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-162840.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l27\"\n },\n { \n fraga: ` L\u00f6s ekvationssystemet <\/p> \\\$\\\\begin{cases} lgx+lgy=2 \\\\\\\\ 10^{lgx}+10^{lgy}=29 \\\\end{cases}\\\$ `,\n svar: `\\\$x=25, y=4\\\$ eller tv\u00e4rtom.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-162928.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l28\"\n },\n { \n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$4^x=(3^x-2^x)(3^x+2^x)\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{lg2}{lg(\\\\frac{9}{4})}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163004.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l29\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$lg10^{3,8}+lg10^{9,2}\\\$`,\n svar: `13`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l30\"\n },\n {\n fraga: `Joakim l\u00f6ser ekvationen \\\$2lgx-lg4x+lg3=0\\\$ p\u00e5 f\u00f6ljande s\u00e4tt: <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-18.00.13.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> N\u00e4r Joakim unders\u00f6ker sina l\u00f6sningar inser han att de inte st\u00e4mmer. Hj\u00e4lp Joakim l\u00f6sa ekvationen korrekt. `,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{4}{3}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-18.05.00.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\", \"logaritmregler\"],\n kod: \"l31\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$4^x=20\\\\cdot 3^x\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{lg20}{lg(\\\\frac{4}{3})}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-162911.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l32\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$19^x=91\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{lg91}{lg19}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l33\"\n },\n {\n fraga: `Om du vet att \\\$lga^4=3\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 v\u00e4rdet p\u00e5 uttrycket \\\$3a^{\\\\frac{8}{3}}\\\$`,\n svar: `300`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163138.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l34\"\n },\n {\n fraga: `Om du vet att \\\$lg2=0,3\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 ett exakt v\u00e4rde p\u00e5 \\\$lg50\\\$`,\n svar: `1,7`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l35\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$10^{-lg2x}=22\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{1}{44}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l36\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$100^{lgx}-2\\\\cdot 10^{lgx}-lg10^8=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=4\\\$. Vi m\u00e5ste f\u00f6rkasta \\\$x_2=-2\\\$, funkar inte med ursprungsekvation`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163040.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l37\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{lg27+lg8}{lg6}\\\$`,\n svar: `3`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l38\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$lgx \\\\cdot lgx^2 \\\\cdot lgx^3=48\\\$`,\n svar: `\\\$x=100\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-162945.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l39\"\n },\n {\n fraga: `Joakim st\u00e4ller upp f\u00f6ljande uttryck <\/p> \\\$x^{\\\\frac{a}{lgx}}\\\$ d\u00e4r \\\$a\\\$ \u00e4r en konstant<\/p> Joakim menar att uttrycket har samma v\u00e4rde oavsett vilket v\u00e4rde \\\$x\\\$ unders\u00f6k om han har r\u00e4tt. `,\n svar: `Ta logaritmen av uttrycket och sedan f\u00f6renkla uttrycket. `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163150.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l40\"\n },\n {\n fraga: `a) F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt \\\$(\\\\sqrt{10})^{lg16}\\\$ <\/p>\n b) Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$(\\\\sqrt{10})^{lgb}=\\\\sqrt{b}\\\$`,\n svar: `a) 4 b) Skriv om v\u00e4nsterledet och visa likheten`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l41\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$lg(7-\\\\sqrt{48})+lg(7+\\\\sqrt{48})\\\$`,\n svar: `F\u00f6renklas till 0`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l42\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\${10^{lg4}}\\\$`,\n svar: `4`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l43\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\${10^{lg7,8}}\\\$`,\n svar: `7,8`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l44\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\${10^{lg2x}+4x}\\\$`,\n svar: `6x`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l45\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen, svara exakt \\\${3^{2x}+3^{2x}=20}\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{lg10}{2lg3}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l46\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$lg(lg(x))=1\\\$`,\n svar: `\\\$x=10^{10}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-162803.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l47\"\n },\n {\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer <\/p> \\\$\\\\frac{lga+lgb}{2}=lg\\\\sqrt{ab}\\\$`,\n svar: `Skriv om n\u00e5got av leden med hj\u00e4lp av logaritmreglerna och visa sedan att HL=VL`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l48\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 f\u00f6ljande uttryck i br\u00e5kform \\\$\\\\frac{lg32}{lg8}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{5}{3}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l49\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 f\u00f6ljande uttryck i br\u00e5kform \\\$2 \\\\cdot lg5+\\\\frac{1}{2} \\\\cdot lg16\\\$`,\n svar: `2`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l50\"\n },\n {\n fraga: ` Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer <\/p> \\\$10^{\\\\frac{lgx}{2}}=\\\\sqrt{x}\\\$`,\n svar: `Skriv om VL med hj\u00e4lp av potensreglerna. Anv\u00e4nd sedan logaritmreglerna f\u00f6r att visa VL=HL`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163158.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l51\"\n },\n {\n fraga: `Visa att du kan f\u00f6renkla \\\$\\\\frac{1}{lg2}+\\\\frac{1}{lg5}\\\$ till \\\$\\\\frac{1}{lg2 \\\\cdot lg5}\\\$`,\n svar: `Tips: Skriv br\u00e5ken p\u00e5 gemensam n\u00e4mnare och f\u00f6renkla sedan t\u00e4ljaren.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l52\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$7^{\\\\frac{lg22}{lg7} }\\\$`,\n svar: `22`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l53\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2lgx+lg5x+lg25=3\\\$ `,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-170712.png\">`,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l54\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en tabell med v\u00e4rden f\u00f6r logaritmtiska uttryck. Best\u00e4m \\\$a)\\\$ och \\\$b)\\\$ f\u00f6r tabellen <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-15-103136.png\">`,\n svar: `\\\$a) = 2,38\\\$ och \\\$b) = 2,08\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-18-072806.png\">`,\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l55\"\n },\n {\n fraga: `\tRichterskalan \u00e4r ett s\u00e4tt att m\u00e4ta hur kraftig en jordb\u00e4vning \u00e4r. Forskaren Richter formulerade f\u00f6ljande modell: \\\$M=\\\\frac{2}{3}(lgE-K)\\\$ d\u00e4r \\\$M\\\$ \u00e4r magnituden och \\\$E\\\$ \u00e4r energin som frig\u00f6rs samt \\\$K\\\$ \u00e4r en konstant. L\u00f6s ut \\\$E\\\$ ur formeln. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-15-105653.png\">`,\n svar: `\\\$E=10^{\\\\frac{3M}{2}+K}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-15-105413.png\">`,\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l56\"\n },\n {\n fraga: ` Nedan ser du en tallinje med ett utmarkerat v\u00e4rde f\u00f6r \\\$lg5\\\$. Rita av tallinjen och placera ut f\u00f6ljande uttryck.<\/p> a) \\\$lg50\\\$ \\\$\\\\space\\\$ b) \\\$lg25\\\$ \\\$\\\\space\\\$ c) \\\$lg\\\\sqrt{5}\\\$ \\\$\\\\space\\\$ d) \\\$lg(\\\\frac{1}{5})\\\$ \\\$\\\\space\\\$ e) \\\$lg\\\\sqrt{125}\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-14-080751.png\">`,\n svar: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-15-080318.png\">`,\n niva: \"C\",\n poang: [3,2,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l57\"\n },\n {\n fraga: `\tJoakim har uppt\u00e4ckt ett samband (se rutorna nedan). Det framst\u00e5r som att du kan byta plats p\u00e5 talen i v\u00e4nsterledet av likheten och f\u00e5 samma resultat. Unders\u00f6k om sambandet g\u00e4ller f\u00f6r alla positiva heltal. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-21-195519.png\">`,\n svar: ` Det st\u00e4mmer f\u00f6r alla heltal <\/p> \\\$a^{lgb}=(10^{lga})^{lgb}=10^{lga \\\\cdot lgb}=(10^{lgb})^{lga}=b^{lga}\\\$ `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l58\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$100^{lg9}\\\$`,\n svar: `81 `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l59\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$lg200-lg2\\\$`,\n svar: `2`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l60\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=C\u22c5a^x\\\$ d\u00e4r du vet att \\\$C>1\\\$ och \\\$0 < a < 1\\\$. Vilken av f\u00f6ljande grafer kan representera funktionen \\\$g(x)=lg(f(x))\\\$. Motivera ditt svar. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-21-195411.png\">`,\n svar: `C. Skriv om \\\$g(x)=lg(f(x))\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l61\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$lg(x+10^{2,7})+1,3=4\\\$.`,\n svar: `\\\$x=0\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l62\"\n }, \n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(5^{2x}-12)(15-13^x)=0\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=\\\\frac{lg12}{2lg5}\\\$ och \\\$x_2=\\\\frac{lg15}{lg13}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l63\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x\\\\cdot7^x-45x=0\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=0\\\$ och \\\$x_2=\\\\frac{lg45}{lg7}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l64\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$lg2+lg2+lg5+lg5\\\$`,\n svar: `2`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l65\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$lg(\\\\frac{1}{\\\\sqrt{1000}})\\\$`,\n svar: `\\\$-\\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l66\"\n },\n ],\n problemlosningfunktioner: [\n {\n fraga: `Joakim som bor i Lund ska \u00e5ka EPA-traktor till en stad som ligger 120 km fr\u00e5n Lund. N\u00e4r\nhan skulle \u00e5ka tillbaka var det v\u00e4garbete l\u00e4ngs med v\u00e4gen och Joakim tvingades \u00e5ka i snitt\n10 km\/h l\u00e5ngsammare och hela resan tog 1 timme l\u00e4ngre \u00e4n ditv\u00e4gen. Med vilken\nsnitthastighet \u00e5kte Joakim till staden p\u00e5 ditv\u00e4gen? `,\n svar: `40 km\/h`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-19.57.25.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p1\"\n },\n {\n fraga: `Joakim k\u00f6per en bostad f\u00f6r 1,2 miljoner. Efter 3 \u00e5r har bostadens v\u00e4rde \u00f6kat med 9%.\nF\u00f6rutsatt att bostaden \u00f6kar med samma \u00e5rliga procentuella v\u00e4rde fram\u00f6ver. Efter hur\nm\u00e5nga \u00e5r efter bostadsk\u00f6pet har bostadens v\u00e4rde \u00f6kat med 30%.`,\n svar: `9 \u00e5r`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p2\"\n },\n {\n fraga: `Joakim s\u00e4tter in 10 000 kr i en fond som f\u00f6rv\u00e4ntas v\u00e4xa med 4% varje \u00e5r. Efter hur m\u00e5nga \u00e5r\nhar pengarna f\u00f6rdubblats.`,\n svar: `17 \u00e5r`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p3\"\n },\n {\n fraga: `En bakteriekultur inneh\u00e5ller 1 000 bakterier. Efter 5 timmar inneh\u00e5ller bakteriekulturen 2 000\nbakterier. Hur stor var den procentuella f\u00f6r\u00e4ndringen (f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn) f\u00f6r varje timme om\nvi antar att den var samma f\u00f6r varje timme? St\u00e4ll upp en ekvation och l\u00f6s den. `,\n svar: `\u00d6kar med ungef\u00e4r 15%`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p4\"\n },\n {\n fraga: `Byggnaden Gate to the east ligger i den kinesiska staden Suzhou. H\u00f6jden f\u00f6r den inre\nb\u00e5gen g\u00e5r att beskriva med funktionen \\\$h(x)=-0,1x^2+10x\\\$ d\u00e4r \u210e(\ud835\udc65) \u00e4r h\u00f6jden fr\u00e5n\nmarken och \ud835\udc65 \u00e4r meter l\u00e4ngst med marken fr\u00e5n botten av b\u00e5gen.\nBest\u00e4m hur h\u00f6gt upp den inre b\u00e5gen i Gate to the East \u00e4r. Enbart svar kr\u00e4vs <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-17.26.32.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `250 meter.`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p5\"\n },\n {\n fraga: `Joakim driver en bokhandel d\u00e4r alla b\u00f6cker kostar lika mycket.\nJoakim har insett om han s\u00e4nker priset p\u00e5 b\u00f6ckerna med 10 kr\nkommer en person som k\u00f6per b\u00f6cker f\u00f6r 1200 kr kunna k\u00f6pa 4\nb\u00f6cker fler f\u00f6r samma pris som originalpriset. Best\u00e4m priset p\u00e5\nb\u00f6ckerna idag.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.06.27.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `60 kr`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-170813.png\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p6\"\n },\n {\n fraga: `Tiden det tar att l\u00f6sa en Rubriks kub \\\$T(n)\\\$ g\u00e5r att beskriva med\nfunktionen \\\$T(n)=T_0-k\\\\cdot lg(n+1)\\\$ d\u00e4r \\\$T_0\\\$ \u00e4r tiden det tar\nutan tr\u00e4ning och \ud835\udc5b \u00e4r antalet Rubriks kub man har l\u00f6st och\nkonstanten \ud835\udc58 \u00e4r hur l\u00e4tt man l\u00e4r sig.<\/p>\nF\u00f6r Joakim tar det utan tr\u00e4ning 50 minuter att l\u00f6sa en Rubriks\nkub. Det tog honom 15 kuber att komma ner till 40 minuter. Hur\nm\u00e5nga kuber m\u00e5ste han l\u00f6sa f\u00f6r att halvera sin ursprungstid?.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.38.29.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `1028 kuber`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p7\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har ett bageri som s\u00e4ljer semlor. Han har bara haft problem\nmed att s\u00e4tta pris p\u00e5 semlorna. Han anst\u00e4llde d\u00e5 en matematiker som\nskulle titta p\u00e5 f\u00f6rs\u00e4ljningsstatistiken och har komma fram till det b\u00e4sta priset f\u00f6r att\nmaximera vinsten.<\/p> a) Matematikern tog fram funktionen \\\$V(p)=-0,1p^2+8p-70\\\$ d\u00e4r \\\$V(p)\\\$ beskriver\nvinsten i tusen kr beroende p\u00e5 vilket pris \ud835\udc5d Joakim s\u00e4tter p\u00e5 semlorna. Vilken \u00e4r\nden maximala vinsten Joakim kan f\u00e5 ut? <\/p> b) Joakim skrev tillbaka till matematikern och fr\u00e5gade hur han fick fram funktionen.\nMatematikern svarade d\u00e5 med f\u00f6ljande mail: .<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.44.25.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> Visa hur matematikern fick fram sin funktion. Kom ih\u00e5g att bara utg\u00e5 fr\u00e5n\ninformationen matematikern utgick ifr\u00e5n i mailet.`,\n svar: `a) 90 tusen b) Modellera problemet. Titta l\u00f6sningsf\u00f6rslaget.`,\n niva: \"A\",\n poang: [1,2,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.46.32.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p8\"\n },\n {\n fraga: `I en sj\u00f6 med mycket f\u00f6roreningar trivs torsken j\u00e4ttebra samtidigt som m\u00f6rten m\u00e5r\nv\u00e4ldigt d\u00e5ligt. 2023 finns det 15 000 torskar i sj\u00f6n och 30 000 m\u00f6rtar. Man r\u00e4knar med\natt m\u00f6rten kommer minska med 5% varje \u00e5r samtidigt som torsken kommer v\u00e4xa med\n8% varje \u00e5r. Efter hur m\u00e5nga \u00e5r kommer det finnas tre g\u00e5nger s\u00e5 m\u00e5nga torskar som\nm\u00f6rtar i sj\u00f6n?.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.08.14.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Ungef\u00e4r 14 \u00e5r`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-160817.png\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p9\"\n },\n {\n fraga: `Joakim och Joachim ska springa 100 meter. De startar samtidigt och Joakim springer 1\nm\/s snabbare \u00e4n Joachim och Joakim springer hela distansen 2 sekunder snabbare \u00e4n\nJoachim. Best\u00e4m vilka tider Joakim och Joachim f\u00e5r p\u00e5 100 meter.`,\n svar: `Joakim: 15,18 sekunder, Joachim: 13,18 sekunder `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-11-210549.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p11\"\n },\n {\n fraga: `Differensen av tv\u00e5 tal \u00e4r 10. Vilken \u00e4r den minsta produkten talen kan anta? Gissning\nger ingen po\u00e4ng.`,\n svar: `Minsta produkten \u00e4r -25`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-11-215021.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p12\"\n },\n {\n fraga: `Joakim jobbar p\u00e5 en marknad och vill\nmaximera sin vinst n\u00e4r han s\u00e4ljer bl\u00e5b\u00e4r.\nJust nu tar han 80kr\/liter och han s\u00e4ljer i\nsnitt 300 liter om dagen. Han har r\u00e4knat ut\natt om han \u00f6kar literpriset med 5 kr kommer\nhan s\u00e4lja 10 liter mindre i snitt om dagen.\nVilket pris ska Joakim s\u00e4tta f\u00f6r att\nmaximera sin vinst? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.56.25.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Ungef\u00e4r 14 \u00e5r`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.58.04.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p13\"\n },\n {\n fraga: `Turismen i v\u00e4rlden har \u00f6kat stort sedan 1950. 1950\nr\u00e4knade man med att 25 miljoner m\u00e4nniskor turistade\ninternationellt \u00e5rligen. \u00c5r 2005 hade siffran \u00f6kat till 800\nmiljoner m\u00e4nniskor som turistade internationellt \u00e5rligen.<\/p>\na) Hur m\u00e5nga miljoner m\u00e4nniskor f\u00f6rv\u00e4ntas turista\ninternationellt \u00e5r 2025 om vi antar att utvecklingen \u00e4r\nexponentiell?<\/p>\nb) Vilket \u00e5r f\u00f6rv\u00e4ntas turismen vara \u00f6ver 5 miljarder?.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-21.14.35.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a) 2821 miljoner b) \u00e5r 2034`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,4,0],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-21.13.00.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p14\"\n },\n {\n fraga: `Antalet \u00e5lar har minskat kraftigt under m\u00e5nga \u00e5r. Om man j\u00e4mf\u00f6r med 1950 finns idag\nbara 3% av best\u00e5ndet kvar. Man r\u00e4knar med att \u00e5lens best\u00e5nd minskar exponentiellt.<\/p>\na) Konstruera en funktion som beskriver minskningen av antalet \u00e5lar.<\/p>\nb) Best\u00e4m ocks\u00e5 vilket \u00e5r det enbart finns 1% kvar av best\u00e5ndet fr\u00e5n 1950.`,\n svar: `a) \\\$f(x)=C\\\\cdot 0,9543^x\\\$ b) \u00e5r 2048`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-21.09.18.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p15\"\n },\n {\n fraga: `En font\u00e4n har en ok\u00e4nd h\u00f6jd. Den sprutar ut en vattenstr\u00e5le som n\u00e5r 3 meter \u00f6ver\nmarken som max och landar sedan 3 meter fr\u00e5n font\u00e4nen. Se bild nedan. Best\u00e4m\nfont\u00e4nens h\u00f6jd. Anta att vattenstr\u00e5len r\u00f6r sig som en andragradsfunktion. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-21.00.28.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `H\u00f6jden \u00e4r \\\$\\\\frac{9}{4}\\\$ meter eller 2,25 meter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.58.47.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.58.59.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p16\"\n },\n {\n fraga: `Under grafen till den r\u00e4ta linjen \\\$y=-2x+6\\\$ placeras en rektangel. Rektangeln har\nett h\u00f6rn i origo och ett annat h\u00f6rn som tangerar grafen till den r\u00e4ta linjen. Vilket \u00e4r den\nmaximala arean som rektangeln kan anta? Tips konstruera en areafunktion. .<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.09.16.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Maximala arean \u00e4r \\\$\\\\frac{9}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p17\"\n },\n {\n fraga: `En basketspelare ska kasta ett straffkast. I ett straffkast i basket\nst\u00e5r du 4,6 meter fr\u00e5n korgen som sitter 3 meter upp fr\u00e5n marken\noch ska f\u00e5 bollen i korgen p\u00e5 ett kast. En basketspelare som \u00e4r 2\nmeter l\u00e5ng kastar ett straffkast. Bollen l\u00e4mnar spelaren 2 meter\n\u00f6ver marken och han tr\u00e4ffar korgen. Bollen n\u00e5r sin maxh\u00f6jd efter\natt den f\u00e4rdats 3,6 meter l\u00e4ngst med marken. Hur h\u00f6gt blev\nkastet? Anta att kastet kan beskrivas som en andragradsfunktion. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.05.21.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `3,08 meter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p18\"\n },\n {\n fraga: `Richterskalan \u00e4r ett s\u00e4tt att m\u00e4ta hur kraftig en\njordb\u00e4vning \u00e4r. Forskaren Richter formulerade f\u00f6ljande\nmodell: \\\$M=\\\\frac{2}{3}(lgE-K)\\\$ d\u00e4r \ud835\udc40 \u00e4r magnituden och \ud835\udc38 \u00e4r\nenergin som frig\u00f6rs samt \ud835\udc3e \u00e4r en konstant. L\u00f6s ut \ud835\udc38 ur\nformeln.. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.52.58.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$E=10^{\\\\frac{3}{2}M+K}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-160751.png\">`,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p19\"\n },\n {\n fraga: `Antalet elbilar har \u00f6kat exponentiellt i Sverige under de senaste\n\u00e5ren. Hemsidan Alltomelbil.se publicerar statistik kring antalet\nelbilar i Sverige. 2016 fanns det 10 000 elbilar i Sverige och\n2024 fanns det 400 000 elbilar.\nAlltomelbil.se menar att Sverige kommer ha mer \u00e4n 1 miljon\nelbilar redan 2026 om exponentiella trenden forts\u00e4tter.\nUnders\u00f6k om Alltomelbil.se har r\u00e4tt i sin prognos. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.28.30.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Prognosen st\u00e4mmer. Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.29.42.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p20\"\n },\n {\n fraga: `Nedan visas ett framtida byggnadsprojekt i St. Petersburg. Byggnadens \u00f6vre del g\u00e5r att\nbeskriva med en andragradsfunktion \u210e(\ud835\udc65). Enligt arkitekten ska byggnaden vara 200\nmeter bred och man har placerat ut n\u00e5gra m\u00e5tt f\u00f6r byggnaden nedan. Den l\u00e4gsta\npunkten p\u00e5 den \u00f6vre b\u00e5gen ligger 100 m \u00f6ver marken. Best\u00e4m byggnadens h\u00f6gsta\npunkt. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.32.11.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `238,8 meter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.32.49.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p21\"\n },\n {\n fraga: `Den 1 mars 2025 b\u00f6rjade aktien f\u00f6r Matematikhuset AB att sjunka. Efter 13 dagar n\u00e5dde den sin l\u00e4gsta notering med 70% av v\u00e4rdet fr\u00e5n 1 mars 2025. Den ansvariga ekonomen p\u00e5 f\u00f6retaget meddelar att v\u00e4rdef\u00f6r\u00e4ndringen f\u00f6rv\u00e4ntas f\u00f6lja en andragradsfunktion \ud835\udc49(\ud835\udc65) d\u00e4r \ud835\udc65 \u00e4r antalet dagar fr\u00e5n 1 mars och \ud835\udc49(\ud835\udc65) visar hur m\u00e5nga procent aktien har g\u00e5tt upp eller ner.<\/p> Ekonomen menar att ingen i f\u00f6retaget beh\u00f6ver vara orolig eftersom v\u00e4rdet till och med f\u00f6rv\u00e4ntas ha \u00f6kat med mer \u00e4n 20% den 31 mars enligt funktionen \ud835\udc49(\ud835\udc65). Unders\u00f6k om ekonomen har r\u00e4tt om vi antar att v\u00e4rdeutvecklingen f\u00f6ljer en andragradsfunktion. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-17.59.09.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Den har \u00f6kat med ungef\u00e4r 27%.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p22\"\n },\n {\n fraga: `Gateway Arch \u00e4r ett ber\u00f6mt monument i Saint\nLouis, USA. Konstruktionen \u00e4r 192 meter h\u00f6g och 192 meter\nbred vid basen.<\/p>\nMan kan modellera Gateway archs h\u00f6jd med hj\u00e4lp\nav en andragradsfunktion.\nDen funktionen g\u00e5r att skriva som \\\$h(x)=-0,0208x^2+bx\\\$ d\u00e4r x \u00e4r meter l\u00e4ngst med marken. Best\u00e4m konstanten \\\$b\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-21.22.06.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$b=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p23\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har bytt jobb och \u00e4r numera potatisodlare\ni Peru och ska s\u00e4lja hela sitt f\u00f6rr\u00e5d med potatis.\nHan har den h\u00e4r veckan 150 ton potatis i sitt\nf\u00f6rr\u00e5d och resonerar kring hur han kan\nmaximera sin vinst p\u00e5 potatisf\u00f6rs\u00e4ljningen. Idag\nkan han s\u00e4lja potatisen f\u00f6r 920 kr\/ton och han\nvet att priset p\u00e5 potatis kommer g\u00e5 upp med\n40kr\/vecka. Samtidigt vet Joakim av erfarenhet\natt hans potatis i f\u00f6rr\u00e5det blir s\u00e4mre desto mer\ntiden g\u00e5r vilket resulterar i att 2,5 ton potatis blir\nos\u00e4ljbar varje vecka. Hur l\u00e4nge ska han v\u00e4nta\ninnan han s\u00e4ljer sin potatis f\u00f6r att maximera\nvinsten? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.13.50.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `18,5 veckor f\u00e5r han maximal vinst.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p24\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har ett 10 meter l\u00e5ngt sn\u00f6re. Av det sn\u00f6ret ska han klippa s\u00f6nder det och av de\ntv\u00e5 bitarna ska han skapa en cirkel och en kvadrat. Dessa tv\u00e5 geometriska figurer\nkommer sedan ha en sammanlagd area (arean av cirkeln adderat med arean f\u00f6r\nkvadraten). Hur ska Joakim klippa sn\u00f6ret f\u00f6r att den sammanlagda arean ska bli s\u00e5\nliten som m\u00f6jligt? `,\n svar: `Han ska klippa s\u00e5 att 5,6 cm g\u00e5r till kvadraten och 4,4 cm till cirkeln.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p25\"\n },\n {\n fraga: `Joakim vill f\u00f6rb\u00e4ttra tiden han springer en km p\u00e5.\nJust nu springer han p\u00e5 6 minuter och enligt hans\nprognos kommer hans km-tid \ud835\udc47(\ud835\udc61) minska efter \ud835\udc61\ntr\u00e4ningstimmar enligt funktionen <\/p> \\\$T(t)=6-0,73\\\\cdot lg(t+1)\\\$ <\/p> Joakim vill veta hur m\u00e5nga tr\u00e4ningstimmar han m\u00e5ste\nl\u00e4gga ner f\u00f6r att f\u00e5 ner sin km-tid till 4 minuter. Hj\u00e4lp\nhonom best\u00e4mma det.`,\n svar: `Ungef\u00e4r 548 timmar.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p26\"\n },\n {\n fraga: `Joakim ska sparka en fotboll s\u00e5 l\u00e5ngt som han kan. Bollen g\u00e5r som en parabel och g\u00e5r\natt beskriva med funktionen \\\$h(x)=-0,1x^2+1,5x\\\$ d\u00e4r \u210e(\ud835\udc65) \u00e4r h\u00f6jden och \ud835\udc65 \u00e4r hur\nl\u00e5ngt bollen f\u00e4rdats. Best\u00e4m bollen h\u00f6gsta h\u00f6jd och hur l\u00e5ngt bollen kommer n\u00e4r den\nn\u00e5r marken efter sparken`,\n svar: `Bollen n\u00e5r 15 meter och h\u00f6jden \u00e4r 5,63 meter.`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p27\"\n },\n {\n fraga: `Under Vasaloppet finns det ett antal stationer som man kan stanna p\u00e5 och f\u00e5 lite v\u00e4tska\noch bullar. Tv\u00e5 av dessa \u00e4r M\u00e5ngsbodarna och Risberg. H\u00f6jdprofilen (Hur m\u00e5nga\nmeter man \u00e4r \u00f6ver havet) mellan M\u00e5ngsbodarna och Risberg g\u00e5r att beskriva med en\nandragradsfunktion \u210e(\ud835\udc65), d\u00e4r \u210e(\ud835\udc65) \u00e4r h\u00f6jden \u00f6ver havet i meter och \ud835\udc65 \u00e4r antalet km\nfr\u00e5n M\u00e5ngsbodarna.<\/p>\nM\u00e5ngsbodarna ligger 410 meter \u00f6ver havet och man m\u00e5ste \u00e5ka 8 km f\u00f6r att komma\ntillbaka till samma h\u00f6jd. Den l\u00e4gsta punkten mellan M\u00e5ngsbodarna och Risberg ligger\np\u00e5 300 meter \u00f6ver havet. Best\u00e4m h\u00f6jden p\u00e5 den h\u00f6gsta punkten mellan M\u00e5ngsbodarna\noch Risberg som ligger 9 km fr\u00e5n M\u00e5ngsbodarna. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.18.40.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `471,9 meter \u00f6ver havet.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.21.05.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p28\"\n },\n {\n fraga: `Hicks lag \u00e4r en lag inom psykologin som visar p\u00e5 hur l\u00e5ng tid det tar f\u00f6r oss att ta ett\nbeslut beroende p\u00e5 hur m\u00e5nga alternativ vi har. Hicks lag f\u00f6r enklare beslut g\u00e5r att\nbeskriva p\u00e5 f\u00f6ljande s\u00e4tt<\/p> \\\$R=7,68\\\\cdot lg(n)\\\$<\/p> d\u00e4r \ud835\udc45 \u00e4r tiden i sekunder det tar f\u00f6r att ta ett beslut och \ud835\udc5b \u00e4r antalet valbara m\u00f6jligheter.\nBest\u00e4m hur m\u00e5nga valalternativ man har om ens beslutstid \u00e4r 10 sekunder. `,\n svar: `20 valalternativ`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p29\"\n },\n {\n fraga: `Joakim ska h\u00e4gna in en rektangul\u00e4r hage intill en rak bergv\u00e4gg, vilket betyder att han\nbara beh\u00f6ver st\u00e4ngsel p\u00e5 tre sidor. Han har totalt 100 meter st\u00e4ngsel. Vilken \u00e4r den\nmaximala arean som den rektangul\u00e4ra hagen kan ha?`,\n svar: `1250 kvadratmeter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-170732.png\">`,\n digital: true ,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p30\"\n },\n {\n fraga: `Joakim ska inh\u00e4ngna ett omr\u00e5de till en uteg\u00e5rd med tv\u00e5 delar f\u00f6r sina h\u00f6nor. Han har\nk\u00f6pt 24 m st\u00e4ngsel och vill bygga en uteg\u00e5rd enligt figuren nedan. Hela ena sidan\nutg\u00f6rs av sj\u00e4lva h\u00f6nshuset och beh\u00f6ver inte ha staket. Vilka m\u00e5tt ska omr\u00e5det ha f\u00f6r att man ska maximera arean? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmavbild-2026-03-21-kl.-06.54.28.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `4x12 meter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-170758.png\">`,\n digital: true ,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p31\"\n },\n {\n fraga: `Den afrikanska skogselefanten har minskat i antal v\u00e4ldigt mycket under de senaste 20 \u00e5ren. Fr\u00e5n 2006 till 2026 har de minskat med 81% till stor del p\u00e5 grund av tjuvjakt. Vilket \u00e5r ber\u00e4knar man att det bara finns 10% kvar av 2006 \u00e5rs population. Anta att minskningen \u00e4r exponentiell. `,\n svar: `2034`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p32\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en exponentiell funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=C \\\\cdot a^x\\\$ vet du att <\/p> \\\$f(1)=20\\\$ <\/p> \\\$f(lg5)=10\\\$ <\/p> Best\u00e4m heltals-konstanterna \\\$C\\\$ och \\\$a\\\$`,\n svar: `\\\$C=2\\\$ och \\\$a=10\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p33\"\n },\n {\n fraga: ` \tR\u00e5ttpopulationen har \u00f6kat exponentiellt i Lund. Forskarna Joakim och hans kompis Pelle har f\u00f6rs\u00f6kt uppskatta hur populationerna f\u00f6r\u00e4ndras. <\/p> \n\nJoakims modell: \\\$r(x)=20000\\\\cdot 1,019^x\\\$ d\u00e4r \\\$r(x)\\\$ \u00e4r antalet r\u00e5ttor och \\\$x\\\$ \u00e4r antalet dagar fr\u00e5n 10 februari<\/b> <\/p> \n\nPelles modell: \\\$R(t)=25000\\\\cdot 1,01^t\\\$ d\u00e4r \\\$R(t)\\\$ \u00e4r antalet r\u00e5ttor och \\\$t\\\$ \u00e4r antalet dagar fr\u00e5n 17 februari<\/b> <\/p>\n\nEfter hur m\u00e5nga dagar fr\u00e5n 10 februari<\/b> visar modellerna p\u00e5 samma antal r\u00e5ttor i Lund? \n`,\n svar: `Ungef\u00e4r 17 dagar`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true, \n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p34\"\n },\n {\n fraga: `Ett f\u00f6rem\u00e5l kastas fr\u00e5n en 20 meters h\u00f6g byggnad. Hur m\u00e5nga meter \u00f6ver marken f\u00f6rem\u00e5let \u00e4r g\u00e5r att beskriva med funktionen <\/p> \\\$h(t)=20+8t-4,9t^2\\\$ <\/p> d\u00e4r \\\$t\\\$ \u00e4r tiden i sekunder. <\/p> \n\na) Efter hur m\u00e5nga sekunder tar det f\u00f6r f\u00f6rem\u00e5let att n\u00e5 marken? <\/p>\n\nb) Vilken \u00e4r f\u00f6rem\u00e5lets h\u00f6gsta h\u00f6jd? \n\n`,\n svar: `a) 3 sekunder b) 23,27 meter`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p35\"\n },\n {\n fraga: ` \tEn simhoppare hoppar fr\u00e5n 10-meterssvikten. H\u00f6jden \u00f6ver vattenytan kan beskrivas som <\/p> \n\\\$h(t)=10+2t-4,9t^2\\\$ <\/p>\n d\u00e4r \\\$h(t)\\\$ \u00e4r h\u00f6jden \u00f6ver vattenytan och \\\$t\\\$ \u00e4r tiden i sekunder. <\/p>\n a) Efter hur l\u00e5ng tid bryter simhopparen vattenytan? <\/p>\n b) Vilken \u00e4r den h\u00f6gsta h\u00f6jden simhopparen n\u00e5r under hoppet?\n`,\n svar: `a) 1,65 sekunder b) 10,2 meter`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p36\"\n },\n {\n fraga: ` En fyrverkeripj\u00e4s skickas upp i luften fr\u00e5n marken. pj\u00e4sens bana g\u00e5r att beskriva med funktionen \\\$h(x)=-4,9t^2+50t\\\$ <\/p> d\u00e4r \\\$h(t)\\\$ \u00e4r h\u00f6jden p\u00e5 pj\u00e4sen i meter och \\\$t\\\$ \u00e4r tiden i sekunder. Hur h\u00f6gt upp n\u00e5r fyrverkeripj\u00e4sen, svara med en decimal.`,\n svar: `127,6 meter`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p37\"\n },\n {\n fraga: `Ett smittsamt virus sprids i den lilla staden Joakimk\u00f6ping. Den 1 april 2026 uppt\u00e4ckte man 10 personer som bar p\u00e5 viruset. Den 10 april var det personer 90 personer som bar p\u00e5 viruset. Om man antar att \u00f6kningen \u00e4r exponentiell, efter hur m\u00e5nga dagar b\u00e4r 200 personer p\u00e5 viruset? `,\n svar: `Ungef\u00e4r 12 dagar`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p38\"\n },\n{\n fraga: `Joakim \u00e4r biolog och unders\u00f6ker olika populationers tillv\u00e4xt. Djuren Spykantilop har minskat mycket de senaste \u00e5ren. Man r\u00e4knar med att 2010 fanns det 35 000 Spykantiloper i v\u00e4rlden. 2020 hade de minskat till 23 000. <\/p> \n\na)\tOm man antar att f\u00f6r\u00e4ndringen \u00e4r exponentiell samt att f\u00f6r\u00e4ndringen forts\u00e4tter i samma takt. Vilket \u00e5r f\u00f6rv\u00e4ntas Spykantilopens population vara enbart 15 000? <\/p>\n\nb)\tEn annan djurart \u00e4r Spyklejonet. Det lejonet v\u00e4xer ist\u00e4llet exponentiellt. 2015 fanns det 17 000 och 2020 fanns det 20 000. Vilket \u00e5r f\u00f6rv\u00e4ntas antalet Spykantiloper och Spyklejon vara lika m\u00e5nga? \n`,\n svar: `a) Ungef\u00e4r 2030 b) Ungef\u00e4r 2021`,\n niva: \"A\",\n poang: [1,2,2],\n digital: true, \n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p39\"\n },\n{\n fraga: ` F\u00f6ljande funktion beskriver hur l\u00e5ng tid det tar att ladda en mobiltelefon fr\u00e5n att batteriet n\u00e5tt 50% <\/p> \\\$y=35\\\\cdot lg(x-49\\\$) <\/p> \nd\u00e4r \\\$x\\\$ \u00e4r batteriniv\u00e5n i procent och \ud835\udc66 \u00e4r hur m\u00e5nga minuter som g\u00e5tt fr\u00e5n att batteriet \u00e4r 50%. Vad \u00e4r batteriniv\u00e5n efter 45 minuter laddning. L\u00f6s uppgiften algebraiskt utan referering till geogebra. `,\n svar: `68,3%`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p40\"\n },\n\n\n ],\n\n geometri: [\n {\n fraga: `Best\u00e4m vinklarn \\\$x\\\$ och \\\$y\\\$ om du vet att O \u00e4r mittpunkten f\u00f6r cirkeln. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-18.49.39.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$x=70^\\\\circ\\\$ och \\\$y=20^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g1\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vinklarna \\\$x\\\$ och \\\$y\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.58.22.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$x=45^\\\\circ\\\$ och \\\$y=90^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g2\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vinkeln \\\$W\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-20.08.22.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$W=120^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g3\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m str\u00e4ckan \\\$x\\\$ om du vet att AB \u00e4r en parallelltransversal. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-20.14.08.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$x=10\\\$ l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true, \n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-20.16.21.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g4\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vinkeln \\\$V\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-20.11.49.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$V=120^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g5\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en triangel ABC dras en parallelltransversal vilket skapar en topptriangel BDE. Du vet att\nstr\u00e4ckan AC 10 cm, str\u00e4ckan DE 6 cm och str\u00e4ckan AB \u00e4r 12 cm. Best\u00e4m str\u00e4ckan DB.`,\n svar: `DB=7,2`,\n niva: \"E\",\n digital: true,\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g6\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4tvinklig triangel \u00e4r den ena kateten en cm l\u00e4ngre \u00e4n den andra. Hypotenusan \u00e4r 5 cm.\nBest\u00e4m arean av triangeln. .`,\n svar: `Arean \u00e4r 6 `,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g7\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vinkeln \\\$V\\\$ om \\\$DF=DG\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-20.22.58.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$V=60^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-20.24.27.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g8\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en utmarkerad str\u00e4cka AB samt 4 identiska kvadrater. Om\nstr\u00e4ckan AB \u00e4r \\\$\\\\sqrt{52}\\\$ l\u00e4ngdenheter. Best\u00e4m d\u00e5 sidl\u00e4ngden p\u00e5 en kvadrat. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-20.28.03.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Sidl\u00e4ngden \u00e4r 2 l\u00e4ngdenheter.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-20.27.56.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g9\"\n },\n {\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande samband st\u00e4mmer f\u00f6r figuren nedan \ud835\udc34 + \ud835\udc35 + \ud835\udc36 = \ud835\udc37.\nPunkten i mitten \u00e4r medelpunkten f\u00f6r cirkeln. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-20.03.33.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-20.05.23.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g10\"\n },\n {\n fraga: `Triangeln ABC \u00e4r r\u00e4tvinklig visa att \\\$v+w=270^\\\\circ\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.28.13.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.30.08.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g11\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m omkretsen f\u00f6r triangeln ABC. Figuren \u00e4r ej skalenligt ritad. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.44.29-1.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Omkretsen \u00e4r 31,94 l.e`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.45.01.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g12\"\n },\n { fraga: `Du vet att str\u00e4ckan \ud835\udc34\ud835\udc36 \u00e4r parallell med \ud835\udc37\ud835\udc38. Du vet ocks\u00e5 att \ud835\udc35\ud835\udc37 = 2, \ud835\udc36\ud835\udc38 = 3,5 samt\natt \ud835\udc34\ud835\udc37 = \ud835\udc35\ud835\udc38. Best\u00e4m str\u00e4ckan \ud835\udc34\ud835\udc37.\n\n\n<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.44.04.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `AD=\\\$\\\\sqrt{7}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g13\"\n },\n {\n fraga: `I figuren nedan vet du att vinkeln D \u00e4r 30 grader. Best\u00e4m d\u00e5 vinkel A. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.31.49.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `A \u00e4r 60 grader.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g14\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vinkeln V. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.34.10.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `V \u00e4r 140 grader.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g15\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m det kortaste avst\u00e5ndet mellan origo och den r\u00e4ta linjen \\\$y=10-2x\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\sqrt{20}\\\$ l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g16\"\n },\n {\n fraga: `Pythagoras sats \u00e4r ett samband i matematiken som har ett stort antal bevis. Den tyske matematikern Gottfried Leibnitz publicerade p\u00e5 1600-talet ett bevis f\u00f6r Pythagoras\n\nsats d\u00e4r han anv\u00e4nde skissen i en cirkel nedan. Han anv\u00e4nde sedan en eller flera satser f\u00f6r cirklar och str\u00e4ckor som vi l\u00e4rt oss i kursen Matematik 2c. Slutf\u00f6r Leibnitz bevis.. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/ChatGPT-Image-10-juni-2026-14_58_22-1.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Anv\u00e4nd kordasatsen f\u00f6r att slutf\u00f6ra beviset.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-170608.png\">`,\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g17\"\n },\n {\n fraga: `Visa att \\\$A+B=180^{\\\\circ}\\\$ genom att anv\u00e4nda randvinkelsatsen. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.12.27.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar:`Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.19.11.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g18\"\n},\n {\n fraga: `Den gamla presidenten J.A Garfield presenterade p\u00e5 1800-talet ett bevis f\u00f6r Pytagoras\nsats. Han ritade f\u00f6ljande bild. Anv\u00e4nd skissen f\u00f6r att bevisa Pythagoras sats. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.13.08.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar:`Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.23.30.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g19\"\n},\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett samband mellan \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ . <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-18.56.58.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$b=2a\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g20\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m radien i cirkeln. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-31-072119.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `radie\\\$=5\\\$ cm`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g21\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4tvinklig triangel vet du att hypotenusan \u00e4r 25 cm. Om du \u00f6kar l\u00e4ngden p\u00e5 den ena kateten med 8 cm samtidigt som du minskar sidl\u00e4ngden p\u00e5 den andra kateten med 4 cm kommer hypotenusans l\u00e4ngd best\u00e5 allts\u00e5 vara 25 cm. Best\u00e4m kateternas ursprungliga l\u00e4ngd.`,\n svar: `7 cm och 24 cm.`,\n niva: \"A\",\n digital: true,\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163302.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g22\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4tvinklig triangel vet du att omkretsen \u00e4r 60 cm och arean \u00e4r \\\$120 cm^2\\\$. Best\u00e4m samtliga sidl\u00e4ngder f\u00f6r den r\u00e4tvinkliga triangeln.`,\n svar: `10 cm, 24 cm, 26 cm.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true, \n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g23\"\n }, \n {\n fraga: `Nedan ser du en cirkel med mittpunkt \ud835\udc40. Visa att str\u00e4ckan \ud835\udc34\ud835\udc35 \u00e4r lika l\u00e5ng som radien\ni cirkeln.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmavbild-2026-03-21-kl.-07.13.09.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Dra radier till punkterna A och B och analysera sedan trianglarna som uppst\u00e5r.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-170622.png\">`,\n underkategori: [\"strackor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g24\"\n }, \n {\n fraga: `Om \\\$M\\\$ \u00e4r mittpunkten i cirkeln. Best\u00e4m d\u00e5 vinkeln \\\$V\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-01-114117.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$V=120^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g25\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m radien i cirkeln. Svara med tv\u00e5 decimaler. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-18-065808.png\">`,\n svar: `\\\$r=7,04 l.e\\\$`,\n niva: \"A\",\n digital: true,\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-18-070012.png\">`,\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g34\"\n }, \n {\n fraga: `\tStr\u00e4ckorna \\\$AB\\\$ och \\\$CD\\\$ \u00e4r \nparallella. Best\u00e4m str\u00e4ckan \\\$x\\\$\n. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-06-150405.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$x=3,84\\\$ l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"C\",\n digital: true,\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g26\"\n }, \n {\n fraga: `\tNedan ser du en figur. Du vet att \\\$AD=8\\\$ l.e och \\\$BE=5\\\$ l.e. Best\u00e4m omkretsen i triangeln \\\$CDE\\\$.\n. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-07-152717.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `16 l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-170659.png\">`,\n underkategori: [\"strackor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g27\"\n }, \n {\n fraga: `Best\u00e4m arean av rektangeln \\\$R\\\$.\n. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-15-161345.png\">`,\n svar: `21 areanenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"strackor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g28\"\n }, \n {\n fraga: `Best\u00e4m str\u00e4ckan \\\$x\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-14-091540.png\">`,\n svar: `\\\$x=12,5\\\$ cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"strackor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g29\"\n }, \n {\n fraga: `Best\u00e4m str\u00e4ckan \\\$x\\\$ om du vet att \\\$AB\\\$ och \\\$CD\\\$ \u00e4r paralella <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-14-090139.png\">`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{9}{4}\\\$ cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"strackor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g30\"\n }, \n {\n fraga: `Str\u00e4ckan \\\$AB\\\$ \u00e4r diametern i cirkeln. Best\u00e4m vinkeln \\\$x\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-14-093048.png\">`,\n svar: `\\\$x=29^{\\\\circ}\\\$ `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g31\"\n },\n {\n fraga: `Str\u00e4ckan \\\$BC\\\$ \u00e4r 16 cm. Best\u00e4m str\u00e4ckan \\\$AD\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-14-073613.png\">`,\n svar: `\\\$AD=20\\\$ cm `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g32\"\n },\n {\n fraga: `\tTv\u00e5 r\u00e4ta linjen tangerar en cirkel i punkterna \\\$A\\\$ och \\\$B\\\$. Att en linje tangerar n\u00e5got inneb\u00e4r att den sk\u00e4r objektet i en punkt. De r\u00e4ta linjerna sk\u00e4r sedan varandra i en punkt \\\$P\\\$. Visa att \\\$AP=BP\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-14-071323.png\">`,\n svar: `Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-15-123813.png\">`,\n underkategori: [\"strackor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g33\"\n },\n {\n fraga: `Str\u00e4ckan \\\$AC=6\\\$ l\u00e4ngdenheter och \\\$AB\\\$ \u00e4r diametern i cirkeln. Best\u00e4m radien i cirkeln. Svara exakt. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-17-114255.png\">`,\n svar: `\\\$r=\\\\frac{25}{3}\\\$ l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g35\"\n }, \n {\n fraga: `Best\u00e4m radien i cirkeln. Svara med tv\u00e5 decimaler. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-17-115000.png\">`,\n svar: `\\\$r=7,04\\\$ l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true, \n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g36\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m str\u00e4ckan \\\$x\\\$. Samtliga str\u00e4ckor i i cm. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-17-162400.png\">`,\n svar: `\\\$x=23\\\$ cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"str\u00e4ckor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g37\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vinkeln \\\$V\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-22-065347.png\">`,\n svar: `\\\$V=125^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g37\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4tvinklig triangel vet du att hypotenusan \u00e4r 41 cm samt att kateternas l\u00e4ngd summeras till 49 cm. Best\u00e4m l\u00e4ngden p\u00e5 den kortaste kateten. `,\n svar: `9 cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g38\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$x\\\$ i triangeln \\\$B\\\$. Trianglarna \u00e4r likformiga. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-21-195619.png\">`,\n svar: `30 cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g39\"\n }, \n{\n fraga: `Nedan ser du en triangel \\\$ABC\\\$ inskriven i en cirkel med mittpunkt M. Str\u00e4ckan \\\$AC\\\$ \u00e4r diametern i cirkeln. Triangelns area \u00e4r \\\$2\\\\sqrt3\\\$ areaenheter. Best\u00e4m l\u00e4ngden p\u00e5 radien i cirkeln. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-22-065326.png\">`,\n svar: `2 l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"strackor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g40\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r en triangel \\\$ABC\\\$ dras en parallelltransversal till basen \\\$AC\\\$ som sk\u00e4r i triangeln i punkterna \\\$D\\\$ och \\\$E\\\$. Du vet att str\u00e4ckan \\\$AD=3\\\$ cm, \\\$BD=CE\\\$, samt att \\\$BE\\\$ \u00e4r 6 cm l\u00e4ngre \u00e4n \\\$CE\\\$. Best\u00e4m l\u00e4ngden p\u00e5 \\\$BD\\\$`,\n svar: `\\\$BD=6\\\$ cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"strackor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g41\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r cirkeln nedan vet du att \\\$A\\\$ \u00e4r mittpunkten i cirkeln. Best\u00e4m str\u00e4ckan \\\$AB\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-23-092410.png\">`,\n svar: `\\\$AB=3\\\$ l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"strackor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g42\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vinkeln \\\$x\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-23-092926.png\">`,\n svar: `\\\$x=30^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g43\"\n },\n {\n fraga: `Rektangeln \u00e4r 45 \\\$cm^2\\\$. Best\u00e4m omkretsen f\u00f6r samma rektangel. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-20-132549.png\">`,\n svar: `36 cm`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"vinklar\", \"strackor\"],\n kod: \"g44\"\n },\n {\n fraga: `\\\$M\\\$ \u00e4r mittpunkten i cirkeln. Best\u00e4m vinkeln \\\$v\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-29-114221.png\">`,\n svar: `\\\$v=122^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g45\"\n },\n {\n fraga: `I en liksidig triangeln med sidl\u00e4ngden 1 l\u00e4ngdenhet placeras en rektangel med basen mot en av sidorna (se bild nedan). Best\u00e4m den st\u00f6rsta m\u00f6jliga arean en s\u00e5dan rektangel kan ha. Svara exakt. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-29-102725.png\">`,\n svar: `\\\$\\\\frac{\\\\sqrt{3}}{8}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g46\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du tre cirklar som tangerar varandra. Du vet att str\u00e4ckan \\\$AC=13\\\$ l.e samt radien f\u00f6r cirkeln med mittpunkt \\\$C\\\$ \u00e4r 2 l\u00e4ngdenheter och radien f\u00f6r cirkeln med mittpunkt \u00e4r 9 l\u00e4ngdenheter. Best\u00e4m radien i cirkeln med mittpunkt \\\$B\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Skarmbild-2026-05-05-090548.png\">`,\n svar: `Radien \u00e4r 3 l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true, \n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g47\"\n },\n {\n fraga: `Str\u00e4ckan \\\$AB\\\$ \u00e4r diametern i cirkeln. Str\u00e4ckan \\\$AC=12\\\$ l.e samt att str\u00e4ckan \\\$CD=3,5\\\$ l.e. Best\u00e4m radien i cirkeln om \\\$M\\\$ \u00e4r mittpunkten i cirkeln. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Skarmbild-2026-05-05-110254.png\">`,\n svar: `Radien \u00e4r 10 l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true, \n underkategori: [\"strackor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g48\"\n },\n ],\n\n statistik: [\n {\n fraga: `F\u00f6r att komma in p\u00e5 det prestigefyllda universitetet Joakimvard kan man g\u00f6ra ett\nintr\u00e4desprov i matematik. \u00c5r 2023 skrev 10 000 personer provet. Medelv\u00e4rdet f\u00f6r alla\nsom skrev var 600 po\u00e4ng. Standardavvikelsen f\u00f6r provresultatet var 59 po\u00e4ng. F\u00f6r att\nkomma in p\u00e5 universitetet kr\u00e4vs 750 po\u00e4ng. Hur m\u00e5nga personer kom in p\u00e5\nuniversitetet 2023? Anta att provresultatet \u00e4r normalf\u00f6rdelat.`,\n svar: `Ungef\u00e4r 55 personer kommer in. Tips: Anv\u00e4nd geogebra och sannolikhetsf\u00f6rdelningen.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s1\"\n },\n {\n fraga: ` Observera det normalf\u00f6rdelade materialet nedan i Geogebra. <\/p> a) Best\u00e4m standardavvikelsen f\u00f6r materialet<\/p> b) Hur stor andel av materialet ligger under 14?.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-07-142111.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a) 2 b) 2,3%`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s2\"\n },\n {\n fraga: ` Observera l\u00e5dagrammet nedan. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) Medianen <\/p> b) Variationsbredden <\/p> c) Kvartilavst\u00e5ndet .<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-07-141258.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a) 15 b) 11 c) 8 `,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0]\n ,\n underkategori: [\"ladagram\"],\n kod: \"s3\"\n },\n {\n fraga: `Observera statistisken nedan. Konstruera ett l\u00e5dagram fr\u00e5n informationen. .<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-08-kl.-06.44.42.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Se losningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n losningsf\u00f6rslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-08-kl.-07.01.44.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">` ,\n underkategori: [\"ladagram\"],\n kod: \"s4\"\n },\n {\n fraga: `I sj\u00f6n Joakimsj\u00f6n finns det massor med fiskar. Man r\u00e4knar med att det finns 10 000\nfiskar i sj\u00f6n och att vikten p\u00e5 fiskarna \u00e4r normalf\u00f6rdelade. En fiskare menar att\nmedelvikten p\u00e5 fisken \u00e4r 2 kg och att standardavvikelsen \u00e4r 1,5 kg. Hur m\u00e5nga fiskar i\nsj\u00f6n \u00e4r st\u00f6rre \u00e4n 5 kg om man antar att fiskarna \u00e4r normalf\u00f6rdelade? `,\n svar: `230`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s5\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en normalf\u00f6rdelningskurva. F\u00f6rklara vad som kommer ske med kurvan om <\/p> a) Medelv\u00e4rdet minskar med standardavvikelsen \u00e4r samma <\/p> b) Medelv\u00e4rdet \u00e4r samma med standardavvikelsen \u00f6kar. .<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-08-kl.-07.06.32.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a) Den kommer flyttas till v\u00e4nster men ha samma form. b) Den kommer dras is\u00e4r och bli bredare. `,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s6\"\n },\n {\n fraga: `Ett normalf\u00f6rdelat material ska representeras som ett l\u00e5dagram. Best\u00e4m vilket\/vilka av\nf\u00f6ljande l\u00e5dagram kan representera ett normalf\u00f6rdelat material med en motivering.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-07.57.37.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `A) \u00e4r korrekt. `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s7\"\n },\n{\n fraga: `Joakim och hans kompis Pelle st\u00e5r och diskuterar ett normalf\u00f6rdelat\nmaterial med medelv\u00e4rdet 20 meter och standardavvikelsen 5 meter.\nJoakim p\u00e5st\u00e5r att vi kan veta att 15,9% av materialet kommer ligga \u00f6ver\n25 meter. Visa med n\u00e5got matematiskt argument att Joakim har r\u00e4tt. `,\n svar: `Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-07-140813.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s8\"\n },\n{\n fraga: `I ett normalf\u00f6rdelat material \u00e4r \ud835\udf07 12 cm och \ud835\udf0e 3 cm.<\/p> \na) Hur m\u00e5nga procent av m\u00e4tdatan \u00e4r st\u00f6rre \u00e4n 18 cm? <\/p>\nb) Hur m\u00e5nga procent av m\u00e4tdatan \u00e4r mindre \u00e4n 9 cm?`,\n svar: `a) 2,3% b) 15,9%`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s9\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har planterat torskar i en sj\u00f6 och unders\u00f6ker nu 4 generationer av torskar.\nTorskarnas vikt \u00e4r normalf\u00f6rdelade och varje generation visas med en\nnormalf\u00f6rdelningskurva nedan. Vad har h\u00e4nt skett fr\u00e5n den f\u00f6rsta och den sista\ngenerationen utifr\u00e5n normalf\u00f6rdelningen? Inkludera begreppen f\u00f6r normalf\u00f6rdelning.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-08.49.23.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Medelv\u00e4rdet och standardavvikelsen minskade f\u00f6r varje generation. `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s10\"\n },\n {\n fraga: `Flynn-effekten \u00e4r ett fenomen som visar p\u00e5 att m\u00e4nsklighetens IQ g\u00e5r upp\u00e5t med tiden.\nMan har sett att v\u00e5r genomsnittliga IQ har \u00f6kat linj\u00e4rt med 17 po\u00e4ng mellan 1950 och\n2000. Om vi antar att IQ i normalf\u00f6rdelat, medelv\u00e4rdet var 100 po\u00e4ng 1950 samt att\nstandardavvikelsen \u00e4r 15 po\u00e4ng. Vilket \u00e5r kommer de 2,3% fr\u00e5n 1950 med h\u00f6gst IQ\nvara medel enligt Flynn-effekten?`,\n svar: `2038`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-08.44.48.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s11\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har f\u00f6rt statistik \u00f6ver hur h\u00f6ga tr\u00e4d \u00e4r i hans favoritskog. H\u00f6jden p\u00e5 tr\u00e4den \u00e4r\nnormalf\u00f6rdelade och Joakim kunde notera att 2010 var de 2,3% st\u00f6rsta tr\u00e4den 70\nmeter eller mer. Sedan har Joakim noterat medelv\u00e4rdet f\u00f6r tr\u00e4den har minskat med 3%\nvarje \u00e5r samtidigt som standardavvikelsen minskat med 4% varje \u00e5r. 2020 var de 2,3%\nst\u00f6rsta tr\u00e4den 50 meter eller mer. Best\u00e4m medelv\u00e4rdet och standardavvikelsen f\u00f6r\ntr\u00e4den 2010. `,\n svar: `Medelv\u00e4rdet \u00e4r 47,68 meter och standardavvikelsen \u00e4r 11,15 meter.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s12\"\n },\n {\n fraga: `Ett normalf\u00f6rdelat material med vikt \u00e4r standardavvikelsen 20% av medelv\u00e4rdet. Det\n2,3% tyngsta delen av materialet v\u00e4ger 40 kg. Best\u00e4m medelv\u00e4rdet och\nstandardavvikelsen f\u00f6r materialet.`,\n svar: `Standardavvikelsen \u00e4r 5,7 kg och Medelv\u00e4rdet \u00e4r 28,57 kg`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s13\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r ett normalf\u00f6rdelat material \u00e4r 50% av materialet st\u00f6rre \u00e4n 20 cm och 50% av\nmaterialet \u00e4r mindre \u00e4n 20 cm. Ungef\u00e4r 2,3% \u00e4r ocks\u00e5 mindre \u00e4n 14 cm. Best\u00e4m hur\nm\u00e5nga procent av m\u00e4tdatan som \u00e4r st\u00f6rre \u00e4n 23 cm`,\n svar: `15,9%`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s14\"\n },\n {\n fraga: `Ett f\u00f6retag tillverkar matl\u00e5dor f\u00f6r studenter. Matl\u00e5dorna vikt \u00e4r normalf\u00f6rdelade och\nhar standardavvikeslen 30 gram. I en unders\u00f6kning av matl\u00e5dorna noterade man att\nungef\u00e4r 82% av matl\u00e5dorna inneh\u00e5ll mellan 470 gram och 560 gram. Unders\u00f6k\nvilket\/vilka medelv\u00e4rden matl\u00e5dorna kan ha. Utg\u00e5 fr\u00e5n hela standardavvikelser`,\n svar: `500 cm eller 530 cm`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s15\"\n },\n {\n fraga: `Det normalf\u00f6rdelade materialet nedan \u00e4r medianen 100 och standardavvikelsen 20.\nHur stor andel av materialet \u00e4r markerat i bilden nedan? .<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-08.14.57.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `53%. Tips: Anv\u00e4nd geogebras sannolikhetsf\u00f6rdelning`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s16\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har m\u00e4tt skostorleken p\u00e5 alla spykister och har antagit att det \u00e4r\nnormalf\u00f6rdelat. Han har kommit fram till att medelv\u00e4rdet f\u00f6r materialet \u00e4r storlek 40\noch standardavvikelsen \u00e4r 2. Anta att det finns 1200 spykister.<\/p> a) Hur m\u00e5nga spykister har en skostorlek som \u00e4r 45 eller st\u00f6rre? <\/p> b) Best\u00e4m \\\$P_{75}\\\$ f\u00f6r materialet.`,\n svar: `a) 7 personer b) Ungef\u00e4r 41`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s17\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r ett normalf\u00f6rdelat material vet du att \ud835\udf07 = 10 cm. Du vet 20% av\nmaterialet ligger \u00f6ver 13 cm samt att 28% av materialet ligger under 8 cm.\nBest\u00e4m hur stor andel som ligger mellan 7 cm och 12 cm.`,\n svar: `52%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-08.01.25.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s18\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r ett normalf\u00f6rdelat material vet du att medelv\u00e4rdet \u00e4r \ud835\udf07 och standardavvikelsen \ud835\udf0e.<\/p>\na) Skriv ett uttryck som inkluderar \ud835\udf07 och \ud835\udf0e som \u00e4r definierar den 30:onde\npercentilen.<\/p>\nb) Skriv ett uttryck som inkluderar \ud835\udf07 och \ud835\udf0e som \u00e4r definierar \\\$P_{70}\\\$`,\n svar: `Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n losningsforslag:`<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-08.10.28.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s19\"\n },\n{\n fraga: `Medell\u00e4ngden f\u00f6r 12 m\u00e5naders gamla flickor \u00e4r 74,8 cm och kvartilavst\u00e5ndet \u00e4r 3,4\ncm. Anta att l\u00e4ngden \u00e4r normalf\u00f6rdelad. Best\u00e4m standardavvikelsen f\u00f6r 12 m\u00e5naders\ngamla flickors l\u00e4ngd.`,\n svar: `2,527 cm. Tips: Anv\u00e4nd geogebra och sannolikhetsf\u00f6rdelningen.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s20\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r ett normalf\u00f6rdelat \u00e4r medelv\u00e4rdet 100 cm och standardavvikelsen 10 cm. Best\u00e4m\nkvartilavst\u00e5ndet f\u00f6r materialet.`,\n svar: `13,45 cm. Tips: Anv\u00e4nd geogebra och sannolikhetsf\u00f6rdelningen.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s21\"\n },\n{\n fraga: `Joakim vill veta hur m\u00e5nga procent av ett normalf\u00f6rdelat material som ligger inom\nintervallet \ud835\udf07 \u2212 \ud835\udf0e \u2264 \ud835\udc65 \u2264 \ud835\udf07 + 1,5\ud835\udf0e. Hur m\u00e5nga procent \u00e4r det? `,\n svar: `77,5%.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s22\"\n },\n{\n fraga: `I en generation torskar, som \u00e4r normalf\u00f6rdelade med medelv\u00e4rdet \ud835\udf07 och\nstandardavvikelsen \ud835\udf0e v\u00e4gde de 2,3 procent tyngsta torskarna minst 10 kg. I n\u00e4sta\ngeneration halverades medelv\u00e4rdet samtidigt som standardavvikelsen minskade med\n30%. De st\u00f6rsta 2,3 procenten av fiskarna v\u00e4gde nu minst 5.5 kg.<\/p>\nSt\u00e4ll upp ett ekvationssystem som kan anv\u00e4ndas f\u00f6r att best\u00e4mma \ud835\udf07 och \ud835\udf0e. Notera att du inte beh\u00f6ver l\u00f6sa ekvationssystemet.`,\n svar: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-07.54.16.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s23\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du ett l\u00e5dagram som representerar en m\u00e4ngd data best\u00e4m inom vilket\nintervall f\u00f6ljande ligger inom.<\/p> a) \\\$P_{65}\\\$ <\/p> b)\\\$P_{80}-P_{55}\\\$.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-30-140546.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-30-140717.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"ladagram\"],\n kod: \"s24\"\n },\n{\n fraga: `L\u00e4ngden p\u00e5 18-\u00e5ringa killar i Sverige \u00e4r normalf\u00f6rdelad. Medell\u00e4ngden \u00e4r 2025 180 cm och standardavvikelsen \u00e4r 7 cm. Enligt statistik kommer medell\u00e4ngden p\u00e5 18-\u00e5riga \u00f6ka med 1 cm var tionde \u00e5r och standardavvikelsen f\u00f6rv\u00e4ntas minska med 0,3 cm var tionde \u00e5r. Vilket \u00e5r kommer de l\u00e4ngsta 2,3% av 18-\u00e5riga killar vara 200 cm eller l\u00e4ngre.`,\n svar: `150 \u00e5r`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s25\"\n },\n{\n fraga: `P\u00e5 ett nationellt prov i matematik skrev 15 000 elever provet. Medelpo\u00e4ngen f\u00f6r provet f\u00f6r alla som skrev var 42 po\u00e4ng. Best\u00e4m standardavvikelsen f\u00f6r po\u00e4ngf\u00f6rdelningen om 414 elever skrev 65 po\u00e4ng eller mer. Anta att po\u00e4ngf\u00f6rdelningen \u00e4r normalf\u00f6rdelad.`,\n svar: `Standardavvikelsen \u00e4r 12 po\u00e4ng, tips: anv\u00e4nd normalf\u00f6rdelningsverktyget i geogebra.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true, \n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s26\"\n },\n{\n fraga: `I en laxpopulation \u00e4r vikten normalf\u00f6rdelad. Du vet att medelv\u00e4rdet \u00e4r 1,5 kg och standardavvikelsen \u00e4r 0,2 kg. Den totala populationen \u00e4r 30 000 fiskar. <\/p> \n\na)\tHur m\u00e5nga fiskar \u00e4r st\u00f6rre \u00e4n 1,8 kg? <\/p>\n\nb)\tMan kan inte s\u00e4lja fiskar som v\u00e4ger mindre 1 kg. Hur m\u00e5nga fiskar i populationen kan inte s\u00e4ljas? `,\n svar: `a) 2010 b) 186. Tips: Anv\u00e4nd normalf\u00f6rdelningsverktyget i geogebra.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s27\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r ett normalf\u00f6rdelat material vet du att medelv\u00e4rdet \u00e4r 10 cm och standardavvikelsen 3 cm. <\/p> \n\na)\tHur stor andel av materialet ligger 10 cm och 13 cm? <\/p>\n\nb)\tHur stor andel av materialet \u00e4r st\u00f6rre \u00e4n 16 cm? `,\n svar: `a) 34,1% b) 2,3%.`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s28\"\n },\n{\n fraga: `Observera de tre normalf\u00f6rdelningskurvorna som representerar 3 olika fiskpopulationers vikter <\/p> \n\na) Vilken fiskpopulation har st\u00f6rst medelv\u00e4rde? <\/p> \n\nb) Vilken fiskpopulation har minst standardavvikelse? <\/p> \n\nc) Beskriv i ord vad som skulle h\u00e4nda med normalf\u00f6rdelningskurvan f\u00f6r fiskpopulation A om medelv\u00e4rdet skulle \u00f6ka och standardavvikelsen skulle minska \n<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/Skarmbild-2026-01-16-092105.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a) C. b) B. c) Kurvan skulle f\u00f6rflyttas till h\u00f6ger och tryckas ihop. `,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s29\"\n },\n{\n fraga: ` Nedan visas ett l\u00e5dagram som representerar l\u00f6nef\u00f6rdelningen i tusen kr p\u00e5 ett f\u00f6retag. Best\u00e4m om f\u00f6ljande p\u00e5st\u00e5enden \u00e4r sanna eller falska <\/p> \n\na)\tDet \u00e4r fler personer som tj\u00e4nar mellan 33 tusen och 45 tusen \u00e4n mellan 20 tusen och 24 tusen. <\/p>\n\nb)\tMedell\u00f6nen m\u00e5ste vara 29 tusen. \n<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/Skarmbild-2026-01-16-101851.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a) Falskt b) Falskt.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ladagram\"],\n kod: \"s30\"\n },\n{\n fraga: ` Observera f\u00f6ljande l\u00e5dagram nedan. Svara p\u00e5 fr\u00e5gorna nedan. <\/p> \n\na) Best\u00e4m variationsbredden <\/p> \n\nb)\tBest\u00e4m medianen <\/p> \nc) Best\u00e4m kvartilavst\u00e5ndet <\/p>\nd) Kan \\\$P_{30}=12\\\$?\n<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/Skarmbild-2026-01-16-083551.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a) 11 b) 15 c) 8 d) Det g\u00e5r bra`,\n niva: \"E\",\n poang: [4,0,0],\n underkategori: [\"ladagram\"],\n kod: \"s31\"\n },\n{\n fraga: `Krympflation ett fenomen n\u00e4r ett f\u00f6retag minskar p\u00e5 inneh\u00e5llet i en produkt men\nbibeh\u00e5ller priset f\u00f6r konsumenten. F\u00f6rr v\u00e4gde en normal chokladkaka fr\u00e5n Marabou\n200 gram och hade standardavvikelsen 4 gram. Anta att chokladkakornas vikt \u00e4r\nnormalf\u00f6rdelade <\/p> \na) Om Joakim k\u00f6pte 100 chokladkakor av den gamla typen hur m\u00e5nga av dessa f\u00f6rv\u00e4ntas\nv\u00e4ga mellan 205-211 gram? <\/p> \nb) Krympflationen har gjort att Marabou minskat vikten p\u00e5 sina chokladkakor till 160\ngram. Joakim k\u00f6per 100 chokladkakor och noterar att 15 kakor ligger mellan 162 och\n165 gram. Best\u00e4m den nya standardavvikelsen.\n`,\n svar: `a) 10 st b) 2 gram `,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s32\"\n },\n{\n fraga: ` F\u00f6r ett normalf\u00f6rdelat material vet du att medelv\u00e4rdet \u00e4r 15 cm. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> \n\na)\tOm standardavvikelsen \u00e4r 2 cm. Hur m\u00e5nga procent ligger d\u00e5 \u00f6ver 19 cm? <\/p>\n\nb)\tBest\u00e4m hur stor andel av materialet som \u00e4r mindre 12 cm om det finns 31% mellan 15\ncm och 18 cm `,\n svar: `a) 2,3% b) 19%.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s31\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r ett normalf\u00f6rdelat material vet du att de st\u00f6rsta 2,3% \u00e4r 18 cm eller mer. Om du halverar medelv\u00e4rdet och \u00f6kar standardavvikelsen med en faktor 2 kommer de st\u00f6rsta 2,3% nu vara 15 cm eller mer. Best\u00e4m medelv\u00e4rdet och standardavvikelsen f\u00f6r materialet. `,\n svar: `Medelv\u00e4rdet \u00e4r 14 cm och standardavvikelsen 2 cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s32\"\n }\n ],\n\n geogebra: [\n {\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation med ditt digitala verktyg \\\$x^5=10\\\$, svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar:`\\\$x=1,58\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true\n ,\n underkategori: [\"geogebra\"],\n kod: \"d1\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$5,2^x=13,71\\\$ med hj\u00e4lp av ditt digitala hj\u00e4lpmedel. Svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar:`\\\$x=1,59\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"geogebra\"],\n kod: \"d2\"\n},\n{\n fraga: `Under april \u00f6kade l\u00e4ngden p\u00e5 dagen (tiden solen \u00e4r uppe) linj\u00e4rt i Lund. Nedan visas\nstatistik p\u00e5 hur l\u00e5nga dagarna var f\u00f6r respektive datum i april. Anpassa en linj\u00e4r\nfunktion till statistiken som beskriver hur l\u00e5ng dagarna beroende p\u00e5 vilket datum det\nvar i april. Enbart svar kr\u00e4vs <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-18.15.01.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar:`\\\$y=0,07x+13.02\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"regressionsanalys\"],\n kod: \"d3\"\n},\n{\n fraga: `Turismen i v\u00e4rlden har \u00f6kat stort sedan 1950. Nedan\nvisas statistik p\u00e5 hur m\u00e5nga m\u00e4nniskor som rest\nutomland under det specifika \u00e5ret. Anta att \u00f6kningen \u00e4r\nexponentiell. Best\u00e4m d\u00e5 vilket \u00e5r den internationella\nturismen \u00f6versteg 2 miljarder. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-18.25.53.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar:`2015`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"regressionsanalys\"],\n kod: \"d4\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har unders\u00f6kt hur hans hund Bosse har v\u00e4xt de senaste 6 m\u00e5naderna. Titta p\u00e5\nstatistiken nedan och en linj\u00e4r funktion till Bosses tillv\u00e4xt. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-18.23.26.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar:`\\\$y=0,3x+0,78\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"regressionsanalys\"],\n kod: \"d5\"\n},\n{\n fraga: `Anv\u00e4nd tabellen nedan f\u00f6r att anpassa en linj\u00e4r funktion till v\u00e4rdena. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-18.19.45.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar:`\\\$y=2,5x+9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"regressionsanalys\"],\n kod: \"d6\"\n},\n{\n fraga: `Aralsj\u00f6n i Centralasien har p\u00e5 grund av uttorkning sedan 1960-talet minskat i area.\nFr\u00e5n att ha varit en av v\u00e4rldens st\u00f6rsta sj\u00f6ar \u00e4r den idag n\u00e4stan borta. Statistiken nedan\nvisar p\u00e5 hur sj\u00f6ns area i tusen kvadratkilometer har minskat sedan \u00e5r 1960. Om vi\nantar att f\u00f6r\u00e4ndringen \u00e4r exponentiell vilket \u00e5r ber\u00e4knas sj\u00f6ns area vara 3 tusen \\\$km^2\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-12-081211.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-12-081217.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">\n?`,\n svar:`\u00c5r 2044`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true, \n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-12-081238.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"regressionsanalys\"],\n kod: \"d7\"\n},\n{\n fraga: `Tv\u00e5 forskare unders\u00f6kte korrelationen i tv\u00e5 olika unders\u00f6kningar A och B. I unders\u00f6kning A hade\nsambandet en korrelationskofficient p\u00e5 0,89 och i B hade sambandet en korrelationskofficient p\u00e5\n\u22120,94. Vilken unders\u00f6kning hade starkast korrelation? `,\n svar:`B`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"regressionsanalys\"],\n kod: \"d8\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har unders\u00f6kt tv\u00e5 datainsamlingar f\u00f6r skid\u00e5kare. D\u00e4r den ena unders\u00f6kningen A\ntittade p\u00e5 vilket placering skid\u00e5karna fick i v\u00e4rldscupen i f\u00f6rh\u00e5llande till\ntr\u00e4ningstimmar de lagt ner. Den andra unders\u00f6kningen B unders\u00f6kte\nv\u00e4rldscupsplaceringen i f\u00f6rh\u00e5llande till ekonomiska bidrag fr\u00e5n landslaget<\/p> \nJoakim fick fram att unders\u00f6kning A hade en korrelationskofficient p\u00e5 \ud835\udc5f = 0,872<\/p> \nJoakim fick fram att unders\u00f6kning B hade en korrelationskofficient p\u00e5 \ud835\udc5f = \u22120,891<\/p>\nVilket samband hade starkast korrelation? `,\n svar:`B`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"regressionsanalys\"],\n kod: \"d9\"\n},\n{\n fraga: `8. Glaci\u00e4ren Ok p\u00e5 Island har sedan\n\u00e5r 1900 minskat och definieras inte\nl\u00e4ngre som en glaci\u00e4r. Experter menar\natt Ok slutade definieras\nsom glaci\u00e4r d\u00e5 den var 1\\\$km^2\\\$.\nKonstruera en funktion utifr\u00e5n m\u00e4t-\ndatan nedan och best\u00e4m vilket \u00e5r\nOk inte l\u00e4ngre definierades som en\nglaci\u00e4r. M\u00e4tdatan g\u00e5r att anpassa\ntill en exponentiell funktion. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/007cd8fd-abe1-480c-b5e9-6ee4605c15bc-1.png\"> <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-18.29.46.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar:`Ungef\u00e4r 2015`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"regressionsanalys\"],\n kod: \"d10\"\n},\n{\n fraga: `Koncentrationen av koldioxid (CO2) har \u00f6kat linj\u00e4rt de senaste 65 \u00e5r. Nedan visas\nstatistik kring m\u00e4ngden koldioxid (ppm eller miljontedelar) som finns i atmosf\u00e4ren. Vilket \u00e5r ber\u00e4knas det vara 500 ppm CO2 i atmosf\u00e4ren? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-18.16.58.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar:`2089`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"regressionsanalys\"],\n kod: \"d11\"\n}\n\n ]\n },\n\n \/\/ MATEMATIK FORT. 1\n ma_fort_1: {\n algebra: [\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x+4)(x-2)(x-10)=0\\\$ .`,\n svar: `\\\$x_1=-4, x_2=2, x_3=10\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a1\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^3-2x^2+x=0\\\$ .`,\n svar: `\\\$x_1=-0, x_2=1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a2\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\mid x \\\\mid^2-4\\\\mid x \\\\mid +3=0\\\$ .`,\n svar: `\\\$x_1=1, x_2=-1, x_3=3, x_4=-3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"ekvationer\", \"absolut\"],\n kod: \"a3\"\n},\n{\n fraga: `Joakim p\u00e5st\u00e5r att f\u00f6ljande uttryck g\u00e5r att f\u00f6renkla till 1. Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt \\\$(\\\\frac{y-x}{x-y})^4\\\$.`,\n svar: `Det g\u00e5r absolut. Tips bryt ut en -1 fr\u00e5n antingen t\u00e4ljare eller n\u00e4mnare.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"rationella\"],\n kod: \"a4\"\n},\n{\n fraga: `\\\$\\\\mid x \\\\mid = 10\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=10, x_2=-10\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\", \"absolut\"],\n kod: \"a5\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\mid x+2 \\\\mid = x+4\\\$ unders\u00f6k sedan om l\u00f6sningarna st\u00e4mmer.`,\n svar: `\\\$x=-3\\\$ \u00e4r den enda l\u00f6sningen.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationer\", \"absolut\"],\n kod: \"a6\"\n},\n{\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck <\/p> \\\$x^2-2x-8\\\$`,\n svar: `\\\$(x+2)(x-4)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a7\"\n},\n{\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck <\/p> \\\$(x-1)^2-(y+1)^2\\\$`,\n svar: `\\\$(x+y)(x-y-2)\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a8\"\n},\n{\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck <\/p> \\\$2x^3-20x^2+50x\\\$`,\n svar: `\\\$2x(x-5)^2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a9\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation \\\$\\\\frac{1}{x}-\\\\frac{1}{x+1}+\\\\frac{1}{x(x+1)}=1\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=-2, x_2=1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"ekvationer\", \"rationella\"],\n kod: \"a10\"\n},\n{\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck <\/p> \\\$x^2-4x-5\\\$`,\n svar: `\\\$(x+1)(x-5)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a11\"\n},\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna \\\$\\\\mid 5 - \\\\sqrt{27} \\\\mid + \\\\mid 10- \\\\sqrt{27} \\\\mid \\\$`,\n svar: `5`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"absolut\"],\n kod: \"a12\"\n},\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna \\\$\\\\mid -10 \\\\mid + \\\\mid 2^3 \\\\mid \\\$`,\n svar: `18`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"absolut\"],\n kod: \"a13\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ om f\u00f6ljande ekvation \\\$x^2-2ax+16=0\\\$ enbart ska ha en l\u00f6sning.`,\n svar: `\\\$a=\\\\pm4\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a14\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilket\/vilka x-v\u00e4rden \u00e4r det rationella uttrycket odefinierat? \\\$\\\\frac{1}{x^3-x^2}\\\$ `,\n svar: `\\\$x_1=1, x_2=0\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"rationella\"],\n kod: \"a15\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilket\/vilka x-v\u00e4rden \u00e4r det rationella uttrycket odefinierat? \\\$\\\\frac{1}{(x-5)(x^2-1)}\\\$ `,\n svar: `\\\$x_1=1, x_2=-1, x_3=5\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"rationella\"],\n kod: \"a16\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^4-10x^2+9\\\$ `,\n svar: `\\\$x_1=1, x_2=-1, x_3=3, x_4=-3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a17\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r ett tredjegradspolynom vet du att<\/p> \\\$p(1)=0\\\$ <\/p> \\\$p(2)=0\\\$ <\/p> \\\$p(3)=0\\\$ <\/p> \\\$p(4)=12\\\$ <\/p> Best\u00e4m uttrycket f\u00f6r polynomet p\u00e5 valfri form `,\n svar: `\\\$p(x)=2(x-1)(x-2)(x-3)\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a18\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande rationella uttryck \\\$\\\\frac{2x^2-18}{4x-12}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{x+3}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"rationella\"],\n kod: \"a19\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande rationella uttryck \\\$\\\\frac{2(2-y)^2-y(2-y)^2}{(2-y)^3}\\\$`,\n svar: `1`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"rationella\"],\n kod: \"a20\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$a\\\$ har f\u00f6ljande ekvation 3 l\u00f6sningar?<\/p> \\\$x^3-2ax=0\\\$`,\n svar: `\\\$a>0\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a21\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{2x^2+4x-30}{50-2x^2}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{3-x}{x-5}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"rationella\"],\n kod: \"a22\"\n},\n{\n fraga: `Du vet att \\\$a < b\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 ett f\u00f6renklat uttryck f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\mid a-b \\\\mid \\\$ `,\n svar: `\\\$b-a)\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"absolut\"],\n kod: \"a23\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande rationella uttryck \\\$\\\\frac{x^2-2x-24}{x-6}\\\$`,\n svar: `\\\$x+4\\\$ tips: faktorisera t\u00e4ljaren`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"rationella\"],\n kod: \"a24\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilket\/vilka x-v\u00e4rden \u00e4r det rationella uttrycket odefinierat? \\\$\\\\frac{3+x}{(x-1)^{n+1}+2(x-1)^n}\\\$ `,\n svar: `\\\$x_1=1, x_2=-1\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"rationella\"],\n kod: \"a25\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande ekvation har samma l\u00f6sningar med avseende p\u00e5\noavsett vilket heltal n \u00e4r om \\\$n>1\\\$ <\/p> \\\$(x-2)^{n+2}-(x-2)^n=0\\\$.`,\n svar: `Visa att \\\$n\\\$ inte spelar n\u00e5gon roll genom att faktorisera uttrycket och visa att l\u00f6sningarna \u00e4r konstanta.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a26\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\mid x-5 \\\\mid =10\\\$ .`,\n svar: `\\\$x_1=15, x_2=-10\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\", \"absolut\"],\n kod: \"a27\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\frac{4}{x-2}+\\\\frac{1}{x+3}=0\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=-2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ekvationer\", \"rationella\"],\n kod: \"a28\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\frac{x}{x+4}+\\\\frac{1}{x-2}=1\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ekvationer\", \"rationella\"],\n kod: \"a29\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x+4+\\\\frac{4}{x-3}=2\\\$ .`,\n svar: `\\\$x_1=-1, x_2=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ekvationer\", \"rationella\"],\n kod: \"a30\"\n},\n{\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande rationella uttryck som ett br\u00e5k. \\\$\\\\frac{x+2}{x-1}+\\\\frac{1}{x+1}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{x^2+4x+1}{x^2-1}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"rationella\"],\n kod: \"a31\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation och unders\u00f6k om din l\u00f6sning \u00e4r giltig <\/p> \\\$\\\\frac{6}{x-3}-\\\\frac{18}{x^2-3x}=2\\\$`,\n svar: `Ingen l\u00f6sning \u00e4r giltig`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"rationella\"],\n kod: \"a32\"\n}\n ],\n\n funktioner: [\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^3-4x^2+4x\\\$. Best\u00e4m funktionens nollst\u00e4llen.`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f1\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^3-2x^2-99x\\\$. Best\u00e4m funktionens nollst\u00e4llen.`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=11, x_3=-9\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f2\"\n },\n{\n fraga: `Joakim vill veta vad funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{x+8}{x^3-4x^2+4x}\\\$ \u00e4r d\u00e5 \\\$x=2\\\$ han sl\u00e5r in det p\u00e5 minir\u00e4knaren och f\u00e5r error. Han blir fundersam. Varf\u00f6r f\u00e5r Joakim error?`,\n svar: `Uttrycket \u00e4r inte definierat d\u00e5 \\\$x=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f3\"\n },\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna gr\u00e4nsv\u00e4rdet \\\$ \\\\lim\\\\limits_{x \\\\to 4} x+4 \\\$.`,\n svar: `8`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"grans\"],\n kod: \"f4\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ om \\\$ \\\\lim\\\\limits_{x \\\\to 3} \\\\frac{x^2+ax+9}{x-3}=0 \\\$.`,\n svar: `\\\$a=-6\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"grans\"],\n kod: \"f5\"\n},\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna gr\u00e4nsv\u00e4rdet \\\$ \\\\lim\\\\limits_{x \\\\to 1} \\\\frac{x^2-3x+2}{x-1} \\\$.`,\n svar: `\\\$-1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"grans\"],\n kod: \"f6\"\n},\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna gr\u00e4nsv\u00e4rdet \\\$ \\\\lim\\\\limits_{x \\\\to \\\\\\infty} \\\\frac{\\\\sqrt{x}}{x^{4,31}}+12,3 \\\$.`,\n svar: `12,3`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"grans\"],\n kod: \"f7\"\n},\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna gr\u00e4nsv\u00e4rdet \\\$ \\\\lim\\\\limits_{x \\\\to \\\\infty} \\\\frac{1}{x^2}+3 \\\$.`,\n svar: `3`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"grans\"],\n kod: \"f8\"\n},\n{\n fraga: `Om du vet f\u00f6ljande likhet \\\$ \\\\lim\\\\limits_{x \\\\to \\\\infty} \\\\frac{ax+1}{7x-27}+1=3\\\$. Best\u00e4m talet \\\$a\\\$`,\n svar: `\\\$a=14\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"grans\"],\n kod: \"f9\"\n},\n{\n fraga: `Titta p\u00e5 grafen till funktionen \\\$f(x)\\\$ nedan. Best\u00e4m genom att titta p\u00e5 grafen vilken av f\u00f6ljande funktionsuttryck som \\\$f(x)\\\$ kan vara.<\/p> A: \\\$f(x)=x(x+2)^2\\\$ <\/p> B: \\\$f(x)=x(x-1)(x+1)\\\$ <\/p> C: \\\$f(x)=x(x-2)^2\\\$ <\/p> Best\u00e4m vilken funktionsekvation som beskriver \\\$f(x)\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-26-210821.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `C: \\\$f(x)=x(x-2)^2\\\$.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f10\"\n },\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna gr\u00e4nsv\u00e4rdet \\\$ \\\\lim\\\\limits_{x \\\\to 5} \\\\frac{x^2-4x-5}{x-5}\\\$.`,\n svar: `6`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"grans\"],\n kod: \"f11\"\n},\n{\n fraga: `Funktionen \\\$f(x)\\\$ Beskriver befolknings\u00f6kningen i stad Joakimk\u00f6ping fr\u00e5n 2010. Beskriv i ord vad f\u00f6ljande f\u00f6r\u00e4ndringskvot inneb\u00e4r i det h\u00e4r sammanhanget.<\/p> \\\$\\\\frac{f(5)-f(2)}{3}\\\$`,\n svar: `Medelf\u00f6r\u00e4ndringen i befolkningen f\u00f6r varje \u00e5r mellan 2015 och 2012.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f12\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har hittat grafen till en tredjegradsfunktion \\\$f(x)\\\$ Tyv\u00e4rr \u00e4r hans dator trasig och han kan inte se hela grafen bara vissa delar. Joakim vill best\u00e4mma \\\$f(2)\\\$. Hj\u00e4lp honom med det. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-21.41.58.png\">`,\n svar: `\\\$f(2)=24\\\$ tips: skriv funktionen i faktorform.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f13\"\n},\n{\n fraga: `Ge ett exempel p\u00e5 en \\\$f(x)\\\$ d\u00e4r f\u00f6ljande likhet g\u00e4ller \\\$ \\\\lim\\\\limits_{x \\\\to -2} f(x) =10 \\\$.`,\n svar: `Till exempel \\\$f(x)=x+12\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"grans\"],\n kod: \"f14\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$k\\\$ \u00e4r den r\u00e4ta linjen \\\$y=kx-25\\\$ en tangent till funktionen \\\$f(x)=x^2\\\$`,\n svar: `\\\$k=\\\\pm 10`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f15\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m medellutningen i intervallet \\\\(0< x <3\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=x^2\\\$.`,\n svar: `3`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f16\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r\u00e4ndringskvoten f\u00f6r \\\$f(x)=x^2\\\$ <\/p> \\\$\\\\frac{f(3)-f(1)}{2}\\\$.`,\n svar: `Kvoten \u00e4r lika med 4`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f17\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r\u00e4ndringskvoten f\u00f6r \\\$f(x)=\\\\sqrt{x}\\\$<\/p> \\\$\\\\frac{f(9)-f(4)}{5}\\\$.`,\n svar: `Kvoten \u00e4r lika med \\\$\\\\frac{1}{5}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f18\"\n},\n{\n fraga: `En sekant sk\u00e4r funktionen \\\$f(x)=-x^2+4x\\\$ i \\\$x=0\\\$ och \\\$x=3\\\$ Best\u00e4m sekantens lutning.`,\n svar: `1`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f19\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m nollst\u00e4llena f\u00f6r f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=x^3-2x^2-8x\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=4, x_3=-2`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f20\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m vilken\/vilka av f\u00f6ljande r\u00e4ta linjer som \u00e4r sekanter eller tangenter. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-072917.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur`,\n svar: `a) och d) tangent b) c) sekanter`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f21\"\n},\n{\n fraga: `Observera grafen till funktionen \\\\(f(x)\\\$ nedan. L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=0\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-26-212310.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `\\\$x_1=-1, x_2=0, x_3=2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f22\"\n},\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna gr\u00e4nsv\u00e4rdet \\\$ \\\\lim\\\\limits_{x \\\\to 2} \\\\frac{x^2-4}{x-2} \\\$.`,\n svar: `4`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"grans\"],\n kod: \"f23\"\n}\n ],\n\n derivata: [\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=x^3+2x+4\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=3x^2+2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d1\"\n },\n{\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{\\\\sqrt{x}}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{-1}{2x\\\\sqrt{x}}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d2\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r en funktion \\\$f(x)\\\$ vet att du att \\\$f'(2)=10\\\$ best\u00e4m k-v\u00e4rdet f\u00f6r den tangent som tangerar funktionen \\\$f(x)\\\$ i \\\$x=2\\\$ `,\n svar: `\\\$k=10\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d3\"\n },\n{\n fraga: `Linjen \\\$y=2x+m\\\$ tangerar funktionen \\\$f(x)=ax^3\\\$ i \\\$x=1\\\$ best\u00e4m konstanterna \\\$a\\\$ och \\\$m\\\$`,\n svar: `\\\$a=\\\\frac{2}{3}\\\$ och \\\$m=-\\\\frac{4}{3}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d4\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m k-v\u00e4rdet f\u00f6r den tangent som tangerar funktionen \\\$f(x)=x^3+3x\\\$ i \\\$x=1\\\$ `,\n svar: `\\\$k=6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d5\"\n },\n{\n fraga: `Om du vet att \\\$f(x)=x^6+x^5+x^4\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 gr\u00e4nsv\u00e4rdet \\\$ \\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\\$`,\n svar: `Gr\u00e4nsv\u00e4rdet \u00e4r lika med 15`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d6\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m \\\$f''(x)\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=x^3\\\$`,\n svar: `\\\\f''(x)=6x`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d7\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ om \\\$f(x)=a\\\\cdot \\\\sqrt{x}\\\$ samt att \\\$f'(4)=\\\\frac{3}{4}\\\$`,\n svar: `\\\$a=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d8\"\n },\n{\n fraga: `Unders\u00f6k f\u00f6r vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=ax^3-bx\\\$ har tv\u00e5 l\u00f6sningar f\u00f6r f\u00f6ljande ekvation \\\$f'(x)=0\\\$`,\n svar: `a och b m\u00e5ste vara samma tecken. allts\u00e5, b\u00e5da positiva eller b\u00e5da negativa.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-103629.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d9\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$f'(x)=-4\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{2}{x}\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm \\\\sqrt{\\\\frac{1}{2}}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-104002.png\">`,\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d10\"\n },\n{\n fraga: `Visa att funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{x^3}{3}-ex^2+e^2x\\\$ aldrig \u00e4r avtagande.`,\n svar: \"Unders\u00f6k derivatafunktionen och visa att den aldrig \u00e4r negativ.\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-133409.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\", \"talete\"],\n kod: \"d11\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilket \\\$y\\\$-v\u00e4rde funktionen \\\$f(x)=x^3-12x+3\\\$ har sin maximipunkt`,\n svar: \"\\\$y=19\\\$.\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d12\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{a^{-x}}\\\$ om du vet att \\\$f'(0)=4\\\$. Svara exakt.`,\n svar: \"\\\$a=e^4\\\$.\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d13\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)\\\$ Best\u00e4m f\u00f6ljande gr\u00e4nsv\u00e4rde <\/p> a) \\\$ \\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{f(3+h)-f(3)}{h} \\\$ <\/p> b) Uppskatta v\u00e4rdet p\u00e5 konstanten \\\$a\\\$ om \\\$ \\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{f(a+h)-f(a)}{h} =-4\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-13-103320.png\"> `,\n svar: \"a) 0 b) \\\$a=1\\\$ Ett v\u00e4rde n\u00e4ra 1 \u00e4r ocks\u00e5 godk\u00e4nt.\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,3],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d14\"\n },\n{\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{x^{-2}}\\\$`,\n svar: \"\\\$f'(x)=2x).\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d15\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\\(e^{\\\\frac{x}{4}}=lne^4\\\$. Svara exakt.`,\n svar: \"\\\$x=4\\\\cdot ln4\\\$.\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"talete\"],\n kod: \"d16\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$e^{4x}=10\\\$. Svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar: \"\\\$x=0,58\\\$.\",\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"talete\"],\n kod: \"d17\"\n },\n{\n fraga: `Visa med hj\u00e4lp av derivata att funktionen \\\$f(x)=x^3+3x\\\$ bara sk\u00e4r x-axeln en g\u00e5ng`,\n svar: \"Se l\u00f6sningsf\u00f6rslaget\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-18.37.09.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d18\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6ljande gr\u00e4nsv\u00e4rde \\\$ \\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{e^h-1}{h}\\\$`,\n svar: \"Det \u00e4r derivatans definition f\u00f6r \\\$f(x)=e^x\\\$. Vi s\u00f6ker s\u00e5ledes \\\$f'(0)\\\$. \\\$f'(0)=1\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"derivatadef\", \"talete\"],\n kod: \"d20\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r tangenten som tangerar funktionen \\\$f(x)=\\\\sqrt{x}\\\$ i \\\$x=1\\\$`,\n svar: \"\\\$y=\\\\frac{x}{2}+\\\\frac{1}{2}\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d21\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilken eller vilka punkter som \\\$f'(x)<0\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande funktion <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-18.54.03.png\">`,\n svar: \"A och E\",\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d22\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. Om vi definierar funktionen \\\$h(x)=f(x)+g(x)\\\$ best\u00e4m d\u00e5 f\u00f6r vilka \\\$x\\\$ f\u00f6ljande olikhet g\u00e4ller \\\$h'(x)<2\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-19.02.16.png\">`,\n svar: \"-2 < x < 3 \",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d23\"\n },\n{\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=ax^2+b\\\$ d\u00e4r \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ \u00e4r konstanter. Best\u00e4m \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ om du vet att \\\$f'(1)=4\\\$ samt att \\\$x=1\\\$ \u00e4r ett nollst\u00e4lle till funktionen.`,\n svar: \"\\\$a=2\\\$ och \\\$b=-2\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"derivatagraf\"],\n kod: \"d24\"\n },\n{\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2\\\$ och vi vet att \\\$ \\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x)}{h}=x^2+2x+1\\\$.<\/p> Best\u00e4m d\u00e5 \\\$g'(1)\\\$.`,\n svar: \"Det \u00e4r derivatans definition svar: 2\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d25\"\n },\n{\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2\\\$ best\u00e4m d\u00e5 f\u00f6ljande gr\u00e4nsv\u00e4rde \\\$ \\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\\\$`,\n svar: \"Det \u00e4r derivatans definition svar: 2\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d26\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$e^{2x}=15\\\$. Svara exakt`,\n svar: \"\\\$x=\\\\frac{ln15}{2}\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"talete\"],\n kod: \"d27\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$e^{x}=3\\\$. Svara exakt`,\n svar: \"\\\$x=ln3\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"talete\"],\n kod: \"d28\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=e^{2x}\\\$. Best\u00e4m \\\$f'(1)\\\$. Svara exakt.`,\n svar: \"\\\$f'(1)=2e^2\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"talete\"],\n kod: \"d29\"\n },\n{\n fraga: `\tAntalet bakterier i en bakteriekultur g\u00e5r att beskriva med funktionen \\\$f(t)=Ce^{-0,04t}\\\$ d\u00e4r C \u00e4r en konstant och t \u00e4r tiden i dagar. <\/p>\n\n a)Best\u00e4m konstanten C om du vet att \\\$f(20)=337\\\$ <\/p>\n\nb) Best\u00e4m och tolka \\\$f'(10)\\\$`,\n svar: \"a) \\\$C=750\\\$ b) \\\$f'(10)=-20\\\$ Antalet bakterier minskar med 20 baktierer\/dag efter 10 dagar.\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"talete\"],\n kod: \"d30\"\n },\n{\n fraga: `Antalet bilolyckor har minskat sedan 2000. F\u00f6renklat g\u00e5r antalet bilolyckor i trafiken beskrivas med funktionen \\\$f(t)=290e^{k\\\\cdot t}+210\\\$ <\/p>\n\na) Best\u00e4m konstanten k om du vet att \\\$f(11)=300\\\$ <\/p>\n\nb) Joakim menar att antalet bilolyckor kommer stabiliseras \u00f6ver tid. Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt. \n`,\n svar: \"a) \\\$k=-0,1\\\$ b) Det kommer stabiliseras vid 210.\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"talete\"],\n kod: \"d31\"\n },\n{\n fraga: `Visa att tredjegradsfunktioner p\u00e5 formen \\\$f(x)=x(x-a)(x+a)\\\$ kommer tangenterna som tangerar funktionerna i dess nollst\u00e4llen kommer alltid ha samma k-v\u00e4rde.`,\n svar: \"Det st\u00e4mmer! Kolla l\u00f6sningsf\u00f6rslaget.\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-18.30.33.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d32\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilket\/vilka \\\$a\\\$ f\u00f6ljande funktion har en terrasspunkt \\\$x^3+ax^2+3x\\\$`,\n svar: \"\\\$a=\\\\pm 3\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d33\"\n },\n{\n fraga: `Joakim p\u00e5st\u00e5r att funktionen \\\$f(x)=x^3+x+100\\\$ har tv\u00e5 extrempunkter. St\u00e4mmer det?`,\n svar: \"St\u00e4mmer inte. \\\$f'(x)=0\\\$ saknar reella l\u00f6sningar\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d34\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m talet \\\$a\\\$ om du vet att funktionen \\\$f(x)=e^{\\\\frac{x}{10}}+ax\\\$ har en extrempunkt i \\\$(0,1)\\\$`,\n svar: \"\\\$a=\\\\frac{-1}{10}\\\$.\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\",\"talete\"],\n kod: \"d35\"\n },\n{\n fraga: `Vi definierar f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=ax^6\\\$. Du vet att funktionen har en tangent som \u00e4r \\\$y=12x-20\\\$ i ett ok\u00e4nt x-v\u00e4rde. Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$`,\n svar: `\\\$a=\\\\frac{1}{16}}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-132802.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d36\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m hur m\u00e5nga tangenter som tangerar funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{x^3}{3}-2x^2+6x\\\$ som har ett k-v\u00e4rde som \u00e4r 2`,\n svar: \"Enbart en tangent d\u00e5 x=2\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d37\"\n },\n{\n fraga: `Visa att alla tangenter som tangerar funktionen \\\$f(x)=-x^2\\\$ har ett m-v\u00e4rde som \u00e4r ett kvadrattal`,\n svar: \"Fullst\u00e4ndigt bevis\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-110239.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d38\"\n },\n{\n fraga: `Visa att funktionen \\\$f(x)=x^3+3x^2+3x\\\$ har en terraspunkt`,\n svar: \"Funktionen har en terraspunkt i \\\$x=-1\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d39\"\n },\n{\n fraga: `Visa att funktionen \\\$f(x)=x^3+4,2x+1000\\\$ saknar extrempunkter`,\n svar: \"Visa att derivatan aldrig \u00e4r mindre \u00e4n noll\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d40\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r funktionen \\\$f(x)=ax^3+bx\\\$ vet du att den har en lokal maximiv\u00e4rde 6 i \\\$x=1\\\$. Best\u00e4m konstanterna \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ `,\n svar: \"\\\$a=-3\\\$ och \\\$b=9\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"derivatagraf\"],\n kod: \"d41\"\n },\n{\n fraga: `Visa att funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{x^2}+2x \\\\geq 3\\\$ f\u00f6r alla \\\$x>0\\\$`,\n svar: \"Tips: ta fram y-v\u00e4rdet f\u00f6r extrempunkterna och best\u00e4m dess karakt\u00e4r. D\u00e4refter kan du dra slutsatsen.\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d42\"\n },\n{\n fraga: `En funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=e^{kx}\\\$ och dess derivatafunktion visas i koordinatsystemet nedan. Joakim menar att man kan best\u00e4mma talet \\\$k\\\$ med hj\u00e4lp av graferna. G\u00f6r det. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-114325.png\">`,\n svar: \"\\\$k=\\\\frac{1}{2}\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"derivatagraf\", \"talete\"],\n kod: \"d43\"\n },\n{\n fraga: `Nedan visas graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. Vi definierar funktionen \\\$h(x)=f(x)-g(x)\\\$ Best\u00e4m \\\$h'(3)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-114815.png\"> `,\n svar: \"\\\$h'(3)=2\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d44\"\n },\n{\n fraga: `Linjen som tangerar funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{x^3}{4}\\\$ i \\\$x=2\\\$ skapar en triangel enligt bilden nedan. Best\u00e4m arean av triangeln. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-110511.png\">`,\n svar: \"Arean \u00e4r \\\$frac{2}{3}\\\$ areaenheter\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-110659.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d45\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m k-v\u00e4rdet f\u00f6r den tangent som tangerar funktionen \\\$f(x)=\\\\sqrt{x}+x\\\$ i \\\$x=4\\\$`,\n svar: \"\\\$k=\\\\frac{5}{4}\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-104002.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d46\"\n },\n{\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=\\\\frac{1}{e^{-2x}}+e\\\$`,\n svar: \"\\\$f'(x)=2e^{2x}\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"talete\"],\n kod: \"d47\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du grafen till en tredjegradsfunktion \\\$f(x)\\\$. Anv\u00e4nd funktionen f\u00f6r att best\u00e4mma ett n\u00e4rmev\u00e4rde till l\u00f6sningen till ekvationen \\\$f''(x)=0\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-115745.png\">`,\n svar: \"\\\$x\\\$ \u00e4r ungef\u00e4r 1\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d48\"\n },\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=x(x-a)(x-b)\\\$ kommer tangenterna som tangerar grafen i nollst\u00e4llena d\u00e4r x inte \u00e4r noll har samma lutning. `,\n svar: \"Det st\u00e4mmer bra. F\u00f6renkla och unders\u00f6k derivatauttrycken\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-111205.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d49\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r tangenten som tangerar funktionen \\\$f(x)=e^x\\\$ i \\\$x=1\\\$`,\n svar: \"\\\$y=ex\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\", \"talete\"],\n kod: \"d50\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m andraderivatan f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=x^3\\\$`,\n svar: \"\\\$f''(x)=6x\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d51\"\n },\n{\n fraga: `Skissa grafen till funktionen \\\$f(x)=x^3-12x+3\\\$`,\n svar: \"Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-112336.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d52\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r vilka \\\$x\\\$-v\u00e4rden har f\u00f6ljande funktion extrempunkter \\\$f(x)=x^3-12x^2\\\$`,\n svar: \"\\\$x_1=0, x_2=8\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d53\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r en tredjegradsfunktion \\\$f(x)\\\$ vet du f\u00f6ljande<\/p> \\\$f(x)\\\$ har en extrempunkt i \\\$x=4\\\$ <\/p> \\\$f'(x)\\\$ har en extrempunkt i \\\$x=2\\\$ <\/p> Best\u00e4m \\\$x\\\$-v\u00e4rdet f\u00f6r den andra extrempunkten f\u00f6r \\\$f(x)\\\$`,\n svar: \"D\u00e5 \\\$x=0\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-112546.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d54\"\n },\n{\n fraga: `Skissa grafen till funktionen \\\$f(x)=x^3-12x+3\\\$`,\n svar: \"Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-112336.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d55\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ om du vet att \\\$f(x)=x^a+10x\\\$ samt att \\\$f'(1)=-2\\\$`,\n svar: \"\\\$a=-12\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d56\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion, svara p\u00e5 enklaste form \\\$f(x)=3x^{100}+\\\\frac{x^2}{6}+(\\\\frac{2}{7})^9\\\$`,\n svar: \"\\\$f'(x)=300x^{99}+\\\\frac{x}{3}\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d57\"\n },\n {\n fraga: `Nedan visas derivatafunktionen \\\$f'(x)\\\$ till funktionen \\\\f(x)\\\\). F\u00f6r vilket\/vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$x\\\$ har \\\$f(x)\\\$ en extrempunkt. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-24-101224.png\">`,\n svar: \"\\\$x_1=0, x_2=4\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d58\"\n },\n {\n fraga: `En funktion \\\$f(x)\\\$ \u00e4r definierad. Nedan visas grafen till \\\$f''(x)\\\$. Vilken\/vilka av f\u00f6ljande grafer kan representera \\\$f(x)\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-24-101257.png\">`,\n svar: \"A och E\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d59\"\n },\n{\n fraga: `Grafen tiill funktionen \\\$f(x)\\\$ visas nedan. Best\u00e4m ett \\\$x\\\$ d\u00e4r \\\$f''(x)=0\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-24-101308.png\">`,\n svar: \"\\\$x=2\\\$ eller \\\$x=4\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d60\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du grafen till derivata-funktion \\\$f'(x)\\\$ f\u00f6r n\u00e5gon funktion \\\$f(x)\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande<\/p> a) Vilken grad har \\\$f(x)\\\$ <\/p> b) Hur m\u00e5nga extrempunkter har \\\$f(x)\\\$ <\/p> c) F\u00f6r vilka \\\$x\\\$-v\u00e4rden har \\\$f(x)\\\$ minimipunkt respektive maximipunkt <\/p> <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-104418.png\">`,\n svar: \"a) tredjegradare b) \\\$x=0, x=4\\\$ c) Maximipunkt i x=0 och minimipnukt i x=4 \",\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d61\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m \\\$f'(3)\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=x^2-3x\\\$ med hj\u00e4lp av derivatans definition`,\n svar: `\\\$f'(3)=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d62\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m en funktion \\\$f(x)\\\$ som har f\u00f6ljande samband f\u00f6r alla v\u00e4rden p\u00e5 \\\$a\\\$ \\\$\\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\\\\frac{1}{5}\\\$`,\n svar: `Alla linj\u00e4ra funktioner som har ett k-v\u00e4rde som \u00e4r \\\$\\\\frac{1}{5}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d63\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{ax}\\\$ som har f\u00f6ljande samband \\\$\\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\\\\frac{1}{8}\\\$`,\n svar: \"\\\$a=-2\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d64\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r en andragradsfunktion vet du att <\/p> \\\$f(-5)=0\\\$<\/p> \\\$f'(-1)=0\\\$ <\/p> \\\$f'(1)=8\\\$ <\/p> Best\u00e4m funktionen \\\$f(x)\\\$ `,\n svar: `\\\$f(x)=2x^2+4x-30\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-103001.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\", \"derveringsregler\"],\n kod: \"d65\"\n },\n{\n fraga: `Visa med hj\u00e4lp av derivatans definition att \\\$f'(x)=\\\\frac{-1}{(x+1)^2}\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{x+1}\\\$`,\n svar: `St\u00e4ll upp gr\u00e4nsv\u00e4rdet och f\u00f6renkla korrekt. `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-101332.png\">`,\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d66\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m vilket gr\u00e4nsv\u00e4rde som ska best\u00e4mmas om man ska best\u00e4mma \\\$f'(x)\\\$ f\u00f6r \\\$f(x)=x^{\\\\frac{1}{3}}\\\$ med hj\u00e4lp av derivatans definition. Notera du beh\u00f6ver inte l\u00f6sa gr\u00e4nsv\u00e4rdet.`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{(x+h)^{\\\\frac{1}{3}}-x^{\\\\frac{1}{3}}}{h}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d67\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=2x^3+x+1\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=6x^2+1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d68\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=ax^5-bx^3+cx\\\$ Vi att tangenterna som tangerar funktionen \\\$f(x)\\\$ i \\\$x=\\\\pm q\\\$ allt \u00e4r parallella.`,\n svar: `Det st\u00e4mmer. Visa genom att derivera funktionen och s\u00e4tt in \\\$x=\\\\pm q\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-12-153500.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d69\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{e^{2x}}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{-2}{e^{2x}}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"talete\"],\n kod: \"d70\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=4^{2x}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=2ln4\\\\cdot 4^{2x}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d71\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) Best\u00e4m \\\$f'(0)\\\$ <\/p> b) F\u00f6r vilka punkter \u00e4r \\\$f'(x)>0\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-080719.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\"> `,\n svar: `a) \\\$f'(0)=0\\\$ b) b och f. `,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d72\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=\\\\sqrt{x}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{1}{2\\\\sqrt{x}}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d73\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=e^{3x}+e^x\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=3e^{3x}+e^x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"talete\"],\n kod: \"d74\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m tangenten som tangerer funktionen \\\$f(x)=e^x\\\$ i \\\$x=2\\\$.`,\n svar: `\\\$y=e^2x-e^2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\", \"talete\"],\n kod: \"d75\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=e^{-x}+4e^x+e^2\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=-e^{-x}+4e^x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"talete\"],\n kod: \"d76\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m talet \\\$a\\\$ om \\\$f(x)=e^{ax}+\\\\frac{1}{e^{4x}}\\\$ om \\\$f'(0)=0\\\$`,\n svar: `\\\$a=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"talete\"],\n kod: \"d77\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{x}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{-1}{x^2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d78\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$f''(2)\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{x}\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{4}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d79\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)\\\$. Rita av grafen och s\u00e4tt ut punkter d\u00e4r du med s\u00e4kerhet kan s\u00e4ga att \\\$f''(x)=0\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-20.42.33.png\">`,\n svar: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-20.44.26.png\">`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d80\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du derivatafunktionen \\\$f'(x)\\\$ f\u00f6r en tredjegradsfunktion \\\$f(x)\\\$. Best\u00e4m hur m\u00e5nga nollst\u00e4llen \\\$f(x)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-22.09.18.png\">`,\n svar: `\\\$f(x)\\\$ har enbart ett nollst\u00e4lle.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d81\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^{3,32}\\\$ Best\u00e4m f\u00f6r vilket x-v\u00e4rde \\\$f'(x)=1\\\$. Svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar: `\\\$x=0,59\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d82\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=e^{0,34x}\\\$. Best\u00e4m k-v\u00e4rdet f\u00f6r den tangent som tangerar funktionen \\\$f(x)\\\$ i \\\$x=2\\\$. Svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar: `\\\$k=0,67\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"derivatagraf\", \"talete\"],\n kod: \"d83\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m medellutningen i intervallet \\\$0< x< 1\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=2,3^x\\\$. Svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar: `Medellutningen \u00e4r 1,32`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d84\"\n },\n{\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=5^x\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=ln5\\\\cdot 5^x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d85\"\n },\n{\n fraga: `Skissa derivatafunktionen till en tredjegradsfunktion som inte har n\u00e5gra extrempunkter.`,\n svar: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-21.14.40.png\">`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d86\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m gr\u00e4nsv\u00e4rdet \\\$\\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{(1+h)^8-1^8}{h}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(1)=8\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d87\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=6e^{\\\\frac{x}{3}}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=2e^{\\\\frac{x}{3}}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"talete\"],\n kod: \"d88\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=e^{kx}\\\$ vet du att \\\$f''(x)-2f'(x)-8f(x)=0\\\$ Best\u00e4m talet \\\$k\\\$ `,\n svar: `\\\$k_1=4, k_2=-2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"talete\"],\n kod: \"d89\"\n },\n {\n fraga: `Vilket tal m\u00e5ste \\\$a\\\$ vara f\u00f6r att f\u00f6ljande likhet ska uppst\u00e5? \\\$\\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{a^h-1}{h}=1\\\$`,\n svar: `\\\$a=e\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"derivatadef\", \"talete\"],\n kod: \"d90\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en graf f\u00f6r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=e^{kx}\\\$ och en tangent till grafen som sk\u00e4r i \\\$x=2\\\$. Best\u00e4m talet \\\$k\\\$ f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-03-105833.png\">`,\n svar: `\\\$k=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"derivatagraf\", \"talete\"],\n kod: \"d91\"\n },\n {\n fraga: `Visa att funktionen \\\$f(x)=e^x-e^ax\\\$ har en minimipunkt i \\\$x=a\\\$ oavsett v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ d\u00e4r \\\$a\\\$ \u00e4r en konstant.`,\n svar: `Derivera funktionen och visa att extrempunkten alltid \u00e4r i \\\$x=a\\\$, visa d\u00e4refter att den alltid \u00e4r en minimipunkt.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\", \"talete\"],\n kod: \"d92\"\n },\n {\n fraga: `Unders\u00f6k om funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{x^3}{3}+2x^2+5x\\\$ har n\u00e5gra extrempunkter.`,\n svar: `Funktionen har inga extrempunkter eftersom \\\$f'(x)=0\\\$ saknar reella l\u00f6sningar`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\", \"deriveringsregler\"],\n kod: \"d93\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=e^{3x+2}\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=3e^2 \\\\cdot e^{3x}=3e^{3x+2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"talete\"],\n kod: \"d94\"\n },\n {\n fraga: ` Observera graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. Besvara f\u00f6ljande fr\u00e5gor. <\/p> a) L\u00f6s ekvationen \\\$f'(x)=0\\\$ <\/p> b) L\u00f6s ekvationen \\\$f''(x)=0\\\$<\/p> c) L\u00f6s ekvationen \\\$f'(x)+g'(x)=0\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-15-135846.png\">`,\n svar: `a) \\\$x=2)\\\$ b) \\\$x=2\\\$ c) Ungef\u00e4r \\\$x=1\\\$ och \\\$x=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,1],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d95\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en funktion \\\$f(x)=2x^5+3x^3-ax^2+10\\\$ vet du att \\\$\\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=9\\\$. Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$.`,\n svar: `\\\$a=5\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d96\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en funktion \\\$f(x)\\\$ vet du att \\\$f'(3)=\\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{(3+h)^3-3^3}{h}=27\\\$. Best\u00e4m \\\$f'(4)\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(4)=48\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d97\"\n }\n ],\n problemlosningderivata: [\n {\n fraga: `Joakim \u00e4lskar fisk. D\u00e4rf\u00f6r vill han att det ska finnas mycket fisk i hans sj\u00f6 Jidesj\u00f6n.\nEnligt hans modell kommer m\u00e4ngden fisk att f\u00f6r\u00e4ndras mellan \u00e5ren 2023\u20132027 p\u00e5\nf\u00f6ljande s\u00e4tt d\u00e4r \ud835\udc61 \u00e4r \u00e5ren fr\u00e5n 2023.<\/p> \\\$F(t)=5t^3-60t+200\\\$ <\/p> Best\u00e4m vilket \u00e5r det finns mest respektive minst fisk i Jidesj\u00f6n `,\n svar: `Mest 2027 och minst 2025`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p1\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du funktionen \\\$f(x) = e^{-x}\\\$. F\u00f6r tangenter som tangerar funktionen\nf\u00f6r x > 0 skapas en triangel som avgr\u00e4nsas av den postiva x- och y-axeln.\nTangenten tangerar funktionen i x = a. F\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 a skapas den\nst\u00f6rsta m\u00f6jliga arean? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-30-075926.png\">`,\n svar: `\\\$a=1\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p2\"\n},\n {\n fraga: `En rektangel placeras under grafen till funktionen \\\$f(x)=18-x^2\\\$. Rektangeln har h\u00f6rn p\u00e5 grafen och avgr\u00e4nsas av x-axeln. Best\u00e4m den maximala arean p\u00e5 rektangeln.`,\n svar: `58,8 areaenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p3\"\n},\n {\n fraga: `Tempteraturen \\\$f(t)\\\$ \\\$C^\\\\circ\\\$ p\u00e5 kaffe i en termos g\u00e5r att beskriva med funktionen \\\$f(t)=92e^{-0,097t}\\\$ d\u00e4r \\\$t\\\$ \u00e4r tiden i timmar. Best\u00e4m om tolka f\u00f6ljande <\/p> a) \\\$f(3)\\\$ <\/p> b) \\\$f'(4)\\\$`,\n svar: `a) \\\$f(3)=68,8\\\$ temperaturen \u00e4r 68,8 efter 3 timmar. b) \\\$f'(4)=-6\\\$ efter 4 timmar minskar temperaturen med 6 grader per timme.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p4\"\n},\n {\n fraga: `Ett virus sprids i en storstad Joakimk\u00f6ping. Antalet smittade g\u00e5r att beskriva med funktionen \\\$f(x)=200\\\\cdot 2,1^x\\\$ d\u00e4r \\\$x\\\$ \u00e4r antalet veckor fr\u00e5n utbrottet. Forskare menar att man m\u00e5ste ta vid \u00e5tg\u00e4rder d\u00e5 smitthastigheten \u00e4r 6000\/vecka. Hur l\u00e5ng tid kommer det ta? `,\n svar: `5 veckor`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p5\"\n},\n {\n fraga: `Joakim ska bygga en l\u00e5da och vill maximera dess volym. Han har gjort f\u00f6ljande skiss\nd\u00e4r han kommer vika upp sidorna enligt bilden nedan. Best\u00e4m den maximala volymen\nl\u00e5dan kan anta och best\u00e4m dess dimensioner <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-30-152537.png\">`,\n svar: `Volymen \u00e4r 128 volymenheter.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-30-152807.png\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p6\"\n},\n{\n fraga: `En epidemi sprids i ett isolerat land. Antalet smittade g\u00e5r att beskriva med f\u00f6ljande funktion \\\$S(t)=\\\\frac{10000}{9e^{\\\\frac{-t}{25}}+1}\\\$. d\u00e4r \\\$t\\\$ \u00e4r antal dagar fr\u00e5n den 100 smittade. Man r\u00e4knar med att alla i byn kommer smittas f\u00f6rr eller senare. Efter hur m\u00e5nga dagar smittas flest personer p\u00e5 en dag? `,\n svar: `Ungef\u00e4r 55 dagar.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p7\"\n},\n{\n fraga: `Ett f\u00f6rem\u00e5l \u00e4r i fritt fall. Str\u00e4ckan i meter f\u00f6rem\u00e5let har n\u00e5tt efter \\\$t\\\$ sekunder g\u00e5r att\nbeskriva med funktionen \\\$S(t)=50t+5e^{\\\\frac{-t}{5}}+5\\\$. Unders\u00f6k vad som sker med hastigheten p\u00e5 f\u00f6rem\u00e5let \u00f6ver tid.`,\n svar: `Det g\u00e5r mot 50 m\/s`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-21.11.01.png\">`,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p8\"\n},\n{\n fraga: `Fiskpopulationen i en sj\u00f6 minskar exponentiellt efter att en fabrik byggts i n\u00e4rheten. En milj\u00f6organisation vill uppm\u00e4rksamma hur fiskarna p\u00e5verkas av fabriken och vill d\u00e4rf\u00f6r best\u00e4mma hur m\u00e5nga fiskar det fanns 2010 d\u00e5 fabriken b\u00f6rjade byggas.<\/p>\n\nOrganisationen noterar att det 2025 finns 10 000 fiskar i sj\u00f6n och att de just det \u00e5ret minskar med 500 fiskar\/\u00e5r. Best\u00e4m hur m\u00e5nga fiskar det fanns innan fabriken byggdes. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-13-100915.png\">\n`,\n svar: `Ungef\u00e4r 21170 fiskar`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true ,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p9\"\n},\n{\n fraga: `Joakim ska h\u00e4mta vatten i ett vattendrag. Han b\u00f6rjar p\u00e5 punkten A som \u00e4r 1 km\n(vinkelr\u00e4tt) fr\u00e5n vattendraget ska h\u00e4mta vatten och sedan g\u00e5 till punkt B som \u00e4r 0,75\nkm (vinkelr\u00e4tt) fr\u00e5n vattendraget. N\u00e4r Joakim g\u00e5r utan vatten g\u00e5r han med en hastighet\n\ud835\udc49. N\u00e4r han g\u00e5r med vattnet minskar hastigheten med 50%. Hur ska Joakim g\u00e5 f\u00f6r att\nminimera tiden det tar f\u00f6r honom att h\u00e4mta vatten? : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-30-155730.png\"> `,\n svar: `Han ska g\u00e5 1,65 meter l\u00e4ngst med vattnet f\u00f6r att minimera str\u00e4ckan (se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-30-155905.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true ,\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p10\"\n},\n{\n fraga: `Du har funktionen \\\$f(x)=ax^6\\\$ och du vet att tangenten \\\$y=12x-20\\\$ tangerar grafen till funktionen i ett ok\u00e4nt x-v\u00e4rde. Best\u00e4m talet \\\$a\\\$`,\n svar: `\\\$a=\\\\frac{1}{16}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p11\"\n},\n{\n fraga: `Ett r\u00e4tblock utan lock har volymen 36 \\\$m^3\\\$ F\u00f6r vilka sidl\u00e4ngder p\u00e5 2\ud835\udc4e, \ud835\udc4e \ud835\udc5c\ud835\udc50\u210e \ud835\udc4f har\nr\u00e4tblockets sammanlagda sidor den minsta arean men fortfarande den best\u00e4mda\nvolymen p\u00e5 \\\$m^3\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-30-153902.png\">`,\n svar: `\\\$a=3, b=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-30-154302.png\">`,\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p12\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du en r\u00e4tvinklig triangel. Arean f\u00f6r den bl\u00e5 fyrh\u00f6rningen med ok\u00e4nda\nsidl\u00e4ngder \u00e4r 12 a.e. Vilken \u00e4r den minsta triangeln (i area) utifr\u00e5n figuren som\ntillfredsst\u00e4ller kravet att ha en inritad fyrh\u00f6rning som har arean 12 a.e? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-20.04.06.png\">`,\n svar: `24 areaenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-20.05.55.png\">`,\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p13\"\n},\n{\n fraga: `En rektangel placeras under grafen till funktionen \\\$f(x)=12-x^2\\\$ och avgr\u00e4nsas av x-axeln. Best\u00e4m den maximala arean rektangeln kan anta`,\n svar: `32 areaenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p14\"\n},\n{\n fraga: `Joakim spelar i bandet Joakim Rockers och ska anordna en v\u00e4rldsturn\u00e9 och de ska nu\nbest\u00e4mma vilket pris de ska ta f\u00f6r biljetterna. Enligt bokningsbolaget Joakim Rockers\nhar anst\u00e4llt kommer 100 000 personer p\u00e5 en spelning om de s\u00e4tter ett pris p\u00e5 500 kr.\nMen om de h\u00f6jer priset 20 kr kommer 2% mindre m\u00e4nniskor, om de h\u00f6jer med 40 kr\nkommer ytterligare 2% mindre osv. Vilket biljettpris ska Joakim Rockers s\u00e4tta f\u00f6r att\nmaximera sin vinst?`,\n svar: `990 per biljett`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p15\"\n},\n{\n fraga: `En s\u00e4lunges vikt de f\u00f6rsta levnads\u00e5ren g\u00e5r att beskriva med funktionen<\/p> \\\$f(x)=\\\\frac{150}{3e^{-0,43x}+1,3}\\\$<\/p> Hur gammal \u00e4r s\u00e4lungen d\u00e5 den v\u00e4xer som snabbast?`,\n svar: `Ungef\u00e4r 2 \u00e5r`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p16\"\n},\n{\n fraga: `Joakim ska bygga en ny rabatt f\u00f6r sina blommor. Han ska bygga rabatten p\u00e5 en form\nsom figuren visar nedan. Rektanglarna a och b ska vara identiska och han beh\u00f6ver bara\nbygga staket f\u00f6r rabatten f\u00f6r de helstr\u00e4ckade linjerna. Joakim vill att arean f\u00f6r hela\nomr\u00e5det ska vara 20 \\\$m^2\\\$. Best\u00e4m den minimala omkretsen som rabattomr\u00e5det kan ha. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-10.03.22.png\">`,\n svar: `Ungef\u00e4r 2 \u00e5r`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-10.03.58.png\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p17\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en medicin Spyketrabon kan man se att medicinen avtar i blodet exponentiellt. Om\nman tar en tablett som inneh\u00e5ller en ok\u00e4nd m\u00e4ngd kan man efter 5 timmar se att\nm\u00e4ngden medicin avtagit till 0,30 gram och avtar d\u00e5 med en hastighet p\u00e5 0,1\ngram\/timme.<\/p>\nF\u00f6retaget som tar fram Spyketrabon har best\u00e4mt att man kan ta n\u00e4sta tablett n\u00e4r 0,2\ngram av medicinen \u00e4r kvar i bloden. Hur l\u00e5ng tid kommer det ta? `,\n svar: `6,23 timmar`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-10.09.11.png\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p18\"\n},\n{\n fraga: `Ett f\u00f6retag har gjort en prognos f\u00f6r hur mycket koldioxid f\u00f6retaget kommer sl\u00e4ppa ut\nde n\u00e4rmsta \u00e5ren. De har tagit fram f\u00f6ljande modell som beskriver hur m\u00e5nga ton\nkoldioxid de sl\u00e4pper ut efter \ud835\udc65 \u00e5r fr\u00e5n 2023<\/p> \\\$K(x)=240e^{-0,32x}+100\\\$. <\/p> a) F\u00f6retaget har ett m\u00e5l att koldioxidutsl\u00e4ppet ska har halverats 2028 i f\u00f6rh\u00e5llande till\n2023 niv\u00e5er. Lyckas dem? <\/p> b) Ungef\u00e4r vilket \u00e5r minskar koldioxidutsl\u00e4ppen med hastigheten 40 ton\/\u00e5r? `,\n svar: `a) Ja de lyckas. b) Ungef\u00e4r 2025`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p19\"\n},\n{\n fraga: `Tv\u00e5 olika organisationer har gjort modeller f\u00f6r hur s\u00e4lungars vikt i kg f\u00f6r\u00e4ndras efter f\u00f6dseln. Organisationen 1 har gjort f\u00f6ljande modell \\\$V(t)=3,5e^{0,354t}\\\$ d\u00e4r \\\$t\\\$ \u00e4r tiden i m\u00e5nader. <\/p> Organisation 2 har tagit fram f\u00f6ljande modell f\u00f6r att beskriva samma sak \\\$W(t)=0,45t^2+1,5t+3,5\\\$<\/p> Best\u00e4m vilken m\u00e5nad efter f\u00f6dseln som s\u00e4lungarnas tillv\u00e4xthastighet \u00e4r samma f\u00f6r b\u00e5da modellerna?.`,\n svar: `N\u00e4stan 13 m\u00e5nader.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p20\"\n},\n{\n fraga: `Ett f\u00f6retag som anordnar fester f\u00f6r studenter vill maximera sin vinst. F\u00f6retaget har\ngjort prognosen att om priset p\u00e5 en biljett \u00e4r 100 kr kommer 2000 personer. Om de\nh\u00f6jer priset med 5 kr kommer 50 personer mindre att komma p\u00e5 festen och om de\nh\u00f6jer priset med 10 kr kommer 100 f\u00e4rre personer osv. Vilket \u00e4r det optimala priset p\u00e5\nbiljetterna om de vill optimera sin vinst`,\n svar: `150 kr`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p21\"\n},\n{\n fraga: `Visa att om man placerar en rektangel i en godtycklig r\u00e4tvinklig triangel kommer den st\u00f6rsta m\u00f6jliga rektangeln i triangeln alltid t\u00e4cka \\\$\\\\frac{1}{2}\\\$ av triangeln area. Tips: Anv\u00e4nd koordinatsystem `,\n svar: `Korrekt bevis: se till exempel l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-30-153635.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p22\"\n},\n{\n fraga: `Ett f\u00f6retag ska konstruera en kon som har f\u00f6ljande begr\u00e4nsning\nRadien f\u00f6r konen och h\u00f6jden f\u00f6r konen ska summeras till 3 dm. Best\u00e4m\nvilken som \u00e4r den maximala volymen en s\u00e5dan kon kan anta. Svara exakt. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmavbild-2025-12-10-kl.-06.50.04.png\">`,\n svar: `Maximala arean \u00e4r \\\$\\\\frac{4\\\\pi}{3}\\\$ kvadratdecimeter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p23\"\n},\n{\n fraga: `Temperaturen i grader \\\$C^{\\\\circ}\\\$\nen vinternatt g\u00e5r att beskriva med funktionen <\/p> \\\$T(t)=e^{0,4t}-2t+4\\\$ <\/p> \nd\u00e4r t \u00e4r antalet timmar r\u00e4knat fr\u00e5n 00.00. Best\u00e4m vad klockan \u00e4r i det\n\u00f6gonblick d\u00e5 temperaturen \u00f6kar med hastigheten 1 \\\$C^{\\\\circ}\\\$\/timme.<\/p>`,\n svar: `Ungef\u00e4r kl 05.00`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p24\"\n},\n{\n fraga: `Joakim ska bygga nya f\u00f6nster till sin dyra l\u00e4genhet i New York. F\u00f6nstret\nkommer ha formen som visas nedan och kommer ha omkretsen 5 meter.\nNotera att toppen \u00e4r en halvcirkel. Joakim vill maximera ljusinsl\u00e4ppet\n(allts\u00e5 arean p\u00e5 f\u00f6nstret). Vilken \u00e4r den maximala arean som f\u00f6nstret kan\nha? Du kan t\u00e4nka bort samtliga detaljer i f\u00f6nstret. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-15-133500.png\">`,\n svar: `1,75 kvadratmeter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true, \n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p25\"\n},\n{\n fraga: `Du jobbar p\u00e5 ett f\u00f6retag Joakims el som ska dra en elkabel fr\u00e5n ett elkraftverk till en \u00f6.\nElkraftverket ligger tv\u00e5 km fr\u00e5n kusten. \u00d6n ligger en km fr\u00e5n kusten i \u00f6stlig riktning\noch sedan tv\u00e5 km fr\u00e5n elkraftverket i sydlig riktning. Att dra kabeln p\u00e5 land kostar 100\nkr\/m och i vattnet kostar det 50 kr\/m. Joakims el vill s\u00e5klart minimera kostnaden f\u00f6r\nkabeln. Hur mycket blir den billigaste dragningen av elkabeln som Joakims el kan dra??`,\n svar: `235579 kr`,\n niva: \"A\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-15-134151.png\">`,\n poang: [0,0,3],\n digital: true, \n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p26\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6ljande funktion \\\$G(t)\\\$ beskriver hur m\u00e5nga personer som \u00e4r p\u00e5 Joakims\nlilla gym fr\u00e5n 12.00 p\u00e5 en torsdag. D\u00e4r \\\$G(t)\\\$ \u00e4r antalet personer och \\\$t\\\$ \u00e4r\ntimmar fr\u00e5n 12.00. <\/p> \n\\\$G(t)=4,4t^2 \\\\cdot e^{-0,4t}+10\\\$ <\/p> a) Vad \u00e4r tiden d\u00e5 antalet bes\u00f6kare \u00e4r som h\u00f6gst? <\/p> b) Vad \u00e4r tiden d\u00e5 antalet bes\u00f6kare \u00f6kar som mest? `,\n svar: `a) 17.00 b) Ungef\u00e4r 13.30`,\n niva: \"C\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-15-134151.png\">`,\n poang: [0,2,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p27\"\n},\n{\n fraga: `Joakims f\u00f6retag vill konstruera en burk som har en cirkul\u00e4r botten som ska g\u00e5 att\nfyllas med 0.5 \\\$dm^3\\\$ v\u00e4tska. Men Joakims f\u00f6retag \u00e4r s\u00e5klart milj\u00f6medvetna, de vill\nanv\u00e4nda s\u00e5 lite material som m\u00f6jligt. D\u00e4rf\u00f6r vill de minimera materialet f\u00f6r burken (s\u00e5\nlite area som m\u00f6jligt). Antag att toppen av burken har ett h\u00e5l i form av en cirkel som\nhar diametern 1 cm. Vilka dimensioner ska burken ha f\u00f6r att Joakims f\u00f6retag ska\nminimera material\u00e5tg\u00e5ngen, allts\u00e5 s\u00e5 att burken inneh\u00e5ller s\u00e5 lite area som m\u00f6jligt men\nsamtidigt inneh\u00e5ller 0.5 \\\$dm^3\\\$ JJ-l\u00e4sk? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-15-155627.png\">`,\n svar: `Radie 0,4 dm och h\u00f6jden ska vara 0,9 dm`,\n niva: \"A\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-15-155817.png\">`,\n poang: [0,0,3],\n digital: true, \n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p28\"\n}\n ],\n\n integraler: [\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{2} 3x^2+1 dx\\\$.`,\n svar: `10`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i1\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{1}^{2} \\\\frac{1}{x^2} dx\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i2\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{1}^{2} \\\\frac{x^2-9}{x-3} dx\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{9}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i3\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{2} 3x+1 dx\\\$.`,\n svar: `8`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i4\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{1} 4x^3 dx\\\$.`,\n svar: `1`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i5\"\n },\n {\n fraga: `Visa att \\\$\\\\int_{0}^{1} nx^{n-1} dx=1\\\$ oavsett v\u00e4rde p\u00e5 \\\$n\\\$.`,\n svar: `Best\u00e4m den primitiva funktionen och visa att sambandet g\u00e4ller.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i6\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{3} x^{2,32} dx\\\$. Svara med tv\u00e5 decimler`,\n svar: `11,56`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i7\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{3} f(x) dx\\\$. Om du vet att \\\$\\\\int_{0}^{10} f(x) dx=25\\\$ och \\\$\\\\int_{3}^{10} f(x) dx=19\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\int_{0}^{10} f(x) dx=6\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i8\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du tv\u00e5 markerade omr\u00e5den och andragradsfunktionen \\\$f(x)=-x^2+a\\\$. Visa att det r\u00f6dmarkerade omr\u00e5det \u00e4r dubbelt s\u00e5 stort som det bl\u00e5markerade. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-26-164516.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Skriv ett integraluttryck f\u00f6r respektive area och visa att den ena \u00e4r dubbelt s\u00e5 stor som den andra.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i9\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{-2}^{0} f(x) dx\\\$. Om du vet att den markerade arean nedan \u00e4r \\\$\\\\frac{8}{3}\\\$ areaenheter. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-24-102645.png\">`,\n svar: `\\\$\\\\frac{8}{3}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i10\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m talet \\\$a\\\$ om \\\$\\\\int_{1}^{a} \\\\frac{1}{2 \\\\sqrt{x}} dx=1\\\$.`,\n svar: `a=4`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i12\"\n },\n {\n fraga: `Om du vet att funktionen \\\$f(x)\\\$ Beskriver hastigheten i vilket en befolkning \u00f6kar fr\u00e5n 2020. Beskriv d\u00e5 i ord vad f\u00f6ljande integral betyder \\\$\\\\int_{0}^{5} f(x) dx=25000\\\$.`,\n svar: `Mellan 2020 och 2025 \u00f6kade befolkningen med 25000 personer.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i13\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$k\\\$ om \\\$\\\\int_{0}^{2} kx^2 dx=8\\\$`,\n svar: `\\\$k=3\\\$.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i14\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{-a}^{a} -x^3+x dx\\\$ f\u00f6r alla a>0.`,\n svar: `Det kommer alltid bli 0`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i15\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)\\\$.<\/p> a) Best\u00e4m \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ s\u00e5 att f\u00f6ljande integral blir s\u00e5 stor som m\u00f6jligt. \\\$\\\\int_{a}^{b} f(x) dx\\\$ <\/p> b) Best\u00e4m \\\$c\\\$ och \\\$d\\\$ s\u00e5 att f\u00f6ljande integral blir s\u00e5 stor som m\u00f6jligt. \\\$\\\\int_{c}^{d} f'(x) dx\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-09.09.21.png\">`,\n svar: `a) \\\$a=1\\\$ och \\\$b=3\\\$ b) \\\$c=-0,1\\\$ och \\\$d=2\\\$.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,2],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i16\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{-1}^{2} f'(x) dx\\\$ med hj\u00e4lp av grafen nedan.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-08.39.59.png\">`,\n svar: `3. Tips: utveckla integraluttrycket och g\u00f6r sedan en grafisk l\u00f6sning.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i17\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m den markerade arean. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-09.29.56.png\">`,\n svar: `\\\$\\\\frac{3}{4}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i18\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)\\\$ Best\u00e4m \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ s\u00e5 att f\u00f6ljande integral blir s\u00e5 stor som m\u00f6jligt \\\$\\\\int_{a}^{b} f'(x) dx\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-09.30.07.png\">`,\n svar: `\\\$a=4\\\$ \\\$b=7\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i19\"\n },\n {\n fraga: `Grafen till \\\$f(x)\\\$ nedan beskriver hastigheten som en persom h\u00e5ller i m\/s. Vad vill Joakim best\u00e4mma om han st\u00e4mmer upp f\u00f6ljande integral \\\$\\\\int_{1}^{3} f(x) dx\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-09.30.18.png\">`,\n svar: `Hur l\u00e5ngt personen har f\u00e4rdats mellan 1 och 3 sekunder in i f\u00e4rden.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i20\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m arean av det markerade omr\u00e5det nedan. Svara exakt. Graferna tillh\u00f6r funktionenerna \\\$f(x)=e^x+1\\\$ och \\\$g(x)=e^{-x}+1\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-08.45.42.png\">`,\n svar: `\\\$2-\\\\frac{2}{e}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-08.49.20.png\">`,\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i21\"\n },\n {\n fraga: `Visa att integralen \\\$\\\\int_{-a}^{a} kx dx = 0\\\$.`,\n svar: `Visa att om man utvecklar integraluttrycket kommer man alltid f\u00e5 noll.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i22\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en funktion \\\$f(x)\\\$ vet du att \\\$f''(x)=4x+2\\\$ <\/p> Du vet ocks\u00e5 att \\\$f(x)\\\$ har en extrempunkt i \\\$x=1\\\$<\/p> Grafen till \\\$f(x)\\\$ sk\u00e4r y-axeln i \\\$y=5\\\$. Best\u00e4m funktionen \\\$f(x)\\\$ `,\n svar: `\\\$f(x)=\\\\frac{2x^3}{3}+x^2-4x+5\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i23\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{-1}^{1} e^{2x} \\\\ dx\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{e^2-e^{-2}}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i24\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{1} x^4 \\\\ dx\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{5}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i25\"\n },\n {\n fraga: `Observera den markerade arean nedan. St\u00e4ll upp ett integraluttryck som beskriver arean. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-24-131803.png\">`,\n svar: `\\\$\\\\int_{0}^{5} f(x) \\\\ dx\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i26\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{1} \\\\frac{3}{e^{2x}} \\\\ dx\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{-3e^{-2}+3}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i27\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga primitiva funktioner till f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=2x+e^x\\\$ `,\n svar: `\\\$F(x)=x^2+e^x+C\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i28\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga primitiva funktioner till f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=\\\\frac{-1}{x^2}\\\$ `,\n svar: `\\\$F(x)=\\\\frac{1}{x}+C\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i29\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m den primitiva funktion f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ som uppfyller kravet \\\$F(1)=3\\\$. \\\$f(x)=4x^3+1\\\$`,\n svar: `\\\$F(x)=x^4+x+1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i30\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m den primitiva funktion f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ som uppfyller kravet \\\$F(0)=10\\\$. \\\$f(x)=4e^{2x}\\\$`,\n svar: `\\\$F(x)=2e^{2x}+8\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i31\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m den primitiva funktion f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ som uppfyller kravet \\\$F(4)=7\\\$. \\\$f(x)=\\\\frac{1}{2\\\\sqrt{x}}\\\$`,\n svar: `\\\$F(x)=\\\\sqrt{x}+5\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i32\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{4} \\\\sqrt{x} \\\\ dx\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{16}{3}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i33\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m talet \\\$a\\\$ om \\\$\\\\int_{-1}^{a} x^2 \\\\ dx=3\\\$.`,\n svar: `\\\$a=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i34\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en area i ett koordinatsystem. Beskriv i ord vad arean \ud835\udc34 beskriver rent\npraktiskt. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-12-152712.png\">`,\n svar: `Hur l\u00e5ngt man f\u00e4rdats mellan 2 och 5 sekunder `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i35\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m arean av det markerade omr\u00e5dena.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-08.33.06.png\">`,\n svar: `a) \\\$e-1\\\$ b) \\\$\\\\frac{5}{3}\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i36\"\n },\n {\n fraga: `Det markerade omr\u00e5det mellan funktionerna \u00e4r \\\$\\\\frac{1}{2}\\\$ areaenheter. Best\u00e4m konstanten \\\$C\\\$.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-24-143625.png\">`,\n svar: `\\\$C=2\\\$ `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i37\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{1} \\\\frac{e^x+xe^{x+1}}{1+xe} \\\\ dx\\\$.`,\n svar: `\\\$e-1\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag:\n `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-08.29.11.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i38\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{1} \\\\frac{x^2-4}{x+2} \\\\ dx\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{-3}{2}=-1,5\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i40\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en funktion \\\$f(x)\\\$ vet du f\u00f6ljande:<\/p>\n\n<ul>\n <li>\\\$f''(x)=3x^2\\\$<\/li>\n <li>\\\$f(x)\\\$ har en extrempunkt i \\\$x=3\\\$<\/li>\n <li>Den r\u00e4ta linjen \\\$y=-19x+38\\\$ tangerar funktionen \\\$f(x)\\\$<\/li>\n<\/ul>\n\nBest\u00e4m funktionen \\\$f(x)\\\$.<\/p>\t\n`,\n svar: `\\\$f(x)=\\\\frac{x^4}{4}-27x+50\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"primitiv\",\"derivatagraf\"],\n kod: \"i41\"\n},\n {\n fraga: `F\u00f6r en funktion vet du att \\\$f''(x)=x\\\$, du vet ocks\u00e5 att \\\$f'(1)=2\\\$ samt att \\\$f(1)=3\\\$. Best\u00e4m funktionen \\\$f(x)\\\$`,\n svar: `\\\$f(x)=\\\\frac{x^3}{6}+\\\\frac{3x}{2}+\\\\frac{4}{3}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n losningsforslag:\n `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-31-114332.png\">`,\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i39\"\n }\n ],\n\n problemlosningintegral: [\n {\n fraga: `Joakimtremonie \u00e4r en bakterie som f\u00f6rekommer i sushi. Den kan vara mycket farlig\noch d\u00e4rf\u00f6r vill man inte att bakterieantalet ska \u00f6verstiga 100 000 i en sushi. Joakim har\ni sitt labb unders\u00f6kt olika sushi och kommit fram till att de flesta har 1000 bakterier i\nsig fr\u00e5n b\u00f6rjan n\u00e4r de serveras och sedan \u00f6kar bakterieantalet med hastigheten \\\$v(t)=64,5e^{0,215t}\\\$ d\u00e4r \ud835\udc61 \u00e4r antalet minuter efter servering. Efter hur m\u00e5nga minuter \u00e4r inte\nsushin l\u00e4ngre \u00e4tbar enligt modellen?`,\n svar: \"Ungef\u00e4r 27 minuter\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"integralproblem\"],\n kod: \"b1\"\n },\n {\n fraga: `Joakim vill unders\u00f6ka hur m\u00e5nga fiskar det finns i hans favoritsj\u00f6 Pekingsj\u00f6n. Han vet\natt antalet minskar exponentiellt och med en hastighet under \u00e5ren 2010\u20132023 som g\u00e5r\natt beskriva med funktionen d\u00e4r \ud835\udc53(\ud835\udc61) \u00e4r fiskar\/\u00e5r<\/p> \\\$f(t)=-34,7e^{-0,0072t}\\\$ <\/p> Hur m\u00e5nga fiskar har f\u00f6rsvunnit fr\u00e5n Pekingsj\u00f6n under \u00e5ren 2010-2023?`,\n svar: \"Det har minskat med ungef\u00e4r 430 fiskar\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-09.48.25.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"integralproblem\"],\n kod: \"b2\"\n },\n {\n fraga: `Joakim vill unders\u00f6ka hur l\u00e5ng tid det tar innan hans bil g\u00f6r slut p\u00e5 bensin. Han vet\nutifr\u00e5n bruksanvisningen att bensinen f\u00f6rbrukas med en hastighet liter\/mil med\nfunktionen \\\$f(x)=e^{-0,054x}+0,73\\\$. Joakim fyller p\u00e5 med 50 liter. Hur l\u00e5ng tid\nkommer det ta innan Joakim har f\u00f6rbrukat hela tanken utifr\u00e5n modellen? `,\n svar: `45,32 mil`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"integralproblem\"],\n kod: \"b3\"\n},\n {\n fraga: `Nedan ser du tv\u00e5 markerade areor. Den orange-markerade arean \u00e4r arean under grafen\ntill funktionen \\\$f(x)=x^a\\\$ d\u00e4r \ud835\udc4e \u00e4r ett positivt heltal. Visa att den bl\u00e5a arean alltid \u00e4r \ud835\udc4e\ng\u00e5nger st\u00f6rre \u00e4n den orangea arean. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-22.26.51.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-22.27.05.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"integralproblem\"],\n kod: \"b4\"\n},\n {\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)=e^{-x}\\\$ samt linjen \\\$y=1\\\$. som tillsammans avgr\u00e4nsar tv\u00e5 areaomr\u00e5den.\nF\u00f6r vilken koordinat p\u00e5 punkten A \u00e4r den r\u00f6da och den bl\u00e5 arean lika stora? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-22.20.23.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$(1,59,1)\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-22.23.25.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"integralproblem\"],\n kod: \"b5\"\n}\n ],\n\n trigonometri: [\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$sinx=1\/2\\\$ i intervallet \\\$0^{\\\\circ}< x <360^{\\\\circ}\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=30^{\\\\circ}, x_2=150^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t1\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$cosx=1\/2\\\$ i intervallet \\\$0^{\\\\circ}< x <360^{\\\\circ}\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=60^{\\\\circ}, x_2=300^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t2\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$cosx=\\\\frac{1}{\\\\sqrt{2}}\\\$ i intervallet \\\$0^{\\\\circ}< x <360^{\\\\circ}\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=45^{\\\\circ}, x_2=315^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t3\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$sinx=-1\\\$ i intervallet \\\$0^{\\\\circ}< x <360^{\\\\circ}\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=270^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t4\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$cosv=-1\\\$ i intervallet \\\$0^{\\\\circ}< v <270^{\\\\circ}\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=180^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t5\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2cosv=-1\\\$ i intervallet \\\$0^{\\\\circ}< v <270^{\\\\circ}\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=120^{\\\\circ}, x_2=240^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t6\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$cosv=0,24\\\$ i intervallet \\\$0^{\\\\circ}< v < 180^{\\\\circ}\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=76^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t7\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$sinv=0,8\\\$ i intervallet \\\$0^{\\\\circ}< v < 180^{\\\\circ}\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=53^{\\\\circ}, x_2=127^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t8\"\n },\n {\n fraga: `Motivera om f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$cos(89^{\\\\circ})=cos(271^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `De har samma v\u00e4rde, titta p\u00e5 enhetscirkeln`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t9\"\n }, \n {\n fraga: `Om du vet att \\\$cos(31^{\\\\circ})=0,86\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$cos(211^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `\\\$cos(211^{\\\\circ})=-0,86\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t10\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r vilka vinklar i intervallet \\\$0^{\\\\circ}< v <360^{\\\\circ}\\\$ \u00e4r \\\$cosv < cos(155^{\\\\circ\\\$`,\n svar: `\\\$155^{\\\\circ} < v < 205^{\\\\circ}\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t11\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande trigonometriska uttryck<\/p> a) \\\$sin(120^{\\\\circ})\\\$ <\/p> b) \\\$cos(-30^{\\\\circ})\\\$ <\/p> c) \\\$cos(405^{\\\\circ})\\\$ <\/p> d) \\\$sin(225^{\\\\circ})\\\$ `,\n svar: `a) \\\$\\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\$ b) \\\$\\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\$ c) \\\$\\\\frac{1}{\\\\sqrt{2}}\\\$ d)\\\$-\\\\frac{1}{\\\\sqrt{2}}\\\$ `,\n niva: \"E\",\n poang: [4,0,0],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t12\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r vilka vinklar i intervallet \\\$0^{\\\\circ}< v <360^{\\\\circ}\\\$ \u00e4r \\\$sin(v+90^{\\\\circ}) < cos(v-90^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `\\\$45^{\\\\circ} < v < 225^{\\\\circ}\\\$ `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t13\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en triangel vet du att vet du att den har str\u00e4ckorna 16 cm, 17cm och\n18 cm. Best\u00e4m arean av triangeln.`,\n svar: `125 kvadratcentimeter`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"trigsatser\"],\n kod: \"t14\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en triangel vet du att tv\u00e5 vinklar \u00e4r \\\$58^{\\\\circ}\\\$ , \\\$72^{\\\\circ}\\\$ samt att arean \u00e4r 100 \\\$m^2\\\$. Best\u00e4m l\u00e4ngden p\u00e5 den kortaste str\u00e4ckan i triangeln.`,\n svar: `13,78 m`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"trigsatser\"],\n kod: \"t15\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar en liksidig triangel med sidl\u00e4ngden \ud835\udc4e. Visa att arean \ud835\udc34 f\u00f6r\nden liksidiga triangeln g\u00e5r att skriva som \\\$A=\\\\frac{\\\\sqrt{3}a^2}{4}\\\$`,\n svar: `Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-15-152119.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"trigsatser\"],\n kod: \"t16\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en oktagon (8-h\u00f6rning) d\u00e4r samtliga str\u00e4ckor \u00e4r lika l\u00e5nga. Visa att om a \u00e4r en str\u00e4cka fr\u00e5n ett h\u00f6rn till mittpunkten i oktagonen kan arean f\u00f6r oktagonen skrivas som \\\$A=\\\\frac{4a^2}{\\\\sqrt{2}}\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-15-152503.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-15-152742.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"trigsatser\"],\n kod: \"t17\"\n },\n {\n fraga: `\tLandet Nicaraguas landyta g\u00e5r f\u00f6renklat rita som en liksidig triangel. Nicaragua har en landyta p\u00e5 130 000 \\\$km^2\\\$. Best\u00e4m sidl\u00e4ngden p\u00e5 triangeln som visas i bilden nedan om vi antar att den utg\u00f6r hela landsytan. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-01-28-152435.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `548 km`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"trigsatser\"],\n kod: \"t18\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vinkeln \\\$v\\\$. Svara med tv\u00e5 decimaler <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-01-28-150930.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `\\\$47,61^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"trigsatser\"],\n kod: \"t19\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vinkeln \\\$v\\\$. Svara med tv\u00e5 decimaler <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-01-28-134825.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `\\\$39,33^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"trigsatser\"],\n kod: \"t20\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m str\u00e4ckan \\\$x\\\$. Svara med en decimal <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-01-28-133223.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `4,1 cm`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"trigsatser\"],\n kod: \"t21\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m str\u00e4ckan \\\$x\\\$. Svara med en decimal <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-01-28-133541.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `6,5 cm`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"trigsatser\"],\n kod: \"t22\"\n },\n ],\n geogebra: [\n{\n fraga: `F\u00f6ljande funktion kan du inte derivera algebraiskt i den h\u00e4r kursen \\\$f(x)=x\\\\cdot e^x\\\$.<\/p> Best\u00e4m \\\$f'(1)\\\$ med hj\u00e4lp av geogebra, svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar: `\\\$f'(1)=5,43\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"geogebraderivata\"],\n kod: \"g1\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6ljande funktion kan du inte derivera algebraiskt i den h\u00e4r kursen \\\$f(x)=\\\\frac{x}{x-1}\\\$.<\/p> Best\u00e4m \\\$f'(2)\\\$ med hj\u00e4lp av geogebra.`,\n svar: `\\\$f'(2)=-1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"geogebraderivata\"],\n kod: \"g2\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation med hj\u00e4lp av geogebra \\\$f'(x)+3f(x)=50\\\$. Om \\\$f(x)=e^{3x}\\\$, svara med en dacimal. `,\n svar: `\\\$x=0,7\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"geogebraekvation\"],\n kod: \"g3\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$5,2^x=13,71\\\$ med hj\u00e4lp av ditt digitala hj\u00e4lpmedel. Svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar:`\\\$x=1,59\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"geogebraderivata\"],\n kod: \"g4\"\n},\n {\n fraga: `Vi definierar funktioner \\\$f(x)=3x+2\\\$ och \\\$g(x)=2^x\\\$. L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=g(x)\\\$ med ditt digitala hj\u00e4lpmedel och svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar:`\\\$x_1=-0,42, x_2=3,72\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"geogebraderivata\"],\n kod: \"g5\"\n},\n ]\n\n},\n\n \/\/ MATEMATIK 4\n ma4: {\n trig: [\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$sinx=\\\\frac{1}{2}\\\$. Svara i grader.`,\n svar: `\\\$x=30^{\\\\circ}+360^{\\\\circ}\\\\cdot n\\\$ och \\\$x=150^{\\\\circ}+360^{\\\\circ}\\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a1\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2cosx=1\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 60^{\\\\circ}+360^{\\\\circ}\\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a2\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$cos2x=\\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\$. Svara i grader.`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 15^{\\\\circ}+180^{\\\\circ}\\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a3\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2sin\\\\frac{x}{2}=\\\\sqrt{3}\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=120^{\\\\circ}+720^{\\\\circ}\\\\cdot n\\\$ och \\\$x=240^{\\\\circ}+720^{\\\\circ}\\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a4\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2sinxcosx=1\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=45^{\\\\circ}+180^{\\\\circ}\\\\cdot n\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a5\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(cosx-sinx)(cosx+sinx)=\\\\frac{1}{\\\\sqrt{2}}\\\$. Svara i radianer .`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm \\\\frac{\\\\pi}{8}+ \\\\pi \\\\cdot n\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a6\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$sinx=-1\\\$. Svara i radianer.`,\n svar: `\\\$x= \\\\frac{3\\\\pi}{2} + 2\\\\pi \\\\cdot n\\\$ `,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a7\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation \\\$sinx+cosx=1\\\$. Svara i radianer`,\n svar: `\\\$x=0 + 2\\\\pi \\\\cdot n\\\$ eller \\\$x=\\\\frac{\\\\pi}{2} + 2\\\\pi \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a8\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde p\u00e5 uttrycket \\\$sin(75^{\\\\circ})cos(285^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{4}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a9\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$sin(\\\\pi)+cos(\\\\pi)\\\$`,\n svar: `-1`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a10\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$2sin(15^{\\\\circ})cos(15^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a11\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r uttrycket \\\$sin^2(\\\\frac{\\\\pi}{5})+cos^2(\\\\frac{\\\\pi}{5})\\\$`,\n svar: `1 Tips: det \u00e4r trig.ettan`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a12\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$sin^2x+cos^2x+sin(30^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a13\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$cos(51\\\\pi)\\\$`,\n svar: `-1`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a14\"\n},\n{\n fraga: `Joakim menar att uttrycket \\\$sin(\\\\frac{40 \\\\pi}{79})\\\$ \u00e4r v\u00e4ldigt n\u00e4ra ett v\u00e4rde men \u00e4r inte exakt. Vilket v\u00e4rde t\u00e4nker han p\u00e5.`,\n svar: `V\u00e4ldigt n\u00e4ra 1 eftersom \\\$\\\\frac{40\\\\pi}{79}\\\$ \u00e4r v\u00e4ldigt n\u00e4ra \\\$\\\\frac{\\\\pi}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a15\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{sin2x}{2cosx}=sinx\\\$`,\n svar: `Skriv om v\u00e4nsterledet med hj\u00e4lp av sinus f\u00f6r dubbla vinkeln.`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a16\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$1-\\\\frac{cos^2x}{1+sinx}=sinx\\\$`,\n svar: `Skriv v\u00e4nsterledet p\u00e5 gemensam n\u00e4mnare och f\u00f6renkla sedan med de trigonometriska identiterna f\u00f6r att .`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a17\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\sqrt{\\\\frac{1}{cos^2x}-1}=tanx\\\$`,\n svar: `Skriv om v\u00e4nsterledet till gemensam n\u00e4mnare`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a18\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$sin^2x+cos^2x+sin(2\\\\pi)=1\\\$`,\n svar: `Skriv om v\u00e4nsterledet med trigettan och v\u00e4rdet f\u00f6r \\\$sin(2\\\\pi)=0\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a20\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$cos^4x-sin^4x=cos2x\\\$`,\n svar: `Anv\u00e4nd konjugatregeln f\u00f6r v\u00e4nsterledet och forts\u00e4tt f\u00f6renkla d\u00e4refter.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a21\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet g\u00e4ller \\\$(sinx+cosx)^2-1=sin2x\\\$`,\n svar: `Utveckla v\u00e4nsterledet med kvadreringsregeln och f\u00f6renkla sedan vidare.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a22\"\n},\n{\n fraga: `Vi anger vinklar i radianer. Best\u00e4m om sin10 \u00e4r ett positivt tal eller negativt tal med en motivering. `,\n svar: `Det \u00e4r ett negativt tal eftersom \\\$3\\\\pi\\\$ \u00e4r lite mindre \u00e4n 10 och \u00e4r lika med noll kommer det som g\u00e5r \u00f6ver \\\$3\\\\pi\\\$ till \\\$4\\\\pi\\\$ att vara negativt.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a23\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r uttrycket \\\$cos^2(75^{\\\\circ})-sin^2(255^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{-\\\\sqrt3}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a24\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde p\u00e5 \\\$tan15^{\\\\circ}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{\\\\sqrt3-1}{sqrt3+1\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a25\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$cos^2x-\\\\frac{sin2x}{2sinx}=0\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm \\\\frac{\\\\pi}{2}+2\\\\pi \\\\cdot n\\\$ eller \\\$x= 2\\\\pi \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a26\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$sin(\\\\frac{\\\\pi}{10})+sin(-\\\\frac{\\\\pi}{10})+sin^2(0,21\\\\pi)+cos^2(-0,21\\\\pi)\\\$`,\n svar: `1`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a27\"\n},\n{\n fraga: `Visa att ekvationen \\\$sin(cosx)=1\\\$ saknar l\u00f6sningar.\\\$x\\\$ ges i radianer `,\n svar: `Visa att eftersom \\\$cosx\\\$ g\u00e5r mellan v\u00e4rdena -1 och 1 kommer likheten aldrig tillfredst\u00e4llas.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a28\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande uttryck \u00e4r konstant oavsett v\u00e4rde p\u00e5 \\\$x\\\$ <\/p> \\\$\\\\frac{(\\\\sqrt2cosx-1)(\\\\sqrt2cosx+1)}{cos2x}\\\$`,\n svar: `Skriv om t\u00e4ljaren och visa att den g\u00e5r att skriva som cosinus f\u00f6r dubbla vinkeln.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a29\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$tan2x=\\\\sqrt{3}\\\$. Svara i radianer. `,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{\\\\pi}{6}+\\\\frac{\\\\pi}{2} \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a30\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$sinxcosx=\\\\frac{1}{4}\\\$. Svara i radianer. `,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{\\\\pi}{12}+\\\\pi \\\\cdot n\\\$ eller \\\$x=\\\\frac{5\\\\pi}{12}+\\\\pi \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a31\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$cos3x=\\\\frac{1}{2}\\\$. Svara i radianer. `,\n svar: `\\\$x=\\\\pm \\\\frac{\\\\pi}{9}+\\\\frac{2\\\\pi}{3} \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a32\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$tanx=1\\\$. Svara i grader. `,\n svar: `\\\$x= 45^{\\\\circ}+180^{\\\\circ} \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a33\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2sin2x=-1\\\$. Svara i radianer. `,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{7\\\\pi}{12}+\\\\pi \\\\cdot n\\\$ eller \\\$x=\\\\frac{11\\\\pi}{12}+\\\\pi \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a34\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$sinx=\\\\frac{-\\\\sqrt{3}}{2}\\\$. Svara i radianer. `,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{4\\\\pi}{3}+2\\\\pi \\\\cdot n\\\$ eller \\\$x=\\\\frac{5\\\\pi}{3}+2\\\\pi \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a35\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$cosx=-\\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\$. Svara i radianer. `,\n svar: `\\\$x=\\\\pm \\\\frac{5\\\\pi}{6}+2\\\\pi \\\\cdot n\\\$ `,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a36\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$cos^2x-sin^2x+sin^2x+cos^2x=2\\\$. Svara i grader. `,\n svar: `\\\$x=\\\\pi \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a37\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$sinxcos(35^{\\\\circ})=1-cosxsin(35^{\\\\circ})\\\$. Svara i grader. `,\n svar: `\\\$x=55^{\\\\circ} + 360^{\\\\circ}\\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a38\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$cos(27^{\\\\circ})cos(3^{\\\\circ})-sin(27^{\\\\circ})sin(3^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a39\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt f\u00f6r \\\$sin(15^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{\\\\sqrt{6}-\\\\sqrt{2}}{4}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a40\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$cos^2(75^{\\\\circ})-sin^2(75^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `\\\$-\\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a41\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$sin(11\\\\pi)\\\$`,\n svar: `0`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a42\"\n},\n{\n fraga: `Motivera varf\u00f6r \\\$cos(30^{\\\\circ})=sin(120^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `Anv\u00e4nd enhetscirkeln och motivera genom det.`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a43\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$cos2x=cos(x+\\\\frac{\\\\pi}{3})\\\$. Svara i radianer.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{\\\\pi}{3}+2\\\\pi \\\\cdot n\\\$ eller \\\$x=-\\\\frac{\\\\pi}{9}+\\\\frac{2\\\\pi}{3} \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a44\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{2sinxcosx}{(1-\\\\sqrt{2}sinx)(1+\\\\sqrt{2}sinx)}=tan2x\\\$`,\n svar: `Skriv om t\u00e4ljare och n\u00e4rmnare till sinus och cosinus f\u00f6r dubbla vinkeln.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a45\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r uttrycket \\\$sin^2(\\\\frac{\\\\pi}{13})+cos^2(\\\\frac{\\\\pi}{13})+sin(\\\\pi)\\\$`,\n svar: `0`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a46\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$cos^2(347^{\\\\circ})+sin^2(167^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `1, anv\u00e4nd trignomotriettan. `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a47\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r uttrycket \\\$cos(345^{\\\\circ})sin(165^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{4}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a48\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$sin^2(124^{\\\\circ})+sin^2(34^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `1`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a49\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{sin^2x}{1-cos^2x}=1\\\$`,\n svar: `Anv\u00e4nd trigettan p\u00e5 n\u00e4mnaren `,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a50\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{sin^2x}{1-sin^2x}=tan^2x\\\$`,\n svar: `Anv\u00e4nd trigettan p\u00e5 n\u00e4mnaren `,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a51\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{1-cos2x}{sin2x}=tanx\\\$`,\n svar: `Anv\u00e4nd sinus och cosinus f\u00f6r dubbla vinkeln.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a52\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{sinx}{1+cosx}=\\\\frac{1-cosx}{sinx}\\\$`,\n svar: `Tips: F\u00f6rl\u00e4ng h\u00f6ger och v\u00e4nsterledet med respektives konjugat. `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a53\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{sinx}{cosx}+\\\\frac{cosx}{sinx}=\\\\frac{1}{sinxcosx}\\\$`,\n svar: `F\u00f6rl\u00e4ng VL och skriv p\u00e5 gemensamt br\u00e5k.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a54\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{1-cos2x}{1+cos2x}=tan^2x\\\$`,\n svar: `Skriv om cosinus f\u00f6r dubbla vinkeln.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a55\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}=\\\\frac{1+sin2x}{cos2x}\\\$`,\n svar: `Anv\u00e4nd relevanta trigregler och skriv om VL med en f\u00f6rl\u00e4gning eller HL med dubbla vinkeln. `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a56\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$sin2x=sinx\\\$. Svara med radianer. `,\n svar: `\\\$x=0+2\\\\pi \\\\cdot n\\\$ eller \\\$x=\\\\pi+2\\\\pi \\\\cdot n\\\$ eller \\\$x=\\\\pm \\\\frac{\\\\pi}{3}+2\\\\pi \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a57\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\frac{sin2x}{1+cos2x}=1\\\$ Svara med grader. `,\n svar: `\\\$x=45^{\\\\circ}+180^{\\\\circ} \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a58\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$sinx=\\\\sqrt{3}cosx\\\$. Svara med radianer. `,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{\\\\pi}{3}+\\\\pi \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a59\"\n},\n{\n fraga: `Skriv 6 grader i radianer.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{\\\\pi}{30}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a60\"\n},\n{\n fraga: `Skriv 15 grader i radianer.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{\\\\pi}{12}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a61\"\n},\n{\n fraga: `Skriv \\\$\\\\frac{4\\\\pi}{15}\\\$ i grader.`,\n svar: `48 grader`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a62\"\n},\n{\n fraga: `Visa att \\\$sin(3x)=3sinx-4sin^3x\\\$`,\n svar: `Skriv om VL med hj\u00e4lp av additionsformler. Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"formler\"],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-23-kl.-22.20.20.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n kod: \"a63\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{1-cos2x+sin2x}{1+cos2x+sin2x}=tanx\\\$`,\n svar: `Skriv om VL med hj\u00e4lp av sinus och cosinus f\u00f6r dubbla vinkeln.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a64\"\n},\n{\n fraga: ` Under kursens g\u00e5ng har ni v\u00e4rt er formlerna f\u00f6r dubbla vinkeln f\u00f6r sinus och cosinus. Det finns \u00e4ven en formel f\u00f6r dubbla vinkeln f\u00f6r tangens. <\/p> \\\$tan2x=\\\\frac{2tanx}{1-tan^2x}\\\$ <\/p> Visa att likheten st\u00e4mmer. `,\n svar: `Skriv om VL med hj\u00e4lp av sinus och cosinus f\u00f6r dubbla vinkeln.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a65\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande uttryck \u00e4r konstant \\\$2sin^2(2x)+cos(4x)\\\$`,\n svar: `Anv\u00e4nd formlerna f\u00f6r dubbla vinkeln och visa sedan att uttrycket \u00e4r konstant 2`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a66\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{sinx+tanx}{cosx+1}=tanx\\\$`,\n svar: `Skriv om VL genom att f\u00f6rst skriva \\\$tanx=\\\\frac{sinx}{cosx}\\\$ forts\u00e4tt sedan genom att skriva uttrycken p\u00e5 gemensamt br\u00e5kst\u00e4ck.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a67\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$sin^2(\\\\frac{\\\\pi}{7})+cos^2(\\\\frac{\\\\pi}{7})-cos(\\\\frac{\\\\pi}{3})\\\$`,\n svar: `\\\$frac{-1}{2}\\\$\\\\)`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a68\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$4sin(\\\\frac{\\\\pi}{12})cos(-\\\\frac{\\\\pi}{12})\\\$`,\n svar: `1`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a69\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$cos(28^{\\\\circ}\n) cos(343^{\\\\circ}\n) + sin(152^{\\\\circ}\n) sin(197^{\\\\circ}\n)\\\$`,\n svar: `\\\$frac{1}{\\\\sqrt{2}}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a70\"\n},\n{\n fraga: `Observera f\u00f6ljande m\u00f6nster <\/p> \\\$\\\\frac{sin(45^{\\\\circ})}{sin(15^{\\\\circ})}-\\\\frac{cos(45^{\\\\circ})}{cos(15^{\\\\circ})}=2\\\$ <\/p> \\\$\\\\frac{sin(33^{\\\\circ})}{sin(11^{\\\\circ})}-\\\\frac{cos(33^{\\\\circ})}{cos(11^{\\\\circ})}=2\\\$ <\/p> \\\$\\\\frac{sin(3^{\\\\circ})}{sin(1^{\\\\circ})}-\\\\frac{cos(3^{\\\\circ})}{cos(1^{\\\\circ})}=2\\\$ <\/p> Unders\u00f6k om sambandet g\u00e4ller f\u00f6r alla vinklar som uttrycket \u00e4r definierat f\u00f6r. Enbart algebraiska l\u00f6sningar godk\u00e4nns.`,\n svar: `Likheten st\u00e4mmer. Skriv ett generellt uttryck och visa sedan att det alltid blir lika med 2`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a71\"\n}\n ],\n\n funktioner: [\n {\n fraga: `Best\u00e4m amplituden f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=4sin(2x)\\\$.`,\n svar: `Amplituden=4`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f1\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m perioden i radianer f\u00f6r f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=3cos(2x)\\\$.`,\n svar: `Perioden=\\\$\\\\pi\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f2\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$f(\\\\pi)\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=5cos(2x)\\\$`,\n svar: `\\\$f(\\\\pi)=5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f3\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=2\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=4cos(x)\\\$. Svara i radianer`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm \\\\frac{\\\\pi}{3}+2\\\\pi \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f4\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$y\\\$ sk\u00e4r funktionen \\\$f(x)=2sin(x+\\\\frac{\\\\pi}{6})\\\$ \\\$y\\\$-axeln`,\n svar: `1`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f5\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=acosx+a\\\$ uttryckt i \\\$a\\\$`,\n svar: `\\\$0 \\\\le y \\\\le 2a\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f6\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m det minsta v\u00e4rdet f\u00f6ljande funktion kan anta \\\$f(x)=e^{2sinx}\\\$`,\n svar: `Minst v\u00e4rdet \u00e4r \\\$y=\\\\frac{1}{e^2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f7\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=asinkx+b\\\$ vet du att dess st\u00f6rsta v\u00e4rde \u00e4r 10 och dess minsta v\u00e4rde \u00e4r 6. Funktionens perioden \u00e4r \\\$4\\\\pi\\\$. Best\u00e4m konstanterna a, b och k`,\n svar: `\\\$a=2, b=8, k=\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"problemfunk\"],\n kod: \"f8\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m det st\u00f6rsta v\u00e4rdet f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=sinx+cosx\\\$`,\n svar: `St\u00f6rsta v\u00e4rdet \u00e4r \\\$\\\\sqrt2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f9\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m det st\u00f6rsta v\u00e4rdet f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=sin^{100}x+cos^{100}x\\\$`,\n svar: `St\u00f6rsta v\u00e4rdet \u00e4r 1`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f10\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m perioden f\u00f6r f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=cos(3x+4\\\\pi)\\\$. Svara i radianer`,\n svar: `Perioden \u00e4r \\\$\\\\frac{2 \\\\pi}{3}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f11\"\n },\n {\n fraga: ` Funktionen \\\$f(x)=cosx\\\$ g\u00e5r att definieras som \\\$f(x)=\\\\sqrt{\\\\frac{1}{2}+\\\\frac{1}{2}cos2x}\\\$ i till exempel intervallet \\\$0 \\\\le x \\\\le \\\\frac{\\\\pi}{2}\\\$ <\/p> a) Visa att \\\$cosx=\\\\sqrt{\\\\frac{1}{2}+\\\\frac{1}{2}cos2x}\\\$ <\/p> b) Ange ett annat intervall d\u00e4r likheten st\u00e4mmer `,\n svar: `a) Skriv om h\u00f6gerledet! b) Till exempel \\\$\\\\frac{3\\\\pi}{2} \\\\le x \\\\le 2\\\\pi\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f12\"\n },\n {\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet aldrig kommer g\u00e4lla \\\$\\\\frac{3cos(2,4x+\\\\frac{\\\\pi}{13})-4}{sin^2x}=0\\\$`,\n svar: `Visa att t\u00e4ljaren aldrig blir noll. Det blir den aldrig eftersom t\u00e4ljaruttrycket aldrig sk\u00e4r x-axeln`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f13\"\n },\n {\n fraga: ` F\u00f6r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=sin(Ax+B)+C\\\$ vet du f\u00f6ljande <\/p>\n *\\\$f(x)\\\$ har perioden \\\$\\\\pi\\\$ <\/p> *\\\$f(x)\\\$ har sin f\u00f6rsta maximipunkt d\u00e5 \\\$0 < x\\\$ infaller i \\\$x=\\\\frac{\\\\pi}{2}\\\$ <\/p> *\\\$f(\\\\pi)=4\\\$ <\/p> Best\u00e4m konstanterna \\\$A, B\\\$ och \\\$C\\\$`,\n svar: `\\\$A=2, B=-\\\\frac{\\\\pi}{2}\\\$ och \\\$C=5\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"problemfunk\"],\n kod: \"f14\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m hur m\u00e5nga g\u00e5nger funktionen \\\$f(x)=cos2x\\\$ sk\u00e4r \\\$x\\\$-axeln i intervallet \\\$0 \\\\le x \\\\le 2\\\\pi\\\$`,\n svar: `4 g\u00e5nger`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f15\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=asinx+bcosx\\\$ och \\\$g(x)=asinx-bcosx\\\$. Du vet att \\\$f(\\\\frac{\\\\pi}{2})=1\\\$ samt att \\\$g(0)=2\\\$. Best\u00e4m \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$`,\n svar: `\\\$a=1, b=-2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f16\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=sin(x+A)\\\$ vet du att den har en maximipunkt i \\\$x=\\\\frac{\\\\pi}{4}\\\$. Best\u00e4m ett exempel p\u00e5 \\\$A\\\$`,\n svar: `Till exempel \\\$A=\\\\frac{\\\\pi}{4}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f17\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m det st\u00f6rsta v\u00e4rdet f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=(sin^2x+cos^2x)^{100}+2cos2x\\\$`,\n svar: `St\u00f6rsta v\u00e4rdet \u00e4r \\\$y=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f18\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=3cos3x+2\\\$`,\n svar: `\\\$-1 \\\\le y \\\\le 5\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f19\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m perioden f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=sin(\\\\pi x)\\\$, \\\$x\\\$ \u00e4r skrivet i radianer`,\n svar: `Perioden \u00e4r 2`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f20\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6ljande funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=Asin(x+B)+C\\\$ d\u00e4r \\\$A, B\\\$ och \\\$C\\\$ \u00e4r konstanter. Svara i radianer. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-12-155132.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$f(x)=2sin(x+\\\\pi)+1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"grafer\"],\n kod: \"f21\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6ljande funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=Acos(kx)+B\\\$ d\u00e4r \\\$A, k\\\$ och \\\$B\\\$ \u00e4r konstanter. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-12-155157.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$f(x)=2cos(\\\\frac{x}{3})-1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"grafer\"],\n kod: \"f22\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=3a \\\\cdot sinx +4a \\\\cdot cosx\\\$ Om du vet att funktionen har sitt st\u00f6rsta v\u00e4rde \\\$y=15\\\$ best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$`,\n svar: `\\\$a=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f23\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6ljande funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=Asin(k(x-v))+B\\\$ d\u00e4r \\\$A, k, v\\\$ och \\\$B\\\$ \u00e4r konstanter. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-12-155218.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$f(x)=2cos(3(x-20^{\\\\circ}))+1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"grafer\"],\n kod: \"f24\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m koordinaterna f\u00f6r samtliga extrempunkter f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=-sin(\\\\frac{x}{2})+1\\\$ i intervallet \\\$0 < x < 4\\\\pi\\\$`,\n svar: `\\\$(\\\\pi, 0)\\\$ och \\\$(\\\\frac{3\\\\pi}{2}, 2)\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f25\"\n },\n {\n fraga: `Temperaturen i en pool varierar under dygnets timmar. Den h\u00f6gsta temperaturen f\u00f6r\npoolen \u00e4r 32 \u00b0C och den l\u00e4gsta temperaturen \u00e4r 24 \u00b0C, vilket den \u00e4r klockan 04.00 p\u00e5\nmorgonen. Temperaturen under ett dygn kan beskrivas som en sinusfunktion p\u00e5\nformen \\\$T(x)=Asin(B(x+C))+D\\\$. D\u00e4r \ud835\udc65 \u00e4r antalet timmar fr\u00e5n 00.00. <\/p>\nBest\u00e4m konstanterna \\\$A, B, C\\\$ och \\\$D\\\$\n`,\n svar: `\\\$A=4, B=\\\\frac{\\\\pi}{12}, C=-10, D=28\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [1,1,1],\n underkategori: [\"problemfunk\"],\n kod: \"f26\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: `Funktionen \\\$d(t)=10-8sin(\\\\frac{\\\\pi t}{6})\\\$ beskriver havsdjupet i meter vid en position p\u00e5\nstranden i kuststaden Playa Jide. \\\$t\\\$ st\u00e5r f\u00f6r tiden i timmar fr\u00e5n 07.00 <\/p> a) Best\u00e4m och tolka \\\$d(4)\\\$ <\/p> b) Best\u00e4m och tolka \\\$d(t)=10\\\$`,\n svar: `a) Kl 11.00 \u00e4r havsdjupet ungef\u00e4r 3 meter. b) kl 13.00 \u00e4r havsdjupet 10 meter och sedan \u00e4r det det var 12 timme.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"problemfunk\"],\n kod: \"f27\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: ` H\u00f6jden f\u00f6r en vagn i ett parishjul g\u00e5r att beskriva med funktionen \\\$f(x)=80sin(\\\\frac{\\\\pi x}{25}-\\\\frac{9 \\\\pi}{25})+84\\\$ d\u00e4r \\\$x\\\$ \u00e4r antalet minuter fr\u00e5n start. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) Hur h\u00f6gt g\u00e5r parishjulet som h\u00f6gst? <\/p> \nb) Hur l\u00e5ng tid tar det f\u00f6r parishjulet att snurra ett varv? <\/p>`,\n svar: `a) 164 meter b) 50 minuter`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"problemfunk\"],\n kod: \"f28\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: ` I ett naturomr\u00e5de g\u00e5r antalet lejon i tusental att beskriva med funktionen \\\$L(t)=9+6sin(\\\\frac{\\\\pi t}{4})\\\$ och antalet gnuer i tusental g\u00e5r att beskriva med funktionen \\\$G(t)=27+19cos(\\\\frac{\\\\pi t}{4})\\\$ d\u00e4r \\\$t\\\$ \u00e4r antalet \u00e5r fr\u00e5n 2010.<\/p> Best\u00e4m efter hur m\u00e5nga \u00e5r f\u00f6rh\u00e5llandet mellan lejon och gnuer \u00e4r som st\u00f6rst om vi ser 10 \u00e5r fram\u00f6ver. `,\n svar: `3,64 \u00e5r`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"problemfunk\"],\n kod: \"f29\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: ` M\u00e5nens synlighet i procent \\\$P(t)\\\$ fr\u00e5n nym\u00e5ne (tillst\u00e5ndet d\u00e4r m\u00e5nen inte syns\n\u00f6verhuvudtaget) g\u00e5r att modellera med funktionen <\/p> \\\$P(t)=50-50cos(\\\\frac{2\\\\pi t}{29,53})\\\$ <\/p> a) Efter hur m\u00e5nga dagar fr\u00e5n nym\u00e5ne syns hela m\u00e5nen? Svara med\nen decimal. Endast svar kr\u00e4vs. <\/p> b) Under hur m\u00e5nga dagar syns m\u00e5nen mer \u00e4n 80%? Svara med en decimal. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-21-kl.-17.35.46.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">\n`,\n svar: `a) 14,8 dagar b) 8,7 dagar`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"problemfunk\"],\n kod: \"f30\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=2sin(kx+v)+1\\\$ Best\u00e4m konstanterna \\\$k\\\$ och \\\$v\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-21-kl.-17.46.29.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">\n`,\n svar: `\\\$k=\\\\pi\\\$ och \\\$v=-\\\\frac{\\\\pi}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f31\"\n },\n {\n fraga: ` En fl\u00e4kts varvtal (i varv per minut, rpm) varierar harmoniskt \u00f6ver tid enligt modellen: <\/p> \n\n\\\$f(t) = A \\\\cdot sin(B \\\\cdot t) + D\\\$ <\/p> Vid \\\$t=2\\\$ har fl\u00e4kten 1200 varv\/minut <\/p> Vid \\\$t=6\\\$ har fl\u00e4kten 400 varv\/minut vilket \u00e4r det l\u00e4gsta varvantalet. <\/p> Best\u00e4m konstanterna \\\$A, B\\\$ och \\\$D\\\$.\n`,\n svar: `\\\$A=400, B=\\\\frac{\\\\pi}{4}\\\$ och \\\$D=800\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"problemfunk\"],\n kod: \"f32\"\n }\n ],\n\n derivata: [\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=sin2x\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=2cos2x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d1\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=x\\\\cdot e^x\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=e^x+xe^x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d2\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=x^2\\\\cdot e^{2x}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=2xe^{2x}+2x^2e^{2x}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d3\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=2cos3x\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=-6sin3x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d4\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=lnx\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{1}{x}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d5\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=cos^2x\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=-2cosxsinx\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d6\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=sin^2x\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=2cosxsinx\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d7\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=\\\\sqrt{2x+1}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{1}{\\\\sqrt{2x+1}}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d8\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=x\\\\cdot sinx\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=sinx+x\\\\cdot cosx\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d11\"\n },\n {\n fraga: `Visa att derivatafunktionen f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=lnax\\\$ blir samma oavsett v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$.`,\n svar: `Visa att oavsett v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ blir derivatan alltid \\\$f'(x)=\\\\frac{1}{a}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d12\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{sinx}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{-cosx}{sin^2x}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d13\"\n },\n {\n fraga: `Visa att derivatan till \\\$f(x)=tanx\\\$ \u00e4r \\\$f(x)=\\\\frac{1}{cos^2x}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{-cosx}{sin^2x}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d14\"\n },\n {\n fraga: `Funktionen \\\$f(x)=x \\\\cdot e^{-x}\\\$ har en extrempunkt. Best\u00e4m \\\$x\\\$-koordinaten till den punkten.`,\n svar: `\\\$x=1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d15\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=e^{h(x)}\\\$ d\u00e4r \\\$h(x)\\\$ \u00e4r definierad f\u00f6r alla \\\$x\\\$. Visa att om \\\$h(x)\\\$ har en extrempunkt eller terrasspunkt \u00e4ven \\\$f(x)\\\$ det.`,\n svar: `Visa att n\u00e4r \\\$h'(x)=0\\\$ \u00e4r \\\$f'(x)=0\\\$.` ,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d16\"\n },\n {\n fraga: `Under grafen till \\\$f(x)=e^{kx}\\\$ placeras en rektangel som avgr\u00e4nsas av de positiva koordinataxlarna. F\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 konstanten k kommer den rektangel\nsom har st\u00f6rsta arean att vara en kvadrat? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-15-143121.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$k=-e\\\$` ,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d18\"\n },\n {\n fraga: `En isskulptur i form av ett klot sm\u00e4lter p\u00e5 ett s\u00e5dant s\u00e4tt att den hela tiden \u00e4r ett\nklot. Volymen p\u00e5 klotet minskar med en konstant hastighet p\u00e5 2\u03c0 kubikmeter\nper timme. Med vilken hastighet f\u00f6r\u00e4ndras arean p\u00e5 klotet i det \u00f6gonblick d\u00e5\nskulpturens radie \u00e4r 5 meter?`,\n svar: `\\\$\\\\frac{-4\\\\pi}{5}\\\$` ,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d19\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-15-143451.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: \"true\" \n },\n {\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)=sin4x\\\$. Under grafen till funktionen\nplacerar vi en rektangel vars omkrets beror p\u00e5 var man s\u00e4tter punkten \ud835\udc34. Vid vilken\npunkt \ud835\udc34 blir omkretsen maximal? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-15-144046.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{\\\\pi}{12}\\\$` ,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d20\",\n digital: `true` \n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$h(x)=ln(f(x))\\\$. Nedan ser du grafen till \\\$f(x)\\\$. Best\u00e4m f\u00f6r vilket\/vilka \\\$x\\\$ \\\$h'(x)\\\$ \u00e4r odefinierat om \\\$f(x)\\\$ \u00e4r definierad \\\$0 \\\\le x \\\\le 5\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-15-144646.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=2\\\$` ,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d22\" \n },\n {\n fraga: `Joakim menar att funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{x}{e^x}\\\$ saknar extrempunkter. Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt. `,\n svar: `Joakim har fel. Funktionen har en extrempunkt i \\\$x=1\\\$` ,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d23\" \n },\n {\n fraga: `Visa att de tangenteran som tangerar funktionen \\\$f(x)=sinx\\\$ i dess f\u00f6rsta positiva nollst\u00e4llen \u00e4r vinkelr\u00e4ta.`,\n svar: `Visa att \\\$k\\\$-v\u00e4rdet f\u00f6r tangenterna multiplicerade blir \\\$-1\\\$` ,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d24\" \n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=x^x\\\$ med hj\u00e4lp av ditt digitala hj\u00e4lpmedel.`,\n svar: `\\\$f'(x)=x^x\\\\cdot lnx+x^x\\\$` ,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d25\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=e^{x^2}\\\$ med hj\u00e4lp av ditt digitala hj\u00e4lpmedel.`,\n svar: `\\\$f(x)=2xe^{x^2}\\\$` ,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d26\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$f'(1)\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=cos^3x\\\$ med hj\u00e4lp av ditt digitala hj\u00e4lpmedel. Svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar: `\\\$f'(1)=-0,74\\\$` ,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d27\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$f'(2)\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=ln(sinx)\\\$ med hj\u00e4lp av ditt digitala hj\u00e4lpmedel. Svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar: `\\\$f'(1)=-0,46\\\$` ,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d28\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=(2+x^5)^{10}\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=50x^4(2+x^5)^9\\\$` ,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d29\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r tangenten som tangerar funktionen \\\$f(x)=\\\\sqrt{3x-2}\\\$ i \\\$x=1\\\$`,\n svar: `\\\$y=\\\\frac{3}{2}x-\\\\frac{1}{2}\\\$` ,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-15-151550.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d30\"\n },\n {\n fraga: `Visa att \\\$f(x)=ln(ax)+x\\\$ har en extrempunkt i \\\$x=1\\\$ oavsett v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$a\\\$`,\n svar: `Visa att derivatafunktionen inte beror p\u00e5 \\\$a\\\$ och visa sedan att extrempunkten \u00e4r i \\\$x=1\\\$` ,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d31\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en funktion \\\$h(x)\\\$ vet du att <\/p> \\\$h(x)>0\\\$ samt \\\$h'(0)>0\\\$ f\u00f6r alla \\\$x\\\$ inom definitionsm\u00e4ngden. <\/p> Visa att \\\$f(x)=\\\\frac{1}{(h(x))^2}\\\$ \u00e4r avtagande f\u00f6r alla \\\$x\\\$ inom definitionsm\u00e4ngden.`,\n svar: `Visa att derivatafunktionen inte beror p\u00e5 \\\$a\\\$ och visa sedan att extrempunkten \u00e4r i \\\$x=1\\\$` ,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-15-152916.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d32\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m koordinaterna f\u00f6r samtliga extrempunkter f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=-sin(\\\\frac{x}{2}+1)\\\$ i intervallet \\\$0 \\\\le x \\\\le 4\\\\pi\\\$`,\n svar: `\\\$(\\\\pi, 0)\\\$ och \\\$(\\\\frac{3\\\\pi}{2}, 2)\\\$` ,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d33\"\n },\n {\n fraga: ` Den trigonometriska funktionen \\\$T(t)=4cos(\\\\frac{\\\\pi}{12}t+4)+24\\\$ beskriver temperaturen\nen fin sommardag i Lund fr\u00e5n kl 07.00 d\u00e4r \ud835\udc61 \u00e4r tid i timmar.<\/p> \na) Best\u00e4m vilken tid p\u00e5 dygnet det \u00e4r som varmast respektive kallast p\u00e5 dagen.<\/p> \nb) Best\u00e4m vilken tid p\u00e5 dygnet temperaturen v\u00e4xer som mest. `,\n svar: `a) Kallast: ungef\u00e4r 3,30 p\u00e5 natten, varmast: 15.30 p\u00e5 dagen b) V\u00e4xer som snabbast 9.30 ` ,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d34\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: ` Funktionen \\\$d(t)=10-8sin(\\\\frac{\\\\pi t}{6})\\\$ beskriver havsdjupet i meter vid en position p\u00e5\nstranden i kuststaden Playa Jide. \ud835\udc61 st\u00e5r f\u00f6r tiden i timmar fr\u00e5n 07.00 <\/p> \na) Best\u00e4m och tolka \\\$d(4)\\\$ <\/p> \nb) Best\u00e4m och tolka \\\$d(t)=10\\\$ <\/p>\nc) Best\u00e4m och tolka \\\$d'(12)\\\$ `,\n svar: `a) Kl 11.00 \u00e4r vattendjupet ungef\u00e4r 3 meter. b) Kl 13.00 och sedan var 12 timme \u00e4r vattendjupet 10 meter. c) Vid kl 19.00 minskar havsdjupet med -4,19 meter per timme.` ,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d35\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: `Kroppstemperaturen f\u00f6r en person kan beskrivas med funktionen \\\$f(x)=1,1sin(\\\\frac{\\\\pi}{12}x-\\\\pi)+36\\\$ d\u00e4r \\\$x=0\\\$ \u00e4r timmen d\u00e5 personen somnar.<\/p> \na) Efter hur m\u00e5nga timmar fr\u00e5n insomning \u00e4r kroppstemperaturen som l\u00e4gst? <\/p> \nb) Efter hur m\u00e5nga timmar fr\u00e5n insomning \u00e4r kroppstemperaturen som h\u00f6gst? <\/p>\nc) Efter hur m\u00e5nga timmar \u00f6kar kroppstemperaturen som snabbast? `,\n svar: `a) 6 timmar b) 18 timmar c) 12 timmar ` ,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d36\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har f\u00e5tt sitt blodsocker unders\u00f6kts av en duktig l\u00e4kare. Det visar sig att Joakims\nblodsocker efter en m\u00e5ltid g\u00e5r att beskriva med funktionen \\\$f(x)=0,032x^2e^{-0,07x}+4\\\$ d\u00e4r \\\$f(x)\\\$ \u00e4r sockerhalten i millimolar och \ud835\udc65 \u00e4r antalet\nminuter efter m\u00e5ltiden. Best\u00e4m n\u00e4r Joakims blodsocker \u00f6kar som snabbast. `,\n svar: `Ungef\u00e4r 8,4 minuter efter m\u00e5ltiden` ,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d37\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: `En sf\u00e4risk sn\u00f6boll sm\u00e4lter s\u00e5 att radien minskar med 2,0 cm\/h. Med vilken hastighet\n\u00e4ndras sn\u00f6bollens volym d\u00e5 dess radie \u00e4r 3,0 cm?`,\n svar: `Minskar med 226 cm\/timme` ,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d38\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en funktion \\\$h(x)=sin(g(x))\\\$ vet du f\u00f6ljande<\/p> \n *\\\$h(\\\\pi)=\\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\$<\/p> \n *\\\$g'(\\\\pi)=2\\\$ <\/p> Best\u00e4m de t\u00e4nkbara v\u00e4rdena f\u00f6r \\\$h'(\\\\pi)\\\$`,\n svar: `\\\$h'(\\\\pi)=1\\\$ eller \\\$h'(\\\\pi)=-1\\\$` ,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-15-162348.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n kod: \"d40\"\n },\n {\n fraga: `Visa att derivatan till funktionen \\\$f(x)=2sinxcosx\\\$ \u00e4r \\\$f'(x)=2cos2x\\\$`,\n svar: `Skriv om \\\$f(x)\\\$ till \\\$sin2x\\\$ eller skriv om derivatafunktionen.` ,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d41\"\n } ,\n {\n fraga: `Roger \u00e4r p\u00e5 en marknad och ska k\u00f6pa en ballong som \u00e4r\nklotformad. N\u00e4r f\u00f6rs\u00e4ljaren bl\u00e5ser upp ballongen n\u00e5r den en\nvolym p\u00e5 6500 \\\$cm^3\\\$\n. Ballongen bl\u00e5ses upp s\u00e5 att dess volym \u00f6kar\nmed konstant hastighet och n\u00e4r ballongens radie \u00e4r 5,6 cm \u00f6kar\nradien med 4,4 cm\/s. Best\u00e4m hur m\u00e5nga sekunder det tar att\nbl\u00e5sa upp ballongen om den \u00e4r tom fr\u00e5n b\u00f6rjan.`,\n svar: `3,75 sekunder` ,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d42\"\n },\n {\n fraga: `Visa att funktionen \\\$f(x)=x \\\\cdot e^{-\\\\frac{x}{a}}\\\$ har en extrempunkt i \\\$x=a\\\$ f\u00f6ruts\u00e4tt att \\\$a \\\\neq 0\\\$.`,\n svar: `Derivera funktionen och visa att derivatafunktionen \u00e4r lika med noll d\u00e5 \\\$x=a\\\$` ,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d43\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=(e^{2x}+3)^{10}\\\$ ` ,\n svar: `\\\$f'(x)=20(e^{2x}+3)^9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d44\"\n },\n {\n fraga: ` a) Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=x^x\\\$ genom att f\u00f6rst skriva om funktionen till \\\$f(x)=(e^{lnx})^x\\\$ <\/p> b) Observera f\u00f6ljande m\u00f6nster, h\u00f6gerleden \u00e4r n\u00e4rmev\u00e4rden till uttrycken. <\/p> \\\$\\\\sqrt[2]{2}=1,414\\\$ <\/p> \\\$\\\\sqrt[3]{3}=1,442\\\$ <\/p> \\\$\\\\sqrt[4]{4}=1,414\\\$ <\/p> \\\$\\\\sqrt[5]{5}=1,379\\\$ <\/p> \\\$\\\\sqrt[a]{a}\\\$ <\/p> F\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ maximeras uttryckets v\u00e4rde, svara exakt.` ,\n svar: `a) \\\$f'(x)=x^x(lnx+1)\\\$ b) \\\$a=e\\\$ ger det st\u00f6rsta v\u00e4rdet p\u00e5 uttrycket.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,3],\n underkategori: [\"problemderivata\", \"deriveringsregler\"],\n kod: \"d45\"\n },\n {\n fraga: `L\u00e5t \\\$f(x)=e^{2x}-e^x+e\\\$. Visa att \\\$f(x) > 2\\\$ f\u00f6r alla \\\$x\\\$` ,\n svar: `Anv\u00e4nd derivata f\u00f6r att visa att funktionen inte n\u00e5r ett v\u00e4rde h\u00f6gre \u00e4n \\\$y=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d46\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den tangent som tangerar funktion \\\$f(x)=sin2x\\\$ i \\\$(\\\\frac{\\\\pi}{2},0)\\\$`,\n svar: `\\\$y=-2x+\\\\pi\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d47\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$x\\\$ har funktionen \\\$f(x)=x \\\\cdot e^x\\\$ har en extrempunkt`,\n svar: `\\\$x=-1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d48\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den tangent som tangerar funktion \\\$f(x)=x \\\\cdot e^{2x}\\\$ i \\\$x=1\\\$`,\n svar: `\\\$y=2ex-e\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d49\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r vilka v\u00e4rden i intervallet \\\$0 < x < 2\\\\pi\\\$ \u00e4r funktionen \\\$sin^3x\\\$ avtagande?`,\n svar: `\\\$\\\\frac{\\\\pi}{2} < x < \\\\frac{3\\\\pi}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d50\"\n },\n {\n fraga: `Visa att funktionen \\\$f(x)=ln(ax)+x\\\$ har en extrempunkt i \\\$x=-1\\\$ oavsett v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ d\u00e4r \\\$a \\\\neq 0\\\$`,\n svar: `Derivera funktionen och visa att \\\$f'(x)=0\\\$ har samma l\u00f6sning eftersom derivatan \u00e4r oberoende av \\\$a\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d51\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m det st\u00f6rsta v\u00e4rdet f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=ln(\\\\sqrt{x})-\\\\frac{x}{2}\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `Anv\u00e4nd derivata f\u00f6r att visa att funktionens st\u00f6rsta v\u00e4rde \u00e4r \\\$y=-\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d52\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linje som tangerar funktionen \\\$\\\\sqrt{3x-2}\\\$ i \\\$x=1\\\$`,\n svar: `\\\$y=\\\\frac{3x}{2}-\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d53\"\n },\n {\n fraga: `En konisk beh\u00e5llare har spetsen ned\u00e5t och lika stor radie som h\u00f6jd. Beh\u00e5llaren l\u00e4cker\nmed 300 \\\$cm^3\/minut\\\$. Hur f\u00f6r\u00e4ndras v\u00e4tskeniv\u00e5n i konen vid l\u00e4get att h\u00f6jden \u00e4r 15\ncm? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-21-kl.-21.35.15.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `0,42 cm\/minut`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d54\"\n },\n {\n fraga: `Visa att derivatans till \\\$f(x)=tanx\\\$ \u00e4r \\\$f'(x)=\\\\frac{1}{cos^2x}\\\$`,\n svar: `Skriv om funktionen till \\\$f(x)=\\\\frac{sinx}{cosx}\\\$ derivera sedan funktion och f\u00f6renkla uttrycket. `,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d55\"\n },\n {\n fraga: ` F\u00f6r funktionen \\\$h(x)=f(g(x))\\\$ vet du att <\/p> \\\$g(1)=3\\\$ <\/p> \\\$g'(1)=2\\\$ <\/p> \\\$f'(1)=7\\\$ <\/p> Best\u00e4m \\\$h'(1)\\\$`,\n svar: `\\\$h'(1)=14\\\$ `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d56\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=e^{\\\\sqrt{2x^2+1}}\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{2xe^{\\\\sqrt{2x^2+1}}}{\\\\sqrt{2x^2+1}}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d57\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=sin(\\\\frac{x}{2})\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{cos(\\\\frac{x}{2})}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d58\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=e^{x^2}\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=2xe^{x^2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d59\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=2 \\\\cdot lnx\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{2}{x}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d60\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga asymptoter f\u00f6r f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=\\\\frac{1}{x-2}+3\\\$`,\n svar: `V\u00e5gr\u00e4t asymptot i \\\$x=2\\\$ och lodr\u00e4t asymptot i \\\$y=3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"analysgraf\"],\n kod: \"d61\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m de v\u00e5gr\u00e4ta asymptoterna f\u00f6r f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=\\\\frac{4}{x^2-9}\\\$`,\n svar: `V\u00e5gr\u00e4ta asymptoter i \\\$x=\\\\pm 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"analysgraf\"],\n kod: \"d62\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga asymptoter till f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=\\\\frac{4}{e^{2x}-3}+2x+1\\\$`,\n svar: `V\u00e5gr\u00e4t asymptot i \\\$x=\\\\frac{ln3}{2}\\\$ och sned asymptot i \\\$y=2x+1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"analysgraf\"],\n kod: \"d63\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m den sneda asymptoten f\u00f6r f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=\\\\frac{2x+2}{x^3}-3x+7\\\$`,\n svar: `Sned asymptot i \\\$y=-3x+7\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"analysgraf\"],\n kod: \"d64\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=e^{\\\\sqrt{x}}\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{e^{\\\\sqrt{x}}}{2\\\\sqrt{x}}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d65\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=sin(\\\\sqrt{x})\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{cos(\\\\sqrt{x})}{2\\\\sqrt{x}}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d66\"\n },\n {\n fraga: ` En matematiker har tagit fram statistik f\u00f6r kommunen Joakimk\u00f6ping. Hon har dels\ntagit fram en funktion som visar p\u00e5 hur mycket skatt (i miljoner) kommunen kan ta in\nberoende p\u00e5 hur stor befolkningen \\\$b\\\$ \u00e4r i tusental \\\$s(b)=9,7\\\\sqrt{0,5b}\\\$ Samtidigt har hon\ntagit fram statistisk f\u00f6r den f\u00f6rv\u00e4ntade befolkningsf\u00f6r\u00e4ndringen \nsom g\u00e5r att beskriva med funktionen \\\$b(t)=35+3,5sin(\\\\frac{\\\\pi t}{6})+1,6t\\\$ d\u00e4r \\\$t\\\$ \u00e4r antalet \u00e5r fr\u00e5n 2024. <\/p> a) Best\u00e4m vilket \u00e5r skatteint\u00e4kterna \u00f6verstiger 45 miljoner i Joakimk\u00f6ping. <\/p>\nb) Vilket\/vilka \u00e5r \u00f6kar skatteint\u00e4kterna med 0,91 miljoner per \u00e5r i under de f\u00f6rsta 11\n\u00e5ren fr\u00e5n 2024?`,\n svar: `a) Ungef\u00e4r 2027 b) Unged\u00e4r 2027 och 2032`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,3],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d67\",\n digital: true\n }, \n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=(2x+1)^4\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=8(2x+1)^3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d70\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m extrempunkten och dess karakt\u00e4r f\u00f6r f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=x \\\\cdot e^{-x}\\\$`,\n svar: `Extrempunkt i \\\$(1, \\\\frac{1}{e})\\\$ det \u00e4r en maximipunkt`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d71\"\n },\n {\n fraga: `Unders\u00f6k f\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ som funktionen \\\$f(x)=ax \\\\cdot e^{-x}\\\$ har en extrempunkt i \\\$(1,1)\\\$`,\n svar: `D\u00e5 \\\$a=e\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d72\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=ln(g(x))\\\$, du vet att funktionen \\\$g(x)\\\$ har en tangent i \\\$x=4\\\$ vars ekvation \u00e4r \\\$y=-2x+10\\\$. Best\u00e4m \\\$f'(4)\\\$`,\n svar: `\\\$f'(4)=-1\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d73\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=e^{h(x)}\\\$. Funktionen \\\$h(x)\\\$ har en tangent \\\$y=3x-2\\\$ i \\\$x=1\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r tangenten som tangerar \\\$f(x)\\\$ i \\\$x=1\\\$`,\n svar: `\\\$y=3ex-2e\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d74\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=4sin^2xcos^2x\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=4cos(2x)sin(2x)=2sin(4x)\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d75\"\n },\n {\n fraga: `Funktionen \\\$f(x)=ax^2+bx-sin3x\\\$ har ett lokalt minimun i \\\$x=0\\\$. Best\u00e4m de t\u00e4nkbara v\u00e4rdena p\u00e5 konstanterna \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$`,\n svar: `\\\$b=3\\\$ och \\\$a<0\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d76\"\n },\n {\n fraga: ` a) Visa att funktionen \\\$f(x)=x^3\\\\cdot e^{-x}\\\$ har en extrempunkt i \\\$x=3\\\$ <\/p> b) Unders\u00f6k om funktionen \\\$g(x)=x^n \\\\cdot e^{-x}\\\$ alltid har en extrempunkt i \\\$x=n\\\$`,\n svar: `a) Derivera funktionen och s\u00e4tt \\\$f'(x)=0\\\$ l\u00f6s ekvationen och visa att en av l\u00f6sningarna alltid \u00e4r \\\$x=3\\\$. b) G\u00f6r som a) fast det generella fallet. `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,3,1],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d77\"\n },\n {\n fraga: ` \tI en Jidesj\u00f6n finns det tv\u00e5 olika typer av fiskar. Finfisk och Godfisk. Under de senaste 20 \u00e5ren har respektive fisksort g\u00e5tt upp och ner enligt funktionerna nedan. <\/p> \n\nFinfisk: \\\$F(t)=500+200sin(\\\\frac{\\\\pi t}{6})\\\$) <\/p> \nGodfisk: \\\$G(t)=800+100cos(\\\\frac{\\\\pi t}{6})\\\$ <\/p> \n\n\ta) Vilket\/vilka \u00e5r \u00f6kade den totala populationen av fisk med i sj\u00f6n med 50 individer\/\u00e5r <\/p> \n\n\tb) Mellan vilka \u00e5r minskade den totala populationen av fiskar i sj\u00f6n?\n`,\n svar: `a) F\u00f6rsta, nionde och trettonde \u00e5ret (\\\$x=1,3\\\$ och \\\$x=9\\\$ och \\\$x=13,3\\\$) b) \\\$2,1 < x < 8,1\\\$ och \\\$14,1 < x < 20\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d78\"\n },\n {\n fraga: `Funktionen \\\$f(x) = x(12 \u2212 ln x)\\\$ har enbart en extrempunkt som \u00e4r en \nmaximipunkt. Best\u00e4m koordinaterna f\u00f6r den maximipunkten.`,\n svar: `\\\$(e^{11},e^{11})\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d79\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x) = cos^2x\\\$ och\n\\\$g(x) = sin^2x\\\$. Mellan graferna placeras en rektangel \\\$R\\\$ som avgr\u00e4nsas\nav den positiva y-axeln och graferna till funktionerna. Best\u00e4m den\nmaximala omkretsen som rektangeln \\\$R\\\$ kan anta. Svara exakt <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/09\/Skarmavbild-2026-09-05-kl.-11.11.16.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Maximala omkretsen \u00e4r \\\$\\\\sqrt3+\\\\frac{\\\\pi}{6}\\\$ l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d80\"\n },\n {\n fraga: `Vid en specifik tidpunkt \u00f6kar arean p\u00e5 en cirkel med 3,5 \\\$cm^2\\\$\/minut\nsamtidigt som radien \u00f6kar med 0,4 cm\/minut. Best\u00e4m arean f\u00f6r cirkeln vid den tidpunkten, svara med en decimal.`,\n svar: `6,1 \\\$cm^2\\\$`,\n niva: \"A\",\n digital: true, \n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d81\"\n },\n {\n fraga: `Vilken av f\u00f6ljande grafer kan representera funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{x-7}+2x\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/09\/Skarmavbild-2026-09-05-kl.-11.26.54.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `A`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"analysgraf\"],\n kod: \"d82\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$f'(2)\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=e^{sinx}\\\$ med hj\u00e4lp av ditt digitala hj\u00e4lpmedel.`,\n svar: `\\\$f'(2)=-1,03\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d83\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=ln(\\\\sqrt{x})\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{1}{2x}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d84\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x) = g(\ufe02h(x))\\\$\ufe02. Du vet att<\/p>\n\n<ul>\n <li>Funktionen \\\$h(x)\\\$ har en tangent i \\\$(2, 5)\\\$ som har ekvationen\n\\\$y = 3x \u2212 1\\\$<\/li>\n <li>\\Funktionen \\\$g(x)\\\$ har en tangent i \\\$(5, 8)\\\$ som har ekvationen\n\\\$y = \u22122x + 18\\\$<\/li>\n<\/ul>\n\nBest\u00e4m ekvationen f\u00f6r den tangent som tangerar \\\$f(x)\\\$ i \\\$x = 2\\\$`,\n svar: `\\\$y=-6x+20\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d85\"\n }\n ],\n\n integraler: [\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{2\\\\pi} sinx \\\\: dx\\\$.`,\n svar: `0`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i1\"\n }, \n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{2}} sin2x \\\\: dx\\\$.`,\n svar: `1`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i2\"\n }, \n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{1}^{e} \\\\frac{1}{x} \\\\: dx\\\$.`,\n svar: `1`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i3\"\n }, \n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{-1}^{1} e^{x^2} \\\\: dx\\\$. Svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar: `2,93`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n digital: \"true\",\n kod: \"i4\"\n }, \n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\int_{0}^{t} cosx \\\\: dx=0\\\$. Algebraiska och grafiska motiveringar godtas.`,\n svar: `\\\$t=\\\\pi \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i5\"\n }, \n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga t\u00e4nkbara v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$k\\\$ f\u00f6r att f\u00f6ljande likhet ska st\u00e4mma \\\$\\\\int_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{2}} k\\\\cdot coskx \\\\: dx=1\\\$.`,\n svar: `\\\$k=1 + 4\\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i6\"\n }, \n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen med ditt digitala hj\u00e4lpmedel \\\$\\\\int_{0}^{\\\\pi} sin^2x \\\\: dx\\\$.`,\n svar: `1,57`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n digital: \"true\",\n kod: \"i7\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{2\\\\pi} sin^3x dx\\\$.`,\n svar: `0, se l\u00f6sningsf\u00f6rslag f\u00f6r motivering`,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-16-074656.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i8\"\n },\n {\n fraga: `Joakim vill att integralen \\\$\\\\int_{a}^{b} sinx+c \\\\: dx\\\$ ska vara st\u00f6rre eller lika med noll. F\u00f6r vilka v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$c\\\$.`,\n svar: `\\\$1 \\\\le a\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i9\"\n },\n {\n fraga: ` Ber\u00e4kna f\u00f6ljande integraluttryck med hj\u00e4lp av graferna nedan. <\/p> \\\$\\\\int_{0}^{1} f'(x)g(x) \\\\: dx + \\\\int_{0}^{1} f(x)g'(x) \\\\: dx\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-22-kl.-21.07.03.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `4`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i10\"\n },\n {\n fraga: `Nedanf\u00f6r visas graferna till de\nprimitiva funktionerna till \\\$f(x)\\\$ och\n\\\$g(x)\\\$. Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 integralen \\\$\\\\int_{0}^{2} f(G(x))g(x) \\\\: dx \\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-22-kl.-21.22.21.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `2`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i11\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du tv\u00e5 funktioner \\\$f(x)\\\$ och\n\\\$g(x)\\\$ och en avgr\u00e4nsad area som \u00e4r\n25 areaenheter. Du vet att \\\$\\\\int_{0}^{a} f(x) \\\\: dx=18 \\\$ Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 integralen \\\$\\\\int_{0}^{a} g(x) \\\\: dx\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-22-kl.-21.24.18.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `-7`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i12\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du tv\u00e5 funktioner \\\$f(x)=e^{\\\\frac{x}{2}}\\\$ och\n\\\$g(x)=lnx\\\$ och en avgr\u00e4nsad area. Best\u00e4m arean f\u00f6r den arean. Svara med tv\u00e5 decimaler. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-22-kl.-21.32.25.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `4,37 a.e`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i13\",\n digital: true\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{\\\\pi} sin^2x \\\\: dx\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{\\\\pi}{2}. Tips skriv om funktionsuttrycket med trigonometriska identiteter`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i14\"\n },\n {\n fraga: ` a) Ber\u00e4kna integralen \\\\(\\\\int_{1}^{e} \\\\frac{4}{3x} \\\\: dx\\\$. <\/p> b) Visa att integralens v\u00e4rde alltid kommer vara \\\$a\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande integral \\\$\\\\int_{1}^{e} \\\\frac{a}{x} \\\\: dx\\\$`,\n svar: `a) \\\$\\\\frac{4}{3}\\\$ b) Ber\u00e4kna integraluttrycket och visa att uttrycket alltid blir \\\$a\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i15\"\n },\n {\n fraga: `Nedanf\u00f6r visas graferna \\\$f(x)=sinx\\\$ och\n\\\$g(x)=cosx\\\$ och en sk\u00e4rningspunkt till graferna. Best\u00e4m arean av den markerade arean, svara exakt. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-23-kl.-15.31.12.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\\frac{2-\\\\sqrt2}{sqrt2}`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i16\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du tv\u00e5 funktioner d\u00e4r den ena \u00e4r en derivatafunktion och den andra\nursprungsfunktionen. Best\u00e4m den gr\u00f6na arean. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-23-kl.-15.38.24.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `2 a.e`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i17\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du funktionerna \\\$f(x)=sinx+ax\\\$ och \\\$g(x)=ax\\\$ d\u00e4r \\\$a > 0\\\$. Visa att den\nbl\u00e5markerade arean \u00e4r konstant oavsett v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-23-kl.-15.41.12.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `S\u00e4tt in funktionerna i en integral med den f\u00f6rsta sk\u00e4rningspunkterna d\u00e5 \\\$x>0\\\$. Visa sedan att den bl\u00e5markerade \u00e4r oberoende av \\\$a\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i18\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{4}} 4cos2x \\\\: dx\\\$`,\n svar: `2`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i19\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{1} xe^x+e^x \\\\: dx\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `e`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i20\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{2}} cosx \\\\: dx\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `1`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i21\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{4}} 3cos2x \\\\: dx\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i22\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m 2 olika v\u00e4rden p\u00e5 \\\$a\\\$ d\u00e4r \\\$a \\\\neq 0 \\\$ d\u00e4r du f\u00e5r f\u00f6ljande likhet \\\$\\\\int_{0}^{a} sinx \\\\: dx=0\\\$.`,\n svar: `Till exempel \\\$2\\\\pi\\\$ och \\\$4\\\\pi\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i23\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga primitiva funktioner till \\\$f(x)=2cosx\\\$`,\n svar: `\\\$F(x)=2sinx+C\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i24\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga primitiva funktioner till \\\$f(x)=cos2x\\\$`,\n svar: `\\\$F(x)=\\\\frac{sin2x}{2}+C\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i25\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga primitiva funktioner till \\\$f(x)=sinx+2x\\\$`,\n svar: `\\\$F(x)=-cosx+x^2+C\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i26\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m den primitiva funktion till \\\$f(x)=2cos2x\\\$ som uppfyller kravet \\\$F(\\\\pi)=4\\\$`,\n svar: `\\\$F(x)=sin2x+4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i27\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga primitiva funktioner till \\\$f(x)=sin^2xcos^2x\\\$`,\n svar: `\\\$F(x)=\\\\frac{x}{8}-\\\\frac{sin4x}{32}+C\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i28\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga primitiva funktioner till \\\$f(x)=cos2x+e^{2x}\\\$`,\n svar: `\\\$F(x)=\\\\frac{sin2x}{2}+\\\\frac{e^{2x}{2}+C\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i29\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integraluttrycket \\\$\\\\int_{0}^{\\\\pi} sinxcos^2x \\\\: dx + \\\\int_{0}^{\\\\pi} sin^3x \\\\: dx\\\$.`,\n svar: `2`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i30\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integraluttrycket \\\$\\\\int_{0}^{e} xsin^2x \\\\: dx + \\\\int_{0}^{e} xcos^2x \\\\: dx \\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{e^2}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i31\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga primitiva funktioner till f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=cos2xsinx+cosxsin2x\\\$`,\n svar: `\\\$F(x)=\\\\frac{-cos3x}{3}+C\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i32\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integraluttrycket \\\$\\\\int_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{4}} tan^2x \\\\: dx \\\$.`,\n svar: `\\\$1-\\\\frac{\\\\pi}{4}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i33\"\n },\n {\n fraga: ` Visa att f\u00f6ljande integraluttryck \u00e4r konstant oavsett v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ <\/p> \\\$\\\\int_{a}^{5a} \\\\frac{1}{x} \\\\: dx \\\$.`,\n svar: `Integraluttrycket har det konstanta v\u00e4rdet \\\$ln5\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i34\"\n },\n {\n fraga: `\tNedan ser du grafen till funktionen\n\\\$f(x)=asinx\\\$ och en linje som\ntangerar funktionens maximipunkt. \nTv\u00e5 areor \u00e4r definierade som \\\$A_1\\\$ och \\\$A_2\\\$. \nF\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$x\\\$ f\u00e5r vi likheten <\/p> \\\$\\\\frac{A_1}{A_2}=2\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/Skarmbild-2026-08-13-124420.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">\n`,\n svar: `\\\$x=0,69\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i35\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integraluttrycket \\\$\\\\int_{0}^{1} e^xsin^2x \\\\: dx + \\\\int_{0}^{1} e^xcos^2x \\\\: dx \\\$.`,\n svar: `\\\$e-1\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i36\"\n }\n ],\n\n tillampintegral: [\n {\n fraga: `Joakimtremonie \u00e4r en bakterie som f\u00f6rekommer i sushi. Den kan vara mycket farlig\noch d\u00e4rf\u00f6r vill man inte att bakterieantalet ska \u00f6verstiga 100 000 i en sushi. Joakim har\ni sitt labb unders\u00f6kt olika sushi och kommit fram till att de flesta har 1000 bakterier i\nsig fr\u00e5n b\u00f6rjan n\u00e4r de serveras och sedan \u00f6kar bakterieantalet med hastigheten \\\$v(t)=64,5e^{0,215t}\\\$ d\u00e4r \ud835\udc61 \u00e4r antalet minuter efter servering. Efter hur m\u00e5nga minuter \u00e4r inte\nsushin l\u00e4ngre \u00e4tbar enligt modellen?`,\n svar: \"Ungef\u00e4r 27 minuter\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"integralproblem\"],\n kod: \"b1\"\n },\n {\n fraga: `En tom tunna fylls med vatten med en hastighet \\\$cm^3\\\$\n\/minut som g\u00e5r att beskriva med\nfunktionen \\\$f(x)=2cos(\\\\frac{\\\\pi x}{30})+3\\\$ d\u00e4r \\\$x\\\$ \u00e4r antalet minuter. Samtidigt l\u00e4mnar vatten\ntunnan med en konstant hastighet p\u00e5 1,5 \\\$cm^3\\\$\n\/minut. Hur m\u00e5nga \\\$cm^3\\\$ har tunnan i sig\nefter 1 timme?`,\n svar: \"Ungef\u00e4r 90 \\\$cm^3\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"integralproblem\"],\n kod: \"b2\"\n },\n {\n fraga: `I ett samh\u00e4lle kan f\u00f6rdelningen av \u00e5ldrar beskrivas med t\u00e4thetsfunktionen nedan. Man\nvet att den \u00e4ldsta personer i samh\u00e4llet \u00e4r 100 \u00e5r gammal.<\/p> \na) Best\u00e4m t\u00e4thetsfunktions ekvation. <\/p>\nb) Vad \u00e4r sannolikheten att man v\u00e4ljer tre slumpm\u00e4ssigt valda personer som \u00e4r \u00f6ver 80\n\u00e5r? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-23-kl.-17.13.53.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: \"a) \\\$f(x)=\\\\frac{-x}{500}+\\\\frac{1}{50}\\\$ b) 0,000064\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"normal\"],\n kod: \"b3\"\n },\n {\n fraga: `Ett omr\u00e5de begr\u00e4nsas av kurvan \\\$y=x^2-4\\\$och linjen \\\$y=5\\\$. Best\u00e4m volymen som\nbildas n\u00e4r detta omr\u00e5de roterar runt linjen \\\$y=5\\\$`,\n svar: \"814 volymenheter\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b4\"\n },\n {\n fraga: `Visa med hj\u00e4lp av rotationsvolymer att volymen av en kon \u00e4r \\\$V=\\\\frac{\\\\pi r^2 h}{3}\\\$`,\n svar: \"S\u00e4tt upp ett integraluttryck f\u00f6r volymen med hj\u00e4lp av en r\u00e4t linje. Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-23-kl.-17.28.19.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b5\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har designat ett glas som har modellen ungef\u00e4r som visas nedan. Glaset rymmer 300 \\\$cm^3\\\$ och dess cirkul\u00e4ra botten har en diameter som \u00e4r 6 cm.\nBest\u00e4m diametern p\u00e5 \u00f6ppningen om h\u00f6jden p\u00e5 glaset \u00e4r 10 cm. Svara med en\ndecimal. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-23-kl.-17.34.34.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: \"6,8 cm\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-23-kl.-17.35.50.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b6\"\n },\n {\n fraga: ` Joakim har designat ett vinglas. Ytterkanten\ntill vinglaset g\u00e5r att beskriva med\nfunktionen \\\$f(x)=a \\\\cdot sin(0,16x)\\\$ d\u00e4r \\\$a\\\$ \u00e4r\nen konstant. \\\$x\\\$ avger h\u00f6jden i glaset och \\\$y\\\$ \u00e4r\nbredden p\u00e5 glaset fr\u00e5n mitten med samtliga\nstr\u00e4ckor i cm (se bilden till nedanf\u00f6r). Om man\nskulle rotera funktionen \\\$f(x)\\\$ runt \\\$x\\\$-axeln\nskulle vinglasets design uppst\u00e5. Joakim vill\natt h\u00f6jden p\u00e5 glaset ska vara 13 cm och\nglaset ska rymma 250 \\\$cm^3\\\$ <\/p> a) Anv\u00e4nd funktionen f\u00f6r att best\u00e4mma glasets st\u00f6rsta bredd? <\/p>\nb) En restaurang \u00e4r intresserade att k\u00f6pa in glaset och vill veta hur h\u00f6gt upp i glaset man\nska fylla f\u00f6r att det ska vara fyllt till 70%. Hj\u00e4lp restaurangen!\n. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-23-kl.-21.40.07.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: \"a) Bredden \u00e4r 8,2 cm b) Ungef\u00e4r 10,9 cm.\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,3],\n digital: true,\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b7\"\n },\n {\n fraga: `Grafen till funktionen \\\$f(x)=x^2\\\$ roteras runt \\\$x\\\$-axeln i intervallet \\\$x=0\\\$ till \\\$x=2\\\$. Best\u00e4m volymen f\u00f6r kroppen som uppst\u00e5r. Svara exakt`,\n svar: \"\\\$\\\\frac{32pi}{5} volymenheter\",\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b8\"\n },\n {\n fraga: `Grafen till funktionen \\\\(f(x)=e^x\\\$ roteras runt \\\$x\\\$-axeln i intervallet \\\$x=0\\\$ till \\\$x=1\\\$. Best\u00e4m volymen f\u00f6r kroppen som uppst\u00e5r. Svara exakt`,\n svar: \"\\\$\\\\pi \\\\cdot \\\\frac{e^2-1}{2}\\\$ volymenheter\",\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b9\"\n },\n {\n fraga: `Grafen till funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{\\\\sqrt{x}}\\\$ roteras runt \\\$x\\\$-axeln i intervallet \\\$x=1\\\$ till \\\$x=e\\\$. Best\u00e4m volymen f\u00f6r kroppen som uppst\u00e5r. Svara exakt`,\n svar: \"\\\$\\\\pi\\\$ volymenheter\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b10\"\n },\n {\n fraga: ` Under en sn\u00f6ig dag i Lund faller det sn\u00f6 med en hastighet \\\$S(t)\\\$ cm\/timme enligt\nfunktionen d\u00e4r \\\$t\\\$ \u00e4r timmar fr\u00e5n kl.12.00 <\/p> \\\$S(t)=4+2sin(\\\\frac{\\\\pi t}{6}) \\\\cdot e^{-0,1t}\\\$ <\/p> a) Hur m\u00e5nga timmar efter 12.00 sn\u00f6ar det som mest? Endast svar kr\u00e4vs. <\/p>\nb) Hur m\u00e5nga cm sn\u00f6ar det totalt mellan klockan 12:00 och 18:00?`,\n svar: \"a) 2,63 timmar efter 12.00 b) 29,7 cm.\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"integralproblem\"],\n kod: \"b11\"\n },\n {\n fraga: `Grafen till funktionen \\\$f(x)=x^2\\\$ roteras runt \\\$y\\\$-axeln. i intervallet \\\$y=1\\\$ och \\\$y=3\\\$. Best\u00e4m volymen av den kropp som uppst\u00e5r. `,\n svar: \"\\\$4\\\\pi\\\$ volymenheter\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b12\"\n },\n {\n fraga: `Betrakta funktionen \\\$y=ax^2\\\$\n, \\\$0 \\\\leq x \\\\leq a\\\$, d\u00e4r \\\$a > 0\\\$ \u00e4r en konstant. Om grafen till funktionen\nroterar runt x-axeln respektive y-axeln skapas tv\u00e5 olika rotationskroppar. Det finns ett v\u00e4rde p\u00e5\n\\\$a\\\$ s\u00e5 att de b\u00e5da kropparna f\u00e5r samma volym. Best\u00e4m detta \\\$a\\\$.`,\n svar: \"\\\$a=\\\\sqrt{\\\\frac{5}{2}}=\\\\frac{sqrt{10}}{2}\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b13\"\n },\n {\n fraga: `Grafen till funktionen \\\$f(x)=\\\\sqrt{x}\\\$ roteras runt \\\$y\\\$-axeln. i intervallet \\\$y=1\\\$ och \\\$y=3\\\$. Best\u00e4m volymen av den kropp som uppst\u00e5r. `,\n svar: \"\\\$\\\\frac{242\\\\pi}{5}\\\$ volymenheter\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b14\"\n },\n {\n fraga: `Ett omr\u00e5de begr\u00e4nsas av grafen till funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{\\\\sqrt{x}}\\\$ och intevallet \\\$1 \\\\leq x \\\\leq 9\\\$. Detta omr\u00e5de roteras runt \\\$x\\\$-axeln och skapar en rotationskropp \\\$R\\\$. F\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ konstrueras en rotationskropp f\u00f6r intervallet \\\$1 \\\\leq x \\\\leq a\\\$ som f\u00e5r volymen \\\$\\\\frac{R}{2}\\\$? Svara exakt.`,\n svar: \"\\\$a=3\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b15\"\n },\n {\n fraga: `Grafen till funktionen \\\$f(x)=x^2\\\$ roteras kring \\\$x\\\$-axeln i intervallet \\\$0 \\\\leq x \\\\leq 2\\\$. Best\u00e4m volymen f\u00f6r den rotationsvolymen.`,\n svar: \"\\\$\\\\frac{32\\\\pi}{5}\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b16\"\n }\n ],\n\n komplex: [\n {\n fraga: `Vi definierar de komplexa talen \\\$z_1=3+2i\\\$ och \\\$z_2=-3+4i\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p>\n a) \\\$Re(z_1)\\\$ <\/p> b) \\\$z_1+z_2\\\$ <\/p> c) \\\$\\\\mid z_2 \\\\mid \\\$`,\n svar: \"a) \\\$Re(z_1)=3\\\$ b) \\\$6i\\\$ c)\\\$\\\\mid z_2 \\\\mid =5 \\\$ \",\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k1\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar det komplexa talet \\\$z=4(cos(\\\\frac{\\\\pi}{4})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{4}))\\\$ Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p>\n a) \\\$arg(z)\\\$ <\/p> b) \\\$\\\\mid z \\\\mid \\\$`,\n svar: \"a) \\\$arg(z)=\\\\frac{\\\\pi}{4}\\\$ b) \\\$\\\\mid z \\\\mid =4 \\\$ \",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k2\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar det komplexa talet \\\$z=2(cos(\\\\frac{\\\\pi}{3})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{3}))\\\$ Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p>\n a) \\\$arg(z)\\\$ <\/p> b) \\\$\\\\mid z \\\\mid \\\$ <\/p> c) \\\$z^5\\\$`,\n svar: \"a) \\\$arg(z)=\\\\frac{\\\\pi}{3}\\\$ b) \\\$\\\\mid z \\\\mid =2 \\\$ c) \\\$z^5=32(cos(\\\\frac{5\\\\pi}{3})+isin(\\\\frac{5\\\\pi}{3}))\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k3\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande komplexa tal \\\$z=1+\\\\sqrt3i\\\$ p\u00e5 pol\u00e4r form `,\n svar: \"\\\$z=2(cos(\\\\frac{\\\\pi}{3})+i sin(\\\\frac{\\\\pi}{3}))\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k4\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande komplexa tal \\\$z=\\\\sqrt{5}e^{\\\\frac{5\\\\pi}{12}i}\\\$ p\u00e5 pol\u00e4r form `,\n svar: \"\\\$z=\\\\sqrt{5}(cos(\\\\frac{5\\\\pi}{12})+isin(\\\\frac{5\\\\pi}{12}))\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k5\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r ett komplext tal \\\$z\\\$ vet du f\u00f6ljande \\\$z+i+4=7i-2\\\$`,\n svar: \"\\\$z=6i-6\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k6\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$\\\\mid z \\\\mid\\\$ f\u00f6r \\\$z=2(cos(\\\\frac{\\\\pi}{3})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{6}))\\\$`,\n svar: \"\\\$\\\\mid z \\\\mid = \\\\sqrt2\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k6\"\n },\n {\n fraga: `Visa att \\\\(arg(\\\\frac{1}{z})=-arg(z)\\\$`,\n svar: \"Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-073657.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k7\"\n },\n {\n fraga: `Visa att \\\$z\\\\cdot \\\\bar{z} = \\\\mid z \\\\mid^2\\\$`,\n svar: \"Se l\u00f6sningsf\u00f6rlag\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-075631.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k8\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar det komplexa talet \\\$z=6+8i\\\$ Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) \\\$\\\\bar{z}\\\$ <\/p> b) \\\$\\\\mid z \\\\mid\\\$ `,\n svar: \"a) \\\$6-8i\\\$ b) 10\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k9\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m talet \\\$z\\\$ om f\u00f6ljande likhet g\u00e4ller \\\$z(1+i)+i=1+4i\\\$ `,\n svar: \"\\\$z=2+i\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k10\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$z\\\\cdot (cos(30^{\\\\circ})+isin(30^{\\\\circ}))=i\\\$ `,\n svar: \"\\\$z=cos(60^{\\\\circ})+isin(60^{\\\\circ})\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k11\"\n },\n {\n fraga: `Cosinus g\u00e5r att definiera p\u00e5 flera olika s\u00e4tt. Visa att man kan definiera cosv med hj\u00e4lp av komplexa tal med hj\u00e4lp av f\u00f6ljande likhet \\\$cosv=\\\\frac{e^{vi}+e^{-vi}}{2}\\\$ `,\n svar: \"Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-085646.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k12\"\n },\n {\n fraga: `Skriv det komplexa talet \\\$z=1-\\\\sqrt3i\\\$ p\u00e5 exponentialform `,\n svar: \"\\\$z=2e^{-\\\\frac{\\\\pi}{3}i}\\\$ eller \\\$z=2e^{\\\\frac{5\\\\pi}{3}i}\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k13\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-4x+5=0\\\$`,\n svar: \"\\\$x=2\\\\pm i\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k14\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$z^3=-1\\\$ fullst\u00e4ndigt.`,\n svar: \" \\\$z_1=cos(\\\\frac{\\\\pi}{3})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{3})\\\$ <\/p> \\\$z_2=cos(\\\\pi)+isin(\\\\pi)\\\$ <\/p> \\\$z_3=cos(\\\\frac{5\\\\pi}{3})+isin(\\\\frac{5\\\\pi}{3})\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-090412.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k15\"\n },\n {\n fraga: `Visa att om man multiplicerar ett komplext tal med dess konjugat f\u00e5r man alltid ett reellt tal.`,\n svar: \"Skriv upp \\\$z=a+bi\\\$ och \\\$\\\\bar{z}=a-bi\\\$. Multiplicera sedan talen och visa att vi f\u00e5r \\\$a^2+b^2\\\$ som alltid \u00e4r reellt.\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k16\"\n },\n {\n fraga: ` Visa att \\\$(cos(\\\\frac{\\\\pi}{3})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{3}))^6=1\\\$`,\n svar: \"Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-091656.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k17\"\n },\n {\n fraga: ` F\u00f6r vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$k\\\$ blir f\u00f6ljande uttryck reellt?<\/p> \\\$(cos(\\\\frac{\\\\pi}{3})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{3}))^k\\\$`,\n svar: \"\\\$k=6\\\\cdot n\\\$ eller \\\$k=3+6\\\\cdot n\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-091712.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k18\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar de komplexa talen \\\$z_1=2(cos(\\\\frac{\\\\pi}{3})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{3}))\\\$ och \\\$z_2=4(cos(\\\\frac{\\\\pi}{2})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{2}))\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) \\\$z_1 \\\\cdot z_2\\\$ <\/p> \\\$\\\\frac{z_2}{z_1}\\\$`,\n svar: \"a) \\\$z_1 \\\\cdot z_2=8(cos(\\\\frac{5\\\\pi}{6})+isin(\\\\frac{5\\\\pi}{6}))\\\$ b) \\\$2(cos(\\\\frac{\\\\pi}{6})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{6}))\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [4,0,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k19\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$(1+i)^6\\\$ p\u00e5 valfri form`,\n svar: \"\\\$(1+i)^6=8(cos(\\\\frac{3\\\\pi}{2})+isin(\\\\frac{3\\\\pi}{2}))=8e^{\\\\frac{3\\\\pi}{2}}\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k20\"\n },\n {\n fraga: `Visa att \\\$i^i\\\$ \u00e4r ett reellt tal`,\n svar: \"Tips: Skriv om \\\$i=e^{\\\\frac{\\\\pi}{2}i}\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k21\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$\\\\mid z \\\\mid\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande komplexa tal \\\$z=2isin(\\\\frac{\\\\pi}{2})+cos(\\\\frac{\\\\pi}{2})+i+1\\\$`,\n svar: \"\\\$\\\\mid z \\\\mid=5\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k22\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$\\\\mid z \\\\mid\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande komplexa tal \\\$z=(\\\\frac{1}{2}+\\\\frac{\\\\sqrt3i}{2})^{100}\\\$`,\n svar: \"\\\$\\\\mid z \\\\mid=1\\\$ Tips: Skriv om \",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k23\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en av l\u00f6sningarna till ekvationen \\\$z^{36}=a\\\$ i det komplexa talplanet, d\u00e4r \ud835\udc4e\n\u00e4r n\u00e5got komplext tal. Best\u00e4m hur m\u00e5nga l\u00f6sningar till ekvationen som ligger i\nintervallet \\\$100^{\\\\circ} < arg(z) < 130^{\\\\circ}\\\$. Motivera. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-094320.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: \"3 st. \\\$102^{\\\\circ}, 112^{\\\\circ}, 122^{\\\\circ}\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-094344.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k24\"\n },\n {\n fraga: `Joakim definierar f\u00f6ljande komplexa tal \\\$z=cos(\\\\frac{\\\\pi}{2})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{2})\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) \\\$arg(z)\\\$ <\/p> b) Joakim menar att \\\$z^{25}=z\\\$ unders\u00f6k om han har r\u00e4tt.`,\n svar: \"a) \\\$arg(z)=\\\\frac{\\\\pi}{2} b) Det st\u00e4mmer. \",\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n losningsforslag:`<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-095341.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k25\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\\((2+i)(1-i)\\\$`,\n svar: \"\\\$3-i\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k26\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar f\u00f6ljande komplexa tal \\\$z=4e^{\\\\frac{4\\\\pi}{3}i}\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) \\\$\\\\mid z \\\\mid \\\$ <\/p> b) \\\$arg(z)\\\$`,\n svar: \"a) \\\$\\\\mid z \\\\mid =4\\\$ b) \\\$arg(z)=\\\\frac{4\\\\pi}{3}\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k27\"\n },\n {\n fraga: `Som f\u00f6ljande uttryck som ett komplexa tal p\u00e5 formen \\\$z=a+bi\\\$ <\/p> \\\$\\\\frac{7-i}{3+i}\\\$ `,\n svar: \"\\\$2-i\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k28\"\n },\n {\n fraga: `Joakim p\u00e5st\u00e5r att om \\\$a\\\$ \u00e4r ett reellt tal st\u00f6rre \u00e4n 1 kommer \\\$a^i\\\$ alltid resultera i ett komplext tal. Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt.`,\n svar: \"Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag\",\n niva: \"A\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-101512.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n poang: [0,0,3],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k29\"\n },\n {\n fraga: `Joakim vill veta vilka komplexa tal som har f\u00f6ljande samband. Rita upp dem i det komplexa talplanet \\\$\\\\mid z+\\\\bar{z} \\\\mid =\\\\mid z-\\\\bar{z} \\\\mid\\\$`,\n svar: \"Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag\",\n niva: \"A\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-101832.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k30\"\n },\n {\n fraga: `Visa att \\\$z_2-z_1=0\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande komplexa tal \\\$z_1=1+i\\\$ och \\\$z_2=\\\\sqrt2(cos(\\\\frac{\\\\pi}{4})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{4}))\\\$`,\n svar: \"Skriv om d\u00e5 de komplexa talen \u00e4r p\u00e5 samma form och visa sedan att de \u00e4r samma.\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k31\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilka komplexa tal som f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer. Skriv det som ett f\u00f6renklat samband eller rita upp det i det komplexa talplanet \\\$\\\\mid z \\\\mid =Im(z)+1\\\$`,\n svar: \"Om det komplexa talet skrivs p\u00e5 formen \\\$z=a+bi\\\$ kommer f\u00f6ljande likhet g\u00e4lla de aktuella komplexa talen \\\$b=\\\\frac{a^2-1}{2}\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k32\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga komplexa tal \\\$z\\\$ d\u00e4r f\u00f6ljande kvot blir reell \\\$\\\\frac{z-2i}{z+2i}\\\$`,\n svar: \"Det komplexa talet \\\$z\\\$ f\u00e5r inte ha n\u00e5gon reell dvs. \\\$Re(z)=0\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k33\"\n },\n {\n fraga: ` Vi definierar det komplexa talet \\\$z=5-2i\\\$ Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) \\\$Im(z)\\\$<\/p> b) Best\u00e4m \\\$z^2\\\$ p\u00e5 formen \\\$z=a+bi\\\$`,\n svar: \"a) \\\$Im(z)=-2\\\$ b) \\\$z=21-20i\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k34\"\n }\n ],\n geogebra: [\n{\n fraga: `F\u00f6ljande funktion kan du inte derivera algebraiskt i den h\u00e4r kursen \\\$f(x)=x\\\\cdot e^x\\\$.<\/p> Best\u00e4m \\\$f'(1)\\\$ med hj\u00e4lp av geogebra, svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar: `\\\$f'(1)=5,43\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"geogebraderivata\"],\n kod: \"g1\"\n}\n ]\n }\n};\n\n\/\/ =================================================================\n\/\/ 2. KATEGORIER OCH DERAS VISNINGSNAMN\n\/\/ H\u00c4R L\u00c4GGER DU TILL NYA KATEGORINAMN EFTERHAND DU SKAPAR DEM\n\/\/ =================================================================\nconst kategoriNamn = {\n algebra: \"Algebra\",\n procent: \"Procent\",\n potenser: \"Potenser\",\n funktioner: \"Funktioner\",\n trigonometri: \"Trigonometri\",\n sannolikhet: \"Sannolikhet & Statistik\",\n problemlosning: \"Probleml\u00f6sning\",\n geogebra: \"GeoGebra\",\n vektorer: \"Vektorer\",\n problemlosningfunktioner: \"Probleml\u00f6sning funktioner\",\n logaritmer: \"Logaritmer\",\n geometri: \"Geometri\",\n statistik: \"Statistik\",\n derivata: \"Derivata\",\n problemlosningderivata: \"Probleml\u00f6sning derivata\",\n problemlosningintegral: \"Probleml\u00f6sning integraler\",\n integraler: \"Integraler\",\n trig: \"Trigonometriska ekvationer\/formler\",\n tillampintegral: \"Till\u00e4mpningar integraler\",\n komplex: \"Komplexa tal\/polynomekvationer\"\n};\n\n\n\/\/ =================================================================\n\/\/ 3. LOGIK & FUNKTIONALITET\n\/\/ =================================================================\nlet aktuelltProv = [];\n\nfunction getAktivKursKey() {\n return document.getElementById(\"courseSelect\").value;\n}\n\nfunction getAktivKursFragorObjekt() {\n const k = getAktivKursKey();\n return fragor[k] || {};\n}\n\nfunction init() {\n skapaKategoriKontroller();\n oppdateraTillgangligaCount();\n updateSummary();\n initModalCategoryOptions();\n}\n\nfunction onCourseChange() {\n resetTest();\n skapaKategoriKontroller();\n oppdateraTillgangligaCount();\n initModalCategoryOptions();\n}\n\nfunction initKaTeX() { typesetMath(); }\n\nfunction skapaKategoriKontroller() {\n const c = document.getElementById(\"categoryControls\");\n c.innerHTML = \"\";\n const kursFragor = getAktivKursFragorObjekt();\n\n const valdaKategorier = Object.keys(kursFragor);\n if (valdaKategorier.length === 0) {\n c.innerHTML = 'Inga kategorier inlagda f\u00f6r denna kurs \u00e4nnu.<\/span>';\n return;\n }\n\n valdaKategorier.forEach(k => {\n const count = Array.isArray(kursFragor[k]) ? kursFragor[k].length : 0;\n const label = document.createElement(\"label\");\n label.innerHTML = `<input type=\"checkbox\" class=\"category-checkbox\" value=\"${k}\" checked onchange=\"oppdateraTillgangligaCount()\">\n ${kategoriNamn[k] || k} (${count})`;\n c.appendChild(label);\n });\n}\n\nfunction getValdaKategorier() {\n return [...document.querySelectorAll(\".category-checkbox:checked\")].map(x => x.value);\n}\n\nfunction getAllaFragor() {\n const kursFragor = getAktivKursFragorObjekt();\n return Object.entries(kursFragor).flatMap(([kategori, lista]) =>\n (lista || []).map((q, index) => ({ ...q, _kategori: kategori, _originalIndex: index }))\n );\n}\n\nfunction getTillgangligaFragor(niva = null) {\n const kategorier = getValdaKategorier();\n const filterType = document.getElementById(\"digitalFilter\").value;\n\n return getAllaFragor().filter(q => {\n const matchCat = kategorier.includes(q._kategori);\n const matchLevel = niva ? q.niva === niva : true;\n let matchDigital = true;\n if (filterType === \"analogOnly\") matchDigital = !q.digital;\n if (filterType === \"digitalOnly\") matchDigital = !!q.digital;\n return matchCat && matchLevel && matchDigital;\n });\n}\n\nfunction oppdateraTillgangligaCount() {\n document.getElementById(\"availE\").textContent = getTillgangligaFragor(\"E\").length;\n document.getElementById(\"availC\").textContent = getTillgangligaFragor(\"C\").length;\n document.getElementById(\"availA\").textContent = getTillgangligaFragor(\"A\").length;\n}\n\nfunction shuffle(a) {\n const x = [...a];\n for (let i = x.length - 1; i > 0; i--) {\n const j = Math.floor(Math.random() * (i + 1));\n [x[i], x[j]] = [x[j], x[i]];\n }\n return x;\n}\n\nfunction poangTotalt(q) {\n return Array.isArray(q.poang) ? q.poang.reduce((a, b) => a + (Number(b) || 0), 0) : 0;\n}\n\nfunction nivaRank(n) { return { E: 0, C: 1, A: 2 }[n] ?? 99; }\n\nfunction sorteraProv(p) {\n const separate = document.getElementById(\"separateParts\").checked;\n const sortNiva = document.getElementById(\"sortLevels\").checked;\n\n return [...p].sort((a, b) => {\n if (separate) {\n const digA = a.digital ? 1 : 0;\n const digB = b.digital ? 1 : 0;\n if (digA !== digB) return digA - digB;\n }\n if (sortNiva) {\n const d = nivaRank(a.niva) - nivaRank(b.niva);\n if (d !== 0) return d;\n }\n return poangTotalt(a) - poangTotalt(b);\n });\n}\n\nfunction createTest() {\n const reqE = Math.max(0, Number(document.getElementById(\"countE\").value) || 0);\n const reqC = Math.max(0, Number(document.getElementById(\"countC\").value) || 0);\n const reqA = Math.max(0, Number(document.getElementById(\"countA\").value) || 0);\n\n if (!getValdaKategorier().length) { alert(\"V\u00e4lj minst en kategori.\"); return; }\n if (reqE + reqC + reqA === 0) { alert(\"V\u00e4lj minst 1 fr\u00e5ga totalt.\"); return; }\n\n const availE = getTillgangligaFragor(\"E\");\n const availC = getTillgangligaFragor(\"C\");\n const availA = getTillgangligaFragor(\"A\");\n\n const selectedE = shuffle(availE).slice(0, Math.min(reqE, availE.length));\n const selectedC = shuffle(availC).slice(0, Math.min(reqC, availC.length));\n const selectedA = shuffle(availA).slice(0, Math.min(reqA, availA.length));\n\n aktuelltProv = sorteraProv([...selectedE, ...selectedC, ...selectedA]);\n renderPreview();\n}\n\nfunction renderPreview() {\n const p = document.getElementById(\"preview\");\n if (!aktuelltProv.length) {\n p.innerHTML = '<div class=\"empty-state\">Inga fr\u00e5gor valda.<\/div>';\n updateSummary(); return;\n }\n\n const showPoints = document.getElementById(\"showPoints\").checked;\n p.innerHTML = aktuelltProv.map((q, i) => `\n <div class=\"question-card\">\n <div class=\"question-head\">\n <div class=\"question-number\">${i + 1}.<\/div>\n <div class=\"question-content\">\n <div class=\"question-text\">${q.fraga}<\/div>\n <div class=\"meta-tags\">\n Niv\u00e5 ${q.niva}<\/span>\n \n ${q.digital ? '\ud83d\udcbb Minir\u00e4knare' : '\u270f\ufe0f Utan minir\u00e4knare'}\n <\/span>\n ${showPoints ? `${poangStr(q)}<\/span>` : ''}\n ${q.kod ? `Kod: ${q.kod}<\/span>` : ''}\n <\/div>\n \n <div id=\"solution-${i}\" class=\"preview-solution\">\n Facit:<\/strong> ${q.svar || 'Inget facit angivet.'}\n ${q.losningsforslag ? `<div style=\"margin-top:6px;\">L\u00f6sning:<\/strong> ${q.losningsforslag}<\/div>` : ''}\n <\/div>\n <\/div>\n <div class=\"question-actions\">\n <button class=\"btn btn-secondary\" onclick=\"toggleSolution(${i})\" title=\"Visa\/d\u00f6lj facit\">\ud83d\udc41\ufe0f Facit<\/button>\n <button class=\"btn btn-secondary\" onclick=\"replaceQuestion(${i})\" title=\"Byt ut mot en annan fr\u00e5ga i samma kategori\/niv\u00e5\">\ud83d\udd04 Byt ut<\/button>\n <button class=\"btn btn-secondary\" onclick=\"moveQuestion(${i},-1)\">\u2191<\/button>\n <button class=\"btn btn-secondary\" onclick=\"moveQuestion(${i},1)\">\u2193<\/button>\n <button class=\"btn btn-danger\" onclick=\"removeQuestion(${i})\">\u2715<\/button>\n <\/div>\n <\/div>\n <\/div>`).join(\"\");\n\n typesetMath(p);\n updateSummary();\n}\n\nfunction toggleSolution(index) {\n const elem = document.getElementById(`solution-${index}`);\n if (elem) elem.classList.toggle(\"show\");\n}\n\nfunction poangStr(q) {\n if (!Array.isArray(q.poang)) return \"0 p\";\n const [e, c, a] = q.poang;\n return `(${e + c + a} p: ${e}\/${c}\/${a})`;\n}\n\nfunction typesetMath(elem = document.body) {\n if (window.renderMathInElement) {\n renderMathInElement(elem, {\n delimiters: [\n {left: '\\\$', right: '\\\$', display: false},\n {left: '\\\\[', right: '\\\\]', display: true},\n {left: '$', right: '$', display: false}\n ],\n throwOnError: false\n });\n }\n}\n\nfunction updateSummary() {\n let eTot = 0, cTot = 0, aTot = 0;\n aktuelltProv.forEach(q => {\n if (Array.isArray(q.poang)) {\n eTot += q.poang[0] || 0;\n cTot += q.poang[1] || 0;\n aTot += q.poang[2] || 0;\n }\n });\n document.getElementById(\"questionCountBadge\").textContent = `${aktuelltProv.length} fr\u00e5gor`;\n document.getElementById(\"pointCountBadge\").textContent = `Totalt: ${eTot+cTot+aTot} p (${eTot}E \/ ${cTot}C \/ ${aTot}A)`;\n}\n\nfunction removeQuestion(i) { aktuelltProv.splice(i, 1); renderPreview(); }\n\nfunction moveQuestion(i, d) {\n const j = i + d; if (j < 0 || j >= aktuelltProv.length) return;\n [aktuelltProv[i], aktuelltProv[j]] = [aktuelltProv[j], aktuelltProv[i]];\n renderPreview();\n}\n\nfunction replaceQuestion(index) {\n const nuvarandeFraga = aktuelltProv[index];\n const kategori = nuvarandeFraga._kategori;\n const niva = nuvarandeFraga.niva;\n const kursFragor = getAktivKursFragorObjekt();\n\n const tillgangligaIBanken = (kursFragor[kategori] || []).map((q, i) => ({\n ...q, _kategori: kategori, _originalIndex: i\n })).filter(q => q.niva === niva);\n\n const kandidater = tillgangligaIBanken.filter(q => \n !aktuelltProv.some(p => p.kod && q.kod && p.kod === q.kod)\n );\n\n if (kandidater.length === 0) {\n alert(`Det finns inga fler tillg\u00e4ngliga fr\u00e5gor p\u00e5 niv\u00e5 ${niva} inom kategorin \"${kategoriNamn[kategori] || kategori}\".`);\n return;\n }\n\n const slumpadIndex = Math.floor(Math.random() * kandidater.length);\n aktuelltProv[index] = kandidater[slumpadIndex];\n renderPreview();\n}\n\nfunction resetTest() {\n aktuelltProv = [];\n document.getElementById(\"preview\").innerHTML = '<div class=\"empty-state\">Inga fr\u00e5gor valda.<\/div>';\n updateSummary();\n}\n\n\/* MODAL LOGIK *\/\nfunction initModalCategoryOptions() {\n const sel = document.getElementById(\"modalCatFilter\");\n sel.innerHTML = '<option value=\"all\">Alla kategorier<\/option>';\n const kursFragor = getAktivKursFragorObjekt();\n\n Object.keys(kursFragor).forEach(k => {\n const opt = document.createElement(\"option\");\n opt.value = k;\n opt.textContent = kategoriNamn[k] || k;\n sel.appendChild(opt);\n });\n}\n\nfunction openAddModal() {\n document.getElementById(\"addModal\").style.display = \"flex\";\n filterModalQuestions();\n}\n\nfunction closeAddModal() {\n document.getElementById(\"addModal\").style.display = \"none\";\n}\n\nfunction filterModalQuestions() {\n const cat = document.getElementById(\"modalCatFilter\").value;\n const level = document.getElementById(\"modalLevelFilter\").value;\n const dig = document.getElementById(\"modalDigitalFilter\").value;\n\n const all = getAllaFragor();\n const listElem = document.getElementById(\"modalQuestionsList\");\n\n const filtered = all.filter(q => {\n if (aktuelltProv.some(p => p.kod && p.kod === q.kod)) return false;\n if (cat !== \"all\" && q._kategori !== cat) return false;\n if (level !== \"all\" && q.niva !== level) return false;\n if (dig === \"analog\" && q.digital) return false;\n if (dig === \"digital\" && !q.digital) return false;\n return true;\n });\n\n if (!filtered.length) {\n listElem.innerHTML = `<div style=\"text-align:center; padding:20px; color:#64748b;\">Inga tillg\u00e4ngliga fr\u00e5gor matchar din filtrering.<\/div>`;\n return;\n }\n\n listElem.innerHTML = filtered.map(q => `\n <div class=\"pick-list-item\">\n <div style=\"flex:1;\">\n <div style=\"font-size:13px; line-height:1.4;\">${q.fraga}<\/div>\n <div class=\"meta-tags\">\n Niv\u00e5 ${q.niva}<\/span>\n ${q.digital ? '\ud83d\udcbb Med' : '\u270f\ufe0f Utan'}<\/span>\n ${q.kod ? `Kod: ${q.kod}<\/span>` : ''}\n <\/div>\n <\/div>\n <button class=\"btn btn-primary\" style=\"padding:6px 12px; font-size:12px;\" onclick=\"addSingleQuestion('${q.kod}')\">+ L\u00e4gg till<\/button>\n <\/div>\n `).join(\"\");\n\n typesetMath(listElem);\n}\n\nfunction addSingleQuestion(kod) {\n const q = getAllaFragor().find(x => x.kod === kod);\n if (q) {\n aktuelltProv.push(q);\n aktuelltProv = sorteraProv(aktuelltProv);\n renderPreview();\n filterModalQuestions();\n }\n}\n\nfunction addByCode() {\n const input = document.getElementById(\"searchCodeInput\").value.trim().toLowerCase();\n if (!input) return;\n\n const found = getAllaFragor().find(q => q.kod && q.kod.toLowerCase() === input);\n if (!found) {\n alert(`Hittade ingen fr\u00e5ga med koden \"${input}\".`);\n return;\n }\n\n if (aktuelltProv.some(p => p.kod && p.kod.toLowerCase() === input)) {\n alert(`Fr\u00e5gan med koden \"${input}\" finns redan i provet.`);\n return;\n }\n\n aktuelltProv.push(found);\n aktuelltProv = sorteraProv(aktuelltProv);\n renderPreview();\n document.getElementById(\"searchCodeInput\").value = \"\";\n closeAddModal();\n}\n\n\/* UTSKRIFT \/ PDF GENERERING *\/\nfunction buildPrintContent() {\n const printArea = document.getElementById(\"printArea\");\n printArea.innerHTML = \"\";\n\n const title = document.getElementById(\"testTitle\").value.trim() || \"\";\n const questions = document.getElementById(\"pdfQuestions\").checked;\n const answers = document.getElementById(\"pdfAnswers\").checked;\n const solutions = document.getElementById(\"pdfSolutions\").checked;\n const points = document.getElementById(\"pdfPoints\").checked;\n const separate = document.getElementById(\"separateParts\").checked;\n\n if (questions) {\n const sec = document.createElement(\"section\");\n sec.innerHTML = `\n <div class=\"pdf-header\">\n ${title ? `<div class=\"pdf-title\">${title}<\/div>` : ''}\n <div class=\"pdf-info-grid\">\n <div>Elev:<\/strong> ____________________________________<\/div>\n <div>Datum:<\/strong> __________________<\/div>\n <\/div>\n <\/div>`;\n\n const analoge = aktuelltProv.filter(q => !q.digital);\n const digitale = aktuelltProv.filter(q => q.digital);\n\n const renderGroup = (group, headerText) => {\n if (!group.length) return;\n if (separate && headerText) {\n const h = document.createElement(\"div\");\n h.className = \"pdf-section-header\";\n h.innerHTML = headerText;\n sec.appendChild(h);\n }\n group.forEach(q => {\n const i = aktuelltProv.indexOf(q);\n const d = document.createElement(\"div\");\n d.className = \"pdf-question-item\";\n const poangText = points && Array.isArray(q.poang) ? `(${q.poang[0]}\/${q.poang[1]}\/${q.poang[2]})` : '';\n d.innerHTML = `<div class=\"pdf-q-head\">${i + 1}.<\/span>${poangText}<\/span><\/div><div>${q.fraga}<\/div>`;\n sec.appendChild(d);\n });\n };\n\n if (separate) {\n renderGroup(analoge, \"Del I \u2013 Utan minir\u00e4knare\");\n renderGroup(digitale, \"Del II \u2013 Med minir\u00e4knare\");\n } else {\n renderGroup(aktuelltProv, \"\");\n }\n printArea.appendChild(sec);\n }\n\n if (answers) {\n const sec = document.createElement(\"section\");\n if (questions) sec.className = \"pdf-page-break\";\n sec.innerHTML = `<div class=\"pdf-title\" style=\"font-size:18pt; border-bottom:1.5px solid #000; padding-bottom:6px; margin-bottom:16px;\">Facit ${title ? '\u2013 ' + title : ''}<\/div>`;\n aktuelltProv.forEach((q, i) => {\n const d = document.createElement(\"div\");\n d.className = \"pdf-answer-item\";\n d.innerHTML = `${i + 1}.<\/strong> ${q.svar || \"Inget facit angivet.\"}`;\n sec.appendChild(d);\n });\n printArea.appendChild(sec);\n }\n\n if (solutions) {\n const withSolutions = aktuelltProv.filter(q => q.losningsforslag);\n if (withSolutions.length) {\n const sec = document.createElement(\"section\");\n sec.className = \"pdf-page-break\";\n sec.innerHTML = `<div class=\"pdf-title\" style=\"font-size:18pt; border-bottom:1.5px solid #000; padding-bottom:6px; margin-bottom:16px;\">L\u00f6sningsf\u00f6rslag ${title ? '\u2013 ' + title : ''}<\/div>`;\n withSolutions.forEach(q => {\n const i = aktuelltProv.indexOf(q);\n const d = document.createElement(\"div\");\n d.className = \"pdf-solution-item\";\n d.innerHTML = `Uppgift ${i + 1}<\/strong> ${q.losningsforslag}`;\n sec.appendChild(d);\n });\n printArea.appendChild(sec);\n }\n }\n\n typesetMath(printArea);\n}\n\nfunction waitForImages(element) {\n const imgs = element.querySelectorAll(\"img\");\n const promises = Array.from(imgs).map(img => {\n if (img.complete) return Promise.resolve();\n return new Promise(resolve => {\n img.onload = resolve;\n img.onerror = resolve;\n });\n });\n return Promise.all(promises);\n}\n\nasync function printPDF() {\n if (!aktuelltProv.length) { alert(\"Skapa ett prov f\u00f6rst.\"); return; }\n \n const printArea = document.getElementById(\"printArea\");\n buildPrintContent();\n \n await waitForImages(printArea);\n setTimeout(() => {\n window.print();\n }, 150);\n}\n\ninit();\n<\/script>\n<\/body>\n<\/html>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Skapa \u00f6vningsprov \u2013 mahifi.se 1. V\u00e4lj kurs och inst\u00e4llningar f\u00f6r Mahifi:s \u00f6vningsprovsgenerator V\u00e4lj kurs: Matematik 1bMatematik 1cMatematik 2Matematik fort. 1Matematik 4 Kategorier Antal fr\u00e5gor per niv\u00e5 Niv\u00e5 E (0 st) Niv\u00e5 C (0 st) Niv\u00e5 A (0 st) Minir\u00e4knare & Struktur Minir\u00e4knartyp: Alla fr\u00e5gor (B\u00e5de med & utan)Endast utan minir\u00e4knareEndast med minir\u00e4knare Dela upp i […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"om_disable_all_campaigns":false,"_uag_custom_page_level_css":"","_monsterinsights_skip_tracking":false,"site-sidebar-layout":"no-sidebar","site-content-layout":"page-builder","ast-site-content-layout":"full-width-container","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"disabled","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"disabled","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"set","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"footnotes":""},"class_list":["post-44245","page","type-page","status-publish","hentry"],"aioseo_notices":[],"aioseo_head":"\n\t\t\n\t<meta name=\"description\" content=\"Skapa \u00f6vningsprov \u2013 mahifi.se 1. V\u00e4lj kurs och inst\u00e4llningar f\u00f6r Mahifi:s \u00f6vningsprovsgenerator V\u00e4lj kurs: Matematik 1b Matematik 1c Matematik 2 Matematik fort. 1 Matematik 4 Kategorier Antal fr\u00e5gor per niv\u00e5 Niv\u00e5 E (0 st) Niv\u00e5 C (0 st) Niv\u00e5 A (0 st) Minir\u00e4knare & Struktur Minir\u00e4knartyp: Alla fr\u00e5gor (B\u00e5de med & utan) Endast utan minir\u00e4knare\" \/>\n\t<meta name=\"robots\" content=\"max-image-preview:large\" \/>\n\t<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245\" \/>\n\t<meta name=\"generator\" content=\"All in One SEO (AIOSEO) 5.0.1.1\" \/>\n\t\t<meta property=\"og:locale\" content=\"sv_SE\" \/>\n\t\t<meta property=\"og:site_name\" content=\"Mahifi - Matematik, historia och filosofi\" \/>\n\t\t<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n\t\t<meta property=\"og:title\" content=\"\u00d6vningsprovsgenerator - Mahifi\" \/>\n\t\t<meta property=\"og:description\" content=\"Skapa \u00f6vningsprov \u2013 mahifi.se 1. V\u00e4lj kurs och inst\u00e4llningar f\u00f6r Mahifi:s \u00f6vningsprovsgenerator V\u00e4lj kurs: Matematik 1b Matematik 1c Matematik 2 Matematik fort. 1 Matematik 4 Kategorier Antal fr\u00e5gor per niv\u00e5 Niv\u00e5 E (0 st) Niv\u00e5 C (0 st) Niv\u00e5 A (0 st) Minir\u00e4knare & Struktur Minir\u00e4knartyp: Alla fr\u00e5gor (B\u00e5de med & utan) Endast utan minir\u00e4knare\" \/>\n\t\t<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245\" \/>\n\t\t<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/cropped-Ska\u0308rmavbild-2022-06-08-kl.-10.39.30.png\" \/>\n\t\t<meta property=\"og:image:secure_url\" content=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/cropped-Ska\u0308rmavbild-2022-06-08-kl.-10.39.30.png\" \/>\n\t\t<meta property=\"article:published_time\" content=\"2026-09-05T14:15:54+00:00\" \/>\n\t\t<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2026-09-06T08:49:37+00:00\" \/>\n\t\t<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary\" \/>\n\t\t<meta name=\"twitter:title\" content=\"\u00d6vningsprovsgenerator - Mahifi\" \/>\n\t\t<meta name=\"twitter:description\" content=\"Skapa \u00f6vningsprov \u2013 mahifi.se 1. V\u00e4lj kurs och inst\u00e4llningar f\u00f6r Mahifi:s \u00f6vningsprovsgenerator V\u00e4lj kurs: Matematik 1b Matematik 1c Matematik 2 Matematik fort. 1 Matematik 4 Kategorier Antal fr\u00e5gor per niv\u00e5 Niv\u00e5 E (0 st) Niv\u00e5 C (0 st) Niv\u00e5 A (0 st) Minir\u00e4knare & Struktur Minir\u00e4knartyp: Alla fr\u00e5gor (B\u00e5de med & utan) Endast utan minir\u00e4knare\" \/>\n\t\t<meta name=\"twitter:image\" content=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/cropped-Ska\u0308rmavbild-2022-06-08-kl.-10.39.30.png\" \/>\n\t\t<script type=\"application\/ld+json\" class=\"aioseo-schema\">\n\t\t\t{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/?page_id=44245#breadcrumblist\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se#listItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\",\"nextItem\":{\"@type\":\"ListItem\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/?page_id=44245#listItem\",\"name\":\"\\u00d6vningsprovsgenerator\"}},{\"@type\":\"ListItem\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/?page_id=44245#listItem\",\"position\":2,\"name\":\"\\u00d6vningsprovsgenerator\",\"previousItem\":{\"@type\":\"ListItem\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se#listItem\",\"name\":\"Home\"}}]},{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/#organization\",\"name\":\"mahifi.se\",\"description\":\"Matematik, historia och filosofi\",\"url\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/\",\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"url\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/06\\\/cropped-Ska\\u0308rmavbild-2022-06-08-kl.-10.39.30.png\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/?page_id=44245\\\/#organizationLogo\",\"width\":572,\"height\":620},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/?page_id=44245\\\/#organizationLogo\"}},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/?page_id=44245#webpage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/?page_id=44245\",\"name\":\"\\u00d6vningsprovsgenerator - Mahifi\",\"description\":\"Skapa \\u00f6vningsprov \\u2013 mahifi.se 1. V\\u00e4lj kurs och inst\\u00e4llningar f\\u00f6r Mahifi:s \\u00f6vningsprovsgenerator V\\u00e4lj kurs: Matematik 1b Matematik 1c Matematik 2 Matematik fort. 1 Matematik 4 Kategorier Antal fr\\u00e5gor per niv\\u00e5 Niv\\u00e5 E (0 st) Niv\\u00e5 C (0 st) Niv\\u00e5 A (0 st) Minir\\u00e4knare & Struktur Minir\\u00e4knartyp: Alla fr\\u00e5gor (B\\u00e5de med & utan) Endast utan minir\\u00e4knare\",\"inLanguage\":\"sv-SE\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/#website\"},\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/?page_id=44245#breadcrumblist\"},\"datePublished\":\"2026-09-05T16:15:54+02:00\",\"dateModified\":\"2026-09-06T10:49:37+02:00\"},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/\",\"name\":\"Mahifi\",\"description\":\"Matematik, historia och filosofi\",\"inLanguage\":\"sv-SE\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/#organization\"}}]}\n\t\t<\/script>\n\t\t\n\n","aioseo_head_json":{"title":"\u00d6vningsprovsgenerator - Mahifi","description":"Skapa \u00f6vningsprov \u2013 mahifi.se 1. V\u00e4lj kurs och inst\u00e4llningar f\u00f6r Mahifi:s \u00f6vningsprovsgenerator V\u00e4lj kurs: Matematik 1b Matematik 1c Matematik 2 Matematik fort. 1 Matematik 4 Kategorier Antal fr\u00e5gor per niv\u00e5 Niv\u00e5 E (0 st) Niv\u00e5 C (0 st) Niv\u00e5 A (0 st) Minir\u00e4knare & Struktur Minir\u00e4knartyp: Alla fr\u00e5gor (B\u00e5de med & utan) Endast utan minir\u00e4knare","canonical_url":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245","robots":"max-image-preview:large","keywords":"","webmasterTools":{"miscellaneous":""},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245#breadcrumblist","itemListElement":[{"@type":"ListItem","@id":"https:\/\/mahifi.se#listItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/mahifi.se","nextItem":{"@type":"ListItem","@id":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245#listItem","name":"\u00d6vningsprovsgenerator"}},{"@type":"ListItem","@id":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245#listItem","position":2,"name":"\u00d6vningsprovsgenerator","previousItem":{"@type":"ListItem","@id":"https:\/\/mahifi.se#listItem","name":"Home"}}]},{"@type":"Organization","@id":"https:\/\/mahifi.se\/#organization","name":"mahifi.se","description":"Matematik, historia och filosofi","url":"https:\/\/mahifi.se\/","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/cropped-Ska\u0308rmavbild-2022-06-08-kl.-10.39.30.png","@id":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245\/#organizationLogo","width":572,"height":620},"image":{"@id":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245\/#organizationLogo"}},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245#webpage","url":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245","name":"\u00d6vningsprovsgenerator - Mahifi","description":"Skapa \u00f6vningsprov \u2013 mahifi.se 1. V\u00e4lj kurs och inst\u00e4llningar f\u00f6r Mahifi:s \u00f6vningsprovsgenerator V\u00e4lj kurs: Matematik 1b Matematik 1c Matematik 2 Matematik fort. 1 Matematik 4 Kategorier Antal fr\u00e5gor per niv\u00e5 Niv\u00e5 E (0 st) Niv\u00e5 C (0 st) Niv\u00e5 A (0 st) Minir\u00e4knare & Struktur Minir\u00e4knartyp: Alla fr\u00e5gor (B\u00e5de med & utan) Endast utan minir\u00e4knare","inLanguage":"sv-SE","isPartOf":{"@id":"https:\/\/mahifi.se\/#website"},"breadcrumb":{"@id":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245#breadcrumblist"},"datePublished":"2026-09-05T16:15:54+02:00","dateModified":"2026-09-06T10:49:37+02:00"},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/mahifi.se\/#website","url":"https:\/\/mahifi.se\/","name":"Mahifi","description":"Matematik, historia och filosofi","inLanguage":"sv-SE","publisher":{"@id":"https:\/\/mahifi.se\/#organization"}}]},"og:locale":"sv_SE","og:site_name":"Mahifi - Matematik, historia och filosofi","og:type":"article","og:title":"\u00d6vningsprovsgenerator - Mahifi","og:description":"Skapa \u00f6vningsprov \u2013 mahifi.se 1. V\u00e4lj kurs och inst\u00e4llningar f\u00f6r Mahifi:s \u00f6vningsprovsgenerator V\u00e4lj kurs: Matematik 1b Matematik 1c Matematik 2 Matematik fort. 1 Matematik 4 Kategorier Antal fr\u00e5gor per niv\u00e5 Niv\u00e5 E (0 st) Niv\u00e5 C (0 st) Niv\u00e5 A (0 st) Minir\u00e4knare & Struktur Minir\u00e4knartyp: Alla fr\u00e5gor (B\u00e5de med & utan) Endast utan minir\u00e4knare","og:url":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245","og:image":"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/cropped-Ska\u0308rmavbild-2022-06-08-kl.-10.39.30.png","og:image:secure_url":"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/cropped-Ska\u0308rmavbild-2022-06-08-kl.-10.39.30.png","article:published_time":"2026-09-05T14:15:54+00:00","article:modified_time":"2026-09-06T08:49:37+00:00","twitter:card":"summary","twitter:title":"\u00d6vningsprovsgenerator - Mahifi","twitter:description":"Skapa \u00f6vningsprov \u2013 mahifi.se 1. V\u00e4lj kurs och inst\u00e4llningar f\u00f6r Mahifi:s \u00f6vningsprovsgenerator V\u00e4lj kurs: Matematik 1b Matematik 1c Matematik 2 Matematik fort. 1 Matematik 4 Kategorier Antal fr\u00e5gor per niv\u00e5 Niv\u00e5 E (0 st) Niv\u00e5 C (0 st) Niv\u00e5 A (0 st) Minir\u00e4knare & Struktur Minir\u00e4knartyp: Alla fr\u00e5gor (B\u00e5de med & utan) Endast utan minir\u00e4knare","twitter:image":"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/cropped-Ska\u0308rmavbild-2022-06-08-kl.-10.39.30.png"},"aioseo_meta_data":{"post_id":"44245","title":null,"description":null,"keywords":null,"keyphrases":{"focus":{"keyphrase":"","score":0,"analysis":{"keyphraseInTitle":{"score":0,"maxScore":9,"error":1}}},"additional":[]},"primary_term":null,"canonical_url":null,"og_title":null,"og_description":null,"og_object_type":"default","og_image_type":"default","og_image_url":null,"og_image_width":null,"og_image_height":null,"og_image_custom_url":null,"og_image_custom_fields":null,"og_video":"","og_custom_url":null,"og_article_section":null,"og_article_tags":null,"twitter_use_og":false,"twitter_card":"default","twitter_image_type":"default","twitter_image_url":null,"twitter_image_custom_url":null,"twitter_image_custom_fields":null,"twitter_title":null,"twitter_description":null,"schema":{"blockGraphs":[],"customGraphs":[],"default":{"data":{"Article":[],"Course":[],"Dataset":[],"FAQPage":[],"Movie":[],"Person":[],"Product":[],"ProductReview":[],"Car":[],"Recipe":[],"Service":[],"SoftwareApplication":[],"WebPage":[]},"graphName":"WebPage","isEnabled":true},"graphs":[]},"schema_type":"default","schema_type_options":null,"pillar_content":false,"robots_default":true,"robots_noindex":false,"robots_noarchive":false,"robots_nosnippet":false,"robots_nofollow":false,"robots_noimageindex":false,"robots_noodp":false,"robots_notranslate":false,"robots_max_snippet":"-1","robots_max_videopreview":"-1","robots_max_imagepreview":"large","priority":null,"frequency":"default","local_seo":null,"breadcrumb_settings":null,"limit_modified_date":false,"ai":{"faqs":[],"keyPoints":[],"schemas":[],"titles":[],"descriptions":[],"socialPosts":{"email":{"subject":"","preview":"","content":""},"linkedin":[],"twitter":[],"facebook":[],"instagram":[]}},"created":"2026-09-05 14:15:55","updated":"2026-09-06 11:23:48","seo_analyzer_scan_date":null,"focus_keyword":null,"additional_keywords":null,"truseo_locale":null},"aioseo_breadcrumb":"<div class=\"aioseo-breadcrumbs\">\n\t\t\t<a href=\"https:\/\/mahifi.se\" title=\"Home\">Home<\/a>\n\t\t<\/span>»<\/span>\n\t\t\t\u00d6vningsprovsgenerator\n\t\t<\/span><\/div>","aioseo_breadcrumb_json":[{"label":"Home","link":"https:\/\/mahifi.se"},{"label":"\u00d6vningsprovsgenerator","link":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245"}],"uagb_featured_image_src":{"full":false,"thumbnail":false,"medium":false,"medium_large":false,"large":false,"1536x1536":false,"2048x2048":false},"uagb_author_info":{"display_name":"joji9555@hotmail.com","author_link":"https:\/\/mahifi.se\/?author=1"},"uagb_comment_info":0,"uagb_excerpt":"Skapa \u00f6vningsprov \u2013 mahifi.se 1. V\u00e4lj kurs och inst\u00e4llningar f\u00f6r Mahifi:s \u00f6vningsprovsgenerator V\u00e4lj kurs: Matematik 1bMatematik 1cMatematik 2Matematik fort. 1Matematik 4 Kategorier Antal fr\u00e5gor per niv\u00e5 Niv\u00e5 E (0 st) Niv\u00e5 C (0 st) Niv\u00e5 A (0 st) Minir\u00e4knare & Struktur Minir\u00e4knartyp: Alla fr\u00e5gor (B\u00e5de med & utan)Endast utan minir\u00e4knareEndast med minir\u00e4knare Dela upp i…","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/44245","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=44245"}],"version-history":[{"count":122,"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/44245\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":44445,"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/44245\/revisions\/44445"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=44245"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}

\n\t\t\t\t\t\t

\n\t\t\t\t\t

\n\t\t\t

\n\t\t\t\t\t\t

\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t\t\n\n\n\n\nSkapa \u00f6vningsprov \u2013 mahifi.se<\/title>\n\n\n<link rel=\"stylesheet\" href=\"https:\/\/cdn.jsdelivr.net\/npm\/katex@0.16.8\/dist\/katex.min.css\">\n<script defer src=\"https:\/\/cdn.jsdelivr.net\/npm\/katex@0.16.8\/dist\/katex.min.js\"><\/script>\n<script defer src=\"https:\/\/cdn.jsdelivr.net\/npm\/katex@0.16.8\/dist\/contrib\/auto-render.min.js\" onload=\"initKaTeX()\"><\/script>\n\n<style>\n:root {\n --primary-color: #4747D7; \/* Mahifi Bl\u00e5 *\/\n --primary-hover: #3535bd; \/* M\u00f6rkare bl\u00e5 vid hover *\/\n --primary-light: #f0f0fd; \/* Ljusbl\u00e5 bakgrundston f\u00f6r kort\/grupper *\/\n --bg-color: #f8fafc;\n --card-bg: #ffffff;\n --border-color: #e2e8f0;\n --text-main: #1e1b4b;\n --text-muted: #64748b;\n}\n\n* { box-sizing: border-box; }\nbody {\n margin: 0;\n font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, \"Segoe UI\", Roboto, Helvetica, Arial, sans-serif;\n background-color: var(--bg-color);\n color: var(--text-main);\n line-height: 1.5;\n}\n\n.container {\n max-width: 1200px;\n margin: 0 auto;\n padding: 24px 16px;\n}\n\n\/* PANELER OCH RUBRIKER *\/\n.panel {\n background: var(--card-bg);\n border-radius: 12px;\n padding: 24px;\n margin-bottom: 24px;\n border: 1px solid var(--border-color);\n border-top: 5px solid var(--primary-color); \/* Bl\u00e5 Mahifi-linje *\/\n box-shadow: 0 4px 12px rgba(71, 71, 215, 0.05);\n}\n\n.panel h2 {\n margin-top: 0;\n margin-bottom: 18px;\n font-size: 19px;\n font-weight: 700;\n color: var(--primary-color); \/* Mahifi bl\u00e5 rubrik *\/\n border-bottom: 2px solid var(--primary-light);\n padding-bottom: 10px;\n display: flex;\n align-items: center;\n gap: 8px;\n}\n\n.grid {\n display: grid;\n grid-template-columns: repeat(auto-fit, minmax(260px, 1fr));\n gap: 20px;\n}\n\n.group {\n background: var(--primary-light); \/* Ljusbl\u00e5 mjuk Mahifi-ton *\/\n border: 1px solid #dcdcfe;\n border-radius: 10px;\n padding: 16px;\n}\n\n.group h3 {\n font-size: 14px;\n margin: 0 0 12px 0;\n color: var(--primary-color);\n text-transform: uppercase;\n letter-spacing: 0.5px;\n font-weight: 700;\n}\n\nlabel {\n display: flex;\n align-items: center;\n gap: 8px;\n margin: 8px 0;\n cursor: pointer;\n font-size: 14px;\n color: #334155;\n}\n\ninput[type=checkbox], input[type=radio] {\n width: 16px;\n height: 16px;\n accent-color: var(--primary-color);\n cursor: pointer;\n}\n\ninput[type=text], input[type=number], select {\n padding: 9px 12px;\n border: 1px solid #cbd5e1;\n border-radius: 8px;\n font-size: 14px;\n width: 100%;\n transition: border-color 0.2s;\n background: #fff;\n}\n\ninput[type=text]:focus, input[type=number]:focus, select:focus {\n outline: none;\n border-color: var(--primary-color);\n box-shadow: 0 0 0 3px rgba(71, 71, 215, 0.15);\n}\n\n.level-row {\n display: flex;\n align-items: center;\n justify-content: space-between;\n margin-bottom: 10px;\n}\n\n.level-row label { margin: 0; font-weight: 600; }\n.level-row input { width: 70px; text-align: center; }\n\n\/* KNAPPAR *\/\n.btn {\n border: 0;\n border-radius: 8px;\n padding: 10px 18px;\n cursor: pointer;\n font-size: 14px;\n font-weight: 600;\n transition: all 0.2s;\n display: inline-flex;\n align-items: center;\n gap: 6px;\n}\n\n.btn-primary { \n background: var(--primary-color); \n color: #ffffff; \n}\n.btn-primary:hover { \n background: var(--primary-hover); \n}\n.btn-secondary { \n background: #f1f5f9; \n color: #334155; \n border: 1px solid #cbd5e1;\n}\n.btn-secondary:hover { \n background: #e2e8f0; \n}\n.btn-danger { \n background: #fef2f2; \n color: #dc2626; \n border: 1px solid #fecaca; \n}\n.btn-danger:hover { \n background: #fee2e2; \n}\n\n.summary-bar {\n display: flex;\n align-items: center;\n gap: 12px;\n margin-bottom: 16px;\n}\n\n.badge {\n background: var(--primary-light);\n border: 1px solid #dcdcfe;\n border-radius: 20px;\n padding: 4px 12px;\n font-size: 13px;\n font-weight: 600;\n color: var(--primary-color);\n}\n\n.question-card {\n border: 1px solid var(--border-color);\n border-left: 4px solid var(--primary-color);\n border-radius: 8px;\n padding: 18px;\n margin-bottom: 14px;\n background: #ffffff;\n transition: box-shadow 0.2s;\n}\n\n.question-card:hover { box-shadow: 0 4px 12px rgba(71, 71, 215, 0.08); }\n\n.question-head {\n display: flex;\n justify-content: space-between;\n gap: 16px;\n align-items: flex-start;\n}\n\n.question-number {\n font-weight: 700;\n font-size: 16px;\n color: var(--primary-color);\n min-width: 28px;\n}\n\n.question-content { flex: 1; }\n.question-text { font-size: 15px; line-height: 1.6; }\n\n.meta-tags {\n display: flex;\n gap: 8px;\n margin-top: 10px;\n align-items: center;\n flex-wrap: wrap;\n}\n\n.tag {\n font-size: 11px;\n font-weight: 700;\n padding: 2px 8px;\n border-radius: 6px;\n text-transform: uppercase;\n}\n\n.tag-E { background: #d1fae5; color: #065f46; }\n.tag-C { background: #fef3c7; color: #92400e; }\n.tag-a, .tag-A { background: #fee2e2; color: #991b1b; }\n.tag-digital { background: #e0f2fe; color: #0369a1; }\n.tag-analog { background: #f3e8ff; color: #6b21a8; }\n\n.question-actions { display: flex; gap: 6px; }\n.question-actions .btn { padding: 6px 10px; font-size: 13px; }\n\n\/* FACIT I F\u00d6RHANDSGRANSKNING *\/\n.preview-solution {\n display: none;\n margin-top: 12px;\n padding: 10px 14px;\n background-color: var(--primary-light);\n border-left: 4px solid var(--primary-color);\n border-radius: 4px;\n font-size: 14px;\n}\n\n.preview-solution.show { display: block; }\n\n.empty-state {\n text-align: center;\n padding: 40px 20px;\n color: var(--text-muted);\n border: 2px dashed var(--border-color);\n border-radius: 10px;\n}\n\n\/* MODAL *\/\n.modal-overlay {\n display: none;\n position: fixed;\n top: 0; left: 0; width: 100%; height: 100%;\n background: rgba(15, 23, 42, 0.6);\n backdrop-filter: blur(4px);\n z-index: 1000;\n justify-content: center;\n align-items: center;\n}\n\n.modal-card {\n background: #ffffff;\n width: 90%;\n max-width: 650px;\n max-height: 85vh;\n border-radius: 12px;\n padding: 24px;\n display: flex;\n flex-direction: column;\n box-shadow: 0 20px 25px -5px rgba(0,0,0,0.1);\n border-top: 5px solid var(--primary-color);\n}\n\n.modal-header {\n display: flex;\n justify-content: space-between;\n align-items: center;\n margin-bottom: 16px;\n}\n\n.modal-header h3 { margin: 0; font-size: 18px; color: var(--primary-color); }\n.close-btn { background: none; border: none; font-size: 20px; cursor: pointer; color: #64748b; }\n\n.modal-body { overflow-y: auto; flex: 1; padding-right: 4px; }\n\n.search-box {\n background: var(--primary-light);\n padding: 12px;\n border-radius: 8px;\n border: 1px solid var(--border-color);\n margin-bottom: 16px;\n}\n\n.pick-list-item {\n border: 1px solid var(--border-color);\n border-radius: 8px;\n padding: 12px;\n margin-bottom: 10px;\n display: flex;\n justify-content: space-between;\n align-items: center;\n gap: 12px;\n background: #ffffff;\n}\n\n\/* UTSKRIFTSMALL *\/\n#printArea { display: none; }\n\n@media print {\n @page {\n size: A4;\n margin: 15mm 15mm 20mm 15mm;\n }\n \n body { \n background: #ffffff !important; \n color: #000000 !important; \n }\n \n .no-print { display: none !important; }\n \n #printArea {\n display: block !important;\n font-family: \"Georgia\", \"Times New Roman\", serif;\n font-size: 11pt;\n line-height: 1.5;\n color: #000;\n }\n\n #printArea img {\n max-width: 100% !important;\n height: auto !important;\n display: block;\n margin: 10px 0;\n page-break-inside: avoid;\n }\n\n .pdf-header {\n border-bottom: 2px solid #000;\n padding-bottom: 12px;\n margin-bottom: 20px;\n }\n\n .pdf-title {\n font-size: 26pt;\n font-weight: bold;\n margin-bottom: 16px;\n }\n\n .pdf-section-header {\n font-size: 13pt;\n font-weight: bold;\n border-bottom: 1.5px solid #000;\n margin: 24px 0 14px 0;\n padding-bottom: 4px;\n page-break-after: avoid;\n break-after: avoid;\n }\n\n .pdf-info-grid {\n display: flex;\n justify-content: space-between;\n font-size: 10pt;\n }\n\n .pdf-question-item {\n margin-bottom: 20px;\n page-break-inside: avoid;\n break-inside: avoid;\n }\n\n .pdf-q-head {\n display: flex;\n justify-content: space-between;\n font-size: 11pt;\n font-weight: bold;\n margin-bottom: 4px;\n }\n\n .pdf-answer-item, .pdf-solution-item {\n margin-bottom: 14px;\n page-break-inside: avoid;\n break-inside: avoid;\n }\n\n .pdf-page-break {\n page-break-before: always;\n break-before: page;\n padding-top: 5mm;\n }\n}\n<\/style>\n<\/head>\n<body>\n\n\n<div class=\"container no-print\">\n \n <div class=\"panel\">\n <h2>1. V\u00e4lj kurs och inst\u00e4llningar f\u00f6r Mahifi:s \u00f6vningsprovsgenerator<\/h2>\n \n <div style=\"margin-bottom: 20px; max-width: 300px;\">\n <label style=\"font-weight:bold; margin-bottom:6px;\">V\u00e4lj kurs:<\/label>\n <select id=\"courseSelect\" onchange=\"onCourseChange()\">\n <option value=\"ma1b\">Matematik 1b<\/option>\n <option value=\"ma1c\">Matematik 1c<\/option>\n <option value=\"ma2\">Matematik 2<\/option>\n <option value=\"ma_fort_1\">Matematik fort. 1<\/option>\n <option value=\"ma4\">Matematik 4<\/option>\n <\/select>\n <\/div>\n\n <div class=\"grid\">\n <div class=\"group\">\n <h3>Kategorier<\/h3>\n <div id=\"categoryControls\"><\/div>\n <\/div>\n\n <div class=\"group\">\n <h3>Antal fr\u00e5gor per niv\u00e5<\/h3>\n <div class=\"level-row\">\n <label style=\"color:var(--accent-e);\">Niv\u00e5 E (0<\/span> st)<\/label>\n <input type=\"number\" id=\"countE\" min=\"0\" value=\"3\">\n <\/div>\n <div class=\"level-row\">\n <label style=\"color:var(--accent-c);\">Niv\u00e5 C (0<\/span> st)<\/label>\n <input type=\"number\" id=\"countC\" min=\"0\" value=\"2\">\n <\/div>\n <div class=\"level-row\">\n <label style=\"color:var(--accent-a);\">Niv\u00e5 A (0<\/span> st)<\/label>\n <input type=\"number\" id=\"countA\" min=\"0\" value=\"1\">\n <\/div>\n <\/div>\n\n <div class=\"group\">\n <h3>Minir\u00e4knare & Struktur<\/h3>\n <div style=\"margin-bottom: 12px;\">\n <label style=\"font-weight:600; margin-bottom:4px;\">Minir\u00e4knartyp:<\/label>\n <select id=\"digitalFilter\" onchange=\"oppdateraTillgangligaCount()\">\n <option value=\"all\">Alla fr\u00e5gor (B\u00e5de med & utan)<\/option>\n <option value=\"analogOnly\">Endast utan minir\u00e4knare<\/option>\n <option value=\"digitalOnly\">Endast med minir\u00e4knare<\/option>\n <\/select>\n <\/div>\n <label><input type=\"checkbox\" id=\"separateParts\" checked> Dela upp i Del I (Utan) & Del II (Med minir\u00e4knare)<\/label>\n <label><input type=\"checkbox\" id=\"sortLevels\" checked> Sortera niv\u00e5er internt (E \u2192 C \u2192 A)<\/label>\n <label><input type=\"checkbox\" id=\"showPoints\" checked> Visa po\u00e4ngf\u00f6rdelning<\/label>\n <\/div>\n <\/div>\n\n <div style=\"margin-top:20px;\">\n <label style=\"font-weight:bold; margin-bottom:6px;\">Provets titel<\/label>\n <input type=\"text\" id=\"testTitle\" value=\"\u00d6vningsprov\">\n <\/div>\n\n <div style=\"margin-top:20px; display:flex; gap:10px; align-items:center;\">\n <button class=\"btn btn-primary\" onclick=\"createTest()\">\u26a1 Skapa \u00f6vningsprov<\/button>\n <button class=\"btn btn-secondary\" onclick=\"resetTest()\">\u00c5terst\u00e4ll<\/button>\n <\/div>\n <\/div>\n\n \n <div class=\"panel\">\n <h2>2. F\u00f6rhandsgranska och anpassa<\/h2>\n <div class=\"summary-bar\">\n 0 fr\u00e5gor<\/span>\n 0 p (0E \/ 0C \/ 0A)<\/span>\n <\/div>\n <div id=\"preview\">\n <div class=\"empty-state\">Inga fr\u00e5gor valda \u00e4n. Klicka p\u00e5 \"Skapa \u00f6vningsprov\" ovan.<\/div>\n <\/div>\n <button class=\"btn btn-secondary\" onclick=\"openAddModal()\" style=\"margin-top:12px;\">+ L\u00e4gg till fr\u00e5ga<\/button>\n <\/div>\n\n \n <div class=\"panel\">\n <h2>3. Exportera PDF \/ Skriv ut<\/h2>\n <div style=\"display:flex; flex-wrap:wrap; gap:20px; margin-bottom:18px;\">\n <label><input type=\"checkbox\" id=\"pdfQuestions\" checked> Inkludera Fr\u00e5gedel<\/label>\n <label><input type=\"checkbox\" id=\"pdfAnswers\" checked> Inkludera Facit<\/label>\n <label><input type=\"checkbox\" id=\"pdfSolutions\" checked> Inkludera L\u00f6sningsf\u00f6rslag<\/label>\n <label><input type=\"checkbox\" id=\"pdfPoints\" checked> Visa po\u00e4ng i PDF<\/label>\n <\/div>\n <button class=\"btn btn-primary\" onclick=\"printPDF()\">\ud83d\udda8\ufe0f Skriv ut \/ Spara som PDF<\/button>\n <\/div>\n<\/div>\n\n\n<div id=\"addModal\" class=\"modal-overlay\">\n <div class=\"modal-card\">\n <div class=\"modal-header\">\n <h3>L\u00e4gg till fr\u00e5ga manuellt<\/h3>\n <button class=\"close-btn\" onclick=\"closeAddModal()\">\u2715<\/button>\n <\/div>\n <div class=\"modal-body\">\n <div class=\"search-box\">\n <label style=\"font-weight:bold; margin-bottom:4px;\">S\u00f6k p\u00e5 uppgiftskod:<\/label>\n <div style=\"display:flex; gap:8px;\">\n <input type=\"text\" id=\"searchCodeInput\" placeholder=\"t.ex. a8, f1...\">\n <button class=\"btn btn-primary\" onclick=\"addByCode()\">L\u00e4gg till<\/button>\n <\/div>\n <\/div>\n\n <div style=\"display:grid; grid-template-columns: 1fr 1fr 1fr; gap:10px; margin-bottom:16px;\">\n <div>\n <label style=\"font-size:12px; font-weight:bold;\">Kategori<\/label>\n <select id=\"modalCatFilter\" onchange=\"filterModalQuestions()\">\n <option value=\"all\">Alla kategorier<\/option>\n <\/select>\n <\/div>\n <div>\n <label style=\"font-size:12px; font-weight:bold;\">Niv\u00e5<\/label>\n <select id=\"modalLevelFilter\" onchange=\"filterModalQuestions()\">\n <option value=\"all\">Alla niv\u00e5er<\/option>\n <option value=\"E\">Niv\u00e5 E<\/option>\n <option value=\"C\">Niv\u00e5 C<\/option>\n <option value=\"A\">Niv\u00e5 A<\/option>\n <\/select>\n <\/div>\n <div>\n <label style=\"font-size:12px; font-weight:bold;\">Minir\u00e4knare<\/label>\n <select id=\"modalDigitalFilter\" onchange=\"filterModalQuestions()\">\n <option value=\"all\">Alla<\/option>\n <option value=\"analog\">Utan minir\u00e4knare<\/option>\n <option value=\"digital\">Med minir\u00e4knare<\/option>\n <\/select>\n <\/div>\n <\/div>\n\n <div id=\"modalQuestionsList\"><\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n<\/div>\n\n<div id=\"printArea\"><\/div>\n\n<script>\n\/\/ =================================================================\n\/\/ 1. DINA UPPGIFTSBIBLIOTEK PER KURS\n\/\/ =================================================================\nconst fragor = {\n \/\/ MATEMATIK 1B\n ma1b: {\n algebra: [\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$2x^2 + 3x^2+2x+4x\\\$.`,\n svar: `\\\$5x^2+6x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a1\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket\n \\\$4(x+4)-(x-2)\\\$.`,\n svar: `\\\$3x+18\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a2\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{x}{2}+\\\\frac{x}{3}+\\\\frac{x}{4}=1\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{12}{13}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"linjara\", \"brak\"],\n kod: \"a3\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x^2-16=9\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a4\"\n },\n\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2x + 5 = 11\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a5\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{3x}{4}=\\\\frac{1}{2} \\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{2}{3}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\", \"brak\"],\n kod: \"a6\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{x+2}{x-7}=\\\\frac{3}{10} \\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{-41}{7}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"linjara\", \"brak\"],\n kod: \"a7\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$2\\\\cdot x^{-2}=\\\\frac{2}{9} \\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a8\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{1}{4^{2x}}=8^5\\\$.`,\n svar: `\\\$x=-\\\\frac{15}{4}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080150.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a9\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$1,2\\\\cdot 10^3\\\\cdot x+1,6\\\\cdot 10^3=2,3\\\\cdot 10^3\\\\cdot x-0,4\\\\cdot 10^3\\\$.`,\n svar: `\\\$x=-3,75\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a10\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{1}{x}+\\\\frac{1}{2x}=1\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a11\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x(2x+6)+3x=2x^2+18\\\$.`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a12\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$(x+1)(x+2)=x^2+3\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{1}{3}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a13\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x^2-16=9\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a14\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket\n \\\$x^2+4x^2+5x-x\\\$.`,\n svar: `\\\$5x^2+4x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a15\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket\n \\\$(2x+1)(x-1)-(x+1)\\\$.`,\n svar: `\\\$2x^2-2x-2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a16\"\n },\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycken s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt <\/p> a) \\\$10x+20\\\$ <\/p> b) \\\$2x^2+4x\\\$ <\/p> c) \\\$xy^2+x^2y\\\$ `,\n svar: `\\\$a) 10(x+2) b) 2x(x+2) c) xy(y+x)\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a17\"\n },\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycken s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt <\/p> a) \\\$2x-x^2\\\$ <\/p> b) \\\$25x^2-5x\\\$ <\/p> c) \\\$x^3-x^2\\\$`,\n svar: `\\\$a)\\\$ \\\$x(2-x)\\\$ b) \\\$5x(5x-1)\\\$ c) \\\$x^2(x-1)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a17\"\n },\n\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycken \n \\\$x^2+4x^2+5x-x\\\$.`,\n svar: `\\\$x=5x^2+4x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a18\"\n },\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycket \n \\\$5^{x+2}-5^{2x}\\\$.`,\n svar: `\\\$5^x(25-5^x)\\\$`,\n niva: \"A\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080049.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n poang: [0,0,1],\n \n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a19\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{2}{x}+\\\\frac{1}{2}=\\\\frac{1}{2x} \\\$.`,\n svar: `\\\$x=-3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a20\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m talet a\n \\\$4^{1000}+4^{1000}+4^{1000}+4^{1000}=2^a\\\$`,\n svar: `\\\$a=2002\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080201.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a21\"\n },\n{\n fraga: `Om vi vet att \n \\\$x^2y=4^3\\\$ samt att \\\$xy^2z^3=4^9\\\$. Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$xyz\\\$ p\u00e5 valfri form`,\n svar: `\\\$xyz=2^8=4^4=16^2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080214.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a22\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x(x-10)-(25+x^2)=0 \\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{-5}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a23\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$(x+1)^2=25 \\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=4, x_2=-6\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080057.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a24\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$6^{10}=9^5\\\\cdot2^x \\\$.`,\n svar: `\\\$x=10\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a25\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$(x+4)(x-2)=x^2 \\\$.`,\n svar: `\\\$x=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a26\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x^7=200 \\\$.`,\n svar: `\\\$x=2,13\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a27\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 b\n \\\$\\\\frac{4}{a}-\\\\frac{3+b}{3a}=\\\\frac{10}{4a} \\\$.`,\n svar: `\\\$b=\\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080229.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a28\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$3^{2x}\\\\cdot9^2=3^{10} \\\$.`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a29\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x^2=33^2+44^2\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 55\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080241.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a30\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6renkla det algebraiska uttrycket\n \\\$(\\\\frac{1}{n})^{-1}+ (\\\\frac{1}{n})^{-1}+ (\\\\frac{1}{n})^{-1}\\\$.`,\n svar: `\\\$3n\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080103.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a31\"\n },\n{\n fraga: `Skriv uttrycket \\\$2x+y\\\$ i enbart variabeln y om du vet att \\\$x-3y=10\\\$`,\n svar: `\\\$7y+60\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a32\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{(4x)^2}{4x^2}\\\$`,\n svar: `4`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a33\"\n },\n {\n fraga: `Skriv uttrycket \\\$a-b\\\$ i en variabel om du vet att \\\$a+b=1\\\$`,\n svar: `\\\$1-2b\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a34\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6ljande likhet g\u00e4ller<\/p> \\\$(2x+1)(4-x)=-2x^2+ax+b\\\$ <\/p> Best\u00e4m konstanterna \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ `,\n svar: `\\\$a=7\\\$ och \\\$b=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a35\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+1)(x-1)\\\$`,\n svar: `\\\$x^2-1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a36\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$2y-x+5\\\$ i enbart variabeln \\\$y\\\$ om du vet att \\\$x=y+6\\\$`,\n svar: `\\\$y-1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a37\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x^5-10+x=15+x\\\$.`,\n svar: `\\\$x=1,9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a38\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$4^{x+2}-3\\\\cdot 4^x=13\\\\cdot 2^{x+1}\\\$.`,\n svar: `\\\$x=1\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080256.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a39\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m det positiva talet a\n \\\$a^{\\\\frac{2}{3}}=9\\\$.`,\n svar: `\\\$a=27\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080116.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a40\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x(x+30)=x^2-15\\\$.`,\n svar: `\\\$x=-\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a41\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{1}{x}+\\\\frac{1}{2x}+\\\\frac{1}{3x}=1\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\x=\\\\frac{11}{6}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a42\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \n \\\$16^5\\\\cdot25^5=100^5\\\\cdot32^x\\\$.`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080318.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a43\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \n \\\$\\\\sqrt{16x^2}+\\\\sqrt{36x^2}=100\\\$.`,\n svar: `\\\$x=10\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a44\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m summan \\\$a+b+c\\\$ om du vet att \\\$a=\\\\frac{1}{3}\\\$, \\\$a\\\\cdot b=\\\\frac{2}{9}\\\$ samt \\\$a\\\\cdot b\\\\cdot c=\\\\frac{7}{36}\\\$.`,\n svar: `\\\$a+b+c=\\\\frac{15}{8}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a45\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \n \\\$\\\\frac{4}{x}+\\\\frac{16}{8}=\\\\frac{4+x^2}{2}\\\$.`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a46\"\n },\n {\n fraga: `Om du vet att \\\$x+y=0\\\$ best\u00e4m d\u00e5 kvoten \\\$\\\\frac{x^{2025}}{y^{2025}}\\\$`,\n svar: `Kvoten blir -1`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080123.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a47\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ut variabeln \\\$R\\\$ i f\u00f6ljande formel \\\$\\\\frac{1}{R}=\\\\frac{1}{R_1}+\\\\frac{1}{R_2}\\\$.`,\n svar: `\\\$R=\\\\frac{R_1\\\\cdot R_2}{R_1+R_2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080132.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a48\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^{\\\\frac{1}{5}}=11\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=161051\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n digital: true ,\n kod: \"a49\"\n }, \n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2,5x+10=4,5x\\\$ `,\n svar: `\\\$x=5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n digital: true ,\n kod: \"a50\"\n }, \n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^{\\\\frac{3}{2}}=5\\\$ . Svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar: `\\\$x=2,92\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n digital: true ,\n kod: \"a51\"\n }, \n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$16^x\\\\cdot 5^{4x}=100^{36}\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=18\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a52\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$3(x+6)=4\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=-\\\\frac{14}{3}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a53\"\n},\n {\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck \\\$2x^2+4x\\\$`,\n svar: `\\\$2x(x+2)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a54\"\n},\n {\n fraga: `Vilka av f\u00f6ljande uttryck g\u00e5r att faktorisera?<\/p> \\\$3x^2+6\\\$ <\/p> \\\$x^2+y^2\\\$ <\/p> \\\$x^{99}+x^{100}\\\$`,\n svar: `\\\$3x^2+6\\\$ och \\\$x^{99}+x^{100}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a55\"\n},\n{\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck \\\$y^3x^2+xy^4\\\$`,\n svar: `\\\$xy^3(x+y)\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a70\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\frac{1}{2}(6x+10)=10\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{5}{3}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a56\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+4)(x-2)+8\\\$ .`,\n svar: `\\\$x^2-2x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a57\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$2(x+1)(x-1)\\\$.`,\n svar: `\\\$2x^2-2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a58\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation \\\$\\\\frac{x+6}{x}=13\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a59\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r tv\u00e5 siffror vet du f\u00f6ljande <\/p> Det ena talet \u00e4r dubbelt s\u00e5 stort som det andra <\/p> Om man summerar talen f\u00e5r 24 <\/p> Best\u00e4m talen. `,\n svar: `8 och 16 \u00e4r talen`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a60\"\n},\n{\n fraga: `Joakim l\u00f6ser ekvationen \\\$x^2=36\\\$ och f\u00e5r svaret \\\$x=6\\\$. Hans kompis Victor menar att Joakim har missat en l\u00f6sning. F\u00f6rklara f\u00f6r Joakim varf\u00f6r han har missat en l\u00f6sning.`,\n svar: `Ekvationen har l\u00f6sningen \\\$x= \\\\pm 6\\\$ eftersom om du h\u00f6jer upp \\\$-6\\\$ i 2 kommer du ocks\u00e5 f\u00e5 36. Ekvationen har s\u00e5ledes tv\u00e5 l\u00f6sningar.`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a61\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2=32-x^2\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a62\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$4(x+5)+10=22\\\$`,\n svar: `\\\$x=-2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a63\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(\\\\frac{4}{3})^x=(\\\\frac{2}{3})^x \\\\cdot 2^3\\\$`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a64\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(\\\\frac{1}{4})^x=2^{2x}\\\\cdot 4^{10}\\\$`,\n svar: `\\\$x=-5\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a65\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(4,5x-10=2,5x+12\\\$`,\n svar: `\\\$x=11\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a66\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$3^x+3^x+3^x=81\\\$`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a67\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x+\\\\frac{1}{2})(x-\\\\frac{1}{2})=2\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm \\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a68\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x(x+7)=7x+9\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a69\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilket \\\$x\\\$ \u00e4r f\u00f6ljande algebraiskt uttryck lika med 7<\/p> \\\$3x+28\\\$ <\/p>`,\n svar: `\\\$x=-7\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a71\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilket \\\$x\\\$ \u00e4r f\u00f6ljande tv\u00e5 algebraiska uttryck \\\$4x+10\\\$ och \\\$-2x+22\\\$ lika med varandra?<\/p>`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a72\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanterna \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ om f\u00f6ljande likhet ska st\u00e4mma <\/p> \\\$(2x+1)(4-x)=-2x^2+ax+b\\\$ <\/p>`,\n svar: `\\\$a=7\\\$ och \\\$b=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a73\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ om f\u00f6ljande likhet ska st\u00e4mma <\/p> \\\$(x+a)(x+5)=x^2+7x+10\\\$ <\/p>`,\n svar: `\\\$a=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a74\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x-2)(x+2)=12\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a75\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x(x+2)=x^2-10\\\$`,\n svar: `\\\$x=-5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a76\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har \u00e5ldern \\\$x\\\$ idag, om 3 \u00e5r \u00e4r Joakims pappa dubbelt s\u00e5 gammal som Joakim. Best\u00e4m ett uttryck f\u00f6r Joakims pappas \u00e5lder idag. `,\n svar: `2x-3`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a77\"\n},\n{\n fraga: `Joakims bror \u00e4r 3 \u00e5r \u00e4ldre \u00e4n Joakim. Om 3 \u00e5r \u00e4r deras summerade \u00e5lder 69 \u00e5r. Hur gammal \u00e4r Joakim?`,\n svar: `30 \u00e5r`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a78\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x^4+x)(x^4-2x)=x^8-x^5-18\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a79\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt \\\$(x+2)(x+1)\\\$`,\n svar: `\\\$x^2+3x+2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a80\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt \\\$(x-3)(x+4)\\\$`,\n svar: `\\\$x^2+x-12\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a81\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt \\\$(x+10)(x-1)+10\\\$`,\n svar: `\\\$x^2+9x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a82\"\n},\n{\n fraga: `Joakim menar att \\\$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\\$ Visa att likheten st\u00e4mmer.`,\n svar: `Skriv ut \\\$(a+b)^2\\\$ som tv\u00e5 parenteser. F\u00f6renkla sedan uttrycket och visa att \\\$HL=VL\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a83\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x+2)(x+2)-4x-4=8\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a84\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(2x+2)(2x-2)+4=16\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a85\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$4x^2 + 2x^2 + 7x - 3x\\\$.`,\n svar: `\\\$6x^2+4x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a86\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$3(x+2) - 2(x-1)\\\$.`,\n svar: `\\\$x+8\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a87\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$3x - 4 = 14\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a88\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2 - 9 = 16\\\$.`,\n svar: `\\\$x = \\\\pm 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a89\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\frac{2x}{5} = 4\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 10\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\", \"brak\"],\n kod: \"a90\"\n },\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycket \\\$3x^2 + 9x\\\$.`,\n svar: `\\\$3x(x+3)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a91\"\n },\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycket \\\$4x - 12\\\$.`,\n svar: `\\\$4(x-3)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a92\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x(x+4) = x^2 + 12\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a93\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+3)(x-3)\\\$.`,\n svar: `\\\$x^2 - 9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a94\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$1,5x + 3 = 4,5x - 6\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a95\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^3 = 27\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a96\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$(x+3)(x+2) - 5x\\\$.`,\n svar: `\\\$x^2 + 6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a97\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\frac{x+4}{2} = 7\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 10\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\", \"brak\"],\n kod: \"a98\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r vilket \\\$x\\\$ har det algebraiska uttrycket \\\$5x - 15\\\$ v\u00e4rdet 10?<\/p>`,\n svar: `\\\$x = 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a99\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2 = 50 - x^2\\\$.`,\n svar: `\\\$x = \\\\pm 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a100\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2(x-3) + 4 = 10\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a101\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r vilket \\\$x\\\$ \u00e4r de tv\u00e5 uttrycken \\\$3x + 2\\\$ och \\\$x + 10\\\$ lika med varandra?<\/p>`,\n svar: `\\\$x = 4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a102\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$5a - (2a - 4)\\\$.`,\n svar: `\\\$3a + 4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a103\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^4 = 81\\\$.`,\n svar: `\\\$x = \\\\pm 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a104\"\n },\n {\n fraga: `Ett tal \u00e4r tre g\u00e5nger s\u00e5 stort som ett annat tal.<\/p>Sammantaget \u00e4r talens summa 32.<\/p>Best\u00e4m de tv\u00e5 talen.`,\n svar: `8 och 24`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a105\"\n }\n ],\n\n procent: [\n {\n fraga: `En vara kostar 600 kr och s\u00e4nks med 25%. Vad blir priset?`,\n svar: `450 kr`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n losningsforslag: `Ber\u00e4kna 25% av 600: \\\$0.25 \\\\cdot 600 = 150\\\$. Subtrahera fr\u00e5n 600: 600-150=450`,\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b1\"\n },\n {\n fraga: `Ett belopp \u00f6kar fr\u00e5n 1200 kr till 1500 kr. Hur stor \u00e4r \u00f6kningen i procent?`,\n svar: `25\\\\%`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b2\"\n },\n {\n fraga: `En akties v\u00e4rde var 20 000 kr i slutet av 2025, dess v\u00e4rde f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka\nmed 15% under det f\u00f6rsta halv\u00e5ret, sedan minska med 10% det andra\nhalv\u00e5ret. D\u00e4refter kommer den processen upprepas under de f\u00f6ljande\n\u00e5ren. Ber\u00e4kna v\u00a8ardet p\u00e5 aktien i slutet av 2028`,\n svar: `V\u00e4rdet \u00e4r ungef\u00e4r 22174 kr`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b3\"\n },\n {\n fraga: `En varas v\u00e4rde minskar med 41%. Vilken f\u00f6r\u00e4ndringsfaktor motsvarar det?`,\n svar: `0,59`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b4\"\n },\n {\n fraga: `En varas v\u00e4rde \u00f6kar med 120%. Vilken f\u00f6r\u00e4ndringsfaktor motsvarar det?`,\n svar: `2,2`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b5\"\n },\n {\n fraga: `En aktie v\u00e4ntas \u00f6ka med 50% tv\u00e5 \u00e5r i rad. Vilken blir d\u00e5 den totala f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn`,\n svar: `2,25`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b6\"\n },\n {\n fraga: `Joakim ska unders\u00f6ka hur mycket en varas v\u00e4rde har \u00f6kat de senaste 3 \u00e5ren. Han vet att den \u00f6kade med samma procentsats varje \u00e5r. Han st\u00e4ller upp f\u00f6ljande uttryck f\u00f6r varans v\u00e4rde efter dessa 3 \u00e5r. \\\$150\\\\cdot1,04^3\\\$ Best\u00e4m hur m\u00e5nga procent varans v\u00e4rde \u00f6kade varje \u00e5r.`,\n svar: `4%`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b7\"\n },\n {\n fraga: `Joakim multiplicerar ett tal med f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn 0,21. Mycket minskar talet i procent i och med den f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn `,\n svar: `79%`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b8\"\n },\n {\n fraga: ` Joakim k\u00f6per en bil 2024 med v\u00e4rdet 15 000. 2025 f\u00f6rv\u00e4ntas bilens v\u00e4rde minska med 7%. D\u00e4refter f\u00f6rv\u00e4ntas bilens v\u00e4rde minska med 9% varje \u00e5r fram\u00f6ver. Best\u00e4m ett algebraiskt uttryck f\u00f6r bilens v\u00e4rde V efter t \u00e5r om t \u00e4r antalet \u00e5r fr\u00e5n 2024.`,\n svar: `\\\$V=0,93\\\\cdot0,91^{t-1}\\\$ d\u00e4r t st\u00f6rre eller lika med 1`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b9\"\n},\n {\n fraga: `V\u00e4rdet p\u00e5 en produkt \u00f6kar f\u00f6rst med 12% varje \u00e5r i tre \u00e5r. D\u00e4refter minskar produktens v\u00e4rde med 12% varje \u00e5r i tre \u00e5r. Vilket blir den totala f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn efter dessa sex \u00e5r?`,\n svar: `0,96`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b10\"\n },\n {\n fraga: `Joakim s\u00e4tter in 10000 kr p\u00e5 en fond som kan g\u00e5 upp och ner i v\u00e4rde.\n De f\u00f6rsta 4 \u00e5ren minskar v\u00e4rdet p\u00e5 pengarna med 25%. D\u00e4refter \u00f6kar v\u00e4rdet p\u00e5 pengarna, \n p\u00e5 8 \u00e5r \u00e4r de tillbaka p\u00e5 det ursprungliga v\u00e4rdet. Vilken var den \u00e5rliga f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn de sista 8 \u00e5ren?`,\n svar: `\u00d6kning med ca. 3.66% per \u00e5r (ungef\u00e4r \\\$1.0366\\\$)`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b11\"\n },\n {\n fraga: `I ett land har 80% av befolkningen r\u00e4tt att r\u00f6sta. I ett riksdagsval r\u00f6star 75% av de som har r\u00e4tt att r\u00f6sta. \n Partiet Joakimspartiet f\u00e5r 135 000 r\u00f6ster som motsvarar 8% av alla r\u00f6ster i riksdagsvalet. \n Hur m\u00e5nga m\u00e4nniskor bor det i landet som har r\u00f6str\u00e4tt?`,\n svar: `2 812 500`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b12\"\n },\n {\n fraga: ` Anna fick nya arbetsuppgifter och d\u00e4rigenom en l\u00f6neh\u00f6jning p\u00e5 6 %. N\u00e4sta \u00e5r gick det s\u00e4mre och hon fick en l\u00f6nes\u00e4nkning p\u00e5 2 %. P\u00e5 dessa tv\u00e5 \u00e5r \u00f6kade \u00e4nd\u00e5 hennes l\u00f6n med 1358 kr. Hur stor var Annas l\u00f6n innan hon fick de nya arbetsuppgifterna?`,\n svar: `Ungef\u00e4r 35000 kr`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b13\"\n},\n {\n fraga: `Joakim har k\u00f6pt en klocka. Tyv\u00e4rr minskar klockan 20% i v\u00e4rde f\u00f6rsta \u00e5ret. \n Hur mycket m\u00e5ste klockans v\u00e4rde \u00f6ka i procent det andra \u00e5ret f\u00f6r att klockan ska bli 10% \u00f6ver ink\u00f6pspriset?`,\n svar: `37,5%`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b14\"\n },\n {\n fraga: `V\u00e4rdet p\u00e5 en t-shirt minskar under 6 \u00e5r med 5% varje \u00e5r. Sedan \u00f6kar v\u00e4rdet under 3 \u00e5r\nmed 10% eftersom en k\u00e4nd tiktok-profil anv\u00e4nde den under alla sina videos under\ndessa 3. Hur mycket hade v\u00e4rdet p\u00e5 t-shirten \u00f6kar eller minskat efter dessa 9 \u00e5r?`,\n svar: `Minskat med ungef\u00e4r 2%`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b15\"\n },\n {\n fraga: `V\u00e4rdet p\u00e5 en aktie minskar med lika stor procentsats varje \u00e5r. Efter 10 \u00e5r har aktiens v\u00e4rde halverats. \n Skriv ett f\u00f6renklat uttryck f\u00f6r aktiens v\u00e4rde efter 15 \u00e5r om den hade v\u00e4rdet V fr\u00e5n b\u00f6rjan.`,\n svar: `0.34V`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-213438.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b16\"\n },\n {\n fraga: `En vara med v\u00e4rdet 1000 kr 2024 minskar med 4% varje \u00e5r. Joakim vill veta vilket \u00e5r varan \u00e4r v\u00e4rd en fj\u00e4rdedel av ursprungspriset. \n St\u00e4ll upp ekvationen Joakim m\u00e5ste l\u00f6sa d\u00e4r x \u00e4r antalet \u00e5r (du beh\u00f6ver inte l\u00f6sa den).`,\n svar: `\\\$250 = 1000 \\\\cdot 0.96^{x}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b17\"\n },\n {\n fraga: `Joakim hade \u00e5r 2013 en l\u00f6n p\u00e5 20 000 kr. Varje \u00e5r f\u00e5r han samma procentuella l\u00f6ne\u00f6kning. Efter 10 \u00e5r fick han en tillsammans med den procentuella \u00f6kningen en klumpsumma p\u00e5 5000 kr, d\u00e5 tj\u00e4nar han 45 000 kr. \n Hur stor \u00e4r l\u00f6ne\u00f6kningen i procent per \u00e5r?`,\n svar: `\u00d6kar med ca. 7% varje \u00e5r (uppgiftens data i ursprungsfilen)`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-094329.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b18\"\n },\n {\n fraga: `Joakims flickv\u00e4n tj\u00e4nar 5000 kr mer \u00e4n Joakim. Efter att b\u00e5da har f\u00e5tt en l\u00f6ne\u00f6kning\nmed 4% tj\u00e4nar de tillsammans 67600 kr hur mycket tj\u00e4nar Joakim innan h\u00f6jningen? `,\n svar: `30 000 kr`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b19\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r Joakim investerar lika mycket pengar i tv\u00e5 olika fonder. Den ena fonden \u00f6kar med \\\$p\\\$% varje \u00e5r och den andra \u00f6kar med 4% mer \u00e4n den andra fonden varje \u00e5r.<\/p> Efter 10 \u00e5r har v\u00e4rdet p\u00e5 summan av fonderna \u00f6kat med 100%. Best\u00e4m \\\$p\\\$ <\/p>`,\n svar: `p=5`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b20\"\n },\n {\n fraga: `En blomma som \u00e4r 10 cm l\u00e5ng v\u00e4xer med samma procentsats varje \u00e5r i fyra \u00e5r i rad. Efter dessa fyra \u00e5r \u00e4r blomman 18 cm. Best\u00e4m hur m\u00e5nga procent blomman v\u00e4xte varje \u00e5r. `,\n svar: `15% varje \u00e5r`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b21\"\n },\n {\n fraga: `En bils v\u00e4rde \u00f6kar f\u00f6rst med 10% och sedan minskar med 20%, vilket blir den totala f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn d\u00e5?`,\n svar: `0,88`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b22\"\n },\n {\n fraga: `En produkts v\u00e4rde \u00f6kar med 50% f\u00f6rsta \u00e5ret. Vad ska produktens v\u00e4rde \u00f6ka med i procent f\u00f6r att produktens ska ha \u00f6kat med 100% efter dessa tv\u00e5 \u00e5r.`,\n svar: `\u00d6ka med 33%`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b23\"\n }\n ],\n\n potenser: [\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$x^3 \\\\cdot x^2\\\$.`,\n svar: `\\\$x^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p1\"\n },\n {\n fraga: `Skriv talet 0.001 som en potens med basen 10.`,\n svar: `\\\$10^{-3}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p2\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$2^3+2^2+2^1+2^0\\\$`,\n svar: `\\\$15\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p3\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\sqrt{2}\\\\cdot \\\\sqrt{8}\\\$`,\n svar: `\\\$4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p4\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck i en gemensam bas \\\$3^5\\\\cdot 2^5\\\$`,\n svar: `\\\$6^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p5\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{6x^7}{2x^4}\\\$`,\n svar: `\\\$3x^3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p6\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x^4)^2 \\\\cdot x^2\\\$`,\n svar: `\\\$x^{10}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p7\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna \\\$2^{-2}+2^{-2}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p8\"\n },\n {\n fraga: `Joakim menar att \\\$4^{-2}\\\$ \u00e4r mindre \u00e4n \\\$3^{-2}\\\$ Visa att han har r\u00e4tt`,\n svar: `Joakim har r\u00e4tt. Tips:Skriv om uttrycken till br\u00e5k.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p9\"\n },\n {\n fraga: `Skriv om f\u00f6ljande uttryck till en gemensam bas \\\$2^{3x}\\\\cdot 3^x\\\$`,\n svar: `\\\$24^x\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p10\"\n },\n {\n fraga: `Du vet att \\\$3=p^3\\\$. Best\u00e4m ett potensuttryck i basen \\\$p\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$27\\\\cdot p\\\$ `,\n svar: `\\\$p^{10}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-083737.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p11\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande uttryck till en gemensam bas \\\$27^{2x}\\\\cdot 4^{3x}\\\$`,\n svar: `\\\$6^{6x}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p12\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck i basen 2<\/p> \\\$8^x\\\\cdot 4^x\\\\cdot 2^x\\\$`,\n svar: `\\\$2^{6x}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p13\"\n },\n {\n fraga: `Vilken av f\u00f6ljande potenser \u00e4r st\u00f6rst? \\\$3^{60}\\\$ eller \\\$9^{25}\\\$.`,\n svar: `\\\$3^{60}\\\$ \u00e4r st\u00f6rst. Tips: skriv om i gemensam bas.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p14\"\n },\n {\n fraga: `Vilken av f\u00f6ljande tal \u00e4r inte kvadrat- eller kubiktal?\n a) \\\$3^{10}\\\$ b) \\\$5^{12}\\\$ c) \\\$4^{9}\\\$ d) \\\$6^{13}\\\$.`,\n svar: `d) (Tips: unders\u00f6k vilka du kan skriva om)`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p15\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck i basen 6\n \\\$18^{x}\\\\cdot8^{x}\\\\cdot3^{2x}\\\$.`,\n svar: `\\\$6^{4x}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-083750.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p16\"\n },\n {\n fraga: `Joakim menar att multiplikationen \\\$\\\\sqrt{x}\\\\cdot \\\\sqrt{x} \\\\cdot \\\\sqrt{x}\\\$ \u00e4r samma sak som \\\$x^{\\\\frac{3}{2}}\\\$. Unders\u00f6k om Joakim har r\u00e4tt.`,\n svar: `Joakim har r\u00e4tt. Tips: Skriv om uttrycken som potenser`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p17\"\n },\n {\n fraga: `Hur m\u00e5nga g\u00e5nger st\u00f6rre \u00e4r \\\$4\\\\cdot 2^{3+a}\\\$ \u00e4n \\\$2^a\\\$`,\n svar: `32 g\u00e5nger st\u00f6rre`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-083802.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p18\"\n },\n {\n fraga: `Skriv potensuttrycket som en potens \\\$2^4\\\\cdot2^3\\\\cdot2^2\\\$`,\n svar: `\\\$2^{9}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p19\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$5^0\\\\cdot 5^2-(2^2)^2\\\$`,\n svar: `\\\$9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p20\"\n },\n {\n fraga: `Om \\\$a^{-\\\\frac{1}{2}}=\\\\frac{2}{3}\\\$ Best\u00e4m d\u00e5 \\\$a^2\\\$`,\n svar: `\\\$a^2=\\\\frac{81}{16}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-083756.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p21\"\n },\n {\n fraga: `Skriv potensuttrycket som en potens \\\$\\\\frac{x^3\\\\cdot x^8}{x^6}\\\$`,\n svar: `\\\$x^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p22\"\n }, \n {\n fraga: `Skriv potensuttrycket som en potens \\\$\\\\frac{x^3\\\\cdot x^8}{x^6}\\\$`,\n svar: `\\\$x^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p23\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck som en potens p\u00e5 gemensam bas \\\$\\\\frac{6^{20}}{3^{10}}\\\$`,\n svar: `\\\$12^{10}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p24\"\n },\n {\n fraga: `Joakim menar att f\u00f6ljande likhet g\u00e4ller <\/p> \\\$81^{5}\\\\cdot 3^{10}=27^{10}\\\$ Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt`,\n svar: `Det st\u00e4mmer. Tips: Skriv om alla potenser i gemensam bas`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p25\"\n },\n {\n fraga: `Skriv potensuttrycket som en potens \\\$(x^4)^2\\\\cdot x^2\\\$`,\n svar: `\\\$x^{10}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p26\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vad som ska st\u00e5 i den tomma rutan : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-112958.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Det ska st\u00e5 3`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-113111.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p27\"\n },\n {\n fraga: `Vilket av f\u00f6ljande uttryck \u00e4r st\u00f6rst om \\\$x=\\\\tfrac{\\\\pi}{4}\\\$?\n a) \\\$x\\\$ b) \\\$x^{10}\\\$ c) \\\$x^{-100}\\\$ d) \\\$(\\\\tfrac{1}{x})^{10}\\\$`,\n svar: `Svar: \\\$x^{-100}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p28\"\n },\n {\n fraga: `Visa att talet \\\$2^{64}\\\$ g\u00e5r att skriva p\u00e5 formen \\\$a^a\\\$ d\u00e4r a \u00e4r ett heltal.`,\n svar: `\\\$16^{16}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-210027.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p29\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m antalet siffror f\u00f6ljande tal inneh\u00e5ller: \\\$2^{13}\\\\cdot3^{3}\\\\cdot5^{10}\\\$.`,\n svar: `12 st`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-214005.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p30\"\n },\n {\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\sqrt{45}+\\\\sqrt{20}=\\\\sqrt{125}\\\$ .`,\n svar: `Likheten st\u00e4mmer. Tips: Skriv om kvadratrotsuttrycken `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-213828.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p31\"\n \n},\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande utan minir\u00e4knare \\\$\\\\frac{4444^2}{2222\\\\cdot2222}\\\$`,\n svar: `4`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p32\"\n},\n\n {\n fraga: `Vilket \u00e4r det minsta heltalet n s\u00e5 att \\\$n^{25} > 2^{100}\\\$?`,\n svar: `n = 17`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p33\"\n },\n {\n fraga: `Joakim p\u00e5st\u00e5r att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer:\n \\\$4^{7}+4^{7}+4^{7}+4^{7}=\\\\sqrt{2^{32}}\\\$. Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt.`,\n svar: `Det st\u00e4mmer bra`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-064214.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p34\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{(3x^2)^3}{9x^2}\\\$`,\n svar: `\\\$3x^4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p35\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{(2x)^4}{3^2x^4}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{16}{9}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p36\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck med en gemensam bas \\\$81^x \\\\cdot 2^{4x} \\\\cdot 16^{2x}\\\$`,\n svar: `\\\$24^{4x}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p37\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$2^{-1}+2^{-2}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{3}{4}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p38\"\n },\n {\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande uttryck \u00e4r ett heltal<\/p> \\\$16^{\\\\frac{3}{4}}\\\$<\/p> `,\n svar: `Skriv om 16 till \\\$16=2^4\\\$. Anv\u00e4nd sedan potensreglerna `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p39\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande uttryck som en potens med en gemensam bas \\\$x^{3,6} \\\\cdot x^{4,4}\\\$ `,\n svar: `\\\$x^8\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p40\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$1^0+2^0+3^0+4^0+5^0\\\$ `,\n svar: `5`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p41\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$\\\\frac{25y^9}{5y^4}\\\$.`,\n svar: `\\\$5y^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p42\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna v\u00e4rdet av \\\$3^{-2}\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{9}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p43\"\n },\n {\n fraga: `Skriv talet 100000 som en potens med basen 10.`,\n svar: `\\\$10^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p44\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$(2a^3)^4\\\$.`,\n svar: `\\\$16a^{12}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p45\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$\\\\sqrt{9} + \\\\sqrt{16}\\\$.`,\n svar: `\\\$7\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p46\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck med en gemensam bas \\\$4^3 \\\\cdot 5^3\\\$.`,\n svar: `\\\$20^3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p47\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{10x^8}{5x^2}\\\$.`,\n svar: `\\\$2x^6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p48\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna v\u00e4rdet av \\\$7^0 \\\\cdot 2^3\\\$.`,\n svar: `\\\$8\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p49\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$\\\\frac{a^5 \\\\cdot a^3}{a^4}\\\$.`,\n svar: `\\\$a^4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p50\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna uttrycket \\\$10^3 - 10^2\\\$.`,\n svar: `\\\$900\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p51\"\n },\n {\n fraga: `Skriv uttrycket \\\$\\\\frac{1}{x^5}\\\$ med negativ exponent.`,\n svar: `\\\$x^{-5}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p52\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$\\\\frac{\\\\sqrt{100}}{2}\\\$.`,\n svar: `\\\$5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p53\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$(2b)^3\\\$.`,\n svar: `\\\$8b^3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p54\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna v\u00e4rdet av \\\$10^{-2} \\\\cdot 10^4\\\$.`,\n svar: `\\\$100\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p55\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$x^{2,5} \\\\cdot x^{1,5}\\\$.`,\n svar: `\\\$x^4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p56\"\n }\n ],\n\n funktioner: [\n {\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet av \\\$f(x) = 2x+3\\\$ n\u00e4r \\\$x=4\\\$.`,\n svar: `\\\$f(4)=11\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f1\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4t linje g\u00e5r igenom punkterna \\\$(1, 5)\\\$ och \\\$(-2, -1)\\\$ best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen`,\n svar: `\\\$y=2x+3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f2\"\n},\n{\n fraga: `En r\u00e4t linje g\u00e5r igenom punkterna \\\$(4, 1)\\\$ och \\\$(1, 7)\\\$. Best\u00e4m k-v\u00e4ret f\u00f6r den r\u00e4ta linjen.`,\n svar: `\\\$k=-2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f3\"\n},\n{\n fraga: `Nedan visas en r\u00e4t linje. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-081638.png\">`,\n svar: `\\\$y=-4x+2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"grafer\"],\n kod: \"f4\"\n},\n{\n fraga: `Du \u00e4r en matematiker som \u00e4r med i ett forskarteam som ska unders\u00f6k hur bakterien Joakimilus bakterlius f\u00f6r\u00e4ndras n\u00e4r den exponeras f\u00f6r direkt solljus. Allt i experimentet gick bra f\u00f6rutom att de tv\u00e5 f\u00f6rsta dygnens data inte kunde tolkas. Du som matematiker s\u00e4ger att det inte spelar n\u00e5gon roll. Eftersom du vet att f\u00f6r\u00e4ndringen g\u00e5r att beskriva \u00e4nd\u00e5 utifr\u00e5n den k\u00e4nda datan d\u00e5 den \u00e4r exponentiell. Utg\u00e5 fr\u00e5n grafen nedan och konstruera en funktion som beskriver f\u00f6r\u00e4ndring av bakterien Joakimilus bakterlius och best\u00e4m hur m\u00e5nga bakterier som planterades fr\u00e5n b\u00f6rjan. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-102555.png \">`,\n svar: `Det var 2000 bakterier fr\u00e5n b\u00f6rjan`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-214727.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\", \"grafer\"],\n kod: \"f5\"\n},\n{\n fraga: ` Bromsstr\u00e4ckan f\u00f6r en bil g\u00e5r att beskrivas med \\\$s(v)=\\\\frac{v^2}{2k}\\\$ d\u00e4r \u00e4r bromsstr\u00e4ckan \u00e4r \\\$s(v)\\\$, \ud835\udc63 \u00e4r hastigheten i km\/h och \ud835\udc58 \u00e4r kvaliteten p\u00e5 d\u00e4cken. D\u00e4r \ud835\udc58 = 1 \u00e4r de s\u00e4msta d\u00e4cken och \ud835\udc58 = 100 \u00e4r de perfekta d\u00e4cken.<\/p> a) En f\u00f6rare k\u00f6r med perfekta d\u00e4ck. Hur snabbt k\u00f6r f\u00f6raren om bromsstr\u00e4ckan \u00e4r 50 meter? <\/p> b) Observera bromsstr\u00e4ckan f\u00f6r ett d\u00e4ck i grafen nedan. Best\u00e4m kvaliteten p\u00e5 d\u00e4cken. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-190104.png\">`,\n svar: `a) 100 km\/h b) \\\$k=20\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-212400.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensfunktioner\", \"grafer\"],\n kod: \"f6\"\n},\n{\n fraga: `1820 levde 90% av jordens befolkning i extrem fattigdom. Idag \u00e4r det ungef\u00e4r 10% av befolkningen som lever i extrem fattigdom. Organisationen Joakim-aid vill f\u00e5 fram modeller som beskriver hur den extrema fattigdomen har f\u00f6r\u00e4ndrats och kommer f\u00f6r\u00e4ndras fram\u00f6ver.<\/p> a) Skapa tv\u00e5 olika modeller (en linj\u00e4r och en exponentiell) som beskriver f\u00f6r\u00e4ndringen i fattigdom fr\u00e5n 1820 till idag <\/p> b) Best\u00e4m vilket \u00e5r den extrema fattigdomen kommer vara p\u00e5 1% av befolkningen enligt respektive modell.`,\n svar:` a) \\\$f(x)=-0,4+90\\\$ och \\\$f(x)=90\\\\cdot (\\\\frac{1}{9})^{\\\\frac{x}{202}}\\\$ <\/p> b) 2042 enligt den linj\u00e4ra och 2233 enligt den exponentiella`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f7\"\n},\n{\n fraga: `Tv\u00e5 r\u00e4ta linjer \u00e4r parallella. Den ena ekvationen \\\$y=4x+1\\\$ och den andra linjen g\u00e5r igenom punkten \\\$(6, 10)\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den andra r\u00e4ta linjen.`,\n svar: `\\\$y=4x-14\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f8\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4t linje vet du att den har ett k-v\u00e4rde som \u00e4r 10 och g\u00e5r igenom punkterna \\\$(2,7)\\\$ och \\\$(4,a)\\\$ Best\u00e4m f\u00f6ljande<\/p> a) Best\u00e4m en r\u00e4t linje som \u00e4r parallell med den r\u00e4ta linjen <\/p> b) Best\u00e4m talet \\\$a\\\$`,\n svar: `a) Till exempel \\\$y=10x+10\\\$ b) \\\$a=27\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f9\"\n},\n{\n fraga: `En bakteriekultur \u00f6kar exponentiellt enligt en funktion \ud835\udc35(\ud835\udc61) d\u00e4r \ud835\udc35(\ud835\udc61) \u00e4r antalet\nbakterier och \ud835\udc61 \u00e4r tiden i dagar. Fr\u00e5n b\u00f6rjan var det 150 000 bakterier efter 2 dag var\ndet 600 000 bakterier. Best\u00e4m \ud835\udc35(\ud835\udc61)`,\n svar: `\\\$B(t)=150 000\\\\cdot 2^t\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f10\"\n},\n{\n fraga: `Befolkningen minskar exponentiellt i en liten by som heter Joakimsbyn. 2022 r\u00e4knar\nman med att det finns 150 personer i byn och att byns inv\u00e5nare minskar med 10 procent\nf\u00f6r varje \u00e5r. Formulera en funktion som beskriver minskningen och unders\u00f6k hur m\u00e5nga\nsom kommer bo i byn om 10 \u00e5r. `,\n svar: `\\\$f(x)=150\\\\cdot 0,9^x\\\$ och ungef\u00e4r 52 personer efter 10 \u00e5r.`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f11\"\n},\n{\n fraga: `Den r\u00e4ta linjen \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \u22127\ud835\udc65 + 20 har v\u00e4rdem\u00e4ngden \u22123 < \ud835\udc66 < 20. Best\u00e4m linjens\ndefinitionsm\u00e4ngd. `,\n svar: `\\\$0< x <\\\\frac{23}{7}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f12\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilka\/vilka \\\$x\\\$-v\u00e4rden \u00e4r \\\$f(x)=g(x)\\\$ f\u00f6r funktionerna \\\$f(x)=x^2+2x+1\\\$ och \\\$g(x)=2x+2\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f13\"\n},\n {\n fraga: `F\u00f6r funktionen \\\$f(x)=ax^4+2\\\$ vet du att \\\$f(1)=6\\\$. Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$`,\n svar: `\\\$a=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f14\"\n},\n {\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4t linje vet du att den g\u00e5r igenom punkterna \\\$(a, 3)\\\$ och \\\$(2a, 12)\\\$ och har k-v\u00e4rdet 3. Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$`,\n svar: `\\\$a=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f15\"\n},\n{\n fraga: `Ljudvolymen i decibel fr\u00e5n h\u00f6gtalarna fr\u00e5n en\nh\u00e5rdrockskonsert g\u00e5r att beskriva med f\u00f6ljande funktion\n\\\$L(a)=L_0-5,31\\\\cdot a^{0,45}\\\$ d\u00e4r \ud835\udc3f \u00e4r ljudvolymen med\navst\u00e5ndet \ud835\udc4e i meter fr\u00e5n h\u00f6gtalarna\\\$L_0\\\$ \u00e4r den\nursprungliga ljudvolymen. P\u00e5 den h\u00e4r rockkonserten \u00e4r\nursprungsvolymen p\u00e5 120 decibel och man menar att 85\ndecibel och \u00f6ver \u00e4r skadligt f\u00f6r v\u00e5r h\u00f6rsel. Vilket\navst\u00e5nd ska man st\u00e5 p\u00e5 f\u00f6r att inte riskera att skada sin\nh\u00f6rsel? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-115559.png\">`,\n svar: `Ungef\u00e4r 66 meter`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-212650.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensfunktioner\"],\n kod: \"f16\"\n},\n{\n fraga: `En exponentiell funktion \\\$f(x)=C\\\\cdot 0,45^x\\\$ g\u00e5r igenom punkten \\\$(2,5)\\\$ Best\u00e4m talet \\\$C\\\$ med tv\u00e5 decimalers exakthet.`,\n svar: `\\\$C=24,69\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"exponential\"],\n kod: \"f17\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. L\u00f6s olikheten \\\$g(x) > f(x)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-29-072212.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$0 < x < 2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"olikheter\", \"grafer\"],\n kod: \"f18\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)\\\$. L\u00f6s olikheten \\\$3 < f(x)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-29-073009.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$4 < x\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"olikheter\", \"grafer\"],\n kod: \"f19\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar den linj\u00e4ra funktionen \\\$f(x)=-4x+8\\\$ l\u00f6s olikheten \\\$f(x) > 0\\\$`,\n svar: `\\\$x < 2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"olikheter\"],\n kod: \"f20\"\n},\n{\n fraga: `Unders\u00f6k om punkten \\\$(2,8)\\\$ ligger p\u00e5 den r\u00e4ta linjen \\\$y=3x+2\\\$.`,\n svar: `Ja, den ligger p\u00e5 linjen `,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f21\"\n},\n{\n fraga: `En r\u00e4t linje p\u00e5 formen \\\$y=5x+m\\\$ g\u00e5r igenom punkten \\\$(-2,12)\\\$ Best\u00e4m var den r\u00e4ta linjen sk\u00e4r y-axeln.`,\n svar: `Den sk\u00e4r i \\\$y=22\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f22\"\n},\n{\n fraga: `En r\u00e4t linje sk\u00e4r x-axeln i \\\$x=4\\\$ och sk\u00e4r y-axeln i \\\$y=12\\\$ Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen`,\n svar: \"\\\$y=-3x+12\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f23\"\n},\n{\n fraga: `Om du vet att \\\$f(x)=2x+1\\\$ och \\\$g(x)=-4x+2\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 den sammansatta funktionen \\\$f(g(x))\\\$`,\n svar: \"\\\$f(g(x))=-8x+5\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f24\"\n},\n{\n fraga: `\tTv\u00e5 r\u00e4ta linjer har samma k-v\u00e4rde. Den ena g\u00e5r igenom punkterna (a,10) och (6,16). Den andra g\u00e5nger igenom punkterna (-2,-1) och (a,17). Best\u00e4m k-v\u00e4rdet f\u00f6r de r\u00e4ta linjerna. `,\n svar: \"\\\$k=3\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f25\"\n},\n{\n fraga: `\tFunktionen \\\$f(t)=2+10\\\\cdot 0,92^t\\\$ visar hur m\u00e5nga ton koldioxid som ett f\u00f6retag sl\u00e4pper ut varje \u00e5r fr\u00e5n 2023. \ud835\udc66 \u00e4r antalet ton och t \u00e4r \u00e5r fr\u00e5n 2023. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p>\n\na) Hur m\u00e5nga ton koldioxid sl\u00e4pper f\u00f6retaget ut 2023? <\/p>\nb) Hur m\u00e5nga ton koldioxid sl\u00e4pper f\u00f6retaget ut 2027 enligt modellen. Svara med tv\u00e5 decimaler <\/p>\nc) Vilket \u00e5r har utsl\u00e4ppen halverats i f\u00f6rh\u00e5llande till 2023 \u00e5rs niv\u00e5er. \n`,\n svar: \"a) 12 ton b) 9,16 ton c) 11 \u00e5r\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f26\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilket x-v\u00e4rde f\u00f6ljande r\u00e4ta linjer sk\u00e4r varandra \\\$y=-3x+8\\\$ och \\\$y=2x-2\\\$`,\n svar: \"\\\$x=2\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f27\"\n},\n{\n fraga: `Para ihop ekvationerna med graferna. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-09-064641.png\">`,\n svar: \"5.\t1-D, 2-C, 3-A, 4-B\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"grafer\"],\n kod: \"f28\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s olikheten \\\$3x+4<2x+10\\\$`,\n svar: \"\\\$x<6\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f29\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en linj\u00e4r funktion \\\$f(x)\\\$ vet du att \\\$f(a+7)=f(a)+21\\\$ Best\u00e4m \\\$k\\\$-v\u00e4rdet f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ `,\n svar: \"\\\$k=3\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f30\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4t linje \\\$f(x)\\\$ vet du att den sk\u00e4r \\\$y\\\$-axeln i \\\$y=5\\\$. Du vet ocks\u00e5 att \\\$f(a+1)=5\\\$ samt \\\$f(a-3)=-5\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen.`,\n svar: \"\\\$f(x)=\\\\frac{5}{2}x+5\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f31\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s olikheten \\\$10x+12<5x+22\\\$`,\n svar: \"\\\$x<2\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f32\"\n},\n{\n fraga: `Joakim definierar den r\u00e4ta linjen \\\$y=4x+10\\\$ <\/p> a) Best\u00e4m en r\u00e4t linje som \u00e4r parallell med Joakims linje <\/p> b) Best\u00e4m en r\u00e4t linje som \u00e4r vinkelr\u00e4t med Joakims linje `,\n svar: \"a) Till exempel \\\$y=4x+1\\\$ b) Till exempel \\\$y=-\\\\frac{x}{4}+1\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f33\"\n},\n{\n fraga: `En r\u00e4t linje p\u00e5 formen \\\$y=-3x+m\\\$ g\u00e5r igenom punkten (2,6). Best\u00e4m m-v\u00e4rdet f\u00f6r den r\u00e4ta linjen`,\n svar: \"\\\$m=12\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f34\"\n},\n{\n fraga: `En exponentiell funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=C\\\\cdot a^x\\\$ vet du att \\\$f(0)=20\\\$ Best\u00e4m d\u00e5 konstanten \\\$C\\\$`,\n svar: \"\\\$C=20\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f35\"\n},\n{\n fraga: `Det l\u00e4cker i en tunna med vatten. M\u00e4ngden vatten g\u00e5r att beskriva med funktionen\n\ud835\udc53(\ud835\udc61) = 500 \u2212 10\ud835\udc61 d\u00e4r \ud835\udc61 \u00e4r tiden i timmar och \ud835\udc53(\ud835\udc61) \u00e4r m\u00e4ngden vatten.<\/p> a) Efter hur m\u00e5nga timmar \u00e4r tunnan tom?<\/p> b) Best\u00e4m definitionsm\u00e4ngden och v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r \\\$f(t)\\\$`,\n svar: `a) 50 timmar b) Definitionsm\u00e4ngd \\\$0\\\\leq x \\\\leq 50\\\$ V\u00e4rdem\u00e4ngd \\\$0\\\\leq y \\\\leq500\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f36\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du en del av grafen till \\\$f(x)\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a)Best\u00e4m \\\$f(4)\\\$ <\/p> b) L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=1\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-111235.png\">`,\n svar: `a) \\\$f(4)=2\\\$b) \\\$x=1\\\$ `,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f37\"\n},\n{\n fraga: `Grafen nedan \u00e4r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=Ca^x\\\$ Best\u00e4m konstanterna \\\$C\\\$ och \\\$a\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-094921.png\">`,\n svar: `\\\$C=3, a=1,41\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"grafer\", \"exponential\"],\n kod: \"f38\"\n},\n{\n fraga: `Virussjukdomen Polio har minskat exponentiellt i ett omr\u00e5de de senaste \u00e5ren. 2008 bekr\u00e4ftades av WHO (V\u00e4rldsh\u00e4lsoorganisationen) 1651 fall av Polio, 2023 var det bara 12 st. Om man antar att minskningen g\u00e5r att uttrycka exponentiellt enligt \\\$P(t)\\\$. Hur m\u00e5nga procent minskade antalet bekr\u00e4ftade fall av Polio med varje \u00e5r fr\u00e5n 2008 enligt funktionen? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-181827.png\">`,\n svar:`Minskade med 28% per \u00e5r.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f39\"\n},\n{\n fraga: `Joakim h\u00e4ller upp en kopp kaffe. Efter 7 minuter har 40% av den ursprungliga v\u00e4rmen i kaffet f\u00f6rsvunnit. Hur l\u00e5ngt tar det till att ursprungsv\u00e4rmen p\u00e5 kaffet har minskat med 60%. Anta av v\u00e4rmen avtar exponentiellt.`,\n svar:`Ungef\u00e4r 12,5 minuter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f40\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4t linje vet du att k-v\u00e4rdet \u00e4r 3 och sedan vet du att \\\$f(a)=3\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 \\\$f(a+2)\\\$`,\n svar:`\\\$f(a+2)=9\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f41\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en exponentiell funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=C \\\\cdot a^x\\\$. Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ om du vet att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$f(x+1)=\\\\frac{1}{2}\\\\cdot f(x)\\\$`,\n svar:`\\\$a=\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"exponential\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f42\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar funktionerna \\\$f(x)=4x+1\\\$ och \\\$g(x)=-2x-2\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 \\\$f(g(x))\\\$`,\n svar:`\\\$f(g(x))=-8x-7\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f43\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2\\\$ f\u00f6r vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$x\\\$ \u00e4r \\\$f(x)=16\\\$`,\n svar:`\\\$x=\\\\pm4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f44\"\n},\n{\n fraga: `Para ihop graferna med f\u00f6ljande funktionsekvationer<\/p> \\\$f(x)=1,3^x\\\$ <\/p> \\\$g(x)=2\\\\cdot 0,5^x\\\$ <\/p> \\\$h(x)=2\\\\cdot 1,5^x\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-194804.png\">`,\n svar:`\\\$f(x)\\\$ \u00e4r bl\u00e5, \\\$g(x)\\\$ \u00e4r gr\u00f6n, \\\$h(x)\\\$ \u00e4r r\u00f6d`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\", \"exponential\"],\n kod: \"f45\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar funktionerna \\\$f(x)=2x+1\\\$ och \\\$g(x)=-x-8\\\$. L\u00f6s ekvationen \\\$f(g(x))=1\\\$`,\n svar:`\\\$x=-8\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f46\"\n},\n{\n fraga: `Unders\u00f6k f\u00f6r vilka r\u00e4ta linjer f\u00f6ljande samband g\u00e4ller \\\$f(a\\\\cdot x)=a\\\\cdot f(x)\\\$ d\u00e4r \\\$a\\\$ \u00e4r ett heltal skilt fr\u00e5n 0`,\n svar: `Det g\u00e4ller alla funktioner p\u00e5 formen \\\$f(x)=kx\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f47\"\n},\n{\n fraga: `Funktionen \\\$f(x)=x^2+1\\\$ \u00e4r given. Unders\u00f6k om det finns n\u00e5got \\\$a\\\$ s\u00e5dan att \\\$f(a+2)=f(a-1)\\\$`,\n svar: `\\\$a=-\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-211937.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\",\"potensfunktioner\"],\n kod: \"f48\"\n},\n{\n fraga: `Antalet \u00e5lar har minskat kraftigt under m\u00e5nga \u00e5r. Om man j\u00e4mf\u00f6r med 1950 finns idag bara 3% av best\u00e5ndet kvar. Man r\u00e4knar med att \u00e5lens best\u00e5nd minskar exponentiellt. Konstruera en funktion som beskriver minskningen av antalet \u00e5lar. Hur m\u00e5nga procent av 1950 \u00e5rs best\u00e5nd kommer vara kvar 2050 enligt din modell?`,\n svar: `0,59% av best\u00e5ndet \u00e4r kvar`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f49\"\n},\n{\n fraga: `Ebbingshaus gl\u00f6mskekurva \u00e4r en psykologisk modell f\u00f6r hur vi\ngl\u00f6mmer saker \u00f6ver tid. Modellen anpassas efter vad vi ska\nkomma ih\u00e5g namn i en grupp man inte l\u00e4ngre tr\u00e4ffar. Modellen\ng\u00e5r att beskriva med funktionen <\/p>\n \\\$N(t)=N_0\\\\cdot 0,93^t\\\$ <\/p>\nD\u00e4r \\\$N_0\\\$ \u00e4r antalet namn man kan fr\u00e5n b\u00f6rjan och \ud835\udc61 \u00e4r tiden i \u00e5r.\nBest\u00e4m efter hur m\u00e5nga \u00e5r man enbart vet h\u00e4lften av de namn\nman kunde fr\u00e5n b\u00f6rjan. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-11-082328.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Ungef\u00e4r 9,5 \u00e5r`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f50\"\n},\n{\n fraga: `Transportstyrelsen menar att antalet trafikolyckor d\u00e4r personer blir sv\u00e5rt skadade\nminskar exponentiellt. I och med att s\u00e4kerheten blir b\u00e4ttre i bilar och att teknologin\nf\u00f6rb\u00e4ttrar den m\u00e4nskliga faktorn f\u00f6rv\u00e4ntas allvarliga skador ocks\u00e5 minska. 2020\nskadades 1645 personer sv\u00e5rt i trafikolyckor. Enligt Transportstyrelsens prognos\nkommer det bara vara 1000 sv\u00e5rt skadade \u00e5r 2045.<\/p> \na) Skapa en funktion \ud835\udc53(\ud835\udc61) som beskriver Transportsstyrelsens prognos. \ud835\udc53(\ud835\udc61) ska vara\nantalet allvarligt skadade i trafiken och \ud835\udc61 \u00e4r \u00e5r fr\u00e5n 2020.<\/p>\nb) Efter hur m\u00e5nga \u00e5r \u00e4r olycksantalet 500 sv\u00e5rt skadade?`,\nsvar: `a) \\\$f(t)=1650\\\\cdot 0,98^t\\\$ b) 59 \u00e5r`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f51\"\n},\n{\n fraga: ` Observera funktionerna \ud835\udc53(\ud835\udc65) och \ud835\udc54(\ud835\udc65) nedan.<\/p> a) Funktionen \u210e(\ud835\udc65) definieras som \u210e(\ud835\udc65) = \ud835\udc54(\ud835\udc65) + \ud835\udc53(\ud835\udc65). Best\u00e4m \u210e(4) <\/p> b) Funktionen \u210e(\ud835\udc65) definieras nu som \u210e(\ud835\udc65) = \ud835\udc53(\ud835\udc54(\ud835\udc65)). Best\u00e4m \u210e(4). <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-173238.png\">`,\n svar:`a) \\\$h(4)=4\\\$ b) \\\$h(4)=-2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f52\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim har hyra en bil f\u00f6r att resa till Vasaloppet och \u00e5ka skidor. Han har tittar p\u00e5 tv\u00e5\nolika bilfirmor. <\/p> <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-092905.png\"> <\/p> Joakim vet att om han hyr bilen i en vecka kommer det inte spela n\u00e5gon roll vilken\nbilfirma han v\u00e4ljer. Hur mycket \u00e4r dagskostnaden f\u00f6r bilfirman B. `,\n svar:`Dagskostnaden \u00e4r 400 kr`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f53\"\n},\n{\n fraga: `Observera listorna f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-174955.png\"> Best\u00e4m ekvationerna f\u00f6r funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$`,\n svar:`\\\$f(x)=3x+4\\\$ och \\\$g(x)=243\\\\cdot (\\\\frac{1}{3})^x\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f54\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en linj\u00e4r funktion vet du att \\\$f(a-1)=1\\\$ samt att \\\$f(a+1)=7\\\$ Best\u00e4m k-v\u00e4rdet f\u00f6r funktionen `,\n svar:`\\\$k=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f55\"\n},\n{\n fraga: `I Joakimk\u00f6ping har befolkning minskat fr\u00e5n 10 000 personer 2014 till 5000 personer\np\u00e5 2024 \u00e5r.<\/p> \na) Konstruera en linj\u00e4r funktion som beskriver befolkningsminskningen fr\u00e5n 2014 <\/p>\nb) Konstruera en exponentiell funktion som beskriver befolkningsminskningen 2014`,\n svar:`a) \\\$y=-500+10000\\\$ b) \\\$y=10000\\\\cdot 0,933^x\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"exponential\"],\n kod: \"f56\"\n},\n{\n fraga: `Hyreskostnaden \ud835\udc3b att bo i en hyresbostad f\u00f6r ett f\u00f6retag g\u00e5r att beskriva med\nfunktionen \ud835\udc3b(\ud835\udc34) = 2500 + \ud835\udc58 \u22c5 \ud835\udc34 d\u00e4r \ud835\udc34 \u00e4r boarean f\u00f6r bostaden och \ud835\udc58 \u00e4r kostnaden\nper kvadratmeter. Best\u00e4m konstanten \ud835\udc58 med hj\u00e4lp av statistiken nedan, tolka ocks\u00e5 i\nord vad \ud835\udc58 betyder. . <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-175633.png\">`,\n svar:`\\\$k\\\$ st\u00e5r f\u00f6r konstnaden p\u00e5 kvadratmeter och \\\$k=50\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f57\"\n},\n{\n fraga: ` Nedan har du funktionen \\\$f(x)\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) \\\$f(4)\\\$ <\/p> b) L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=5\\\$ <\/p> c) Best\u00e4m definitionsm\u00e4ngden f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ <\/p>d) Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ . <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-075751.png\">`,\n svar:`a) \\\$f(4)=3\\\$ b) \\\$x=5\\\$ c) \\\$0\\\\leq x \\\\leq6\\\$ d) \\\$0\\\\leq y \\\\leq 7\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [4,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f58\"\n},\n{\n fraga: ` Nedan har du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ \\\$g(x)\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) \\\$g(1)\\\$ <\/p> b) L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=4\\\$ <\/p> c) Best\u00e4m definitionsm\u00e4ngden f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ <\/p>d) L\u00f6s olikheten \\\$g(x) < f(x)\\\$ . <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-11-080439.png\">`,\n svar:`a) \\\$g(1)=2\\\$ b) \\\$x=2\\\$ c) \\\$0\\\\leq x \\\\leq3\\\$ d) \\\$0 < x < 2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [3,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\",\"olikheter\"],\n kod: \"f59\"\n},\n{\n fraga: `Anv\u00e4nd graferna nedan f\u00f6r att l\u00f6sa ekvationen \\\$f(g(x))=2\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-103720.png\">`,\n svar:`\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f60\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r funktionen \\\$h(x)\\\$ om \\\$h(x)=f(x)+g(x)\\\$. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-184511.png\">`,\n svar:`\\\$10\\\\leq y \\\\leq28\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f61\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen som sk\u00e4r den exponentiella funktionen \\\$f(x)=16\\\\cdot (\\\\frac{1}{2})^x\\\$`,\n svar:`\\\$y=-3x+11\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f62\"\n},\n{\n fraga: `\\\$f(x)=20x-30\\\$ \u00e4r definierad. Best\u00e4m \\\$a\\\$ om \\\$f(a+2)=40\\\$`,\n svar:`\\\$a=\\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f63\"\n},\n{\n fraga: ` F\u00f6r funktionen \\\$f(x)=1,23^x\\\$ placerar vi en punkt l\u00e4ngst med grafen. Fr\u00e5n den punkten dras en r\u00e4t linje till \ud835\udc65-axeln och \ud835\udc66-axeln vilket bildar en rektangel. F\u00f6r vilken punkt \ud835\udc34 skapas en kvadrat? Funktionen \\\$f(x)\\\$ har definitionsm\u00e4ngden 0 \u2264 \ud835\udc65 \u2264 5. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-172358.png\">`,\n svar:`\\\$(1,31; 1,31)\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-211323.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f64\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har tagit fram statistik f\u00f6r skatteint\u00e4kter och befolkningstillv\u00e4xten i staden Joakimk\u00f6ping. Funktionen \ud835\udc46(\ud835\udc4f) beskriver skatteint\u00e4kterna beroende p\u00e5 befolkningen \ud835\udc4f i staden och funktionen \ud835\udc35(\ud835\udc61) beskriver den f\u00f6rv\u00e4ntade befolkningen fr\u00e5n 2024 d\u00e4r \ud835\udc61 \u00e4r antal \u00e5r fr\u00e5n 2024.<\/p> a) Tolka vad man vill ta reda p\u00e5 om man st\u00e4ller upp ekvationen \ud835\udc46(\ud835\udc35(\ud835\udc61)) = 140 <\/p> b) L\u00f6s ekvationen \ud835\udc46(\ud835\udc35(\ud835\udc61)) =140 \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-171217.png\"> `,\n svar:` a) Vilket \u00e5r \u00e4r skatteint\u00e4kterna 140 miljoner <\/p> b)\\\$t=5\\\$ `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f65\"\n},\n{\n fraga: ` Nedan ser du tv\u00e5 r\u00e4ta linjer och en avgr\u00e4nsad area. Om du vet att den ena r\u00e4ta linjen har en riktningskofficient 2 och att linjerna sk\u00e4r varandra i \\\$y=4\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r linje \ud835\udc34 om arean f\u00f6r den markerade triangeln \u00e4r 14 areanenheter. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-153840.png\">`,\n svar:`\\\$y=-5x+14\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f66\"\n},\n{\n fraga: `a) Best\u00e4m den r\u00e4ta linjen i koordinatsystemet\np\u00e5 allm\u00e4n form \\\$ay+bx+c=0\\\$ <\/p> \nb) Best\u00e4m en linje som \u00e4r parallell med linjen i\nKoordinatsystemet p\u00e5 allm\u00e4n form. <\/p>\nc) Best\u00e4m en linje som \u00e4r vinkelr\u00e4t med linjen\ni koordinatsystemet p\u00e5 allm\u00e4n form. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-082548.png\">`,\n svar:`a) \\\$y+3x-5=0\\\$ b)Till exempel \\\$y+3x+7\\\$ c) Till exmepel \\\$y=-\\\\frac{1}{3}x+1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"grafer\"],\n kod: \"f67\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-082530.png\"> Best\u00e4m vilken av graferna A-H som kan beskriva den sammansatta funktionen \\\$g(f(x))\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-082739.png\">`,\n svar:`D`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f68\"\n},\n{\n fraga: `Funktionen \\\$f(x)=C\\\\cdot 2^x\\\$ har definitionsm\u00e4ngden -1<\\\$x\\\$<3. Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r funktionen uttryckt i \\\$C\\\$`,\n svar:`\\\$\\\\frac{C}{2}\\\$ < y < \\\$8C\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f69\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar tv\u00e5 r\u00e4ta linjer \\\$2y+6x-15=15\\\$ och \\\$10x-ay+35=0\\\$ f\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ \u00e4r de r\u00e4ta linjerna <\/p> a) Parallella <\/p> b) Vinkelr\u00e4ta `,\n svar:`a) \\\$a=-\\\\frac{10}{3}\\\$ b) \\\$a=30\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f70\"\n},\n{\n fraga: `Biografen Joakims Bio rymmer 300 personer och \u00e4r alltid fullbokad. Joakim tar 200 kr f\u00f6r en vuxenbiljett och 125 f\u00f6r en barnbiljett <\/p> Om vi antar att biografen \u00e4r fullsatt konstruera en funktion \\\$I(x)\\\$ som beskriver int\u00e4kterna f\u00f6r Joakims Bio beroende p\u00e5 hur m\u00e5nga vuxna som \u00e4r i salongen. Best\u00e4m ocks\u00e5 funktionens v\u00e4rdem\u00e4ngd.`,\n svar:`\\\$I(x)=75x+37500\\\$ och v\u00e4rdem\u00e4ngden 37500 < y < 60000`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f71\"\n},\n{\n fraga: `De amerikanska tr\u00e4den Redwood \u00e4r de tr\u00e4d som blir h\u00f6gst i v\u00e4rlden. Tr\u00e4det Hyperion \u00e4r det h\u00f6gsta uppm\u00e4tta tr\u00e4det p\u00e5 116 meter. Inom tr\u00e4dvetenskapen anv\u00e4nder man f\u00f6ljande funktion f\u00f6r att best\u00e4mma ett Redwood-tr\u00e4ds h\u00f6jd utifr\u00e5n dess diameter. \\\$H(D)=40\\\\cdot D^{\\\\frac{2}{3}}\\\$ d\u00e4r \\\$H(D)\\\$ \u00e4r h\u00f6jden p\u00e5 tr\u00e4den och \\\$D\\\$ \u00e4r diametern p\u00e5 tr\u00e4den, b\u00e5da uttryckt i meter.<\/p> En annan funktion som anv\u00e4nds f\u00f6r att best\u00e4mma ett redwoods-tr\u00e4ds diameter utifr\u00e5n dess \u00e5lder \u00e4r \\\$D(A)=0,1\\\\cdot A^{\\\\frac{3}{5}}\\\$ d\u00e4r \\\$D(A)\\\$ \u00e4r diametern p\u00e5 tr\u00e4det och \\\$A\\\$ \u00e4r \u00e5ldern i \u00e5r.<\/p> a) Best\u00e4m diametern p\u00e5 Hyperion.<\/p> b) Joakim menar att man kan best\u00e4mma ett redwood-tr\u00e4ds h\u00f6jd med hj\u00e4lp av funktionen \\\$H(A)=8,6\\\\cdot A^{\\\\frac{2}{5}}\\\$. Visa hur Joakim tagit fram funktionen \\\$H(A)\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-154636.png\">`,\n svar:`a) 4,94 meter b) Visa med hj\u00e4lp av den sammansatta funktionen`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-211151.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensfunktioner\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f72\"\n},\n{\n fraga: `Fysikern och kemisten Marie Curies anteckningsb\u00f6cker har en stor m\u00e4ngd radioaktivt radium (nuklid 226) p\u00e5 sig. D\u00e4rf\u00f6r f\u00f6rvaras de i ett speciellt sk\u00e5p i Frankrike f\u00f6r att ingen ska skadas av den farliga radioaktiviteten. Radiumk\u00e4rnorna har en halveringstid p\u00e5 1600 \u00e5r. Det inneb\u00e4r att efter 1600 \u00e5r har antalet radiumk\u00e4rnor halverats i f\u00f6rh\u00e5llande till vad det var fr\u00e5n b\u00f6rjan, sedan forts\u00e4tter den processen med halvering var 1600 \u00e5r. Nutidens k\u00e4rnfysiker menar att 99% av radiumk\u00e4rnorna m\u00e5ste f\u00f6rsvinna innan b\u00f6ckerna kan visas f\u00f6r allm\u00e4nheten igen. Hur l\u00e5ng tid kommer det ta? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-165439.png\">`,\n svar: `Ungef\u00e4r 10630 \u00e5r `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-205711.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f73\"\n},\n{\n fraga: `Den bl\u00e5markerande arean \u00e4r 10 areaenheter. Best\u00e4m k-v\u00e4rdet p\u00e5 den r\u00e4ta linjen <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-165418.png\">`,\n svar:`\\\$k=\\\\frac{4}{3}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-205857.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"grafer\"],\n kod: \"f74\"\n},\n{\n fraga: ` Nedan ser du 3 kvadrater med olika areor som \u00e4r inskrivna i ett koordinatsystem. Du ser ocks\u00e5 3 punkter som finns som definieras som \ud835\udc431, \ud835\udc432, \ud835\udc433.<\/p> a) Best\u00e4m den r\u00e4ta linje som g\u00e5r igenom samtliga tre punkter. <\/p> b) Visa att ingen exponentiell funktion kan g\u00e5 igenom samtliga tre punkter <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-165514.png\">`,\n svar:`a) \\\$y=x+a\\\$ b) Unders\u00f6k de olika fallen och visa sedan att de inte kan g\u00e5 igenom de olika punkterna.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,4],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-210039.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"grafer\", \"exponential\"],\n kod: \"f75\"\n},\n{\n fraga: `En exponentiell funktion \\\$g(x)\\\$ har f\u00f6ljande samband <\/p> \\\$g(0)=4\\\$ <\/p> \\\$\\\\frac{g(102)}{g(100)}=25\\\$ <\/p> Best\u00e4m funktionen \\\$g(x)\\\$ `,\n svar:`\\\$g(x)=4\\\\cdot 5^x\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-210239.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f76\"\n},\n{\n fraga: ` Det finns en modell f\u00f6r att r\u00e4kna ut st\u00f6rre havslevande djurs l\u00e4ngd i meter utifr\u00e5n dess\nvikt i kg. Modellen \u00e4r f\u00f6ljande \\\$L(V)=0,46\\\\cdot V^{\\\\frac{1}{3}}\\\$ d\u00e4r \\\$L(V)\\\$ \u00e4r l\u00e4ngden i meter och \\\$V\\\$ \u00e4r vikten i kg <\/p> a) En normal bl\u00e5val \u00e4r 23 meter. Best\u00e4m vikten p\u00e5 en s\u00e5dan bl\u00e5val. <\/p> b) Joakim menar att man kan r\u00e4kna ut ett stort\nhavslevande djurs vikt med hj\u00e4lp av dess l\u00e4ngd\nf\u00f6ljande funktion \\\$V(L)=\\\\frac{L^3}{0,097}\\\$ Visa hur Joakim f\u00e5tt fram sin funktion. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-090339.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar:`a) 125000 kg b) L\u00f6s ut V ur formeln. `,\n niva: \"A\",\n poang: [1,1,2], \n digital: true,\n underkategori: [\"potensfunktioner\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f77\"\n},\n{\n fraga: `Tv\u00e5 linjer \u00e4r vinkelr\u00e4ta. Den ena linjen har ekvationen \\\$y=kx+2\\\$ och den andra g\u00e5r igenom punkterna \\\$(1, 2)\\\$ och \\\$(k, 8)\\\$. Best\u00e4m talet \\\$k\\\$`,\n svar: `\\\$k=\\\\frac{1}{7}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f78\"\n},\n{\n fraga: `En exponentiell funktion \\\$f(x)\\\$ g\u00e5r igenom punkterna \\\$(0,4)\\\$ och \\\$(4,100)\\\$ Best\u00e4m funktionen \\\$f(x)\\\$`,\n svar: `\\\$f(x)=4\\\\cdot 2,24^x\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f79\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m den sammansatta funktionen \\\$h(x)=f(g(x))\\\$ p\u00e5 formen \\\$h(x)=Ca^x\\\$ om du vet att \\\$f(x)=5^x\\\$ och \\\$g(x)=x+2\\\$`,\n svar: `\\\$h(x)=25\\\\cdot 5^x\\\$ `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f80\"\n},\n{\n fraga: `En sj\u00f6 b\u00f6rjar bli mer och mer f\u00f6rorenad. De tv\u00e5 olika fiskpopulationerna som finns i\nsk\u00f6n reagerar olika p\u00e5 det. Fisk A finns det 2024 25 000 individer och f\u00f6rv\u00e4ntas\nminska med 3% varje \u00e5r. Fisk B finns det 2024 12 500 individer och f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka\nmed 5% varje \u00e5r. Vilket \u00e5r finns det lika m\u00e5nga individer av respektive population. `,\n svar: `2032 (8,75 \u00e5r efter 2024)`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f81\"\n},\n{\n fraga: `Skriv den r\u00e4ta linjen \\\$2y+4x=10\\\$ p\u00e5 formen \\\$y=kx+m\\\$`,\n svar: `\\\$y=-2x+5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f82\"\n},\n{\n fraga: ` Observera graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$ nedan. <\/p> a) Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r \\\$f(x)\\\$<\/p> b) Best\u00e4m \\\$f(2)\\\$ <\/p> c) Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngd och definitionsm\u00e4ngd f\u00f6r \\\$g(x)\\\$ <\/p> d) L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=g(x)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-093647.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a) \\\$f(x)=-x+4\\\$ b) \\\$f(2)=2\\\$ c) V\u00e4rdem\u00e4ngd: \\\$0 \\\\leq y \\\\leq 4\\\$ Definitionsm\u00e4ngd: \\\$-1 \\\\leq x \\\\leq 2\\\$ d) \\\$x_1=0,x_2=1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [3,2,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f83\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m en r\u00e4t linje som \u00e4r parallell med den r\u00e4ta linjen \\\$3y-2x+11=0\\\$`,\n svar: `Till exempel \\\$y=\\\\frac{2x}{3}+1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f84\"\n},\n{\n fraga: `I ett experiment med bakterier v\u00e4xer en bakteriekultur exponentiellt med 10% varje dag. N\u00e4r bakteriekulturen har v\u00e4xt med 200% m\u00e5ste man avbryta experimentet. Hur l\u00e5ng tid kommer det ta?`,\n svar: `Det kommer ta 11 dagar`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-210504.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f85\"\n},\n{\n fraga: `Kol-14-metoden \u00e4r ett s\u00e4tt att datera hur gammalt n\u00e5got tidigare levande ting \u00e4r. Alla levande varelser har kol i sig och efter att man d\u00f6r tillf\u00f6rs ingen ny kol och kolatomerna b\u00f6rjar d\u00e4rf\u00f6r f\u00f6rsvinna fr\u00e5n den tidigare levande varelsen eller organismen. Det tar kolatomerna 5730 \u00e5r att halveras och d\u00e4refter halveras de igen efter ytterligare 5730 \u00e5r. Man brukar r\u00e4kna med att man kan f\u00e5 en felmarginal p\u00e5 \u00b150 \u00e5r n\u00e4r man r\u00e4knar med kol-14-metoden. 1936 hittade man ett lik i Halland som man numera kallar Bockstensmannen. Med hj\u00e4lp av kol-14-metoden kunde man konstatera att 92% av kolatomerna \u00e5terstod fr\u00e5n n\u00e4r Bockstensmannen dog. Din uppgift nu \u00e4r att best\u00e4mma mellan vilka \u00e5r Bockstensmannen skulle kunna t\u00e4nkas ha d\u00f6tt?`,\n svar: `N\u00e5gonstans mellan 1197 och 1297`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-210626.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f86\"\n},\n\n{\n fraga: `Joakim s\u00f6ker sig till tv\u00e5 f\u00f6retag f\u00f6r att unders\u00f6ka v\u00e4rdef\u00f6r\u00e4ndringen p\u00e5 hans l\u00e4genhet. Han pratar f\u00f6rst med f\u00f6retaget L\u00e4genhetskungen som v\u00e4rderar l\u00e4genheten till 2 miljoner kr 2022 och att l\u00e4genheten ska \u00f6ka i v\u00e4rde med 3% varje \u00e5r. Det andra f\u00f6retaget heter V\u00e4rderingskungen och menar att Joakims l\u00e4genhet \u00e4r v\u00e4rd 2,1 miljoner 2022 och att den kommer \u00f6ka med 3,8% varje \u00e5r. Joakim observerar att det finns en differens mellan v\u00e4rderingarna och vill unders\u00f6ka vad det f\u00e5r f\u00f6r konsekvenser p\u00e5 l\u00e5ng sikt. Efter hur m\u00e5nga \u00e5r kommer v\u00e4rderingsdifferensen vara mer \u00e4n 1 miljon kronor?`,\n svar: `Efter 23 \u00e5r `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f87\"\n},\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$f(3)\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=x^2+2\\\$.`,\n svar: `\\\$f(3)=11\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f88\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$f(x) = 4\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=4x+2\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f89\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{x^2}{2}\\\$. Med hj\u00e4lp av grafen kan man skapa rektanglar som har\nolika areor beroende p\u00e5 vilket \ud835\udc65 man s\u00e4tter in i funktionen. F\u00f6r vilket \ud835\udc65-v\u00e4rde blir rektangelns\narea 81 areaenheter. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-085413.png\">`,\n svar: `\\\$x=4,33\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-085503.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f90\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har k\u00f6pte en bil f\u00f6r 10 000 kr 2023. Bilens v\u00e4rde f\u00f6rv\u00e4ntas minska med 10% varje \u00e5r fram\u00f6ver. Konstruera en funktion \\\$f(x)\\\$ som beskriver prisminskningen efter \\\$x\\\$ \u00e5r fr\u00e5n 2023.`,\n svar: `\\\$f(x)=10000\\\\cdot 0,9^x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"exponential\"],\n kod: \"f91\"\n },\n {\n fraga: `En produkts v\u00e4rde f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka med 3% varje \u00e5r och \u00e4r v\u00e4rd 150 kr idag. Joakim definierar en funktion \\\$f(x)\\\$ som beskriver produktens v\u00e4rde utifr\u00e5n \\\$x\\\$ \u00e5r fr\u00e5n och med idag.<\/p> \n Best\u00e4m funktionen \\\$f(x)\\\$ <\/p> b) Best\u00e4m och tolka \\\$f(5)\\\$`,\n svar: `a) \\\$f(x)=150\\\\cdot 1,03^x\\\$ b)\\\$f(5)=173,9\\\$ Varans v\u00e4rde efter 5 \u00e5r`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"exponential\"],\n kod: \"f92\"\n },\n {\n fraga: `Nedan f\u00f6ljer tv\u00e5 situationer. Din uppgifter \u00e4r att best\u00e4mma om situationen ger upphov till en linj\u00e4r funktion eller en exponentiell funktion<\/p> A<\/b> Joakim har idag en l\u00f6n p\u00e5 20000 kr. L\u00f6nen f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka med 1000 kr per \u00e5r fram\u00f6ver. \\\$f(x)\\\$ Beskriver Joakims l\u00f6n efter \\\$x\\\$ \u00e5r <\/p> B<\/b> Joakim har idag en l\u00f6n p\u00e5 20000 kr. L\u00f6nen f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka med 4% varje \u00e5r fram\u00f6ver \\\$g(x)\\\$ beskriver Joakims l\u00f6n efter \\\$x\\\$ \u00e5r. <\/p> Para ihop r\u00e4tt funktionstyp med r\u00e4tt situation `,\n svar: `A \u00e4r en linj\u00e4r funktion B \u00e4r en exponentiell.`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"exponential\", \"ratalinjer\"],\n kod: \"f93\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r vilka \\\$x\\\$ g\u00e4ller f\u00f6ljande \\\$2x-4 < 4 < 4x\\\$`,\n svar: `\\\$1 < x < 4\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f94\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r tv\u00e5 exponentiella funktioner \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$ vet du f\u00f6ljande:<\/p>\n\n<ul>\n <li>\\\$f(0)\\\$ \u00e4r tre g\u00e5nger s\u00e5 stor som \\\$g(0)\\\$<\/li>\n <li>\\\$f(x)\\\$ minskar med \\\$p\\\$% f\u00f6r varje x-steg. \\\$g(x)\\\$ \u00f6kar med \\\$p\\\$% f\u00f6r varje x-steg.<\/li>\n <li>\\\$f(5)=g(5)\\\$<\/li>\n<\/ul>\n\nBest\u00e4m \\\$p\\\$.<\/p>\t\n`,\n svar: `\\\$p=11\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\",\"exponential\"],\n kod: \"f95\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m den sammansatta funktionen \\\$h(x)=f(g(x))\\\$ p\u00e5 formen \\\$h(x)=Ca^x\\\$ om <ul>\n <li>\\\$f(x)=3^x\\\$ <\/li>\n <li>\\\$g(x)=2x+3\\\$ .<\/li>\n\n<\/ul>`,\n svar: `\\\$h(x)=27\\\\cdot 9^x\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f96\"\n},\n{\n fraga: `\tNedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. Vi definierar funktionen \\\$h(x)=f(x)-g(x)\\\$. Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r \\\$h(x)\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-10-15-164626.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `\\\$1 < y < 3\\\$ eller \\\$1 \\\\le y \\\\le 3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f97\"\n},\n{\n fraga: `Funktionen nedan g\u00e5r att skriva p\u00e5 formen \\\$f(x)=Ca^x\\\$ Best\u00e4m f\u00f6ljande.<\/p> \n a) \\\$f(1)\\\$ <\/p>\n b) L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=1\\\$<\/p> \n c) Best\u00e4m konstanterna \\\$a\\\$ och \\\$C\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-10-20-085048.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `a) \\\$f(1)=4\\\$ b) \\\$x=3\\\$ c) \\\$a=\\\\frac{1}{2}\\\$ och \\\$C=8\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [3,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"exponential\", \"grafer\"],\n kod: \"f98\"\n},\n{\n fraga: `I kommunen Joakimk\u00f6ping bor det idag 10 000 personer och det f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka med\n200 personer varje \u00e5r fram\u00f6ver fr\u00e5n 2025. Kommunen har tagit fram statistik kring hur\nmycket skatteint\u00e4kter (i miljoner) som kommunen f\u00e5r in beroende p\u00e5 hur m\u00e5nga som\nbor i kommunen. Konstruera en f\u00f6renklad funktion \\\$S(t)\\\$ som beskriver hur mycket\nskatteint\u00e4kter Joakimk\u00f6ping kommer f\u00e5 med avseende p\u00e5 tiden \\\$t\\\$ fr\u00e5n 2025. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-26-091051.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `\\\$S(t)=2,1t+105\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"ratalinjer\"],\n kod: \"f99\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du en tabell som beskriver en exponentialfunktion \\\$f(x)\\\$. Best\u00e4m vad som ska st\u00e5 i a). <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-26-091615.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `a)=4,44`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f100\"\n},\n{\n fraga: `Antalet elbilar har \u00f6kat exponentiellt i Sverige under\nde senaste \u00e5ren. Hemsidan Alltomelbil.se publicerar\nstatistik kring antalet elbilar i Sverige. 2016 fanns det\n10 000 elbilar i Sverige och 2024 fanns det 400 000\nelbilar. Alltomelbil.se menar att Sverige kommer ha\nmer \u00e4n 1 miljon elbilar redan 2026 om exponentiella\ntrenden forts\u00e4tter. Unders\u00f6k om Alltomelbil.se har r\u00e4tt\ni sin prognos. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-072632.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `Det st\u00e4mmer. Konstruera en exponentiell funktion som beskriver utvecklingen.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-073008.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n kod: \"f101\"\n},\n{\n fraga: `Matcha f\u00f6ljande situationer med vilken graf som beskriver f\u00f6rloppet <\/p> \na) Joakims l\u00f6n \u00f6kar med 2000 kr per \u00e5r och f\u00f6rv\u00e4ntas g\u00f6ra det fram\u00f6ver. \\\$f(t)\\\$ beskriver\nl\u00f6nen utifr\u00e5n tiden \ud835\udc61.<\/p>\nb) Joakim l\u00f6n \u00f6kar med 4% varje \u00e5r och f\u00f6rv\u00e4ntas g\u00f6ra det fram\u00f6ver. \\\$f(t)\\\$ beskriver\nl\u00f6nen utifr\u00e5n tiden \ud835\udc61. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-04-203314.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a)-C och b)-A`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"grafer\"],\n kod: \"f102\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilken\/vilka av f\u00f6ljande grafer g\u00e4ller f\u00f6ljande \\\$f(a)<f(a+1)\\\$ f\u00f6r alla \\\$a\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-04-203254.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `B och C`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"grafer\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f103\"\n},\n{\n fraga: `En l\u00e4genhet f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka i v\u00e4rde exponentiellt fr\u00e5n 2020. 2022 var l\u00e4genheten v\u00e4rd\n1,5 miljoner och 2025 var l\u00e4genheten v\u00e4rd 1,7 miljoner. Hur mycket var l\u00e4genheten\nv\u00e4rd 2020 om vi antar att l\u00e4genhetens v\u00e4rde \u00f6kade exponentiellt.`,\n svar: `1,38 miljoner`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f104\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en funktion \\\$f(x)=a\\\\cdot x^4-20\\\$ vet du att \\\$f(2)=12\\\$.`,\n svar: `\\\$a=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"potensfunktioner\"],\n kod: \"f105\"\n},\n{\n fraga: `Joakim investerade i tv\u00e5 olika fonder 2020. Han investerade 3 g\u00e5nger s\u00e5 mycket i den\nena fonden. Efter 5 \u00e5r visar det sig att den fonden han investerade mer i \u00f6kade med 8%\ni snitt per \u00e5r och den andra fonden \u00f6kade med 6% i snitt per \u00e5r. Det totala v\u00e4rdet f\u00f6r\nfonderna var d\u00e5 20 000 kr.<\/p> \na) Hur mycket investerade Joakim i respektive fond? <\/p>\nb) Vilket \u00e5r kommer det totala v\u00e4rdet vara 30 000 kr?`,\n svar: `a) 3480 b) 10,5 \u00e5r`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"exponential\"],\n kod: \"f106\"\n},\n{\n fraga: ` Markera i ett koordinatsystem det omb\u00e5rde som definieras av f\u00f6ljande begr\u00e4nsningar <\/p> \\\$0 \\\\le x \\\\le 4\\\$ <\/p> \\\$y \\\\le x\\\$ <\/p>`,\n svar: ` <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-152951.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f107\"\n},\n{\n fraga: ` En kvadrat \u00f6kar sin sidl\u00e4ngd f\u00f6r varje minut som g\u00e5r. Fr\u00e5n b\u00f6rjan \u00e4r kvadratens\nsidl\u00e4ngd 0 cm och sedan \u00f6kar den linj\u00e4rt. Efter 12 minuter \u00e4r arean f\u00f6r kvadraten\n16 kvadratcentimeter\n. <\/p> \na) Hur m\u00e5nga cm \u00f6kar kvadratens sidl\u00e4ngd varje minut? <\/p>\nb) Best\u00e4m funktionen \ud835\udc34(\ud835\udc65) som beskriver arean f\u00f6r kvadraten d\u00e4r \ud835\udc65 \u00e4r antalet\nminuter.\n`,\n svar: `a) \\\$\\\\frac{1}{3}\\\$ cm\/minut b) \\\$A(x)=(\\\\frac{x}{3})^2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"potensfunktioner\"],\n kod: \"f108\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du en inskriven rektangel i en halvcirkel d\u00e4r rektangelns h\u00f6rn m\u00e5ste vidr\u00f6ra\ncirkelns ytterkant. Radien f\u00f6r cirkeln \u00e4r 1 l\u00e4ngdenhet. Funktionen \\\$A(x)\\\$ beskriver\nrektangelns area d\u00e4r \ud835\udc65 \u00e4r basen p\u00e5 rektangeln. Best\u00e4m definitionsm\u00e4ngden f\u00f6r \\\$A(x)\\\$\ngenom att anv\u00e4nda bilden nedan. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-155007.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$0 \\\\le x \\\\le 2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f109\"\n},\n{\n fraga: ` Vi definierar den r\u00e4ta linjen \\\$2y+4x+a=10\\\$ <\/p> a)Best\u00e4m \\\$a\\\$ om den r\u00e4ta linjen g\u00e5r igenom punkten \\\$(2, 5)\\\$ <\/p> b) Unders\u00f6k om v\u00e5r definierade r\u00e4ta linje \u00e4r parallell med \\\$y=2x+5\\\$ `,\n svar: `a) \\\$a=-8\\\$ b) De \u00e4r inte parallella.`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f110\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. Best\u00e4m antalet l\u00f6sningar till ekvationen \\\$f(x)-g(x)=0\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-12-103306.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `3 st.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"grafer\"],\n kod: \"f111\"\n},\n{\n fraga: `Joakim ritar upp den r\u00e4ta linjen \\\$y=-3x+10\\\$ och den r\u00e4ta linjen \\\$30x+10y-100=0\\\$ i geogebra. Han blir bara lite f\u00f6rvirrad. Han ser bara en r\u00e4t linje. F\u00f6rklara f\u00f6r Joakim vad det beror p\u00e5. `,\n svar: `De \u00e4r samma r\u00e4ta linje`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f112\"\n},\n{\n fraga: `Om du vet att \\\$f(x)=x+5\\\$ har definitionsm\u00e4ngden \\\$0 < x < 3\\\$ samt att \\\$g(x)=x^2\\\$. Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r funktionen \\\$g(f(x))\\\$`,\n svar: `\\\$25 < y < 64\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f113\"\n},\n{\n fraga: `Joakim h\u00e4ller upp en kopp kaffe. Efter 7 minuter har 40% av den ursprungliga v\u00e4rmen i kaffet f\u00f6rsvunnit. Hur l\u00e5ngt tar det innan ursprungsv\u00e4rmen har minskat med 70%. Anta av v\u00e4rmen avtar exponentiellt. `,\n svar: `Ungef\u00e4r 16,5 minuter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true, \n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f114\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet av \\\$f(x) = 5x - 4\\\$ n\u00e4r \\\$x = 3\\\$.`,\n svar: `\\\$f(3) = 11\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f115\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r funktionen \\\$f(x) = 3x + 2\\\$, best\u00e4m \\\$x\\\$ s\u00e5 att \\\$f(x) = 17\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f116\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4t linje g\u00e5r igenom punkterna \\\$(0, 4)\\\$ och \\\$(2, 10)\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen.`,\n svar: `\\\$y = 3x + 4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f117\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$k\\\$-v\u00e4rdet f\u00f6r den r\u00e4ta linjen som g\u00e5r genom punkterna \\\$(1, 2)\\\$ och \\\$(5, 10)\\\$.`,\n svar: `\\\$k = 2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f118\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4t linje har ekvationen \\\$y = -2x + 7\\\$. Best\u00e4m var linjen sk\u00e4r \\\$y\\\$-axeln.`,\n svar: `I punkten \\\$(0, 7)\\\$ (eller \\\$y = 7\\\$)`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f119\"\n },\n {\n fraga: `Unders\u00f6k om punkten \\\$(3, 11)\\\$ ligger p\u00e5 linjen \\\$y = 4x - 1\\\$.`,\n svar: `Ja, den ligger p\u00e5 linjen`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f120\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4t linje har \\\$k\\\$-v\u00e4rdet \\\$3\\\$ och g\u00e5r igenom punkten \\\$(2, 9)\\\$. Best\u00e4m linjens \\\$m\\\$-v\u00e4rde.`,\n svar: `\\\$m = 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f121\"\n },\n {\n fraga: `Tv\u00e5 r\u00e4ta linjer \u00e4r parallella. Den ena linjen har ekvationen \\\$y = 5x - 2\\\$. Ange ett f\u00f6rslag p\u00e5 ekvationen f\u00f6r den andra linjen.`,\n svar: `Till exempel \\\$y = 5x + 1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f122\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s olikheten \\\$4x - 3 < 13\\\$.`,\n svar: `\\\$x < 4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f123\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s olikheten \\\$2x + 5 > 5x - 4\\\$.`,\n svar: `\\\$x < 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2, 0, 0],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f124\"\n },\n {\n fraga: `En exponentiell funktion skrivs p\u00e5 formen \\\$y = C \\\\cdot a^x\\\$. Best\u00e4m startv\u00e4rdet \\\$C\\\$ om du vet att \\\$y = 500\\\$ n\u00e4r \\\$x = 0\\\$.`,\n svar: `\\\$C = 500\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f125\"\n },\n {\n fraga: `Ett kapital p\u00e5 \\\$10\\\\ 000\\\$ kr s\u00e4tts in p\u00e5 ett bankkonto med \u00e5rsr\u00e4ntan \\\$2\\\\%\\\$. Formulera en funktion \\\$K(t)\\\$ som beskriver kapitalet efter \\\$t\\\$ \u00e5r.`,\n svar: `\\\$K(t) = 10000 \\\\cdot 1,02^t\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f126\"\n },\n {\n fraga: `V\u00e4rdet p\u00e5 en moped minskar med \\\$15\\\\%\\\$ varje \u00e5r. Den k\u00f6ptes ny f\u00f6r \\\$20\\\\ 000\\\$ kr. St\u00e4ll upp en funktion \\\$V(x)\\\$ som visar mopeden v\u00e4rde efter \\\$x\\\$ \u00e5r.`,\n svar: `\\\$V(x) = 20000 \\\\cdot 0,85^x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f127\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilket \\\$x\\\$-v\u00e4rde de tv\u00e5 r\u00e4ta linjerna \\\$y = 2x + 1\\\$ och \\\$y = -x + 7\\\$ sk\u00e4r varandra.`,\n svar: `\\\$x = 2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f128\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r funktionen \\\$f(x) = x^2 - 3\\\$, ber\u00e4kna \\\$f(-4)\\\$.`,\n svar: `\\\$f(-4) = 13\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f129\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$f(x) = 25\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x) = x^2\\\$.`,\n svar: `\\\$x = \\\\pm 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f130\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4t linje sk\u00e4r \\\$x\\\$-axeln i \\\$x = 3\\\$ och har \\\$m\\\$-v\u00e4rdet \\\$6\\\$. Best\u00e4m linjens ekvation.`,\n svar: `\\\$y = -2x + 6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f131\"\n },\n {\n fraga: `Givet funktionerna \\\$f(x) = 3x\\\$ och \\\$g(x) = x + 4\\\$, best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$f(2) + g(3)\\\$.`,\n svar: `\\\$13\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f132\"\n },\n {\n fraga: `Skriv om den r\u00e4ta linjen \\\$2y - 6x + 4 = 0\\\$ p\u00e5 k-form (\\\$y = kx + m\\\$).`,\n svar: `\\\$y = 3x - 2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f133\"\n },\n {\n fraga: `En taxiresa kostar en grundavgift p\u00e5 \\\$45\\\$ kr plus \\\$15\\\$ kr per kilometer. Formulera en funktion \\\$K(x)\\\$ f\u00f6r totalkostnaden som funktion av str\u00e4ckan \\\$x\\\$ i km.`,\n svar: `\\\$K(x) = 15x + 45\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f134\"\n }\n ],\n\n sannolikhet: [\n {\n fraga: `En t\u00e4rning kastas. Vad \u00e4r sannolikheten att f\u00e5 en sexa?`,\n svar: `\\\$\\\\tfrac{1}{6}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s1\"\n },\n {\n fraga: `Vad \u00e4r sannolikheten att du sl\u00e5r tv\u00e5 sexor i rad om du har sexsidiga t\u00e4rningar?`,\n svar: \"(\\\$\\\\frac{1}{36}\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s2\"\n},\n {\n fraga: `Joakim kastar staffkast i basket. Joakim har 60% chans att s\u00e4tta en kast.<\/p> a) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim s\u00e4tter tv\u00e5 kast i rad? <\/p> Vad \u00e4r sannolikheten att p\u00e5 3 kast att Joakim har satt 1 och missat 2?`,\n svar: \"a) 36% b) 28,8%\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s3\"\n},\n {\n fraga: `Joakim k\u00f6per 3 trisslotter. Det \u00e4r \\\$\\\\frac{1}{3}\\\$ sannolikhet att det \u00e4r vinst p\u00e5 en lott. <\/p> a) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim vinner p\u00e5 alla lotter? <\/p> b) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim vinner p\u00e5 minst 1 lott?`,\n svar: \"a) 3,7% b) 70%\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s4\"\n},\n {\n fraga: `Joakim har en sk\u00e5l med 10 kulor. 3 av kulorna \u00e4r bl\u00e5, 3 \u00e4r r\u00f6da och 4 \u00e4r svarta. <\/p> a) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim plockar upp en svart kula? <\/p> b) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim plockar upp tv\u00e5 kulor av samma f\u00e4rg?`,\n svar: \"a) 40% b) 26,6%\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s5\"\n},\n {\n fraga: `I en l\u00e5da ligger det 7 vita och 10 svarta bollar. Vad \u00e4r sannolikheten att <\/p> a) Joakim plockar upp tv\u00e5 vita bollar? <\/p> b) Joakim plockar upp etv\u00e5 bollar och en \u00e4r svart och en vit?`,\n svar: \"a) 15% b) 51%\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s6\"\n},\n {\n fraga: `Observera kalkylarket nedan.\n <\/p> a) Best\u00e4m vilken formel som Joakim har skrivit i D2 f\u00f6r att f\u00e5 fram sitt resultat<\/p> b) Best\u00e4m vilken formel som Joakim har skrivit i J2 f\u00f6r att f\u00e5 fram sitt resultat <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmavbild-2025-09-25-kl.-17.43.38.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: \"a) =A2*0,7 b) =D2+B2-H2\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"statistik\"],\n kod: \"s7\"\n},\n {\n fraga: `I ett land \u00e4r det riksdagsval om n\u00e5gra veckor. Man har gjort en valunders\u00f6kning f\u00f6r att\nunders\u00f6ka om partikonstellationen Parti A, Parti B och Parti C kan f\u00e5 majoritet i\nriksdagen. Unders\u00f6kningen visar f\u00f6ljande. Unders\u00f6k om det \u00e4r statistiskt signifikant att partikonstellationen f\u00e5r majoritet enligt\nvalunders\u00f6kningen. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-071707.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: \"Det \u00e4r inte statisiskt signifikant att de f\u00e5r majoritet.\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"statistik\"],\n kod: \"s8\"\n},\n {\n fraga: `Joakim utmanar sin kompis p\u00e5 fotbollsstraffar. Sannolikheten att Joakim s\u00e4tter en straff\n\u00e4r 25%. De ska sl\u00e5 3 straffar var. Joakims alla utfall beskrivs av tr\u00e4ddiagrammet nedan.<\/p> \na) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim missar alla sina straffar? <\/p> \nb) Joakim p\u00e5st\u00e5r att det \u00e4r lika stor sannolikhet att han missar tv\u00e5 och sen s\u00e4tter en som\natt han s\u00e4tter en och sedan missar tv\u00e5. Unders\u00f6k och motivera om han har r\u00e4tt. <\/p> \nc) Joakims kompis fick b\u00f6rja och satte 1 straff. Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim s\u00e4tter\nfler straffar? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-075609.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: \"a) 42% b) Samma ber\u00e4kning d\u00e4rav \u00e4r det samma sannolikhet c) 15,6%\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s9\"\n},\n {\n fraga: `Joakim ska spela p\u00e5 lotto. P\u00e5 lotteriet \u00e4r sannolikheten att man vinner minst en vinst p\u00e5 3 lotter 51,2%. Vad \u00e4r sannolikheten att vinna p\u00e5 en lott? `,\n svar:`21%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-26-092602.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s10\"\n},\n{\n fraga: `Vad \u00e4r sannolikheten att du f\u00e5r minst tv\u00e5 sexor om du sl\u00e5r en sexsidig t\u00e4rning sex g\u00e5nger?`,\n svar:`26%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-26-091742.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s11\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim singlar slant. Det finns tv\u00e5 m\u00f6jliga utfall: antingen krona eller klave.<\/p> a) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim f\u00e5r minst en krona om han singlar fem g\u00e5nger? <\/p> b) Skriv ett uttryck f\u00f6r sannolikheten att f\u00e5 minst en krona om man singlar \ud835\udc5b g\u00e5nger.`,\n svar:`a) \\\$\\\\frac{31}{32}\\\$ b) \\\$1-(\\\\frac{1}{2})^x\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s12\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim ska ta ett beslut i livet som det \u00e4r 40% chans att han f\u00e5r r\u00e4tt p\u00e5. Han kan ta beslutet sj\u00e4lv eller s\u00e5 kan han ge beslutet till sina 3 b\u00e4sta v\u00e4nner som d\u00e5 ocks\u00e5 har 40% chans att ta r\u00e4tt beslut. Joakim kommer d\u00e5 ta det beslutet som majoriteten av hans kompisar v\u00e4ljer (alla kompisar v\u00e4ljer enskilt). Unders\u00f6k om det \u00e4r b\u00e4st att Joakim tar beslutet sj\u00e4lv eller ger beslutet till sina kompisar.`,\n svar:`Det \u00e4r b\u00e4ttre att Joakim tar beslutet sj\u00e4lv eftersom Joakim har 40% chans att f\u00e5 r\u00e4tt och kompisarna har 35,2% chans att g\u00f6ra r\u00e4tt`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s13\"\n},\n{\n fraga: ` a) Det nyskapade Joakimpartiet vill komma in i kommunfullm\u00e4ktige i Lund. Det kr\u00e4vs 3% f\u00f6r att komma in. Under en valunders\u00f6kning som genomf\u00f6rde i maj fick Joakimpartiet 2,6% av r\u00f6sterna. Unders\u00f6kningen hade en felmarginal p\u00e5 \u00b10,5\nprocentenheter. Best\u00e4m om det \u00e4r statistiskt s\u00e4kerst\u00e4llt att Joakimpartiet inte kommer in i kommunfullm\u00e4ktige. <\/p>\nb) I juli gjorde man en ny unders\u00f6kning d\u00e4r Joakimpartiet fick 3,4% av r\u00f6sterna.\nValunders\u00f6kningen hade samma felmarginal som unders\u00f6kningen i maj. Best\u00e4m om\ndet \u00e4r statistiskt signifikant att Joakimpartiet kommer in i kommunfullm\u00e4ktige och \u00e4r\n\u00f6kningen f\u00f6r partiet statistisk signifikant?`,\n svar:`a) Det \u00e4r inte statistiskt s\u00e4kerst\u00e4llt att Joakimpartiet inte kommer in. b) Det \u00e4r inte statistiskt s\u00e4kerst\u00e4llt att de kommer in eller att en \u00f6kning har skett.`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"statistik\"],\n kod: \"s14\"\n},\n {\n fraga: `Beskriv i ord vad f\u00f6ljande spridningsdiagram s\u00e4ger om korrelationen. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-25-154827.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `1. Positiv korrelation, 2. Ingen korrelation, 3. Svag negativ korrelation, 4. Negativ korrelation.`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"statistik\"],\n kod: \"s15\"\n },\n {\n fraga: `Tv\u00e5 mynt kastas. Vad \u00e4r sannolikheten f\u00f6r tv\u00e5 krona?`,\n svar: `\\\$\\\\tfrac{1}{4}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s16\"\n },\n {\n fraga: `I en p\u00e5se med 10 kulor finns det 4 svarta, 6 bl\u00e5a <\/p>\n\na)\tBest\u00e4m sannolikheten att om man plockar upp tv\u00e5 kulor att de \u00e4r av samma f\u00e4rg. <\/p>\n\nb)\tJoakim l\u00e4gger i ett ok\u00e4nt antal r\u00f6da kulor. Sannolikheten att plocka tv\u00e5 av samma f\u00e4rg \u00e4r nu 30%. Hur m\u00e5nga kulor la Joakim till?\n`,\n svar: `a) 47,7% b) 6 st `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s17\"\n },\n {\n fraga: `I en sk\u00e5l finns det 10 kulor med tv\u00e5 olika f\u00e4rger. Joakim tar ner sin hand och plockar\nupp en kula, l\u00e4gger tillbaka den, blandar om och sedan plockar upp en kula igen. Hur\nm\u00e5nga kulor finns det av respektive f\u00e4rg om sannolikheten att Joakim har plockat upp\ntv\u00e5 av samma f\u00e4rg \u00e4r 52%. \n`,\n svar: `6 respektive 4`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s18\"\n },\n {\n fraga: `P\u00e5v\u00e4g till jobbet passerar Joakim 3 trafikljus. Joakim vet att trafikljusen \u00e4r gr\u00f6na 60%\nav tiden och resterande r\u00f6da. Trafikljusen lyser helt slumpm\u00e4ssigt. <\/p>\na) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim f\u00e5r r\u00f6tt p\u00e5 samtliga trafikljus <\/p> \nb) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim f\u00e5r r\u00f6tt p\u00e5 enbart ett trafikljus <\/p>\nc) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim f\u00e5r r\u00f6tt p\u00e5 minst ett trafikljus\n`,\n svar: `a) 6,4% b) 19,2% c) 78,4%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,3,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s19\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har gjort tv\u00e5 unders\u00f6kningar som unders\u00f6kte hur m\u00e5nga av Spykens elever\nsom gillade matematik. Unders\u00f6kningen hade en felmarginal p\u00e5 \u00b1 4 procentenheter.\n2024 svarade 68% av eleverna att de gillade matematik och 2025 svarade 74% av de\ngillade matematik. \u00c4r \u00f6kningen statistiskt signifikant?`,\n svar: `\u00d6kningen \u00e4r inte statistisk signifikant eftersom konfidensintervallen \u00f6verlappar`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"statistik\"],\n kod: \"s20\"\n },\n {\n fraga: `P\u00e5 Spyken kan 40% av eleverna spela gitarr, 30% av eleverna kan spela piano och en\nok\u00e4nd andel kan spela bas. Om man v\u00e4ljer en slumpm\u00e4ssig elev p\u00e5 Spyken \u00e4r\nsannolikheten 66,4% av eleven kan spela minst ett av instrumenten ovan. Hur m\u00e5nga\nprocent av Spykens elever kan spela bas? `,\n svar: `20% spelar bas`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true, \n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s21\"\n },\n {\n fraga: `I en l\u00e5da med 3 par olika skor (ett par vita, ett par svarta, ett par r\u00f6da) ska Joakim ta\nupp tv\u00e5 stycken skor. <\/p> \na) Var \u00e4r sannolikheten att Joakim har f\u00e5tt upp ett par i vita skor om han tar tv\u00e5 stycken? <\/p>\nb) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim h\u00e5ller i tv\u00e5 olika skor om han tar tv\u00e5 stycken? `,\n svar: `a) \\\$\\\\frac{1}{15}\\\$ b) \\\$\\\\frac{4}{5}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s22\"\n },\n {\n fraga: `I en bestickl\u00e5da finns 10 gafflar, 10 knivar och 10 skedar. Str\u00f6mmen har g\u00e5tt och det \u00e4r sl\u00e4ckt i rummet. Hur stor \u00e4r sannolikheten att du f\u00e5r ett bestick av varje sort n\u00e4r du slumpm\u00e4ssigt tar tre bestick ur l\u00e5dan?`,\n svar: `17,7%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s23\"\n },\n {\n fraga: `Joakim ska kasta pennor i en papperkorg. Det visar sig att Joakim s\u00e4tter \\\$\\\\frac{5}{8}\\\$ av sina kast. <\/p> \n\n\ta) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim s\u00e4tter tre pennor i rad? <\/p> \n\n\tb) Vad \u00e4r sannolikheten att om Joakim kastar tre pennor att han satt tv\u00e5 och missat en? <\/p>\n\n\tc) Vad \u00e4r sannolikheten att han satt minst en om han kastar tre pennor?`,\n svar: `a) 24% b) 44% c) 95%`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,3,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s24\"\n }\n ],\n\n problemlosning: [\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett uttryck f\u00f6r arean av den gr\u00e5a rektangeln: \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-02-141824.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `\\\$h(19-b)\\\$.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l1\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har 8 km mellan hemmet och skolan. Han befinner sig nu n\u00e5gonstans d\u00e4remellan. \n Antingen g\u00e5r han direkt till skolan eller g\u00e5r hem, h\u00e4mtar sin cykel och cyklar till skolan. \n Han cyklar sex g\u00e5nger s\u00e5 fort som han g\u00e5r. Oavsett vilket alternativ kommer han fram samtidigt. Hur l\u00e5ngt fr\u00e5n skolan \u00e4r Joakim nu?`,\n svar: `\\\$\\\\tfrac{14}{3}\\\\,\\\\text{ km}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-195621.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l2\"\n },\n {\n fraga: ` Joakim s\u00e4tter sig i en taxi f\u00f6r f\u00f6retaget Taxi Lund. Chauff\u00f6ren s\u00e4ger att han har ett startpris p\u00e5 100 kr och sedan 40 kr per km. Joakim vet ett konkurrerande bolag som heter Taxi Axi inte har n\u00e5gon startavgift men kostar 50 kr per km. \n \na) Skriv ett algebraiskt uttryck f\u00f6r Taxi Lunds kostnad om Joakim \u00e5ker \ud835\udc65 antal km. \n\nb) Skriv ett algebraiskt uttryck f\u00f6r Taxi Axis kostnad om Joakim \u00e5ker \ud835\udc65 antal km. \n\nc) F\u00f6r vilket km-antal spelar det ingen roll om Joakim v\u00e4ljer Taxi Axi eller Taxi Lund. St\u00e4ll upp en ekvation och l\u00f6s den.`,\n svar: `a) \\\$100+40x\\\$ b) \\\$50x\\\$ c) 5 km `,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l3\"\n},\n{\n fraga: ` I en idrottsf\u00f6rening var dubbelt s\u00e5 m\u00e5nga flickor som pojkar medlemmar. En fj\u00e4rdedel av flickorna och h\u00e4lften av pojkarna var fotbollsspelare. Hur stor andel av medlemmarna var fotbollsspelare?`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{3}\\\$ av medlemmarna \u00e4r fotbollsspelare`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l4\"\n},\n{\n fraga: `Tv\u00e5 raka cylindrar A och B har samma volym. Radien i cylinder B \u00e4r 10% st\u00f6rre \u00e4n\nradien i cylinder A. Hur mycket st\u00f6rre \u00e4r h\u00f6jden i cylinder A \u00e4n h\u00f6jden i cylinder B?`,\n svar: `21%`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l5\"\n},\n{\n fraga: `Tre p\u00e5 varandra f\u00f6ljande heltal summeras till 42 best\u00e4m det f\u00f6rsta av talen. `,\n svar: `F\u00f6rsta talet \u00e4r 13`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l6\"\n},\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande multiplikation \\\$(1-\\\\frac{1}{2})(1-\\\\frac{1}{3})(1-\\\\frac{1}{4})(1-\\\\frac{1}{5})\\\\cdot...\\\\cdot(1-\\\\frac{1}{99})(1-\\\\frac{1}{100})\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{100}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-214421.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l7\"\n},\n{\n fraga: ` P\u00e5 en buss sitter ett antal personer. P\u00e5 h\u00e5llplats A g\u00e5r \\\$\\\\frac{1}{4}\\\$ av bussen passagerare av samtidigt som det stiger p\u00e5 6 personer. P\u00e5 h\u00e5llplats B stiger det av \\\$\\\\frac{1}{2}\\\$ av bussen passagerare och samtidigt stiger det p\u00e5 7 personer. P\u00e5 h\u00e5llplats C stiger \\\$\\\\frac{1}{5}\\\$ av och ingen stiger p\u00e5 och kvar p\u00e5 bussen \u00e4r 17 personer. Hur m\u00e5nga var p\u00e5 bussen inf\u00f6r stoppet p\u00e5 h\u00e5llplats A?\n`,\n svar: `30 personer`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-12-kl.-18.31.20.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l8\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en triangel vet du att basen \u00e4r dubbelt s\u00e5 l\u00e5ng som h\u00f6jden. Arean f\u00f6r triangeln \u00e4r 100 \\\$cm^2\\\$. Best\u00e4m h\u00f6jden p\u00e5 triangeln`,\n svar: `H\u00f6jden \u00e4r 10 cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l9\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har 49 bl\u00e5a och 3 r\u00f6d godis i en p\u00e5se. Hur m\u00e5nga bl\u00e5a godisar m\u00e5ste Joakim\n\u00e4ta f\u00f6r att de bl\u00e5 ska utg\u00f6ra \\\$\\\\frac{5}{8}\\\$\nav det totala antalet?\n`,\n svar: `44 st`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l10\"\n},\n {\n fraga: `Joakim ska k\u00f6pa tv\u00e5 produkter. I originalpris \u00e4r den ena 4 g\u00e5nger s\u00e5 dyr som den andra. P\u00e5 rea kostar den billigare produkten en tredjedel av originalpriset och den dyrare h\u00e4lften. \n Totalt blir rabatten 800 kr p\u00e5 summan av originalpriserna. Best\u00e4m originalpriset p\u00e5 den billigare produkten.`,\n svar: `300 kr`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-211229.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l11\"\n },\n {\n fraga: `Salthalten i en tunna med vatten \u00e4r 2%. Hur m\u00e5nga procent av vattnet m\u00e5ste avdunsta f\u00f6r att salthalten ska stiga till 7%?.`,\n svar: `71,4%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-091114.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l12\"\n },\n {\n fraga: `Visa att om omkretsen f\u00f6r en kvadrat och cirkel \u00e4r samma kommer kvadratens area alltid vara mindre \u00e4n cirkelns area..`,\n svar: `Fullst\u00e4ndigt bevis. Tips: Skriv uttryck f\u00f6r b\u00e5da figurernas omkrets och visa sedan p\u00e5 f\u00f6rh\u00e5llandet mellan areorna`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l13\"\n },\n {\n fraga: `Joakim och hans flickv\u00e4n springer runt en cirkul\u00e4r bana med omkrets m meter. \n Joakim tar 5 minuter runt banan, flickv\u00e4nnen 4 minuter. De startar fr\u00e5n samma punkt i motsatta riktningar. \n Efter hur l\u00e5ng tid m\u00f6ts de?`,\n svar: `2,22 minuter (ungef\u00e4r)`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-071322.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l14\"\n },\n {\n fraga: ` Joakims kompish\u00e4ng inneh\u00e5ller 12 personer. De ska g\u00e5 och fixa p\u00e5 ett caf\u00e9. V\u00e4l framme best\u00e4mmer sig ett antal personer i g\u00e4nget att de enbart vill ha bulle som kostar 15 kr styck och den andra tar bara kaffe f\u00f6r 10 kr styck. N\u00e4r de slog ihop kostnaden f\u00f6r samtliga betalade de 140 kr. Hur m\u00e5nga k\u00f6pte kaffe respektive bulle p\u00e5 caf\u00e9et?`,\n svar: `4 personer \u00e5t bulle och 8 personer drack kaffe `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l15\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim och hans 2 kompisar Pelle och Victor har alla olika l\u00e4ngd. Pelle \u00e4r 20 cm l\u00e4ngre \u00e4n Joakim och Joakim \u00e4r 10 cm kortare \u00e4n Victor. Om man summerar Joakim, Pelles och Victors l\u00e4ngd f\u00e5r man 555 cm. Hur l\u00e5ng \u00e4r Joakim?`,\n svar: `175 cm `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l16\"\n},\n {\n fraga: `Ulrika ska fylla sin swimmingpool. Hon har tv\u00e5 olika vattenkranar\nsom hon kan anv\u00e4nda n\u00e4r hon fyller poolen. Ulrika vet att om\nman v\u00e4ljer den ena kranen tar det 6 timmar att fylla poolen med\nvatten. Om hon anv\u00a8ander den andra tar det 3 timmar. Idag t\u00e4nker\nhon anv\u00e4nda b\u00e5da vattenkranarna. Hur l\u00e5ng tid kommer det att ta\natt fylla poolen?`,\n svar: `2 timmar`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l17\"\n },\n {\n fraga: `Triangelns h\u00f6jd utg\u00f6r radien i en halvcirkel. Hur stor andel av halvcirkeln t\u00e4cker triangeln? \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-070027.png\" alt=\"Halvcirkel och triangel\">`,\n svar: `\\\$\\\\tfrac{2}{\\\\pi}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l18\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har g\u00e5tt med i en klubb f\u00f6r matematiker. N\u00e4r han gick med fick han f\u00f6ljande\nproblem som intagningsprov. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmavbild-2025-09-19-kl.-06.45.48.png\" alt=\"Halvcirkel och triangel\"> Unders\u00f6k om du kommer med i klubben`,\n svar: `\\\$\\\\tfrac{5}{9}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l19\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m h\u00f6jden av glaset. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmavbild-2025-09-19-kl.-06.48.14.png\">`,\n svar: `14 cm`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l20\"\n },\n {\n fraga: `\tEn kvadrat med sidl\u00e4ngden \\\$x\\\$ minskar sin h\u00f6jd men \u00f6kar sin bredd till en rektangel (enligt bilden nedan). Skriv ett uttryck f\u00f6r l\u00e4ngden \\\$p\\\$ uttryckt i \\\$x\\\$ om arean f\u00f6r kvadraten och den nya rektangeln ska vara lika stora. Figuren \u00e4r inte skalenligt ritad. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-09-093645.png\">`,\n svar: `\\\$p=\\\\frac{x}{4}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l21\"\n },\n {\n fraga: `Sidan p\u00e5 en kvadrat \u00f6kar med 100%. Det g\u00f6r att arean \u00f6kar med 1200 \ud835\udc50\ud835\udc5a2. Best\u00e4m\nl\u00e4ngden p\u00e5 kvadratens sidl\u00e4ngd efter \u00f6kningen.`,\n svar: `40 cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l22\"\n },\n {\n fraga: `En stor rektangel indelad i 7 kvadrater. Den sammanlagda l\u00e4ngden f\u00f6r de gr\u00e5markerade kvadraterna \u00e4r 12 cm. \n Best\u00e4m arean p\u00e5 kvadraten som \u00e4r markerad med A. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-211904.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Arean \u00e4r 81 \\\$cm^{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-212112.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l23\"\n },\n {\n fraga: `\"Joakim har hittat ett m\u00f6nster. Unders\u00f6k om det g\u00e4ller f\u00f6r alla heltal.\" \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-072415.png\" alt=\"M\u00f6nster\">`,\n svar: `Det st\u00e4mmer bra`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-072726.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l24\"\n },\n {\n fraga: `I en djurpark best\u00e5r en flock av 80% alpackor och resten lamor. Efter att 5 alpackor s\u00e4ljs och 10 lamor k\u00f6ps in \u00e4ndras andelen alpackor till 70%. Hur m\u00e5nga djur fanns det ursprungligen?`,\n svar: `Flocken var 85 st`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-214452.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l25\"\n },\n {\n fraga: `En glasflaska fylld till en femtedel v\u00e4ger 560 g. Samma flaska fylld till fyra femtedelar v\u00e4ger 740 g. Hur mycket v\u00e4ger en tom flaska?`,\n svar: `500 gram`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-064648.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l26\"\n },\n {\n fraga: `P\u00e5 ett f\u00f6retag \u00f6kade antalet anst\u00e4llda p\u00e5 ingenj\u00f6rsavdelningen med 10% under ett \u00e5r, medan antalet p\u00e5 marknadsavdelningen minskade med 5%. \n Totalt \u00f6kade antalet p\u00e5 de tv\u00e5 avdelningarna fr\u00e5n 150 till 156 personer. Hur m\u00e5nga fanns ursprungligen p\u00e5 varje avdelning?`,\n svar: `90 ingenj\u00f6rer och 60 p\u00e5 marknadsavdelningen`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-215702.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l27\"\n },\n {\n fraga: `Joakim cyklar till stranden i 30 km\/h och p\u00e5 hemv\u00e4gen 20 km\/h. Vad \u00e4r medelhastigheten f\u00f6r hela resan?`,\n svar: `24 km\/h`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-220528.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l28\"\n },\n {\n fraga: `Triangeln nedan har basen 3 och h\u00f6jden 4. Best\u00e4m sidl\u00e4ngden i kvadraten A: \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-082242.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `\\\$\\\\frac{12}{7}\\\$ l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-082346.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l29\"\n },\n {\n fraga: `Visa att den svartmarkerade arean g\u00e5r att beskriva som \\\$r^{2}(4-\\\\pi)\\\$ d\u00e4r r \u00e4r radien f\u00f6r en cirkel: \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-091334.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Visa att det st\u00e4mmer`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-092344.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l30\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m en formel f\u00f6r f\u00f6ljande m\u00f6nster och unders\u00f6k om n\u00e5gon figur inneh\u00e5ller \\\$16^{3}\\\$ prickar: \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-093525.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Figur 32 (enligt ursprungsfilen)`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-093851.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l31\"\n },\n {\n fraga: `Observera m\u00f6nstret nedan. Vilken figur i ordningen inneh\u00e5ller \\\$3^{6}\\\$ prickar? \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-105945.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Figur 14`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-110352.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l32\"\n },\n {\n fraga: `Observera f\u00f6ljande m\u00f6nster d\u00e4r antalet mindre kvadrater f\u00f6r\u00e4ndras. Lotta menar att\nantalet kvadrater g\u00e5r att beskriva med f\u00f6ljande formel \\\$K=n^2+4n+4\\\$ d\u00e4r \ud835\udc3e \u00e4r\nantalet kvadrater och \ud835\udc5b \u00e4r figuren i ordningen. Visa hur Lotta f\u00e5tt fram sin formel.? \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-180017.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Skriv ett uttryck f\u00f6r rutorna och utveckla sedan det uttrycket`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-180057.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l33\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m en formel f\u00f6r m\u00f6nstret och unders\u00f6k eventuell koppling till \\\$16^{3}\\\$: \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-093525.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Figur 32`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-093851.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l34\"\n },\n {\n fraga: `Nedan visas en cirkel och en inskriven kvadrat. Kvadraten har sidl\u00e4ngden \ud835\udc4e. Best\u00e4m\nett uttryck f\u00f6r arean p\u00e5 cirkeln uttryckt i \ud835\udc4e.\n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-083941.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Arean \\\$=2\\\\pi a^2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l35\"\n }\n ],\n geogebra: [\n {\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation med ditt digitala verktyg \\\$x^5=10\\\$, svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar:`\\\$x=1,58\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n kod: \"g1\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$5,2^x=13,71\\\$ med hj\u00e4lp av ditt digitala hj\u00e4lpmedel. Svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar:`\\\$x=1,59\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n kod: \"g2\"\n},\n{\n fraga: `Rita upp funktionerna \\\$f(x)=x^2\\\$ och \\\$g(x)=2x\\\$ i ditt digitala hj\u00e4lpmedel. Best\u00e4m f\u00f6r vilka \\\$x\\\$ \\\$g(x) > f(x)\\\$`,\n svar:`\\\$0< x <2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true,\n kod: \"g3\"\n},\n {\n fraga: `Vi definierar funktioner \\\$f(x)=3x+2\\\$ och \\\$g(x)=2^x\\\$. L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=g(x)\\\$ med ditt digitala hj\u00e4lpmedel och svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar:`\\\$x_1=-0,42, x_2=3,72\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true,\n kod: \"g4\"\n},\n{\n fraga: `Rita upp funktionerna \\\$f(x)=x^2\\\$ och \\\$g(x)=2x-1\\\$ i ditt digitala verktyg. F\u00f6r vilket\/vilka v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$x\\\$ \u00e4r \\\$f(x)=g(x)\\\$`,\n svar:`\\\$x=1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true,\n kod: \"g5\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$x\\\$ \u00e4r funktionen \\\$-x^2+6x>0\\\$. L\u00f6s uppgiften med ditt digitala hj\u00e4lpmedel.`,\n svar:`\\\$0< x <6\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true,\n kod: \"g6\"\n},\n {\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation med ditt digitala verktyg \\\$5^x=21\\\$, svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar:`\\\$x=1,89\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n kod: \"g7\"\n}\n ]\n },\n\n \/\/ MATEMATIK 1C\n ma1c: {\n algebra: [\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$2x^2 + 3x^2+2x+4x\\\$.`,\n svar: `\\\$5x^2+6x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a1\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket\n \\\$4(x+4)-(x-2)\\\$.`,\n svar: `\\\$3x+18\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a2\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{x}{2}+\\\\frac{x}{3}+\\\\frac{x}{4}=1\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{12}{13}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"linjara\", \"brak\"],\n kod: \"a3\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x^2-16=9\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a4\"\n },\n\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2x + 5 = 11\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a5\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{3x}{4}=\\\\frac{1}{2} \\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{2}{3}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\", \"brak\"],\n kod: \"a6\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{x+2}{x-7}=\\\\frac{3}{10} \\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{-41}{7}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"linjara\", \"brak\"],\n kod: \"a7\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$2\\\\cdot x^{-2}=\\\\frac{2}{9} \\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a8\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{1}{4^{2x}}=8^5\\\$.`,\n svar: `\\\$x=-\\\\frac{15}{4}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080150.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a9\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$1,2\\\\cdot 10^3\\\\cdot x+1,6\\\\cdot 10^3=2,3\\\\cdot 10^3\\\\cdot x-0,4\\\\cdot 10^3\\\$.`,\n svar: `\\\$x=-3,75\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a10\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{1}{x}+\\\\frac{1}{2x}=1\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a11\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x(2x+6)+3x=2x^2+18\\\$.`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a12\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$(x+1)(x+2)=x^2+3\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{1}{3}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a13\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x^2-16=9\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a14\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket\n \\\$x^2+4x^2+5x-x\\\$.`,\n svar: `\\\$5x^2+4x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a15\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket\n \\\$(2x+1)(x-1)-(x+1)\\\$.`,\n svar: `\\\$2x^2-2x-2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a16\"\n },\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycken s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt <\/p> a) \\\$10x+20\\\$ <\/p> b) \\\$2x^2+4x\\\$ <\/p> c) \\\$xy^2+x^2y\\\$ `,\n svar: `\\\$a) 10(x+2) b) 2x(x+2) c) xy(y+x)\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a17\"\n },\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycken s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt <\/p> a) \\\$2x-x^2\\\$ <\/p> b) \\\$25x^2-5x\\\$ <\/p> c) \\\$x^3-x^2\\\$`,\n svar: `\\\$a)\\\$ \\\$x(2-x)\\\$ b) \\\$5x(5x-1)\\\$ c) \\\$x^2(x-1)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a17\"\n },\n\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycken \n \\\$x^2+4x^2+5x-x\\\$.`,\n svar: `\\\$x=5x^2+4x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a18\"\n },\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycket \n \\\$5^{x+2}-5^{2x}\\\$.`,\n svar: `\\\$5^x(25-5^x)\\\$`,\n niva: \"A\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080049.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n poang: [0,0,1],\n \n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a19\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{2}{x}+\\\\frac{1}{2}=\\\\frac{1}{2x} \\\$.`,\n svar: `\\\$x=-3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a20\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m talet a\n \\\$4^{1000}+4^{1000}+4^{1000}+4^{1000}=2^a\\\$`,\n svar: `\\\$a=2002\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080201.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a21\"\n },\n{\n fraga: `Om vi vet att \n \\\$x^2y=4^3\\\$ samt att \\\$xy^2z^3=4^9\\\$. Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$xyz\\\$ p\u00e5 valfri form`,\n svar: `\\\$xyz=2^8=4^4=16^2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080214.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a22\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x(x-10)-(25+x^2)=0 \\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{-5}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a23\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$(x+1)^2=25 \\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=4, x_2=-6\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080057.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a24\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$6^{10}=9^5\\\\cdot2^x \\\$.`,\n svar: `\\\$x=10\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a25\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$(x+4)(x-2)=x^2 \\\$.`,\n svar: `\\\$x=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a26\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x^7=200 \\\$.`,\n svar: `\\\$x=2,13\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a27\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 b\n \\\$\\\\frac{4}{a}-\\\\frac{3+b}{3a}=\\\\frac{10}{4a} \\\$.`,\n svar: `\\\$b=\\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080229.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a28\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$3^{2x}\\\\cdot9^2=3^{10} \\\$.`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a29\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x^2=33^2+44^2\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 55\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080241.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a30\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6renkla det algebraiska uttrycket\n \\\$(\\\\frac{1}{n})^{-1}+ (\\\\frac{1}{n})^{-1}+ (\\\\frac{1}{n})^{-1}\\\$.`,\n svar: `\\\$3n\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080103.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a31\"\n },\n{\n fraga: `Skriv uttrycket \\\$2x+y\\\$ i enbart variabeln y om du vet att \\\$x-3y=10\\\$`,\n svar: `\\\$7y+60\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a32\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{(4x)^2}{4x^2}\\\$`,\n svar: `4`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a33\"\n },\n {\n fraga: `Skriv uttrycket \\\$a-b\\\$ i en variabel om du vet att \\\$a+b=1\\\$`,\n svar: `\\\$1-2b\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a34\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6ljande likhet g\u00e4ller<\/p> \\\$(2x+1)(4-x)=-2x^2+ax+b\\\$ <\/p> Best\u00e4m konstanterna \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ `,\n svar: `\\\$a=7\\\$ och \\\$b=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a35\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+1)(x-1)\\\$`,\n svar: `\\\$x^2-1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a36\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$2y-x+5\\\$ i enbart variabeln \\\$y\\\$ om du vet att \\\$x=y+6\\\$`,\n svar: `\\\$y-1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a37\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x^5-10+x=15+x\\\$.`,\n svar: `\\\$x=1,9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a38\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$4^{x+2}-3\\\\cdot 4^x=13\\\\cdot 2^{x+1}\\\$.`,\n svar: `\\\$x=1\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080256.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a39\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m det positiva talet a\n \\\$a^{\\\\frac{2}{3}}=9\\\$.`,\n svar: `\\\$a=27\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080116.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a40\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$x(x+30)=x^2-15\\\$.`,\n svar: `\\\$x=-\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a41\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen\n \\\$\\\\frac{1}{x}+\\\\frac{1}{2x}+\\\\frac{1}{3x}=1\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\x=\\\\frac{11}{6}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a42\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \n \\\$16^5\\\\cdot25^5=100^5\\\\cdot32^x\\\$.`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080318.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a43\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \n \\\$\\\\sqrt{16x^2}+\\\\sqrt{36x^2}=100\\\$.`,\n svar: `\\\$x=10\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a44\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m summan \\\$a+b+c\\\$ om du vet att \\\$a=\\\\frac{1}{3}\\\$, \\\$a\\\\cdot b=\\\\frac{2}{9}\\\$ samt \\\$a\\\\cdot b\\\\cdot c=\\\\frac{7}{36}\\\$.`,\n svar: `\\\$a+b+c=\\\\frac{15}{8}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a45\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \n \\\$\\\\frac{4}{x}+\\\\frac{16}{8}=\\\\frac{4+x^2}{2}\\\$.`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"brak\"],\n kod: \"a46\"\n },\n {\n fraga: `Om du vet att \\\$x+y=0\\\$ best\u00e4m d\u00e5 kvoten \\\$\\\\frac{x^{2025}}{y^{2025}}\\\$`,\n svar: `Kvoten blir -1`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080123.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a47\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ut variabeln \\\$R\\\$ i f\u00f6ljande formel \\\$\\\\frac{1}{R}=\\\\frac{1}{R_1}+\\\\frac{1}{R_2}\\\$.`,\n svar: `\\\$R=\\\\frac{R_1\\\\cdot R_2}{R_1+R_2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-080132.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a48\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^{\\\\frac{1}{5}}=11\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=161051\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n digital: true ,\n kod: \"a49\"\n }, \n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2,5x+10=4,5x\\\$ `,\n svar: `\\\$x=5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n digital: true ,\n kod: \"a50\"\n }, \n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^{\\\\frac{3}{2}}=5\\\$ . Svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar: `\\\$x=2,92\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n digital: true ,\n kod: \"a51\"\n }, \n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$16^x\\\\cdot 5^{4x}=100^{36}\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=18\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a52\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$3(x+6)=4\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=-\\\\frac{14}{3}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a53\"\n},\n {\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck \\\$2x^2+4x\\\$`,\n svar: `\\\$2x(x+2)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a54\"\n},\n {\n fraga: `Vilka av f\u00f6ljande uttryck g\u00e5r att faktorisera?<\/p> \\\$3x^2+6\\\$ <\/p> \\\$x^2+y^2\\\$ <\/p> \\\$x^{99}+x^{100}\\\$`,\n svar: `\\\$3x^2+6\\\$ och \\\$x^{99}+x^{100}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a55\"\n},\n{\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck \\\$y^3x^2+xy^4\\\$`,\n svar: `\\\$xy^3(x+y)\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a70\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\frac{1}{2}(6x+10)=10\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{5}{3}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a56\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+4)(x-2)+8\\\$ .`,\n svar: `\\\$x^2-2x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a57\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$2(x+1)(x-1)\\\$.`,\n svar: `\\\$2x^2-2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a58\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation \\\$\\\\frac{x+6}{x}=13\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a59\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r tv\u00e5 siffror vet du f\u00f6ljande <\/p> Det ena talet \u00e4r dubbelt s\u00e5 stort som det andra <\/p> Om man summerar talen f\u00e5r 24 <\/p> Best\u00e4m talen. `,\n svar: `8 och 16 \u00e4r talen`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a60\"\n},\n{\n fraga: `Joakim l\u00f6ser ekvationen \\\$x^2=36\\\$ och f\u00e5r svaret \\\$x=6\\\$. Hans kompis Victor menar att Joakim har missat en l\u00f6sning. F\u00f6rklara f\u00f6r Joakim varf\u00f6r han har missat en l\u00f6sning.`,\n svar: `Ekvationen har l\u00f6sningen \\\$x= \\\\pm 6\\\$ eftersom om du h\u00f6jer upp \\\$-6\\\$ i 2 kommer du ocks\u00e5 f\u00e5 36. Ekvationen har s\u00e5ledes tv\u00e5 l\u00f6sningar.`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a61\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2=32-x^2\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a62\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$4(x+5)+10=22\\\$`,\n svar: `\\\$x=-2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a63\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(\\\\frac{4}{3})^x=(\\\\frac{2}{3})^x \\\\cdot 2^3\\\$`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a64\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(\\\\frac{1}{4})^x=2^{2x}\\\\cdot 4^{10}\\\$`,\n svar: `\\\$x=-5\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a65\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(4,5x-10=2,5x+12\\\$`,\n svar: `\\\$x=11\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a66\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$3^x+3^x+3^x=81\\\$`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a67\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x+\\\\frac{1}{2})(x-\\\\frac{1}{2})=2\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm \\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a68\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x(x+7)=7x+9\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a69\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilket \\\$x\\\$ \u00e4r f\u00f6ljande algebraiskt uttryck lika med 7<\/p> \\\$3x+28\\\$ <\/p>`,\n svar: `\\\$x=-7\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a71\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilket \\\$x\\\$ \u00e4r f\u00f6ljande tv\u00e5 algebraiska uttryck \\\$4x+10\\\$ och \\\$-2x+22\\\$ lika med varandra?<\/p>`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a72\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanterna \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ om f\u00f6ljande likhet ska st\u00e4mma <\/p> \\\$(2x+1)(4-x)=-2x^2+ax+b\\\$ <\/p>`,\n svar: `\\\$a=7\\\$ och \\\$b=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a73\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ om f\u00f6ljande likhet ska st\u00e4mma <\/p> \\\$(x+a)(x+5)=x^2+7x+10\\\$ <\/p>`,\n svar: `\\\$a=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a74\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x-2)(x+2)=12\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a75\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x(x+2)=x^2-10\\\$`,\n svar: `\\\$x=-5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a76\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har \u00e5ldern \\\$x\\\$ idag, om 3 \u00e5r \u00e4r Joakims pappa dubbelt s\u00e5 gammal som Joakim. Best\u00e4m ett uttryck f\u00f6r Joakims pappas \u00e5lder idag. `,\n svar: `2x-3`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a77\"\n},\n{\n fraga: `Joakims bror \u00e4r 3 \u00e5r \u00e4ldre \u00e4n Joakim. Om 3 \u00e5r \u00e4r deras summerade \u00e5lder 69 \u00e5r. Hur gammal \u00e4r Joakim?`,\n svar: `30 \u00e5r`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a78\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x^4+x)(x^4-2x)=x^8-x^5-18\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a79\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt \\\$(x+2)(x+1)\\\$`,\n svar: `\\\$x^2+3x+2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a80\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt \\\$(x-3)(x+4)\\\$`,\n svar: `\\\$x^2+x-12\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a81\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt \\\$(x+10)(x-1)+10\\\$`,\n svar: `\\\$x^2+9x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a82\"\n},\n{\n fraga: `Joakim menar att \\\$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\\$ Visa att likheten st\u00e4mmer.`,\n svar: `Skriv ut \\\$(a+b)^2\\\$ som tv\u00e5 parenteser. F\u00f6renkla sedan uttrycket och visa att \\\$HL=VL\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a83\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x+2)(x+2)-4x-4=8\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a84\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(2x+2)(2x-2)+4=16\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a85\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$4x^2 + 2x^2 + 7x - 3x\\\$.`,\n svar: `\\\$6x^2+4x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a86\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$3(x+2) - 2(x-1)\\\$.`,\n svar: `\\\$x+8\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a87\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$3x - 4 = 14\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a88\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2 - 9 = 16\\\$.`,\n svar: `\\\$x = \\\\pm 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a89\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\frac{2x}{5} = 4\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 10\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\", \"brak\"],\n kod: \"a90\"\n },\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycket \\\$3x^2 + 9x\\\$.`,\n svar: `\\\$3x(x+3)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a91\"\n },\n {\n fraga: `Faktorisera uttrycket \\\$4x - 12\\\$.`,\n svar: `\\\$4(x-3)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a92\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x(x+4) = x^2 + 12\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a93\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+3)(x-3)\\\$.`,\n svar: `\\\$x^2 - 9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a94\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$1,5x + 3 = 4,5x - 6\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a95\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^3 = 27\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a96\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$(x+3)(x+2) - 5x\\\$.`,\n svar: `\\\$x^2 + 6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a97\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\frac{x+4}{2} = 7\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 10\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"linjara\", \"brak\"],\n kod: \"a98\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r vilket \\\$x\\\$ har det algebraiska uttrycket \\\$5x - 15\\\$ v\u00e4rdet 10?<\/p>`,\n svar: `\\\$x = 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a99\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2 = 50 - x^2\\\$.`,\n svar: `\\\$x = \\\\pm 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a100\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2(x-3) + 4 = 10\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a101\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r vilket \\\$x\\\$ \u00e4r de tv\u00e5 uttrycken \\\$3x + 2\\\$ och \\\$x + 10\\\$ lika med varandra?<\/p>`,\n svar: `\\\$x = 4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a102\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$5a - (2a - 4)\\\$.`,\n svar: `\\\$3a + 4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forenklingar\"],\n kod: \"a103\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^4 = 81\\\$.`,\n svar: `\\\$x = \\\\pm 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potens\"],\n kod: \"a104\"\n },\n {\n fraga: `Ett tal \u00e4r tre g\u00e5nger s\u00e5 stort som ett annat tal.<\/p>Sammantaget \u00e4r talens summa 32.<\/p>Best\u00e4m de tv\u00e5 talen.`,\n svar: `8 och 24`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"linjara\"],\n kod: \"a105\"\n }\n ],\n\n procent: [\n {\n fraga: `En vara kostar 600 kr och s\u00e4nks med 25%. Vad blir priset?`,\n svar: `450 kr`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n losningsforslag: `Ber\u00e4kna 25% av 600: \\\$0.25 \\\\cdot 600 = 150\\\$. Subtrahera fr\u00e5n 600: 600-150=450`,\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b1\"\n },\n {\n fraga: `Ett belopp \u00f6kar fr\u00e5n 1200 kr till 1500 kr. Hur stor \u00e4r \u00f6kningen i procent?`,\n svar: `25\\\\%`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b2\"\n },\n {\n fraga: `En akties v\u00e4rde var 20 000 kr i slutet av 2025, dess v\u00e4rde f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka\nmed 15% under det f\u00f6rsta halv\u00e5ret, sedan minska med 10% det andra\nhalv\u00e5ret. D\u00e4refter kommer den processen upprepas under de f\u00f6ljande\n\u00e5ren. Ber\u00e4kna v\u00a8ardet p\u00e5 aktien i slutet av 2028`,\n svar: `V\u00e4rdet \u00e4r ungef\u00e4r 22174 kr`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b3\"\n },\n {\n fraga: `En varas v\u00e4rde minskar med 41%. Vilken f\u00f6r\u00e4ndringsfaktor motsvarar det?`,\n svar: `0,59`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b4\"\n },\n {\n fraga: `En varas v\u00e4rde \u00f6kar med 120%. Vilken f\u00f6r\u00e4ndringsfaktor motsvarar det?`,\n svar: `2,2`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b5\"\n },\n {\n fraga: `En aktie v\u00e4ntas \u00f6ka med 50% tv\u00e5 \u00e5r i rad. Vilken blir d\u00e5 den totala f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn`,\n svar: `2,25`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b6\"\n },\n {\n fraga: `Joakim ska unders\u00f6ka hur mycket en varas v\u00e4rde har \u00f6kat de senaste 3 \u00e5ren. Han vet att den \u00f6kade med samma procentsats varje \u00e5r. Han st\u00e4ller upp f\u00f6ljande uttryck f\u00f6r varans v\u00e4rde efter dessa 3 \u00e5r. \\\$150\\\\cdot1,04^3\\\$ Best\u00e4m hur m\u00e5nga procent varans v\u00e4rde \u00f6kade varje \u00e5r.`,\n svar: `4%`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b7\"\n },\n {\n fraga: `Joakim multiplicerar ett tal med f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn 0,21. Mycket minskar talet i procent i och med den f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn `,\n svar: `79%`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b8\"\n },\n {\n fraga: ` Joakim k\u00f6per en bil 2024 med v\u00e4rdet 15 000. 2025 f\u00f6rv\u00e4ntas bilens v\u00e4rde minska med 7%. D\u00e4refter f\u00f6rv\u00e4ntas bilens v\u00e4rde minska med 9% varje \u00e5r fram\u00f6ver. Best\u00e4m ett algebraiskt uttryck f\u00f6r bilens v\u00e4rde V efter t \u00e5r om t \u00e4r antalet \u00e5r fr\u00e5n 2024.`,\n svar: `\\\$V=0,93\\\\cdot0,91^{t-1}\\\$ d\u00e4r t st\u00f6rre eller lika med 1`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b9\"\n},\n {\n fraga: `V\u00e4rdet p\u00e5 en produkt \u00f6kar f\u00f6rst med 12% varje \u00e5r i tre \u00e5r. D\u00e4refter minskar produktens v\u00e4rde med 12% varje \u00e5r i tre \u00e5r. Vilket blir den totala f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn efter dessa sex \u00e5r?`,\n svar: `0,96`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b10\"\n },\n {\n fraga: `Joakim s\u00e4tter in 10000 kr p\u00e5 en fond som kan g\u00e5 upp och ner i v\u00e4rde.\n De f\u00f6rsta 4 \u00e5ren minskar v\u00e4rdet p\u00e5 pengarna med 25%. D\u00e4refter \u00f6kar v\u00e4rdet p\u00e5 pengarna, \n p\u00e5 8 \u00e5r \u00e4r de tillbaka p\u00e5 det ursprungliga v\u00e4rdet. Vilken var den \u00e5rliga f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn de sista 8 \u00e5ren?`,\n svar: `\u00d6kning med ca. 3.66% per \u00e5r (ungef\u00e4r \\\$1.0366\\\$)`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b11\"\n },\n {\n fraga: `I ett land har 80% av befolkningen r\u00e4tt att r\u00f6sta. I ett riksdagsval r\u00f6star 75% av de som har r\u00e4tt att r\u00f6sta. \n Partiet Joakimspartiet f\u00e5r 135 000 r\u00f6ster som motsvarar 8% av alla r\u00f6ster i riksdagsvalet. \n Hur m\u00e5nga m\u00e4nniskor bor det i landet som har r\u00f6str\u00e4tt?`,\n svar: `2 812 500`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b12\"\n },\n {\n fraga: ` Anna fick nya arbetsuppgifter och d\u00e4rigenom en l\u00f6neh\u00f6jning p\u00e5 6 %. N\u00e4sta \u00e5r gick det s\u00e4mre och hon fick en l\u00f6nes\u00e4nkning p\u00e5 2 %. P\u00e5 dessa tv\u00e5 \u00e5r \u00f6kade \u00e4nd\u00e5 hennes l\u00f6n med 1358 kr. Hur stor var Annas l\u00f6n innan hon fick de nya arbetsuppgifterna?`,\n svar: `Ungef\u00e4r 35000 kr`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b13\"\n},\n {\n fraga: `Joakim har k\u00f6pt en klocka. Tyv\u00e4rr minskar klockan 20% i v\u00e4rde f\u00f6rsta \u00e5ret. \n Hur mycket m\u00e5ste klockans v\u00e4rde \u00f6ka i procent det andra \u00e5ret f\u00f6r att klockan ska bli 10% \u00f6ver ink\u00f6pspriset?`,\n svar: `37,5%`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b14\"\n },\n {\n fraga: `V\u00e4rdet p\u00e5 en t-shirt minskar under 6 \u00e5r med 5% varje \u00e5r. Sedan \u00f6kar v\u00e4rdet under 3 \u00e5r\nmed 10% eftersom en k\u00e4nd tiktok-profil anv\u00e4nde den under alla sina videos under\ndessa 3. Hur mycket hade v\u00e4rdet p\u00e5 t-shirten \u00f6kar eller minskat efter dessa 9 \u00e5r?`,\n svar: `Minskat med ungef\u00e4r 2%`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b15\"\n },\n {\n fraga: `V\u00e4rdet p\u00e5 en aktie minskar med lika stor procentsats varje \u00e5r. Efter 10 \u00e5r har aktiens v\u00e4rde halverats. \n Skriv ett f\u00f6renklat uttryck f\u00f6r aktiens v\u00e4rde efter 15 \u00e5r om den hade v\u00e4rdet V fr\u00e5n b\u00f6rjan.`,\n svar: `0.34V`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-213438.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b16\"\n },\n {\n fraga: `En vara med v\u00e4rdet 1000 kr 2024 minskar med 4% varje \u00e5r. Joakim vill veta vilket \u00e5r varan \u00e4r v\u00e4rd en fj\u00e4rdedel av ursprungspriset. \n St\u00e4ll upp ekvationen Joakim m\u00e5ste l\u00f6sa d\u00e4r x \u00e4r antalet \u00e5r (du beh\u00f6ver inte l\u00f6sa den).`,\n svar: `\\\$250 = 1000 \\\\cdot 0.96^{x}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b17\"\n },\n {\n fraga: `Joakim hade \u00e5r 2013 en l\u00f6n p\u00e5 20 000 kr. Varje \u00e5r f\u00e5r han samma procentuella l\u00f6ne\u00f6kning. Efter 10 \u00e5r fick han en tillsammans med den procentuella \u00f6kningen en klumpsumma p\u00e5 5000 kr, d\u00e5 tj\u00e4nar han 45 000 kr. \n Hur stor \u00e4r l\u00f6ne\u00f6kningen i procent per \u00e5r?`,\n svar: `\u00d6kar med ca. 7% varje \u00e5r (uppgiftens data i ursprungsfilen)`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-094329.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b18\"\n },\n {\n fraga: `Joakims flickv\u00e4n tj\u00e4nar 5000 kr mer \u00e4n Joakim. Efter att b\u00e5da har f\u00e5tt en l\u00f6ne\u00f6kning\nmed 4% tj\u00e4nar de tillsammans 67600 kr hur mycket tj\u00e4nar Joakim innan h\u00f6jningen? `,\n svar: `30 000 kr`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktor\"],\n kod: \"b19\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r Joakim investerar lika mycket pengar i tv\u00e5 olika fonder. Den ena fonden \u00f6kar med \\\$p\\\$% varje \u00e5r och den andra \u00f6kar med 4% mer \u00e4n den andra fonden varje \u00e5r.<\/p> Efter 10 \u00e5r har v\u00e4rdet p\u00e5 summan av fonderna \u00f6kat med 100%. Best\u00e4m \\\$p\\\$ <\/p>`,\n svar: `p=5`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b20\"\n },\n {\n fraga: `En blomma som \u00e4r 10 cm l\u00e5ng v\u00e4xer med samma procentsats varje \u00e5r i fyra \u00e5r i rad. Efter dessa fyra \u00e5r \u00e4r blomman 18 cm. Best\u00e4m hur m\u00e5nga procent blomman v\u00e4xte varje \u00e5r. `,\n svar: `15% varje \u00e5r`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b21\"\n },\n {\n fraga: `En bils v\u00e4rde \u00f6kar f\u00f6rst med 10% och sedan minskar med 20%, vilket blir den totala f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn d\u00e5?`,\n svar: `0,88`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b22\"\n },\n {\n fraga: `En produkts v\u00e4rde \u00f6kar med 50% f\u00f6rsta \u00e5ret. Vad ska produktens v\u00e4rde \u00f6ka med i procent f\u00f6r att produktens ska ha \u00f6kat med 100% efter dessa tv\u00e5 \u00e5r.`,\n svar: `\u00d6ka med 33%`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"forandringsfaktorflera\"],\n kod: \"b23\"\n }\n ],\n\n potenser: [\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$x^3 \\\\cdot x^2\\\$.`,\n svar: `\\\$x^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p1\"\n },\n {\n fraga: `Skriv talet 0.001 som en potens med basen 10.`,\n svar: `\\\$10^{-3}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p2\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$2^3+2^2+2^1+2^0\\\$`,\n svar: `\\\$15\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p3\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\sqrt{2}\\\\cdot \\\\sqrt{8}\\\$`,\n svar: `\\\$4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p4\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck i en gemensam bas \\\$3^5\\\\cdot 2^5\\\$`,\n svar: `\\\$6^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p5\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{6x^7}{2x^4}\\\$`,\n svar: `\\\$3x^3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p6\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x^4)^2 \\\\cdot x^2\\\$`,\n svar: `\\\$x^{10}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p7\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna \\\$2^{-2}+2^{-2}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p8\"\n },\n {\n fraga: `Joakim menar att \\\$4^{-2}\\\$ \u00e4r mindre \u00e4n \\\$3^{-2}\\\$ Visa att han har r\u00e4tt`,\n svar: `Joakim har r\u00e4tt. Tips:Skriv om uttrycken till br\u00e5k.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p9\"\n },\n {\n fraga: `Skriv om f\u00f6ljande uttryck till en gemensam bas \\\$2^{3x}\\\\cdot 3^x\\\$`,\n svar: `\\\$24^x\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p10\"\n },\n {\n fraga: `Du vet att \\\$3=p^3\\\$. Best\u00e4m ett potensuttryck i basen \\\$p\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$27\\\\cdot p\\\$ `,\n svar: `\\\$p^{10}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-083737.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p11\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande uttryck till en gemensam bas \\\$27^{2x}\\\\cdot 4^{3x}\\\$`,\n svar: `\\\$6^{6x}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p12\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck i basen 2<\/p> \\\$8^x\\\\cdot 4^x\\\\cdot 2^x\\\$`,\n svar: `\\\$2^{6x}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p13\"\n },\n {\n fraga: `Vilken av f\u00f6ljande potenser \u00e4r st\u00f6rst? \\\$3^{60}\\\$ eller \\\$9^{25}\\\$.`,\n svar: `\\\$3^{60}\\\$ \u00e4r st\u00f6rst. Tips: skriv om i gemensam bas.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p14\"\n },\n {\n fraga: `Vilken av f\u00f6ljande tal \u00e4r inte kvadrat- eller kubiktal?\n a) \\\$3^{10}\\\$ b) \\\$5^{12}\\\$ c) \\\$4^{9}\\\$ d) \\\$6^{13}\\\$.`,\n svar: `d) (Tips: unders\u00f6k vilka du kan skriva om)`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p15\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck i basen 6\n \\\$18^{x}\\\\cdot8^{x}\\\\cdot3^{2x}\\\$.`,\n svar: `\\\$6^{4x}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-083750.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p16\"\n },\n {\n fraga: `Joakim menar att multiplikationen \\\$\\\\sqrt{x}\\\\cdot \\\\sqrt{x} \\\\cdot \\\\sqrt{x}\\\$ \u00e4r samma sak som \\\$x^{\\\\frac{3}{2}}\\\$. Unders\u00f6k om Joakim har r\u00e4tt.`,\n svar: `Joakim har r\u00e4tt. Tips: Skriv om uttrycken som potenser`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p17\"\n },\n {\n fraga: `Hur m\u00e5nga g\u00e5nger st\u00f6rre \u00e4r \\\$4\\\\cdot 2^{3+a}\\\$ \u00e4n \\\$2^a\\\$`,\n svar: `32 g\u00e5nger st\u00f6rre`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-083802.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p18\"\n },\n {\n fraga: `Skriv potensuttrycket som en potens \\\$2^4\\\\cdot2^3\\\\cdot2^2\\\$`,\n svar: `\\\$2^{9}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p19\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$5^0\\\\cdot 5^2-(2^2)^2\\\$`,\n svar: `\\\$9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p20\"\n },\n {\n fraga: `Om \\\$a^{-\\\\frac{1}{2}}=\\\\frac{2}{3}\\\$ Best\u00e4m d\u00e5 \\\$a^2\\\$`,\n svar: `\\\$a^2=\\\\frac{81}{16}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-083756.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p21\"\n },\n {\n fraga: `Skriv potensuttrycket som en potens \\\$\\\\frac{x^3\\\\cdot x^8}{x^6}\\\$`,\n svar: `\\\$x^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p22\"\n }, \n {\n fraga: `Skriv potensuttrycket som en potens \\\$\\\\frac{x^3\\\\cdot x^8}{x^6}\\\$`,\n svar: `\\\$x^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p23\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck som en potens p\u00e5 gemensam bas \\\$\\\\frac{6^{20}}{3^{10}}\\\$`,\n svar: `\\\$12^{10}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p24\"\n },\n {\n fraga: `Joakim menar att f\u00f6ljande likhet g\u00e4ller <\/p> \\\$81^{5}\\\\cdot 3^{10}=27^{10}\\\$ Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt`,\n svar: `Det st\u00e4mmer. Tips: Skriv om alla potenser i gemensam bas`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p25\"\n },\n {\n fraga: `Skriv potensuttrycket som en potens \\\$(x^4)^2\\\\cdot x^2\\\$`,\n svar: `\\\$x^{10}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p26\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vad som ska st\u00e5 i den tomma rutan : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-112958.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Det ska st\u00e5 3`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-113111.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p27\"\n },\n {\n fraga: `Vilket av f\u00f6ljande uttryck \u00e4r st\u00f6rst om \\\$x=\\\\tfrac{\\\\pi}{4}\\\$?\n a) \\\$x\\\$ b) \\\$x^{10}\\\$ c) \\\$x^{-100}\\\$ d) \\\$(\\\\tfrac{1}{x})^{10}\\\$`,\n svar: `Svar: \\\$x^{-100}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p28\"\n },\n {\n fraga: `Visa att talet \\\$2^{64}\\\$ g\u00e5r att skriva p\u00e5 formen \\\$a^a\\\$ d\u00e4r a \u00e4r ett heltal.`,\n svar: `\\\$16^{16}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-210027.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p29\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m antalet siffror f\u00f6ljande tal inneh\u00e5ller: \\\$2^{13}\\\\cdot3^{3}\\\\cdot5^{10}\\\$.`,\n svar: `12 st`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-214005.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p30\"\n },\n {\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\sqrt{45}+\\\\sqrt{20}=\\\\sqrt{125}\\\$ .`,\n svar: `Likheten st\u00e4mmer. Tips: Skriv om kvadratrotsuttrycken `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-213828.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p31\"\n \n},\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande utan minir\u00e4knare \\\$\\\\frac{4444^2}{2222\\\\cdot2222}\\\$`,\n svar: `4`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p32\"\n},\n\n {\n fraga: `Vilket \u00e4r det minsta heltalet n s\u00e5 att \\\$n^{25} > 2^{100}\\\$?`,\n svar: `n = 17`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p33\"\n },\n {\n fraga: `Joakim p\u00e5st\u00e5r att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer:\n \\\$4^{7}+4^{7}+4^{7}+4^{7}=\\\\sqrt{2^{32}}\\\$. Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt.`,\n svar: `Det st\u00e4mmer bra`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-064214.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensproblem\"],\n kod: \"p34\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{(3x^2)^3}{9x^2}\\\$`,\n svar: `\\\$3x^4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p35\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{(2x)^4}{3^2x^4}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{16}{9}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p36\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck med en gemensam bas \\\$81^x \\\\cdot 2^{4x} \\\\cdot 16^{2x}\\\$`,\n svar: `\\\$24^{4x}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p37\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$2^{-1}+2^{-2}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{3}{4}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p38\"\n },\n {\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande uttryck \u00e4r ett heltal<\/p> \\\$16^{\\\\frac{3}{4}}\\\$<\/p> `,\n svar: `Skriv om 16 till \\\$16=2^4\\\$. Anv\u00e4nd sedan potensreglerna `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p39\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande uttryck som en potens med en gemensam bas \\\$x^{3,6} \\\\cdot x^{4,4}\\\$ `,\n svar: `\\\$x^8\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p40\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$1^0+2^0+3^0+4^0+5^0\\\$ `,\n svar: `5`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p41\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$\\\\frac{25y^9}{5y^4}\\\$.`,\n svar: `\\\$5y^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p42\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna v\u00e4rdet av \\\$3^{-2}\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{9}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p43\"\n },\n {\n fraga: `Skriv talet 100000 som en potens med basen 10.`,\n svar: `\\\$10^5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p44\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$(2a^3)^4\\\$.`,\n svar: `\\\$16a^{12}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p45\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$\\\\sqrt{9} + \\\\sqrt{16}\\\$.`,\n svar: `\\\$7\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p46\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande potensuttryck med en gemensam bas \\\$4^3 \\\\cdot 5^3\\\$.`,\n svar: `\\\$20^3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p47\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{10x^8}{5x^2}\\\$.`,\n svar: `\\\$2x^6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p48\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna v\u00e4rdet av \\\$7^0 \\\\cdot 2^3\\\$.`,\n svar: `\\\$8\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p49\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$\\\\frac{a^5 \\\\cdot a^3}{a^4}\\\$.`,\n svar: `\\\$a^4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p50\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna uttrycket \\\$10^3 - 10^2\\\$.`,\n svar: `\\\$900\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p51\"\n },\n {\n fraga: `Skriv uttrycket \\\$\\\\frac{1}{x^5}\\\$ med negativ exponent.`,\n svar: `\\\$x^{-5}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p52\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$\\\\frac{\\\\sqrt{100}}{2}\\\$.`,\n svar: `\\\$5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p53\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$(2b)^3\\\$.`,\n svar: `\\\$8b^3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p54\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna v\u00e4rdet av \\\$10^{-2} \\\\cdot 10^4\\\$.`,\n svar: `\\\$100\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p55\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla uttrycket \\\$x^{2,5} \\\\cdot x^{1,5}\\\$.`,\n svar: `\\\$x^4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"potensregler\"],\n kod: \"p56\"\n }\n ],\n\n funktioner: [\n {\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet av \\\$f(x) = 2x+3\\\$ n\u00e4r \\\$x=4\\\$.`,\n svar: `\\\$f(4)=11\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f1\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4t linje g\u00e5r igenom punkterna \\\$(1, 5)\\\$ och \\\$(-2, -1)\\\$ best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen`,\n svar: `\\\$y=2x+3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f2\"\n},\n{\n fraga: `En r\u00e4t linje g\u00e5r igenom punkterna \\\$(4, 1)\\\$ och \\\$(1, 7)\\\$. Best\u00e4m k-v\u00e4ret f\u00f6r den r\u00e4ta linjen.`,\n svar: `\\\$k=-2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f3\"\n},\n{\n fraga: `Nedan visas en r\u00e4t linje. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-081638.png\">`,\n svar: `\\\$y=-4x+2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"grafer\"],\n kod: \"f4\"\n},\n{\n fraga: `Du \u00e4r en matematiker som \u00e4r med i ett forskarteam som ska unders\u00f6k hur bakterien Joakimilus bakterlius f\u00f6r\u00e4ndras n\u00e4r den exponeras f\u00f6r direkt solljus. Allt i experimentet gick bra f\u00f6rutom att de tv\u00e5 f\u00f6rsta dygnens data inte kunde tolkas. Du som matematiker s\u00e4ger att det inte spelar n\u00e5gon roll. Eftersom du vet att f\u00f6r\u00e4ndringen g\u00e5r att beskriva \u00e4nd\u00e5 utifr\u00e5n den k\u00e4nda datan d\u00e5 den \u00e4r exponentiell. Utg\u00e5 fr\u00e5n grafen nedan och konstruera en funktion som beskriver f\u00f6r\u00e4ndring av bakterien Joakimilus bakterlius och best\u00e4m hur m\u00e5nga bakterier som planterades fr\u00e5n b\u00f6rjan. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-102555.png \">`,\n svar: `Det var 2000 bakterier fr\u00e5n b\u00f6rjan`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-214727.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\", \"grafer\"],\n kod: \"f5\"\n},\n{\n fraga: ` Bromsstr\u00e4ckan f\u00f6r en bil g\u00e5r att beskrivas med \\\$s(v)=\\\\frac{v^2}{2k}\\\$ d\u00e4r \u00e4r bromsstr\u00e4ckan \u00e4r \\\$s(v)\\\$, \ud835\udc63 \u00e4r hastigheten i km\/h och \ud835\udc58 \u00e4r kvaliteten p\u00e5 d\u00e4cken. D\u00e4r \ud835\udc58 = 1 \u00e4r de s\u00e4msta d\u00e4cken och \ud835\udc58 = 100 \u00e4r de perfekta d\u00e4cken.<\/p> a) En f\u00f6rare k\u00f6r med perfekta d\u00e4ck. Hur snabbt k\u00f6r f\u00f6raren om bromsstr\u00e4ckan \u00e4r 50 meter? <\/p> b) Observera bromsstr\u00e4ckan f\u00f6r ett d\u00e4ck i grafen nedan. Best\u00e4m kvaliteten p\u00e5 d\u00e4cken. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-190104.png\">`,\n svar: `a) 100 km\/h b) \\\$k=20\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-212400.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensfunktioner\", \"grafer\"],\n kod: \"f6\"\n},\n{\n fraga: `1820 levde 90% av jordens befolkning i extrem fattigdom. Idag \u00e4r det ungef\u00e4r 10% av befolkningen som lever i extrem fattigdom. Organisationen Joakim-aid vill f\u00e5 fram modeller som beskriver hur den extrema fattigdomen har f\u00f6r\u00e4ndrats och kommer f\u00f6r\u00e4ndras fram\u00f6ver.<\/p> a) Skapa tv\u00e5 olika modeller (en linj\u00e4r och en exponentiell) som beskriver f\u00f6r\u00e4ndringen i fattigdom fr\u00e5n 1820 till idag <\/p> b) Best\u00e4m vilket \u00e5r den extrema fattigdomen kommer vara p\u00e5 1% av befolkningen enligt respektive modell.`,\n svar:` a) \\\$f(x)=-0,4+90\\\$ och \\\$f(x)=90\\\\cdot (\\\\frac{1}{9})^{\\\\frac{x}{202}}\\\$ <\/p> b) 2042 enligt den linj\u00e4ra och 2233 enligt den exponentiella`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f7\"\n},\n{\n fraga: `Tv\u00e5 r\u00e4ta linjer \u00e4r parallella. Den ena ekvationen \\\$y=4x+1\\\$ och den andra linjen g\u00e5r igenom punkten \\\$(6, 10)\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den andra r\u00e4ta linjen.`,\n svar: `\\\$y=4x-14\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f8\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4t linje vet du att den har ett k-v\u00e4rde som \u00e4r 10 och g\u00e5r igenom punkterna \\\$(2,7)\\\$ och \\\$(4,a)\\\$ Best\u00e4m f\u00f6ljande<\/p> a) Best\u00e4m en r\u00e4t linje som \u00e4r parallell med den r\u00e4ta linjen <\/p> b) Best\u00e4m talet \\\$a\\\$`,\n svar: `a) Till exempel \\\$y=10x+10\\\$ b) \\\$a=27\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f9\"\n},\n{\n fraga: `En bakteriekultur \u00f6kar exponentiellt enligt en funktion \ud835\udc35(\ud835\udc61) d\u00e4r \ud835\udc35(\ud835\udc61) \u00e4r antalet\nbakterier och \ud835\udc61 \u00e4r tiden i dagar. Fr\u00e5n b\u00f6rjan var det 150 000 bakterier efter 2 dag var\ndet 600 000 bakterier. Best\u00e4m \ud835\udc35(\ud835\udc61)`,\n svar: `\\\$B(t)=150 000\\\\cdot 2^t\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f10\"\n},\n{\n fraga: `Befolkningen minskar exponentiellt i en liten by som heter Joakimsbyn. 2022 r\u00e4knar\nman med att det finns 150 personer i byn och att byns inv\u00e5nare minskar med 10 procent\nf\u00f6r varje \u00e5r. Formulera en funktion som beskriver minskningen och unders\u00f6k hur m\u00e5nga\nsom kommer bo i byn om 10 \u00e5r. `,\n svar: `\\\$f(x)=150\\\\cdot 0,9^x\\\$ och ungef\u00e4r 52 personer efter 10 \u00e5r.`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f11\"\n},\n{\n fraga: `Den r\u00e4ta linjen \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \u22127\ud835\udc65 + 20 har v\u00e4rdem\u00e4ngden \u22123 < \ud835\udc66 < 20. Best\u00e4m linjens\ndefinitionsm\u00e4ngd. `,\n svar: `\\\$0< x <\\\\frac{23}{7}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f12\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilka\/vilka \\\$x\\\$-v\u00e4rden \u00e4r \\\$f(x)=g(x)\\\$ f\u00f6r funktionerna \\\$f(x)=x^2+2x+1\\\$ och \\\$g(x)=2x+2\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f13\"\n},\n {\n fraga: `F\u00f6r funktionen \\\$f(x)=ax^4+2\\\$ vet du att \\\$f(1)=6\\\$. Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$`,\n svar: `\\\$a=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f14\"\n},\n {\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4t linje vet du att den g\u00e5r igenom punkterna \\\$(a, 3)\\\$ och \\\$(2a, 12)\\\$ och har k-v\u00e4rdet 3. Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$`,\n svar: `\\\$a=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f15\"\n},\n{\n fraga: `Ljudvolymen i decibel fr\u00e5n h\u00f6gtalarna fr\u00e5n en\nh\u00e5rdrockskonsert g\u00e5r att beskriva med f\u00f6ljande funktion\n\\\$L(a)=L_0-5,31\\\\cdot a^{0,45}\\\$ d\u00e4r \ud835\udc3f \u00e4r ljudvolymen med\navst\u00e5ndet \ud835\udc4e i meter fr\u00e5n h\u00f6gtalarna\\\$L_0\\\$ \u00e4r den\nursprungliga ljudvolymen. P\u00e5 den h\u00e4r rockkonserten \u00e4r\nursprungsvolymen p\u00e5 120 decibel och man menar att 85\ndecibel och \u00f6ver \u00e4r skadligt f\u00f6r v\u00e5r h\u00f6rsel. Vilket\navst\u00e5nd ska man st\u00e5 p\u00e5 f\u00f6r att inte riskera att skada sin\nh\u00f6rsel? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-115559.png\">`,\n svar: `Ungef\u00e4r 66 meter`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-212650.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensfunktioner\"],\n kod: \"f16\"\n},\n{\n fraga: `En exponentiell funktion \\\$f(x)=C\\\\cdot 0,45^x\\\$ g\u00e5r igenom punkten \\\$(2,5)\\\$ Best\u00e4m talet \\\$C\\\$ med tv\u00e5 decimalers exakthet.`,\n svar: `\\\$C=24,69\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"exponential\"],\n kod: \"f17\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. L\u00f6s olikheten \\\$g(x) > f(x)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-29-072212.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$0 < x < 2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"olikheter\", \"grafer\"],\n kod: \"f18\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)\\\$. L\u00f6s olikheten \\\$3 < f(x)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-29-073009.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$4 < x\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"olikheter\", \"grafer\"],\n kod: \"f19\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar den linj\u00e4ra funktionen \\\$f(x)=-4x+8\\\$ l\u00f6s olikheten \\\$f(x) > 0\\\$`,\n svar: `\\\$x < 2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"olikheter\"],\n kod: \"f20\"\n},\n{\n fraga: `Unders\u00f6k om punkten \\\$(2,8)\\\$ ligger p\u00e5 den r\u00e4ta linjen \\\$y=3x+2\\\$.`,\n svar: `Ja, den ligger p\u00e5 linjen `,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f21\"\n},\n{\n fraga: `En r\u00e4t linje p\u00e5 formen \\\$y=5x+m\\\$ g\u00e5r igenom punkten \\\$(-2,12)\\\$ Best\u00e4m var den r\u00e4ta linjen sk\u00e4r y-axeln.`,\n svar: `Den sk\u00e4r i \\\$y=22\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f22\"\n},\n{\n fraga: `En r\u00e4t linje sk\u00e4r x-axeln i \\\$x=4\\\$ och sk\u00e4r y-axeln i \\\$y=12\\\$ Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen`,\n svar: \"\\\$y=-3x+12\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f23\"\n},\n{\n fraga: `Om du vet att \\\$f(x)=2x+1\\\$ och \\\$g(x)=-4x+2\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 den sammansatta funktionen \\\$f(g(x))\\\$`,\n svar: \"\\\$f(g(x))=-8x+5\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f24\"\n},\n{\n fraga: `\tTv\u00e5 r\u00e4ta linjer har samma k-v\u00e4rde. Den ena g\u00e5r igenom punkterna (a,10) och (6,16). Den andra g\u00e5nger igenom punkterna (-2,-1) och (a,17). Best\u00e4m k-v\u00e4rdet f\u00f6r de r\u00e4ta linjerna. `,\n svar: \"\\\$k=3\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f25\"\n},\n{\n fraga: `\tFunktionen \\\$f(t)=2+10\\\\cdot 0,92^t\\\$ visar hur m\u00e5nga ton koldioxid som ett f\u00f6retag sl\u00e4pper ut varje \u00e5r fr\u00e5n 2023. \ud835\udc66 \u00e4r antalet ton och t \u00e4r \u00e5r fr\u00e5n 2023. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p>\n\na) Hur m\u00e5nga ton koldioxid sl\u00e4pper f\u00f6retaget ut 2023? <\/p>\nb) Hur m\u00e5nga ton koldioxid sl\u00e4pper f\u00f6retaget ut 2027 enligt modellen. Svara med tv\u00e5 decimaler <\/p>\nc) Vilket \u00e5r har utsl\u00e4ppen halverats i f\u00f6rh\u00e5llande till 2023 \u00e5rs niv\u00e5er. \n`,\n svar: \"a) 12 ton b) 9,16 ton c) 11 \u00e5r\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f26\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilket x-v\u00e4rde f\u00f6ljande r\u00e4ta linjer sk\u00e4r varandra \\\$y=-3x+8\\\$ och \\\$y=2x-2\\\$`,\n svar: \"\\\$x=2\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f27\"\n},\n{\n fraga: `Para ihop ekvationerna med graferna. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-09-064641.png\">`,\n svar: \"5.\t1-D, 2-C, 3-A, 4-B\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"grafer\"],\n kod: \"f28\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s olikheten \\\$3x+4<2x+10\\\$`,\n svar: \"\\\$x<6\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f29\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en linj\u00e4r funktion \\\$f(x)\\\$ vet du att \\\$f(a+7)=f(a)+21\\\$ Best\u00e4m \\\$k\\\$-v\u00e4rdet f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ `,\n svar: \"\\\$k=3\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f30\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4t linje \\\$f(x)\\\$ vet du att den sk\u00e4r \\\$y\\\$-axeln i \\\$y=5\\\$. Du vet ocks\u00e5 att \\\$f(a+1)=5\\\$ samt \\\$f(a-3)=-5\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen.`,\n svar: \"\\\$f(x)=\\\\frac{5}{2}x+5\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f31\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s olikheten \\\$10x+12<5x+22\\\$`,\n svar: \"\\\$x<2\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f32\"\n},\n{\n fraga: `Joakim definierar den r\u00e4ta linjen \\\$y=4x+10\\\$ <\/p> a) Best\u00e4m en r\u00e4t linje som \u00e4r parallell med Joakims linje <\/p> b) Best\u00e4m en r\u00e4t linje som \u00e4r vinkelr\u00e4t med Joakims linje `,\n svar: \"a) Till exempel \\\$y=4x+1\\\$ b) Till exempel \\\$y=-\\\\frac{x}{4}+1\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f33\"\n},\n{\n fraga: `En r\u00e4t linje p\u00e5 formen \\\$y=-3x+m\\\$ g\u00e5r igenom punkten (2,6). Best\u00e4m m-v\u00e4rdet f\u00f6r den r\u00e4ta linjen`,\n svar: \"\\\$m=12\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f34\"\n},\n{\n fraga: `En exponentiell funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=C\\\\cdot a^x\\\$ vet du att \\\$f(0)=20\\\$ Best\u00e4m d\u00e5 konstanten \\\$C\\\$`,\n svar: \"\\\$C=20\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f35\"\n},\n{\n fraga: `Det l\u00e4cker i en tunna med vatten. M\u00e4ngden vatten g\u00e5r att beskriva med funktionen\n\ud835\udc53(\ud835\udc61) = 500 \u2212 10\ud835\udc61 d\u00e4r \ud835\udc61 \u00e4r tiden i timmar och \ud835\udc53(\ud835\udc61) \u00e4r m\u00e4ngden vatten.<\/p> a) Efter hur m\u00e5nga timmar \u00e4r tunnan tom?<\/p> b) Best\u00e4m definitionsm\u00e4ngden och v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r \\\$f(t)\\\$`,\n svar: `a) 50 timmar b) Definitionsm\u00e4ngd \\\$0\\\\leq x \\\\leq 50\\\$ V\u00e4rdem\u00e4ngd \\\$0\\\\leq y \\\\leq500\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f36\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du en del av grafen till \\\$f(x)\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a)Best\u00e4m \\\$f(4)\\\$ <\/p> b) L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=1\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-111235.png\">`,\n svar: `a) \\\$f(4)=2\\\$b) \\\$x=1\\\$ `,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f37\"\n},\n{\n fraga: `Grafen nedan \u00e4r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=Ca^x\\\$ Best\u00e4m konstanterna \\\$C\\\$ och \\\$a\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-094921.png\">`,\n svar: `\\\$C=3, a=1,41\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"grafer\", \"exponential\"],\n kod: \"f38\"\n},\n{\n fraga: `Virussjukdomen Polio har minskat exponentiellt i ett omr\u00e5de de senaste \u00e5ren. 2008 bekr\u00e4ftades av WHO (V\u00e4rldsh\u00e4lsoorganisationen) 1651 fall av Polio, 2023 var det bara 12 st. Om man antar att minskningen g\u00e5r att uttrycka exponentiellt enligt \\\$P(t)\\\$. Hur m\u00e5nga procent minskade antalet bekr\u00e4ftade fall av Polio med varje \u00e5r fr\u00e5n 2008 enligt funktionen? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-181827.png\">`,\n svar:`Minskade med 28% per \u00e5r.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f39\"\n},\n{\n fraga: `Joakim h\u00e4ller upp en kopp kaffe. Efter 7 minuter har 40% av den ursprungliga v\u00e4rmen i kaffet f\u00f6rsvunnit. Hur l\u00e5ngt tar det till att ursprungsv\u00e4rmen p\u00e5 kaffet har minskat med 60%. Anta av v\u00e4rmen avtar exponentiellt.`,\n svar:`Ungef\u00e4r 12,5 minuter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f40\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4t linje vet du att k-v\u00e4rdet \u00e4r 3 och sedan vet du att \\\$f(a)=3\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 \\\$f(a+2)\\\$`,\n svar:`\\\$f(a+2)=9\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f41\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en exponentiell funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=C \\\\cdot a^x\\\$. Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ om du vet att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$f(x+1)=\\\\frac{1}{2}\\\\cdot f(x)\\\$`,\n svar:`\\\$a=\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"exponential\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f42\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar funktionerna \\\$f(x)=4x+1\\\$ och \\\$g(x)=-2x-2\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 \\\$f(g(x))\\\$`,\n svar:`\\\$f(g(x))=-8x-7\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f43\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2\\\$ f\u00f6r vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$x\\\$ \u00e4r \\\$f(x)=16\\\$`,\n svar:`\\\$x=\\\\pm4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f44\"\n},\n{\n fraga: `Para ihop graferna med f\u00f6ljande funktionsekvationer<\/p> \\\$f(x)=1,3^x\\\$ <\/p> \\\$g(x)=2\\\\cdot 0,5^x\\\$ <\/p> \\\$h(x)=2\\\\cdot 1,5^x\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-194804.png\">`,\n svar:`\\\$f(x)\\\$ \u00e4r bl\u00e5, \\\$g(x)\\\$ \u00e4r gr\u00f6n, \\\$h(x)\\\$ \u00e4r r\u00f6d`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\", \"exponential\"],\n kod: \"f45\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar funktionerna \\\$f(x)=2x+1\\\$ och \\\$g(x)=-x-8\\\$. L\u00f6s ekvationen \\\$f(g(x))=1\\\$`,\n svar:`\\\$x=-8\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f46\"\n},\n{\n fraga: `Unders\u00f6k f\u00f6r vilka r\u00e4ta linjer f\u00f6ljande samband g\u00e4ller \\\$f(a\\\\cdot x)=a\\\\cdot f(x)\\\$ d\u00e4r \\\$a\\\$ \u00e4r ett heltal skilt fr\u00e5n 0`,\n svar: `Det g\u00e4ller alla funktioner p\u00e5 formen \\\$f(x)=kx\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f47\"\n},\n{\n fraga: `Funktionen \\\$f(x)=x^2+1\\\$ \u00e4r given. Unders\u00f6k om det finns n\u00e5got \\\$a\\\$ s\u00e5dan att \\\$f(a+2)=f(a-1)\\\$`,\n svar: `\\\$a=-\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-211937.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\",\"potensfunktioner\"],\n kod: \"f48\"\n},\n{\n fraga: `Antalet \u00e5lar har minskat kraftigt under m\u00e5nga \u00e5r. Om man j\u00e4mf\u00f6r med 1950 finns idag bara 3% av best\u00e5ndet kvar. Man r\u00e4knar med att \u00e5lens best\u00e5nd minskar exponentiellt. Konstruera en funktion som beskriver minskningen av antalet \u00e5lar. Hur m\u00e5nga procent av 1950 \u00e5rs best\u00e5nd kommer vara kvar 2050 enligt din modell?`,\n svar: `0,59% av best\u00e5ndet \u00e4r kvar`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f49\"\n},\n{\n fraga: `Ebbingshaus gl\u00f6mskekurva \u00e4r en psykologisk modell f\u00f6r hur vi\ngl\u00f6mmer saker \u00f6ver tid. Modellen anpassas efter vad vi ska\nkomma ih\u00e5g namn i en grupp man inte l\u00e4ngre tr\u00e4ffar. Modellen\ng\u00e5r att beskriva med funktionen <\/p>\n \\\$N(t)=N_0\\\\cdot 0,93^t\\\$ <\/p>\nD\u00e4r \\\$N_0\\\$ \u00e4r antalet namn man kan fr\u00e5n b\u00f6rjan och \ud835\udc61 \u00e4r tiden i \u00e5r.\nBest\u00e4m efter hur m\u00e5nga \u00e5r man enbart vet h\u00e4lften av de namn\nman kunde fr\u00e5n b\u00f6rjan. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-11-082328.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Ungef\u00e4r 9,5 \u00e5r`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f50\"\n},\n{\n fraga: `Transportstyrelsen menar att antalet trafikolyckor d\u00e4r personer blir sv\u00e5rt skadade\nminskar exponentiellt. I och med att s\u00e4kerheten blir b\u00e4ttre i bilar och att teknologin\nf\u00f6rb\u00e4ttrar den m\u00e4nskliga faktorn f\u00f6rv\u00e4ntas allvarliga skador ocks\u00e5 minska. 2020\nskadades 1645 personer sv\u00e5rt i trafikolyckor. Enligt Transportstyrelsens prognos\nkommer det bara vara 1000 sv\u00e5rt skadade \u00e5r 2045.<\/p> \na) Skapa en funktion \ud835\udc53(\ud835\udc61) som beskriver Transportsstyrelsens prognos. \ud835\udc53(\ud835\udc61) ska vara\nantalet allvarligt skadade i trafiken och \ud835\udc61 \u00e4r \u00e5r fr\u00e5n 2020.<\/p>\nb) Efter hur m\u00e5nga \u00e5r \u00e4r olycksantalet 500 sv\u00e5rt skadade?`,\nsvar: `a) \\\$f(t)=1650\\\\cdot 0,98^t\\\$ b) 59 \u00e5r`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f51\"\n},\n{\n fraga: ` Observera funktionerna \ud835\udc53(\ud835\udc65) och \ud835\udc54(\ud835\udc65) nedan.<\/p> a) Funktionen \u210e(\ud835\udc65) definieras som \u210e(\ud835\udc65) = \ud835\udc54(\ud835\udc65) + \ud835\udc53(\ud835\udc65). Best\u00e4m \u210e(4) <\/p> b) Funktionen \u210e(\ud835\udc65) definieras nu som \u210e(\ud835\udc65) = \ud835\udc53(\ud835\udc54(\ud835\udc65)). Best\u00e4m \u210e(4). <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-173238.png\">`,\n svar:`a) \\\$h(4)=4\\\$ b) \\\$h(4)=-2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f52\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim har hyra en bil f\u00f6r att resa till Vasaloppet och \u00e5ka skidor. Han har tittar p\u00e5 tv\u00e5\nolika bilfirmor. <\/p> <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-092905.png\"> <\/p> Joakim vet att om han hyr bilen i en vecka kommer det inte spela n\u00e5gon roll vilken\nbilfirma han v\u00e4ljer. Hur mycket \u00e4r dagskostnaden f\u00f6r bilfirman B. `,\n svar:`Dagskostnaden \u00e4r 400 kr`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f53\"\n},\n{\n fraga: `Observera listorna f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-174955.png\"> Best\u00e4m ekvationerna f\u00f6r funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$`,\n svar:`\\\$f(x)=3x+4\\\$ och \\\$g(x)=243\\\\cdot (\\\\frac{1}{3})^x\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f54\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en linj\u00e4r funktion vet du att \\\$f(a-1)=1\\\$ samt att \\\$f(a+1)=7\\\$ Best\u00e4m k-v\u00e4rdet f\u00f6r funktionen `,\n svar:`\\\$k=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f55\"\n},\n{\n fraga: `I Joakimk\u00f6ping har befolkning minskat fr\u00e5n 10 000 personer 2014 till 5000 personer\np\u00e5 2024 \u00e5r.<\/p> \na) Konstruera en linj\u00e4r funktion som beskriver befolkningsminskningen fr\u00e5n 2014 <\/p>\nb) Konstruera en exponentiell funktion som beskriver befolkningsminskningen 2014`,\n svar:`a) \\\$y=-500+10000\\\$ b) \\\$y=10000\\\\cdot 0,933^x\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"exponential\"],\n kod: \"f56\"\n},\n{\n fraga: `Hyreskostnaden \ud835\udc3b att bo i en hyresbostad f\u00f6r ett f\u00f6retag g\u00e5r att beskriva med\nfunktionen \ud835\udc3b(\ud835\udc34) = 2500 + \ud835\udc58 \u22c5 \ud835\udc34 d\u00e4r \ud835\udc34 \u00e4r boarean f\u00f6r bostaden och \ud835\udc58 \u00e4r kostnaden\nper kvadratmeter. Best\u00e4m konstanten \ud835\udc58 med hj\u00e4lp av statistiken nedan, tolka ocks\u00e5 i\nord vad \ud835\udc58 betyder. . <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-175633.png\">`,\n svar:`\\\$k\\\$ st\u00e5r f\u00f6r konstnaden p\u00e5 kvadratmeter och \\\$k=50\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f57\"\n},\n{\n fraga: ` Nedan har du funktionen \\\$f(x)\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) \\\$f(4)\\\$ <\/p> b) L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=5\\\$ <\/p> c) Best\u00e4m definitionsm\u00e4ngden f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ <\/p>d) Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ . <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-075751.png\">`,\n svar:`a) \\\$f(4)=3\\\$ b) \\\$x=5\\\$ c) \\\$0\\\\leq x \\\\leq6\\\$ d) \\\$0\\\\leq y \\\\leq 7\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [4,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f58\"\n},\n{\n fraga: ` Nedan har du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ \\\$g(x)\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) \\\$g(1)\\\$ <\/p> b) L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=4\\\$ <\/p> c) Best\u00e4m definitionsm\u00e4ngden f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ <\/p>d) L\u00f6s olikheten \\\$g(x) < f(x)\\\$ . <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-11-080439.png\">`,\n svar:`a) \\\$g(1)=2\\\$ b) \\\$x=2\\\$ c) \\\$0\\\\leq x \\\\leq3\\\$ d) \\\$0 < x < 2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [3,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\",\"olikheter\"],\n kod: \"f59\"\n},\n{\n fraga: `Anv\u00e4nd graferna nedan f\u00f6r att l\u00f6sa ekvationen \\\$f(g(x))=2\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-103720.png\">`,\n svar:`\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f60\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r funktionen \\\$h(x)\\\$ om \\\$h(x)=f(x)+g(x)\\\$. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-184511.png\">`,\n svar:`\\\$10\\\\leq y \\\\leq28\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f61\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen som sk\u00e4r den exponentiella funktionen \\\$f(x)=16\\\\cdot (\\\\frac{1}{2})^x\\\$`,\n svar:`\\\$y=-3x+11\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f62\"\n},\n{\n fraga: `\\\$f(x)=20x-30\\\$ \u00e4r definierad. Best\u00e4m \\\$a\\\$ om \\\$f(a+2)=40\\\$`,\n svar:`\\\$a=\\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f63\"\n},\n{\n fraga: ` F\u00f6r funktionen \\\$f(x)=1,23^x\\\$ placerar vi en punkt l\u00e4ngst med grafen. Fr\u00e5n den punkten dras en r\u00e4t linje till \ud835\udc65-axeln och \ud835\udc66-axeln vilket bildar en rektangel. F\u00f6r vilken punkt \ud835\udc34 skapas en kvadrat? Funktionen \\\$f(x)\\\$ har definitionsm\u00e4ngden 0 \u2264 \ud835\udc65 \u2264 5. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-172358.png\">`,\n svar:`\\\$(1,31; 1,31)\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-211323.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f64\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har tagit fram statistik f\u00f6r skatteint\u00e4kter och befolkningstillv\u00e4xten i staden Joakimk\u00f6ping. Funktionen \ud835\udc46(\ud835\udc4f) beskriver skatteint\u00e4kterna beroende p\u00e5 befolkningen \ud835\udc4f i staden och funktionen \ud835\udc35(\ud835\udc61) beskriver den f\u00f6rv\u00e4ntade befolkningen fr\u00e5n 2024 d\u00e4r \ud835\udc61 \u00e4r antal \u00e5r fr\u00e5n 2024.<\/p> a) Tolka vad man vill ta reda p\u00e5 om man st\u00e4ller upp ekvationen \ud835\udc46(\ud835\udc35(\ud835\udc61)) = 140 <\/p> b) L\u00f6s ekvationen \ud835\udc46(\ud835\udc35(\ud835\udc61)) =140 \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-171217.png\"> `,\n svar:` a) Vilket \u00e5r \u00e4r skatteint\u00e4kterna 140 miljoner <\/p> b)\\\$t=5\\\$ `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f65\"\n},\n{\n fraga: ` Nedan ser du tv\u00e5 r\u00e4ta linjer och en avgr\u00e4nsad area. Om du vet att den ena r\u00e4ta linjen har en riktningskofficient 2 och att linjerna sk\u00e4r varandra i \\\$y=4\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r linje \ud835\udc34 om arean f\u00f6r den markerade triangeln \u00e4r 14 areanenheter. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-153840.png\">`,\n svar:`\\\$y=-5x+14\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f66\"\n},\n{\n fraga: `a) Best\u00e4m den r\u00e4ta linjen i koordinatsystemet\np\u00e5 allm\u00e4n form \\\$ay+bx+c=0\\\$ <\/p> \nb) Best\u00e4m en linje som \u00e4r parallell med linjen i\nKoordinatsystemet p\u00e5 allm\u00e4n form. <\/p>\nc) Best\u00e4m en linje som \u00e4r vinkelr\u00e4t med linjen\ni koordinatsystemet p\u00e5 allm\u00e4n form. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-082548.png\">`,\n svar:`a) \\\$y+3x-5=0\\\$ b)Till exempel \\\$y+3x+7\\\$ c) Till exmepel \\\$y=-\\\\frac{1}{3}x+1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"grafer\"],\n kod: \"f67\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-082530.png\"> Best\u00e4m vilken av graferna A-H som kan beskriva den sammansatta funktionen \\\$g(f(x))\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-082739.png\">`,\n svar:`D`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f68\"\n},\n{\n fraga: `Funktionen \\\$f(x)=C\\\\cdot 2^x\\\$ har definitionsm\u00e4ngden -1<\\\$x\\\$<3. Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r funktionen uttryckt i \\\$C\\\$`,\n svar:`\\\$\\\\frac{C}{2}\\\$ < y < \\\$8C\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f69\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar tv\u00e5 r\u00e4ta linjer \\\$2y+6x-15=15\\\$ och \\\$10x-ay+35=0\\\$ f\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ \u00e4r de r\u00e4ta linjerna <\/p> a) Parallella <\/p> b) Vinkelr\u00e4ta `,\n svar:`a) \\\$a=-\\\\frac{10}{3}\\\$ b) \\\$a=30\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f70\"\n},\n{\n fraga: `Biografen Joakims Bio rymmer 300 personer och \u00e4r alltid fullbokad. Joakim tar 200 kr f\u00f6r en vuxenbiljett och 125 f\u00f6r en barnbiljett <\/p> Om vi antar att biografen \u00e4r fullsatt konstruera en funktion \\\$I(x)\\\$ som beskriver int\u00e4kterna f\u00f6r Joakims Bio beroende p\u00e5 hur m\u00e5nga vuxna som \u00e4r i salongen. Best\u00e4m ocks\u00e5 funktionens v\u00e4rdem\u00e4ngd.`,\n svar:`\\\$I(x)=75x+37500\\\$ och v\u00e4rdem\u00e4ngden 37500 < y < 60000`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f71\"\n},\n{\n fraga: `De amerikanska tr\u00e4den Redwood \u00e4r de tr\u00e4d som blir h\u00f6gst i v\u00e4rlden. Tr\u00e4det Hyperion \u00e4r det h\u00f6gsta uppm\u00e4tta tr\u00e4det p\u00e5 116 meter. Inom tr\u00e4dvetenskapen anv\u00e4nder man f\u00f6ljande funktion f\u00f6r att best\u00e4mma ett Redwood-tr\u00e4ds h\u00f6jd utifr\u00e5n dess diameter. \\\$H(D)=40\\\\cdot D^{\\\\frac{2}{3}}\\\$ d\u00e4r \\\$H(D)\\\$ \u00e4r h\u00f6jden p\u00e5 tr\u00e4den och \\\$D\\\$ \u00e4r diametern p\u00e5 tr\u00e4den, b\u00e5da uttryckt i meter.<\/p> En annan funktion som anv\u00e4nds f\u00f6r att best\u00e4mma ett redwoods-tr\u00e4ds diameter utifr\u00e5n dess \u00e5lder \u00e4r \\\$D(A)=0,1\\\\cdot A^{\\\\frac{3}{5}}\\\$ d\u00e4r \\\$D(A)\\\$ \u00e4r diametern p\u00e5 tr\u00e4det och \\\$A\\\$ \u00e4r \u00e5ldern i \u00e5r.<\/p> a) Best\u00e4m diametern p\u00e5 Hyperion.<\/p> b) Joakim menar att man kan best\u00e4mma ett redwood-tr\u00e4ds h\u00f6jd med hj\u00e4lp av funktionen \\\$H(A)=8,6\\\\cdot A^{\\\\frac{2}{5}}\\\$. Visa hur Joakim tagit fram funktionen \\\$H(A)\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-154636.png\">`,\n svar:`a) 4,94 meter b) Visa med hj\u00e4lp av den sammansatta funktionen`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-211151.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"potensfunktioner\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f72\"\n},\n{\n fraga: `Fysikern och kemisten Marie Curies anteckningsb\u00f6cker har en stor m\u00e4ngd radioaktivt radium (nuklid 226) p\u00e5 sig. D\u00e4rf\u00f6r f\u00f6rvaras de i ett speciellt sk\u00e5p i Frankrike f\u00f6r att ingen ska skadas av den farliga radioaktiviteten. Radiumk\u00e4rnorna har en halveringstid p\u00e5 1600 \u00e5r. Det inneb\u00e4r att efter 1600 \u00e5r har antalet radiumk\u00e4rnor halverats i f\u00f6rh\u00e5llande till vad det var fr\u00e5n b\u00f6rjan, sedan forts\u00e4tter den processen med halvering var 1600 \u00e5r. Nutidens k\u00e4rnfysiker menar att 99% av radiumk\u00e4rnorna m\u00e5ste f\u00f6rsvinna innan b\u00f6ckerna kan visas f\u00f6r allm\u00e4nheten igen. Hur l\u00e5ng tid kommer det ta? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-165439.png\">`,\n svar: `Ungef\u00e4r 10630 \u00e5r `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-205711.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f73\"\n},\n{\n fraga: `Den bl\u00e5markerande arean \u00e4r 10 areaenheter. Best\u00e4m k-v\u00e4rdet p\u00e5 den r\u00e4ta linjen <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-165418.png\">`,\n svar:`\\\$k=\\\\frac{4}{3}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-205857.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"grafer\"],\n kod: \"f74\"\n},\n{\n fraga: ` Nedan ser du 3 kvadrater med olika areor som \u00e4r inskrivna i ett koordinatsystem. Du ser ocks\u00e5 3 punkter som finns som definieras som \ud835\udc431, \ud835\udc432, \ud835\udc433.<\/p> a) Best\u00e4m den r\u00e4ta linje som g\u00e5r igenom samtliga tre punkter. <\/p> b) Visa att ingen exponentiell funktion kan g\u00e5 igenom samtliga tre punkter <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-21-165514.png\">`,\n svar:`a) \\\$y=x+a\\\$ b) Unders\u00f6k de olika fallen och visa sedan att de inte kan g\u00e5 igenom de olika punkterna.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,4],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-210039.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"grafer\", \"exponential\"],\n kod: \"f75\"\n},\n{\n fraga: `En exponentiell funktion \\\$g(x)\\\$ har f\u00f6ljande samband <\/p> \\\$g(0)=4\\\$ <\/p> \\\$\\\\frac{g(102)}{g(100)}=25\\\$ <\/p> Best\u00e4m funktionen \\\$g(x)\\\$ `,\n svar:`\\\$g(x)=4\\\\cdot 5^x\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-210239.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f76\"\n},\n{\n fraga: ` Det finns en modell f\u00f6r att r\u00e4kna ut st\u00f6rre havslevande djurs l\u00e4ngd i meter utifr\u00e5n dess\nvikt i kg. Modellen \u00e4r f\u00f6ljande \\\$L(V)=0,46\\\\cdot V^{\\\\frac{1}{3}}\\\$ d\u00e4r \\\$L(V)\\\$ \u00e4r l\u00e4ngden i meter och \\\$V\\\$ \u00e4r vikten i kg <\/p> a) En normal bl\u00e5val \u00e4r 23 meter. Best\u00e4m vikten p\u00e5 en s\u00e5dan bl\u00e5val. <\/p> b) Joakim menar att man kan r\u00e4kna ut ett stort\nhavslevande djurs vikt med hj\u00e4lp av dess l\u00e4ngd\nf\u00f6ljande funktion \\\$V(L)=\\\\frac{L^3}{0,097}\\\$ Visa hur Joakim f\u00e5tt fram sin funktion. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-090339.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar:`a) 125000 kg b) L\u00f6s ut V ur formeln. `,\n niva: \"A\",\n poang: [1,1,2], \n digital: true,\n underkategori: [\"potensfunktioner\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f77\"\n},\n{\n fraga: `Tv\u00e5 linjer \u00e4r vinkelr\u00e4ta. Den ena linjen har ekvationen \\\$y=kx+2\\\$ och den andra g\u00e5r igenom punkterna \\\$(1, 2)\\\$ och \\\$(k, 8)\\\$. Best\u00e4m talet \\\$k\\\$`,\n svar: `\\\$k=\\\\frac{1}{7}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f78\"\n},\n{\n fraga: `En exponentiell funktion \\\$f(x)\\\$ g\u00e5r igenom punkterna \\\$(0,4)\\\$ och \\\$(4,100)\\\$ Best\u00e4m funktionen \\\$f(x)\\\$`,\n svar: `\\\$f(x)=4\\\\cdot 2,24^x\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f79\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m den sammansatta funktionen \\\$h(x)=f(g(x))\\\$ p\u00e5 formen \\\$h(x)=Ca^x\\\$ om du vet att \\\$f(x)=5^x\\\$ och \\\$g(x)=x+2\\\$`,\n svar: `\\\$h(x)=25\\\\cdot 5^x\\\$ `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f80\"\n},\n{\n fraga: `En sj\u00f6 b\u00f6rjar bli mer och mer f\u00f6rorenad. De tv\u00e5 olika fiskpopulationerna som finns i\nsk\u00f6n reagerar olika p\u00e5 det. Fisk A finns det 2024 25 000 individer och f\u00f6rv\u00e4ntas\nminska med 3% varje \u00e5r. Fisk B finns det 2024 12 500 individer och f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka\nmed 5% varje \u00e5r. Vilket \u00e5r finns det lika m\u00e5nga individer av respektive population. `,\n svar: `2032 (8,75 \u00e5r efter 2024)`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f81\"\n},\n{\n fraga: `Skriv den r\u00e4ta linjen \\\$2y+4x=10\\\$ p\u00e5 formen \\\$y=kx+m\\\$`,\n svar: `\\\$y=-2x+5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f82\"\n},\n{\n fraga: ` Observera graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$ nedan. <\/p> a) Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r \\\$f(x)\\\$<\/p> b) Best\u00e4m \\\$f(2)\\\$ <\/p> c) Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngd och definitionsm\u00e4ngd f\u00f6r \\\$g(x)\\\$ <\/p> d) L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=g(x)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-093647.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a) \\\$f(x)=-x+4\\\$ b) \\\$f(2)=2\\\$ c) V\u00e4rdem\u00e4ngd: \\\$0 \\\\leq y \\\\leq 4\\\$ Definitionsm\u00e4ngd: \\\$-1 \\\\leq x \\\\leq 2\\\$ d) \\\$x_1=0,x_2=1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [3,2,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f83\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m en r\u00e4t linje som \u00e4r parallell med den r\u00e4ta linjen \\\$3y-2x+11=0\\\$`,\n svar: `Till exempel \\\$y=\\\\frac{2x}{3}+1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f84\"\n},\n{\n fraga: `I ett experiment med bakterier v\u00e4xer en bakteriekultur exponentiellt med 10% varje dag. N\u00e4r bakteriekulturen har v\u00e4xt med 200% m\u00e5ste man avbryta experimentet. Hur l\u00e5ng tid kommer det ta?`,\n svar: `Det kommer ta 11 dagar`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-210504.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f85\"\n},\n{\n fraga: `Kol-14-metoden \u00e4r ett s\u00e4tt att datera hur gammalt n\u00e5got tidigare levande ting \u00e4r. Alla levande varelser har kol i sig och efter att man d\u00f6r tillf\u00f6rs ingen ny kol och kolatomerna b\u00f6rjar d\u00e4rf\u00f6r f\u00f6rsvinna fr\u00e5n den tidigare levande varelsen eller organismen. Det tar kolatomerna 5730 \u00e5r att halveras och d\u00e4refter halveras de igen efter ytterligare 5730 \u00e5r. Man brukar r\u00e4kna med att man kan f\u00e5 en felmarginal p\u00e5 \u00b150 \u00e5r n\u00e4r man r\u00e4knar med kol-14-metoden. 1936 hittade man ett lik i Halland som man numera kallar Bockstensmannen. Med hj\u00e4lp av kol-14-metoden kunde man konstatera att 92% av kolatomerna \u00e5terstod fr\u00e5n n\u00e4r Bockstensmannen dog. Din uppgift nu \u00e4r att best\u00e4mma mellan vilka \u00e5r Bockstensmannen skulle kunna t\u00e4nkas ha d\u00f6tt `,\n svar: `N\u00e5gonstans mellan 1197 och 1297`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-210626.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f86\"\n},\n\n{\n fraga: `Joakim s\u00f6ker sig till tv\u00e5 f\u00f6retag f\u00f6r att unders\u00f6ka v\u00e4rdef\u00f6r\u00e4ndringen p\u00e5 hans l\u00e4genhet. Han pratar f\u00f6rst med f\u00f6retaget L\u00e4genhetskungen som v\u00e4rderar l\u00e4genheten till 2 miljoner kr 2022 och att l\u00e4genheten ska \u00f6ka i v\u00e4rde med 3% varje \u00e5r. Det andra f\u00f6retaget heter V\u00e4rderingskungen och menar att Joakims l\u00e4genhet \u00e4r v\u00e4rd 2,1 miljoner 2022 och att den kommer \u00f6ka med 3,8% varje \u00e5r. Joakim observerar att det finns en differens mellan v\u00e4rderingarna och vill unders\u00f6ka vad det f\u00e5r f\u00f6r konsekvenser p\u00e5 l\u00e5ng sikt. Efter hur m\u00e5nga \u00e5r kommer v\u00e4rderingsdifferensen vara mer \u00e4n 1 miljon kronor?`,\n svar: `Efter 23 \u00e5r `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f87\"\n},\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$f(3)\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=x^2+2\\\$.`,\n svar: `\\\$f(3)=11\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f88\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$f(x) = 4\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=4x+2\\\$.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f89\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{x^2}{2}\\\$. Med hj\u00e4lp av grafen kan man skapa rektanglar som har\nolika areor beroende p\u00e5 vilket \ud835\udc65 man s\u00e4tter in i funktionen. F\u00f6r vilket \ud835\udc65-v\u00e4rde blir rektangelns\narea 81 areaenheter. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-085413.png\">`,\n svar: `\\\$x=4,33\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-01-085503.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"grafer\"],\n kod: \"f90\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har k\u00f6pte en bil f\u00f6r 10 000 kr 2023. Bilens v\u00e4rde f\u00f6rv\u00e4ntas minska med 10% varje \u00e5r fram\u00f6ver. Konstruera en funktion \\\$f(x)\\\$ som beskriver prisminskningen efter \\\$x\\\$ \u00e5r fr\u00e5n 2023.`,\n svar: `\\\$f(x)=10000\\\\cdot 0,9^x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"exponential\"],\n kod: \"f91\"\n },\n {\n fraga: `En produkts v\u00e4rde f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka med 3% varje \u00e5r och \u00e4r v\u00e4rd 150 kr idag. Joakim definierar en funktion \\\$f(x)\\\$ som beskriver produktens v\u00e4rde utifr\u00e5n \\\$x\\\$ \u00e5r fr\u00e5n och med idag.<\/p> \n Best\u00e4m funktionen \\\$f(x)\\\$ <\/p> b) Best\u00e4m och tolka \\\$f(5)\\\$`,\n svar: `a) \\\$f(x)=150\\\\cdot 1,03^x\\\$ b)\\\$f(5)=173,9\\\$ Varans v\u00e4rde efter 5 \u00e5r`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"exponential\"],\n kod: \"f92\"\n },\n {\n fraga: `Nedan f\u00f6ljer tv\u00e5 situationer. Din uppgifter \u00e4r att best\u00e4mma om situationen ger upphov till en linj\u00e4r funktion eller en exponentiell funktion<\/p> A<\/b> Joakim har idag en l\u00f6n p\u00e5 20000 kr. L\u00f6nen f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka med 1000 kr per \u00e5r fram\u00f6ver. \\\$f(x)\\\$ Beskriver Joakims l\u00f6n efter \\\$x\\\$ \u00e5r <\/p> B<\/b> Joakim har idag en l\u00f6n p\u00e5 20000 kr. L\u00f6nen f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka med 4% varje \u00e5r fram\u00f6ver \\\$g(x)\\\$ beskriver Joakims l\u00f6n efter \\\$x\\\$ \u00e5r. <\/p> Para ihop r\u00e4tt funktionstyp med r\u00e4tt situation `,\n svar: `A \u00e4r en linj\u00e4r funktion B \u00e4r en exponentiell.`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"exponential\", \"ratalinjer\"],\n kod: \"f93\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r vilka \\\$x\\\$ g\u00e4ller f\u00f6ljande \\\$2x-4 < 4 < 4x\\\$`,\n svar: `\\\$1 < x < 4\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f94\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r tv\u00e5 exponentiella funktioner \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$ vet du f\u00f6ljande:<\/p>\n\n<ul>\n <li>\\\$f(0)\\\$ \u00e4r tre g\u00e5nger s\u00e5 stor som \\\$g(0)\\\$<\/li>\n <li>\\\$f(x)\\\$ minskar med \\\$p\\\$% f\u00f6r varje x-steg. \\\$g(x)\\\$ \u00f6kar med \\\$p\\\$% f\u00f6r varje x-steg.<\/li>\n <li>\\\$f(5)=g(5)\\\$<\/li>\n<\/ul>\n\nBest\u00e4m \\\$p\\\$.<\/p>\t\n`,\n svar: `\\\$p=11\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\",\"exponential\"],\n kod: \"f95\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m den sammansatta funktionen \\\$h(x)=f(g(x))\\\$ p\u00e5 formen \\\$h(x)=Ca^x\\\$ om <ul>\n <li>\\\$f(x)=3^x\\\$ <\/li>\n <li>\\\$g(x)=2x+3\\\$ .<\/li>\n\n<\/ul>`,\n svar: `\\\$h(x)=27\\\\cdot 9^x\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f96\"\n},\n{\n fraga: `\tNedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. Vi definierar funktionen \\\$h(x)=f(x)-g(x)\\\$. Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r \\\$h(x)\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-10-15-164626.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `\\\$1 < y < 3\\\$ eller \\\$1 \\\\le y \\\\le 3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f97\"\n},\n{\n fraga: `Funktionen nedan g\u00e5r att skriva p\u00e5 formen \\\$f(x)=Ca^x\\\$ Best\u00e4m f\u00f6ljande.<\/p> \n a) \\\$f(1)\\\$ <\/p>\n b) L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=1\\\$<\/p> \n c) Best\u00e4m konstanterna \\\$a\\\$ och \\\$C\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-10-20-085048.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `a) \\\$f(1)=4\\\$ b) \\\$x=3\\\$ c) \\\$a=\\\\frac{1}{2}\\\$ och \\\$C=8\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [3,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"exponential\", \"grafer\"],\n kod: \"f98\"\n},\n{\n fraga: `I kommunen Joakimk\u00f6ping bor det idag 10 000 personer och det f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka med\n200 personer varje \u00e5r fram\u00f6ver fr\u00e5n 2025. Kommunen har tagit fram statistik kring hur\nmycket skatteint\u00e4kter (i miljoner) som kommunen f\u00e5r in beroende p\u00e5 hur m\u00e5nga som\nbor i kommunen. Konstruera en f\u00f6renklad funktion \\\$S(t)\\\$ som beskriver hur mycket\nskatteint\u00e4kter Joakimk\u00f6ping kommer f\u00e5 med avseende p\u00e5 tiden \\\$t\\\$ fr\u00e5n 2025. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-26-091051.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `\\\$S(t)=2,1t+105\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"ratalinjer\"],\n kod: \"f99\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du en tabell som beskriver en exponentialfunktion \\\$f(x)\\\$. Best\u00e4m vad som ska st\u00e5 i a). <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-26-091615.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `a)=4,44`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f100\"\n},\n{\n fraga: `Antalet elbilar har \u00f6kat exponentiellt i Sverige under\nde senaste \u00e5ren. Hemsidan Alltomelbil.se publicerar\nstatistik kring antalet elbilar i Sverige. 2016 fanns det\n10 000 elbilar i Sverige och 2024 fanns det 400 000\nelbilar. Alltomelbil.se menar att Sverige kommer ha\nmer \u00e4n 1 miljon elbilar redan 2026 om exponentiella\ntrenden forts\u00e4tter. Unders\u00f6k om Alltomelbil.se har r\u00e4tt\ni sin prognos. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-072632.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `Det st\u00e4mmer. Konstruera en exponentiell funktion som beskriver utvecklingen.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"exponential\"],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-073008.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n kod: \"f101\"\n},\n{\n fraga: `Matcha f\u00f6ljande situationer med vilken graf som beskriver f\u00f6rloppet <\/p> \na) Joakims l\u00f6n \u00f6kar med 2000 kr per \u00e5r och f\u00f6rv\u00e4ntas g\u00f6ra det fram\u00f6ver. \\\$f(t)\\\$ beskriver\nl\u00f6nen utifr\u00e5n tiden \ud835\udc61.<\/p>\nb) Joakim l\u00f6n \u00f6kar med 4% varje \u00e5r och f\u00f6rv\u00e4ntas g\u00f6ra det fram\u00f6ver. \\\$f(t)\\\$ beskriver\nl\u00f6nen utifr\u00e5n tiden \ud835\udc61. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-04-203314.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a)-C och b)-A`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"grafer\"],\n kod: \"f102\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilken\/vilka av f\u00f6ljande grafer g\u00e4ller f\u00f6ljande \\\$f(a)<f(a+1)\\\$ f\u00f6r alla \\\$a\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-04-203254.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `B och C`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"grafer\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f103\"\n},\n{\n fraga: `En l\u00e4genhet f\u00f6rv\u00e4ntas \u00f6ka i v\u00e4rde exponentiellt fr\u00e5n 2020. 2022 var l\u00e4genheten v\u00e4rd\n1,5 miljoner och 2025 var l\u00e4genheten v\u00e4rd 1,7 miljoner. Hur mycket var l\u00e4genheten\nv\u00e4rd 2020 om vi antar att l\u00e4genhetens v\u00e4rde \u00f6kade exponentiellt.`,\n svar: `1,38 miljoner`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f104\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en funktion \\\$f(x)=a\\\\cdot x^4-20\\\$ vet du att \\\$f(2)=12\\\$.`,\n svar: `\\\$a=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"potensfunktioner\"],\n kod: \"f105\"\n},\n{\n fraga: `Joakim investerade i tv\u00e5 olika fonder 2020. Han investerade 3 g\u00e5nger s\u00e5 mycket i den\nena fonden. Efter 5 \u00e5r visar det sig att den fonden han investerade mer i \u00f6kade med 8%\ni snitt per \u00e5r och den andra fonden \u00f6kade med 6% i snitt per \u00e5r. Det totala v\u00e4rdet f\u00f6r\nfonderna var d\u00e5 20 000 kr.<\/p> \na) Hur mycket investerade Joakim i respektive fond? <\/p>\nb) Vilket \u00e5r kommer det totala v\u00e4rdet vara 30 000 kr?`,\n svar: `a) 3480 b) 10,5 \u00e5r`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"exponential\"],\n kod: \"f106\"\n},\n{\n fraga: ` Markera i ett koordinatsystem det omb\u00e5rde som definieras av f\u00f6ljande begr\u00e4nsningar <\/p> \\\$0 \\\\le x \\\\le 4\\\$ <\/p> \\\$y \\\\le x\\\$ <\/p>`,\n svar: ` <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-152951.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f107\"\n},\n{\n fraga: ` En kvadrat \u00f6kar sin sidl\u00e4ngd f\u00f6r varje minut som g\u00e5r. Fr\u00e5n b\u00f6rjan \u00e4r kvadratens\nsidl\u00e4ngd 0 cm och sedan \u00f6kar den linj\u00e4rt. Efter 12 minuter \u00e4r arean f\u00f6r kvadraten\n16 kvadratcentimeter\n. <\/p> \na) Hur m\u00e5nga cm \u00f6kar kvadratens sidl\u00e4ngd varje minut? <\/p>\nb) Best\u00e4m funktionen \ud835\udc34(\ud835\udc65) som beskriver arean f\u00f6r kvadraten d\u00e4r \ud835\udc65 \u00e4r antalet\nminuter.\n`,\n svar: `a) \\\$\\\\frac{1}{3}\\\$ cm\/minut b) \\\$A(x)=(\\\\frac{x}{3})^2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\", \"potensfunktioner\"],\n kod: \"f108\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du en inskriven rektangel i en halvcirkel d\u00e4r rektangelns h\u00f6rn m\u00e5ste vidr\u00f6ra\ncirkelns ytterkant. Radien f\u00f6r cirkeln \u00e4r 1 l\u00e4ngdenhet. Funktionen \\\$A(x)\\\$ beskriver\nrektangelns area d\u00e4r \ud835\udc65 \u00e4r basen p\u00e5 rektangeln. Best\u00e4m definitionsm\u00e4ngden f\u00f6r \\\$A(x)\\\$\ngenom att anv\u00e4nda bilden nedan. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-155007.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$0 \\\\le x \\\\le 2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f109\"\n},\n{\n fraga: ` Vi definierar den r\u00e4ta linjen \\\$2y+4x+a=10\\\$ <\/p> a)Best\u00e4m \\\$a\\\$ om den r\u00e4ta linjen g\u00e5r igenom punkten \\\$(2, 5)\\\$ <\/p> b) Unders\u00f6k om v\u00e5r definierade r\u00e4ta linje \u00e4r parallell med \\\$y=2x+5\\\$ `,\n svar: `a) \\\$a=-8\\\$ b) De \u00e4r inte parallella.`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f110\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. Best\u00e4m antalet l\u00f6sningar till ekvationen \\\$f(x)-g(x)=0\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-12-103306.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `3 st.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"grafer\"],\n kod: \"f111\"\n},\n{\n fraga: `Joakim ritar upp den r\u00e4ta linjen \\\$y=-3x+10\\\$ och den r\u00e4ta linjen \\\$30x+10y-100=0\\\$ i geogebra. Han blir bara lite f\u00f6rvirrad. Han ser bara en r\u00e4t linje. F\u00f6rklara f\u00f6r Joakim vad det beror p\u00e5. `,\n svar: `De \u00e4r samma r\u00e4ta linje`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f112\"\n},\n{\n fraga: `Om du vet att \\\$f(x)=x+5\\\$ har definitionsm\u00e4ngden \\\$0 < x < 3\\\$ samt att \\\$g(x)=x^2\\\$. Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r funktionen \\\$g(f(x))\\\$`,\n svar: `\\\$25 < y < 64\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f113\"\n},\n{\n fraga: `Joakim h\u00e4ller upp en kopp kaffe. Efter 7 minuter har 40% av den ursprungliga v\u00e4rmen i kaffet f\u00f6rsvunnit. Hur l\u00e5ngt tar det innan ursprungsv\u00e4rmen har minskat med 70%. Anta av v\u00e4rmen avtar exponentiellt. `,\n svar: `Ungef\u00e4r 16,5 minuter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true, \n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f114\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet av \\\$f(x) = 5x - 4\\\$ n\u00e4r \\\$x = 3\\\$.`,\n svar: `\\\$f(3) = 11\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f115\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r funktionen \\\$f(x) = 3x + 2\\\$, best\u00e4m \\\$x\\\$ s\u00e5 att \\\$f(x) = 17\\\$.`,\n svar: `\\\$x = 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f116\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4t linje g\u00e5r igenom punkterna \\\$(0, 4)\\\$ och \\\$(2, 10)\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linjen.`,\n svar: `\\\$y = 3x + 4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f117\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$k\\\$-v\u00e4rdet f\u00f6r den r\u00e4ta linjen som g\u00e5r genom punkterna \\\$(1, 2)\\\$ och \\\$(5, 10)\\\$.`,\n svar: `\\\$k = 2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f118\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4t linje har ekvationen \\\$y = -2x + 7\\\$. Best\u00e4m var linjen sk\u00e4r \\\$y\\\$-axeln.`,\n svar: `I punkten \\\$(0, 7)\\\$ (eller \\\$y = 7\\\$)`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f119\"\n },\n {\n fraga: `Unders\u00f6k om punkten \\\$(3, 11)\\\$ ligger p\u00e5 linjen \\\$y = 4x - 1\\\$.`,\n svar: `Ja, den ligger p\u00e5 linjen`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f120\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4t linje har \\\$k\\\$-v\u00e4rdet \\\$3\\\$ och g\u00e5r igenom punkten \\\$(2, 9)\\\$. Best\u00e4m linjens \\\$m\\\$-v\u00e4rde.`,\n svar: `\\\$m = 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f121\"\n },\n {\n fraga: `Tv\u00e5 r\u00e4ta linjer \u00e4r parallella. Den ena linjen har ekvationen \\\$y = 5x - 2\\\$. Ange ett f\u00f6rslag p\u00e5 ekvationen f\u00f6r den andra linjen.`,\n svar: `Till exempel \\\$y = 5x + 1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f122\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s olikheten \\\$4x - 3 < 13\\\$.`,\n svar: `\\\$x < 4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f123\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s olikheten \\\$2x + 5 > 5x - 4\\\$.`,\n svar: `\\\$x < 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2, 0, 0],\n underkategori: [\"olikheter\"],\n kod: \"f124\"\n },\n {\n fraga: `En exponentiell funktion skrivs p\u00e5 formen \\\$y = C \\\\cdot a^x\\\$. Best\u00e4m startv\u00e4rdet \\\$C\\\$ om du vet att \\\$y = 500\\\$ n\u00e4r \\\$x = 0\\\$.`,\n svar: `\\\$C = 500\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f125\"\n },\n {\n fraga: `Ett kapital p\u00e5 \\\$10\\\\ 000\\\$ kr s\u00e4tts in p\u00e5 ett bankkonto med \u00e5rsr\u00e4ntan \\\$2\\\\%\\\$. Formulera en funktion \\\$K(t)\\\$ som beskriver kapitalet efter \\\$t\\\$ \u00e5r.`,\n svar: `\\\$K(t) = 10000 \\\\cdot 1,02^t\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f126\"\n },\n {\n fraga: `V\u00e4rdet p\u00e5 en moped minskar med \\\$15\\\\%\\\$ varje \u00e5r. Den k\u00f6ptes ny f\u00f6r \\\$20\\\\ 000\\\$ kr. St\u00e4ll upp en funktion \\\$V(x)\\\$ som visar mopeden v\u00e4rde efter \\\$x\\\$ \u00e5r.`,\n svar: `\\\$V(x) = 20000 \\\\cdot 0,85^x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"exponential\"],\n kod: \"f127\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilket \\\$x\\\$-v\u00e4rde de tv\u00e5 r\u00e4ta linjerna \\\$y = 2x + 1\\\$ och \\\$y = -x + 7\\\$ sk\u00e4r varandra.`,\n svar: `\\\$x = 2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f128\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r funktionen \\\$f(x) = x^2 - 3\\\$, ber\u00e4kna \\\$f(-4)\\\$.`,\n svar: `\\\$f(-4) = 13\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f129\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$f(x) = 25\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x) = x^2\\\$.`,\n svar: `\\\$x = \\\\pm 5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f130\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4t linje sk\u00e4r \\\$x\\\$-axeln i \\\$x = 3\\\$ och har \\\$m\\\$-v\u00e4rdet \\\$6\\\$. Best\u00e4m linjens ekvation.`,\n svar: `\\\$y = -2x + 6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f131\"\n },\n {\n fraga: `Givet funktionerna \\\$f(x) = 3x\\\$ och \\\$g(x) = x + 4\\\$, best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$f(2) + g(3)\\\$.`,\n svar: `\\\$13\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f132\"\n },\n {\n fraga: `Skriv om den r\u00e4ta linjen \\\$2y - 6x + 4 = 0\\\$ p\u00e5 k-form (\\\$y = kx + m\\\$).`,\n svar: `\\\$y = 3x - 2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\"],\n kod: \"f133\"\n },\n {\n fraga: `En taxiresa kostar en grundavgift p\u00e5 \\\$45\\\$ kr plus \\\$15\\\$ kr per kilometer. Formulera en funktion \\\$K(x)\\\$ f\u00f6r totalkostnaden som funktion av str\u00e4ckan \\\$x\\\$ i km.`,\n svar: `\\\$K(x) = 15x + 45\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1, 0, 0],\n underkategori: [\"ratalinjer\", \"funktionsbegreppet\"],\n kod: \"f134\"\n }\n ],\n\n trigonometri: [\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna \\\$\\\\sin(30^\\\\circ)\\\$.`,\n svar: `\\\$0.5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t1\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en r\u00e4t linje p\u00e5 formen \\\$y=kx+m\\\$ Best\u00e4m vinkeln \\\$v\\\$.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-12-kl.-21.34.35.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$v=18,43^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t2\"\n },\n {\n fraga: `Joakim och hans kompis Bengt st\u00e5r och diskuterar r\u00e4tvinkliga trianglar (som man g\u00f6r).\nBengt menar att om man d\u00e5 multiplicerar en av kateterna med 2 kommer en av\nvinklarna att bli dubbelt s\u00e5 stor som den andra (som inte \u00e4r r\u00e4t). Joakim h\u00e5ller inte med\nom det. Unders\u00f6k vem som har r\u00e4tt. .`,\n svar: `Joakim har r\u00e4tt`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t3\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4tvinklig triangel vet du att kateterna \u00e4r 6 l\u00e4ngdenheter och 8 l\u00e4ngdenheter.<\/p> a) Best\u00e4m \\\$tanv\\\$ f\u00f6r den minsta vinkeln i triangeln <\/p> b) Best\u00e4m den st\u00f6rsta vinkeln som inte \u00e4r r\u00e4t i triangeln `,\n svar: `a) \\\$tanv)\\\\frac{3}{4}\\\$ b) \\\$53,13^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t4\"\n },\n {\n fraga: `Om du vet att \\\$sinv=\\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\$ Best\u00e4m d\u00e5 vinkeln \\\$v\\\$.`,\n svar: `\\\$v=60^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t5\"\n },\n {\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet g\u00e4ller f\u00f6r alla \\\$v\\\$ \\\$(sinv)^2+(cosv)^2 = 1\\\$`,\n svar: `Likheten st\u00e4mmer. Tips: Skriv om \\\$sinv\\\$ och \\\$cosv\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-211007.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t6\"\n },\n {\n fraga: ` Skriv f\u00f6ljande trigonometriska uttryck i storleksordning \\\$\\\\tan5^\\\\circ, \\\\sin5^\\\\circ, \\\\cos5^\\\\circ\\\$`,\n svar: `I storleksordning med minsta f\u00f6rst: \\\$\\\\sin5^\\\\circ,\\\\tan5^\\\\circ,\\\\cos5^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t7\"\n},\n{\n fraga: ` Under 1300-talet gjorde den indiska matematikern Madhava (1350-1425) en tabell f\u00f6r v\u00e4rden f\u00f6r olika vinkar p\u00e5 sinus. Nedan ser du texten f\u00f6r Madhavas tabell samt en modern f\u00f6rkortad tolkning av den. Best\u00e4m \\\$\\\\cos15^\\\\circ\\\$ med hj\u00e4lp av tabellen. : \n <img decoding=\"async\" src=\" https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-20-114028.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `\\\$cos15 =0,9659\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t8\"\n},\n{\n fraga: ` Best\u00e4m samtliga vinklar i de r\u00e4tvinkliga trianglarna nedan. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-25-081859.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `F\u00f6r den v\u00e4nstra triangeln: 30 och 60 grader. Den h\u00f6gra triangeln 32 och 58 grader`,\n niva: \"E\",\n poang: [4,0,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t9\"\n},\n{\n fraga: ` Best\u00e4m samtliga str\u00e4ckor i de r\u00e4tvinkliga trianglarna nedan. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-25-082023.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `F\u00f6r den v\u00e4nstra triangeln: 15, 8,8 och 12,11 l\u00e4ngdenheter. Den h\u00f6gra triangeln 10,3, 13,7 och 9 l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"E\",\n poang: [4,0,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t10\"\n},\n{\n fraga: ` Den v\u00e4ldiga Cheopspyramiden i Egypten \u00e4r v\u00e4rldens\nh\u00f6gsta pyramid. Byggd f\u00f6r 4500 \u00e5r sedan st\u00e5r den\nfortfarande p\u00e5 Giza-plat\u00e5n. Pyramiden har en kvadratisk\nbotten med sidl\u00e4ngden 230 meter. Vinkeln f\u00f6r pyramiden\nmot marken \u00e4r 50,1\u00b0. Best\u00e4m h\u00f6jden p\u00e5 pyramiden. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-25-081937.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `137 meter`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t11\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du ett antal vektorer.\na) Best\u00e4m samtliga vektorer i koordinatform.\nb) Best\u00e4m resultanten till \\\$u+v\\\$ i koordinatform\nc) Best\u00e4m |w|, svara exakt : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-084012.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `a) \\\$v=(1,-2), u=(3,2), w=(-2,4)\\\$ b) \\\$u+v=(4,0)\\\$ c) \\\$\\\\sqrt{20}\\\$ `,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"vektorer\"],\n kod: \"v1\"\n},\n{\n fraga: ` Best\u00e4m \\\$sinv+cosv\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande triangel. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-25-081808.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `\\\$\\\\frac{7}{5}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t12\"\n},\n{\n fraga: ` Best\u00e4m vinkeln \\\$v\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande figur. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-25-082105.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `\\\$v=27,54^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t13\"\n},\n{\n fraga: ` I grafen nedan \u00e4r en r\u00e4t linje ritad. Best\u00e4m den r\u00e4ta linjens lutning. Svara exakt. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-081318.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `\\\$k=tan35\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t14\"\n},\n {\n fraga: ` Kapten Joakim n\u00e4rmar sig nytt land och har funnit en fyr som han best\u00e4mt sig f\u00f6r att n\u00e4rma. Joakim \u00e4r p\u00e5 ett ok\u00e4nt avst\u00e5nd fr\u00e5n fyren men med hj\u00e4lp av ett verktyg kan han konstatera att fr\u00e5n havet till fyrens topp skapas det en vinkel p\u00e5 32\u00b0. Han r\u00f6r sig ytterligare 70 meter n\u00e4rmare fyren och vinkeln har nu \u00f6kat till 41\u00b0. Hur h\u00f6gt upp \u00e4r pirens topp? : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-20-103944.png\">`,\n svar: `156 meter \u00f6ver havet`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-20-104903.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t15\"\n},\n{\n fraga: `Om du vet att \\\$cosv = \\\\frac{3}{5}\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 \\\$sinv\\\$`,\n svar: `\\\$sinv = \\\\frac{4}{5}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t16\"\n},\n{\n fraga: `Om vi vet att \ud835\udc60\ud835\udc56\ud835\udc5b\ud835\udc63 > \ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc60\ud835\udc63 f\u00f6r en vinkel \ud835\udc63. Vad kan vi s\u00e4ga om den vinkeln d\u00e5?`,\n svar: `Vinkeln \u00e4r st\u00f6rre \u00e4n \\\$45^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t17\"\n},\n{\n fraga: `Anv\u00e4nd den liksidiga triangeln i mahifi-loggan f\u00f6r att best\u00e4mma ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r \\\$\\\\cos30^\\\\circ\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\cos30^\\\\circ\\\\ = \\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t18\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar tv\u00e5 vektorer. \\\$v=(2,5)\\\$ och \\\$u=(-1,4)\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande<\/p> a) \\\$v+u\\\$ i koordinatform <\/p> b) \\\$v-u\\\$ i koordinatform <\/p> c) \\\$ \\\\mid u \\\\mid\\\$ `,\n svar: `a) \\\$v+u=(1,9)\\\$ b) \\\$v-u=(3,1)\\\$ c) \\\$\\\\sqrt{26}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"vektorer\"],\n kod: \"v2\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar vektorerna \\\$v=(3,2)\\\$ och \\\$u=(12,15)\\\$. Best\u00e4m \\\$v+u\\\$ p\u00e5 koordinatform`,\n svar: `\\\$v+u=(15,17)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"vektorer\"],\n kod: \"v4\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m h\u00f6jden p\u00e5 byggnaden : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-181624.png\">`,\n svar: `Ungef\u00e4r 71 meter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-210837.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t19\"\n},\n {\n fraga: `Best\u00e4m arean av den r\u00e4tvinkliga triangeln ABC? : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-20-105448.png\">`,\n svar: `Arean \u00e4r \\\$5\\\\cdot\\\\sqrt{21}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-20-105517.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t20\"\n },\n {\n fraga: `\tVisa att man kan best\u00e4mma arean f\u00f6r vilken triangel som helst om man anv\u00e4nder f\u00f6ljande formel. Notera att \\\$b\\\$ \u00e4r hela basen f\u00f6r triangeln. Utg\u00e5 fr\u00e5n figuren nedan. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-25-204508.png\">`,\n svar: `Skriv ett uttryck f\u00f6r h\u00f6jden och sedan visa att likheten g\u00e4ller f\u00f6r areanformeln f\u00f6r en triangel.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t21\"\n },\n {\n fraga: `\tBest\u00e4m arean p\u00e5 triangeln nedan genom att anv\u00e4nda bland annat trigonometri. Samtliga str\u00e4ckor \u00e4r i cm. Notera att 15 cm utg\u00f6r hela basen f\u00f6r triangeln. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-25-204733.png\">`,\n svar: `\\\$37,5 cm^2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t22\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar vektorn \\\$u=(x,8)\\\$. Du vet att \\\$\\\\mid u \\\\mid=10\\\$. Best\u00e4m det\/de t\u00e4nkbara v\u00e4rdena p\u00e5 \\\$x\\\$ `,\n svar: `\\\$x= \\\\pm 6\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"vektorer\"],\n kod: \"t23\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4tvinklig triangel vet du att de tv\u00e5 vinklarna som inte \u00e4r r\u00e4tvinkliga \u00e4r \\\$v\\\$ och \\\$u\\\$. Om du vet att \\\$tan(v)=0,4\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 \\\$tan(u)\\\$. Svara i decimalform. `,\n svar: `\\\$tan(u)=2,5\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t24\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4tvinklig triangel har sidl\u00e4ngderna 7 cm, 24 cm och 25 cm. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> \na) Best\u00e4m \\\$tanv\\\$ f\u00f6r den minsta vinkeln i triangeln <\/p>\nb) Best\u00e4m samtliga vinklar i triangeln`,\nsvar: \"a) \\\$tanv=\\\\frac{7}{24}\\\$ b) \\\$16,26^{\\\\circ}\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t25\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en cirkel med radien 1 l\u00e4ngdenhet i ett koordinatsystem. Visa att punkten\n\\\$P\\\$ kan definieras som \\\$P=(cosv, sinv)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-083356.png\">`,\nsvar: \"Skapa en r\u00e4tvinklig triangel och visa att \\\$cosv\\\$ enbart \u00e4r \\\$x\\\$-v\u00e4rdet och \\\$sinv\\\$ enbart \u00e4r \\\$y\\\$-v\u00e4rdet.\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t26\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4tvinklig triangel vet du att \\\$sinv=\\\\frac{\\\\sqrt3}{2}\\\$. Best\u00e4m \\\$cosv\\\$ f\u00f6r samma triangel.`,\nsvar: \"\\\$cosv=\\\\frac{1}{2}\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t27\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4tvinklig triangel vet du att den har sidl\u00e4ngderna 1, \\\$\\\\sqrt3\\\$ och 2 l\u00e4ngdenheter. Best\u00e4m den minsta vinkeln i triangeln.`,\nsvar: \"\\\$30^{\\\\circ}\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t28\"\n },\n {\n fraga: `Observera vektorerna till h\u00f6ger. Best\u00e4m\nf\u00f6ljande <\/p> \na) Vektorerna i koordinatform <\/p> \nb) Joakim menar att \\\$\\\\mid v \\\\mid < \\\\mid u \\\\mid \\\$ st\u00e4mmer det?<\/p>\nc) Joakim menar att det finns ett \ud835\udc4e s\u00e5dant att \\\$a\\\\cdot v=u\\\$. Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-08-072056.png\">`,\nsvar: \"a) \\\$v=(-4,-1)\\\$ \\\$u=(2,5)\\\$ b) Det st\u00e4mmer c) Det finns inget s\u00e5dant.\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n underkategori: [\"vektorer\"],\n kod: \"v3\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har ritat upp en likbent r\u00e4tvinklig triangel. Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r \\\$sinv\\\$ f\u00f6r n\u00e5gon av vinklarna som inte \u00e4r \\\$90^{\\\\circ}\\\$`,\nsvar: \"\\\$sinv=\\\\frac{1}{\\\\sqrt2}\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t29\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar vektorerna i koordinatsystemet nedan. Best\u00e4m f\u00f6ljande<\/p> a) Best\u00e4m \\\$v\\\$ och \\\$u\\\$ i koordinatform. <\/p> b) \\\$v-u\\\$ <\/p> c) \\\$\\\\mid v+u \\\\mid \\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-08-073625.png\">`,\nsvar: \"a) \\\$u=(2,4)\\\$ och \\\$v=(-3,-1\\\$ b) \\\$v-u=(-5,-5)\\\$ c)\\\$\\\\mid v+u \\\\mid =\\\\sqrt{10} \\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [3,1,0],\n underkategori: [\"vektorer\"],\n kod: \"v5\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r tv\u00e5 vektorer vet du att \\\$v=(3,5)\\\$, \\\$u=(a,2a)\\\$ samt att \\\$\\\\mid v \\\\mid = \\\\mid u \\\\mid\\\$ Best\u00e4m \\\$a\\\$, svara med tv\u00e5 decimaler`,\nsvar: \"\\\$a=\\\\pm 2,61\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true, \n underkategori: [\"vektorer\"],\n kod: \"v6\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r tv\u00e5 vektorer vet du att \\\$v+u=(3,7)\\\$ och att \\\$v=(1,-1)\\\$ Best\u00e4m vektorn \\\$u\\\$ p\u00e5 koordinatform`,\nsvar: \"\\\$u=(2,8)\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"vektorer\"],\n kod: \"v7\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4tvinklig triangel vet du att \\\$tanv\\\\frac{12}{5}\\\$ <\/p> a) Best\u00e4m samtliga vinklar i triangeln. <\/p> b) Best\u00e4m \\\$sinv\\\$ f\u00f6r den r\u00e4tvinkliga triangeln `,\nsvar: \"a) 67,38 grader och 22,62 grader. b) \\\$sinv=\\\\frac{12}{13}\\\$\",\n niva: \"C\",\n digital: true, \n poang: [2,2,0],\n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t30\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar vektorn \\\$v=(3,4)\\\$. Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ om \\\$a\\\\cdot v=u\\\$ samt att \\\$\\\\mid u \\\\mid=15 \\\$`,\nsvar: \"\\\$a=\\\\pm 3\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true, \n underkategori: [\"vektorer\"],\n kod: \"v8\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en r\u00e4tvinklig triangel d\u00e4r samtliga str\u00e4ckor \u00e4r i cm. Best\u00e4m l\u00e4ngden av hypotenusan i triangeln.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-13-092455.png\">`,\nsvar: \"14 cm\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t31\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en r\u00e4tvinklig triangel d\u00e4r samtliga str\u00e4ckor \u00e4r i cm. Best\u00e4m l\u00e4ngden av \\\$x\\\$ i triangeln.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-13-093051.png\">`,\nsvar: \"5,77 cm\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"trigonometri\"],\n kod: \"t32\"\n }\n ],\n\n sannolikhet: [\n {\n fraga: `En t\u00e4rning kastas. Vad \u00e4r sannolikheten att f\u00e5 en sexa?`,\n svar: `\\\$\\\\tfrac{1}{6}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s1\"\n },\n {\n fraga: `Vad \u00e4r sannolikheten att du sl\u00e5r tv\u00e5 sexor i rad om du har sexsidiga t\u00e4rningar?`,\n svar: \"(\\\$\\\\frac{1}{36}\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s2\"\n},\n {\n fraga: `Joakim kastar staffkast i basket. Joakim har 60% chans att s\u00e4tta en kast.<\/p> a) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim s\u00e4tter tv\u00e5 kast i rad? <\/p> Vad \u00e4r sannolikheten att p\u00e5 3 kast att Joakim har satt 1 och missat 2?`,\n svar: \"a) 36% b) 28,8%\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s3\"\n},\n {\n fraga: `Joakim k\u00f6per 3 trisslotter. Det \u00e4r \\\$\\\\frac{1}{3}\\\$ sannolikhet att det \u00e4r vinst p\u00e5 en lott. <\/p> a) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim vinner p\u00e5 alla lotter? <\/p> b) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim vinner p\u00e5 minst 1 lott?`,\n svar: \"a) 3,7% b) 70%\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s4\"\n},\n {\n fraga: `Joakim har en sk\u00e5l med 10 kulor. 3 av kulorna \u00e4r bl\u00e5, 3 \u00e4r r\u00f6da och 4 \u00e4r svarta. <\/p> a) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim plockar upp en svart kula? <\/p> b) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim plockar upp tv\u00e5 kulor av samma f\u00e4rg?`,\n svar: \"a) 40% b) 26,6%\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s5\"\n},\n {\n fraga: `I en l\u00e5da ligger det 7 vita och 10 svarta bollar. Vad \u00e4r sannolikheten att <\/p> a) Joakim plockar upp tv\u00e5 vita bollar? <\/p> b) Joakim plockar upp etv\u00e5 bollar och en \u00e4r svart och en vit?`,\n svar: \"a) 15% b) 51%\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s6\"\n},\n {\n fraga: `Observera kalkylarket nedan.\n <\/p> a) Best\u00e4m vilken formel som Joakim har skrivit i D2 f\u00f6r att f\u00e5 fram sitt resultat<\/p> b) Best\u00e4m vilken formel som Joakim har skrivit i J2 f\u00f6r att f\u00e5 fram sitt resultat <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmavbild-2025-09-25-kl.-17.43.38.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: \"a) =A2*0,7 b) =D2+B2-H2\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"statistik\"],\n kod: \"s7\"\n},\n {\n fraga: `I ett land \u00e4r det riksdagsval om n\u00e5gra veckor. Man har gjort en valunders\u00f6kning f\u00f6r att\nunders\u00f6ka om partikonstellationen Parti A, Parti B och Parti C kan f\u00e5 majoritet i\nriksdagen. Unders\u00f6kningen visar f\u00f6ljande. Unders\u00f6k om det \u00e4r statistiskt signifikant att partikonstellationen f\u00e5r majoritet enligt\nvalunders\u00f6kningen. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-071707.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: \"Det \u00e4r inte statisiskt signifikant att de f\u00e5r majoritet.\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"statistik\"],\n kod: \"s8\"\n},\n {\n fraga: `Joakim utmanar sin kompis p\u00e5 fotbollsstraffar. Sannolikheten att Joakim s\u00e4tter en straff\n\u00e4r 25%. De ska sl\u00e5 3 straffar var. Joakims alla utfall beskrivs av tr\u00e4ddiagrammet nedan.<\/p> \na) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim missar alla sina straffar? <\/p> \nb) Joakim p\u00e5st\u00e5r att det \u00e4r lika stor sannolikhet att han missar tv\u00e5 och sen s\u00e4tter en som\natt han s\u00e4tter en och sedan missar tv\u00e5. Unders\u00f6k och motivera om han har r\u00e4tt. <\/p> \nc) Joakims kompis fick b\u00f6rja och satte 1 straff. Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim s\u00e4tter\nfler straffar? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-10-075609.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: \"a) 42% b) Samma ber\u00e4kning d\u00e4rav \u00e4r det samma sannolikhet c) 15,6%\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s9\"\n},\n {\n fraga: `Joakim ska spela p\u00e5 lotto. P\u00e5 lotteriet \u00e4r sannolikheten att man vinner minst en vinst p\u00e5 3 lotter 51,2%. Vad \u00e4r sannolikheten att vinna p\u00e5 en lott? `,\n svar:`21%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-26-092602.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s10\"\n},\n{\n fraga: `Vad \u00e4r sannolikheten att du f\u00e5r minst tv\u00e5 sexor om du sl\u00e5r en sexsidig t\u00e4rning sex g\u00e5nger?`,\n svar:`26%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-26-091742.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s11\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim singlar slant. Det finns tv\u00e5 m\u00f6jliga utfall: antingen krona eller klave.<\/p> a) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim f\u00e5r minst en krona om han singlar fem g\u00e5nger? <\/p> b) Skriv ett uttryck f\u00f6r sannolikheten att f\u00e5 minst en krona om man singlar \ud835\udc5b g\u00e5nger.`,\n svar:`a) \\\$\\\\frac{31}{32}\\\$ b) \\\$1-(\\\\frac{1}{2})^x\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s12\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim ska ta ett beslut i livet som det \u00e4r 40% chans att han f\u00e5r r\u00e4tt p\u00e5. Han kan ta beslutet sj\u00e4lv eller s\u00e5 kan han ge beslutet till sina 3 b\u00e4sta v\u00e4nner som d\u00e5 ocks\u00e5 har 40% chans att ta r\u00e4tt beslut. Joakim kommer d\u00e5 ta det beslutet som majoriteten av hans kompisar v\u00e4ljer (alla kompisar v\u00e4ljer enskilt). Unders\u00f6k om det \u00e4r b\u00e4st att Joakim tar beslutet sj\u00e4lv eller ger beslutet till sina kompisar.`,\n svar:`Det \u00e4r b\u00e4ttre att Joakim tar beslutet sj\u00e4lv eftersom Joakim har 40% chans att f\u00e5 r\u00e4tt och kompisarna har 35,2% chans att g\u00f6ra r\u00e4tt`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s13\"\n},\n{\n fraga: ` a) Det nyskapade Joakimpartiet vill komma in i kommunfullm\u00e4ktige i Lund. Det kr\u00e4vs 3% f\u00f6r att komma in. Under en valunders\u00f6kning som genomf\u00f6rde i maj fick Joakimpartiet 2,6% av r\u00f6sterna. Unders\u00f6kningen hade en felmarginal p\u00e5 \u00b10,5\nprocentenheter. Best\u00e4m om det \u00e4r statistiskt s\u00e4kerst\u00e4llt att Joakimpartiet inte kommer in i kommunfullm\u00e4ktige. <\/p>\nb) I juli gjorde man en ny unders\u00f6kning d\u00e4r Joakimpartiet fick 3,4% av r\u00f6sterna.\nValunders\u00f6kningen hade samma felmarginal som unders\u00f6kningen i maj. Best\u00e4m om\ndet \u00e4r statistiskt signifikant att Joakimpartiet kommer in i kommunfullm\u00e4ktige och \u00e4r\n\u00f6kningen f\u00f6r partiet statistisk signifikant?`,\n svar:`a) Det \u00e4r inte statistiskt s\u00e4kerst\u00e4llt att Joakimpartiet inte kommer in. b) Det \u00e4r inte statistiskt s\u00e4kerst\u00e4llt att de kommer in eller att en \u00f6kning har skett.`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"statistik\"],\n kod: \"s14\"\n},\n {\n fraga: `Beskriv i ord vad f\u00f6ljande spridningsdiagram s\u00e4ger om korrelationen. : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-25-154827.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `1. Positiv korrelation, 2. Ingen korrelation, 3. Svag negativ korrelation, 4. Negativ korrelation.`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"statistik\"],\n kod: \"s15\"\n },\n {\n fraga: `Tv\u00e5 mynt kastas. Vad \u00e4r sannolikheten f\u00f6r tv\u00e5 krona?`,\n svar: `\\\$\\\\tfrac{1}{4}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s16\"\n },\n {\n fraga: `I en p\u00e5se med 10 kulor finns det 4 svarta, 6 bl\u00e5a <\/p>\n\na)\tBest\u00e4m sannolikheten att om man plockar upp tv\u00e5 kulor att de \u00e4r av samma f\u00e4rg. <\/p>\n\nb)\tJoakim l\u00e4gger i ett ok\u00e4nt antal r\u00f6da kulor. Sannolikheten att plocka tv\u00e5 av samma f\u00e4rg \u00e4r nu 30%. Hur m\u00e5nga kulor la Joakim till?\n`,\n svar: `a) 47,7% b) 6 st `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s17\"\n },\n {\n fraga: `I en sk\u00e5l finns det 10 kulor med tv\u00e5 olika f\u00e4rger. Joakim tar ner sin hand och plockar\nupp en kula, l\u00e4gger tillbaka den, blandar om och sedan plockar upp en kula igen. Hur\nm\u00e5nga kulor finns det av respektive f\u00e4rg om sannolikheten att Joakim har plockat upp\ntv\u00e5 av samma f\u00e4rg \u00e4r 52%. \n`,\n svar: `6 respektive 4`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s18\"\n },\n {\n fraga: `P\u00e5v\u00e4g till jobbet passerar Joakim 3 trafikljus. Joakim vet att trafikljusen \u00e4r gr\u00f6na 60%\nav tiden och resterande r\u00f6da. Trafikljusen lyser helt slumpm\u00e4ssigt. <\/p>\na) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim f\u00e5r r\u00f6tt p\u00e5 samtliga trafikljus <\/p> \nb) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim f\u00e5r r\u00f6tt p\u00e5 enbart ett trafikljus <\/p>\nc) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim f\u00e5r r\u00f6tt p\u00e5 minst ett trafikljus\n`,\n svar: `a) 6,4% b) 19,2% c) 78,4%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,3,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s19\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har gjort tv\u00e5 unders\u00f6kningar som unders\u00f6kte hur m\u00e5nga av Spykens elever\nsom gillade matematik. Unders\u00f6kningen hade en felmarginal p\u00e5 \u00b1 4 procentenheter.\n2024 svarade 68% av eleverna att de gillade matematik och 2025 svarade 74% av de\ngillade matematik. \u00c4r \u00f6kningen statistiskt signifikant?`,\n svar: `\u00d6kningen \u00e4r inte statistisk signifikant eftersom konfidensintervallen \u00f6verlappar`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"statistik\"],\n kod: \"s20\"\n },\n {\n fraga: `P\u00e5 Spyken kan 40% av eleverna spela gitarr, 30% av eleverna kan spela piano och en\nok\u00e4nd andel kan spela bas. Om man v\u00e4ljer en slumpm\u00e4ssig elev p\u00e5 Spyken \u00e4r\nsannolikheten 66,4% av eleven kan spela minst ett av instrumenten ovan. Hur m\u00e5nga\nprocent av Spykens elever kan spela bas? `,\n svar: `20% spelar bas`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true, \n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s21\"\n },\n {\n fraga: `I en l\u00e5da med 3 par olika skor (ett par vita, ett par svarta, ett par r\u00f6da) ska Joakim ta\nupp tv\u00e5 stycken skor. <\/p> \na) Var \u00e4r sannolikheten att Joakim har f\u00e5tt upp ett par i vita skor om han tar tv\u00e5 stycken? <\/p>\nb) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim h\u00e5ller i tv\u00e5 olika skor om han tar tv\u00e5 stycken? `,\n svar: `a) \\\$\\\\frac{1}{15}\\\$ b) \\\$\\\\frac{4}{5}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s22\"\n },\n {\n fraga: `I en bestickl\u00e5da finns 10 gafflar, 10 knivar och 10 skedar. Str\u00f6mmen har g\u00e5tt och det \u00e4r sl\u00e4ckt i rummet. Hur stor \u00e4r sannolikheten att du f\u00e5r ett bestick av varje sort n\u00e4r du slumpm\u00e4ssigt tar tre bestick ur l\u00e5dan?`,\n svar: `17,7%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s23\"\n },\n {\n fraga: `Joakim ska kasta pennor i en papperkorg. Det visar sig att Joakim s\u00e4tter \\\$\\\\frac{5}{8}\\\$ av sina kast. <\/p> \n\n\ta) Vad \u00e4r sannolikheten att Joakim s\u00e4tter tre pennor i rad? <\/p> \n\n\tb) Vad \u00e4r sannolikheten att om Joakim kastar tre pennor att han satt tv\u00e5 och missat en? <\/p>\n\n\tc) Vad \u00e4r sannolikheten att han satt minst en om han kastar tre pennor?`,\n svar: `a) 24% b) 44% c) 95%`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,3,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"sannolikhet\"],\n kod: \"s24\"\n }\n ],\n\n problemlosning: [\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett uttryck f\u00f6r arean av den gr\u00e5a rektangeln: \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-02-141824.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `\\\$h(19-b)\\\$.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l1\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har 8 km mellan hemmet och skolan. Han befinner sig nu n\u00e5gonstans d\u00e4remellan. \n Antingen g\u00e5r han direkt till skolan eller g\u00e5r hem, h\u00e4mtar sin cykel och cyklar till skolan. \n Han cyklar sex g\u00e5nger s\u00e5 fort som han g\u00e5r. Oavsett vilket alternativ kommer han fram samtidigt. Hur l\u00e5ngt fr\u00e5n skolan \u00e4r Joakim nu?`,\n svar: `\\\$\\\\tfrac{14}{3}\\\\,\\\\text{ km}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-195621.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l2\"\n },\n {\n fraga: ` Joakim s\u00e4tter sig i en taxi f\u00f6r f\u00f6retaget Taxi Lund. Chauff\u00f6ren s\u00e4ger att han har ett startpris p\u00e5 100 kr och sedan 40 kr per km. Joakim vet ett konkurrerande bolag som heter Taxi Axi inte har n\u00e5gon startavgift men kostar 50 kr per km. \n \na) Skriv ett algebraiskt uttryck f\u00f6r Taxi Lunds kostnad om Joakim \u00e5ker \ud835\udc65 antal km. \n\nb) Skriv ett algebraiskt uttryck f\u00f6r Taxi Axis kostnad om Joakim \u00e5ker \ud835\udc65 antal km. \n\nc) F\u00f6r vilket km-antal spelar det ingen roll om Joakim v\u00e4ljer Taxi Axi eller Taxi Lund. St\u00e4ll upp en ekvation och l\u00f6s den.`,\n svar: `a) \\\$100+40x\\\$ b) \\\$50x\\\$ c) 5 km `,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l3\"\n},\n{\n fraga: ` I en idrottsf\u00f6rening var dubbelt s\u00e5 m\u00e5nga flickor som pojkar medlemmar. En fj\u00e4rdedel av flickorna och h\u00e4lften av pojkarna var fotbollsspelare. Hur stor andel av medlemmarna var fotbollsspelare?`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{3}\\\$ av medlemmarna \u00e4r fotbollsspelare`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l4\"\n},\n{\n fraga: `Tv\u00e5 raka cylindrar A och B har samma volym. Radien i cylinder B \u00e4r 10% st\u00f6rre \u00e4n\nradien i cylinder A. Hur mycket st\u00f6rre \u00e4r h\u00f6jden i cylinder A \u00e4n h\u00f6jden i cylinder B?`,\n svar: `21%`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l5\"\n},\n{\n fraga: `Tre p\u00e5 varandra f\u00f6ljande heltal summeras till 42 best\u00e4m det f\u00f6rsta av talen. `,\n svar: `F\u00f6rsta talet \u00e4r 13`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l6\"\n},\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande multiplikation \\\$(1-\\\\frac{1}{2})(1-\\\\frac{1}{3})(1-\\\\frac{1}{4})(1-\\\\frac{1}{5})\\\\cdot...\\\\cdot(1-\\\\frac{1}{99})(1-\\\\frac{1}{100})\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{100}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-22-214421.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l7\"\n},\n{\n fraga: ` P\u00e5 en buss sitter ett antal personer. P\u00e5 h\u00e5llplats A g\u00e5r \\\$\\\\frac{1}{4}\\\$ av bussen passagerare av samtidigt som det stiger p\u00e5 6 personer. P\u00e5 h\u00e5llplats B stiger det av \\\$\\\\frac{1}{2}\\\$ av bussen passagerare och samtidigt stiger det p\u00e5 7 personer. P\u00e5 h\u00e5llplats C stiger \\\$\\\\frac{1}{5}\\\$ av och ingen stiger p\u00e5 och kvar p\u00e5 bussen \u00e4r 17 personer. Hur m\u00e5nga var p\u00e5 bussen inf\u00f6r stoppet p\u00e5 h\u00e5llplats A?\n`,\n svar: `30 personer`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-12-kl.-18.31.20.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l8\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en triangel vet du att basen \u00e4r dubbelt s\u00e5 l\u00e5ng som h\u00f6jden. Arean f\u00f6r triangeln \u00e4r 100 \\\$cm^2\\\$. Best\u00e4m h\u00f6jden p\u00e5 triangeln`,\n svar: `H\u00f6jden \u00e4r 10 cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l9\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har 49 bl\u00e5a och 3 r\u00f6d godis i en p\u00e5se. Hur m\u00e5nga bl\u00e5a godisar m\u00e5ste Joakim\n\u00e4ta f\u00f6r att de bl\u00e5 ska utg\u00f6ra \\\$\\\\frac{5}{8}\\\$\nav det totala antalet?\n`,\n svar: `44 st`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l10\"\n},\n {\n fraga: `Joakim ska k\u00f6pa tv\u00e5 produkter. I originalpris \u00e4r den ena 4 g\u00e5nger s\u00e5 dyr som den andra. P\u00e5 rea kostar den billigare produkten en tredjedel av originalpriset och den dyrare h\u00e4lften. \n Totalt blir rabatten 800 kr p\u00e5 summan av originalpriserna. Best\u00e4m originalpriset p\u00e5 den billigare produkten.`,\n svar: `300 kr`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-211229.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l11\"\n },\n {\n fraga: `Salthalten i en tunna med vatten \u00e4r 2%. Hur m\u00e5nga procent av vattnet m\u00e5ste avdunsta f\u00f6r att salthalten ska stiga till 7%?.`,\n svar: `71,4%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-091114.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l12\"\n },\n {\n fraga: `Visa att om omkretsen f\u00f6r en kvadrat och cirkel \u00e4r samma kommer kvadratens area alltid vara mindre \u00e4n cirkelns area..`,\n svar: `Fullst\u00e4ndigt bevis. Tips: Skriv uttryck f\u00f6r b\u00e5da figurernas omkrets och visa sedan p\u00e5 f\u00f6rh\u00e5llandet mellan areorna`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l13\"\n },\n {\n fraga: `Joakim och hans flickv\u00e4n springer runt en cirkul\u00e4r bana med omkrets m meter. \n Joakim tar 5 minuter runt banan, flickv\u00e4nnen 4 minuter. De startar fr\u00e5n samma punkt i motsatta riktningar. \n Efter hur l\u00e5ng tid m\u00f6ts de?`,\n svar: `2,22 minuter (ungef\u00e4r)`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-071322.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l14\"\n },\n {\n fraga: ` Joakims kompish\u00e4ng inneh\u00e5ller 12 personer. De ska g\u00e5 och fixa p\u00e5 ett caf\u00e9. V\u00e4l framme best\u00e4mmer sig ett antal personer i g\u00e4nget att de enbart vill ha bulle som kostar 15 kr styck och den andra tar bara kaffe f\u00f6r 10 kr styck. N\u00e4r de slog ihop kostnaden f\u00f6r samtliga betalade de 140 kr. Hur m\u00e5nga k\u00f6pte kaffe respektive bulle p\u00e5 caf\u00e9et?`,\n svar: `4 personer \u00e5t bulle och 8 personer drack kaffe `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l15\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim och hans 2 kompisar Pelle och Victor har alla olika l\u00e4ngd. Pelle \u00e4r 20 cm l\u00e4ngre \u00e4n Joakim och Joakim \u00e4r 10 cm kortare \u00e4n Victor. Om man summerar Joakim, Pelles och Victors l\u00e4ngd f\u00e5r man 555 cm. Hur l\u00e5ng \u00e4r Joakim?`,\n svar: `175 cm `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l16\"\n},\n {\n fraga: `Ulrika ska fylla sin swimmingpool. Hon har tv\u00e5 olika vattenkranar\nsom hon kan anv\u00e4nda n\u00e4r hon fyller poolen. Ulrika vet att om\nman v\u00e4ljer den ena kranen tar det 6 timmar att fylla poolen med\nvatten. Om hon anv\u00a8ander den andra tar det 3 timmar. Idag t\u00e4nker\nhon anv\u00e4nda b\u00e5da vattenkranarna. Hur l\u00e5ng tid kommer det att ta\natt fylla poolen?`,\n svar: `2 timmar`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l17\"\n },\n {\n fraga: `Triangelns h\u00f6jd utg\u00f6r radien i en halvcirkel. Hur stor andel av halvcirkeln t\u00e4cker triangeln? \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-070027.png\" alt=\"Halvcirkel och triangel\">`,\n svar: `\\\$\\\\tfrac{2}{\\\\pi}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l18\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har g\u00e5tt med i en klubb f\u00f6r matematiker. N\u00e4r han gick med fick han f\u00f6ljande\nproblem som intagningsprov. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmavbild-2025-09-19-kl.-06.45.48.png\" alt=\"Halvcirkel och triangel\"> Unders\u00f6k om du kommer med i klubben`,\n svar: `\\\$\\\\tfrac{5}{9}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l19\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m h\u00f6jden av glaset. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmavbild-2025-09-19-kl.-06.48.14.png\">`,\n svar: `14 cm`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l20\"\n },\n {\n fraga: `\tEn kvadrat med sidl\u00e4ngden \\\$x\\\$ minskar sin h\u00f6jd men \u00f6kar sin bredd till en rektangel (enligt bilden nedan). Skriv ett uttryck f\u00f6r l\u00e4ngden \\\$p\\\$ uttryckt i \\\$x\\\$ om arean f\u00f6r kvadraten och den nya rektangeln ska vara lika stora. Figuren \u00e4r inte skalenligt ritad. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-09-093645.png\">`,\n svar: `\\\$p=\\\\frac{x}{4}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l21\"\n },\n {\n fraga: `Sidan p\u00e5 en kvadrat \u00f6kar med 100%. Det g\u00f6r att arean \u00f6kar med 1200 \ud835\udc50\ud835\udc5a2. Best\u00e4m\nl\u00e4ngden p\u00e5 kvadratens sidl\u00e4ngd efter \u00f6kningen.`,\n svar: `40 cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l22\"\n },\n {\n fraga: `En stor rektangel indelad i 7 kvadrater. Den sammanlagda l\u00e4ngden f\u00f6r de gr\u00e5markerade kvadraterna \u00e4r 12 cm. \n Best\u00e4m arean p\u00e5 kvadraten som \u00e4r markerad med A. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-211904.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Arean \u00e4r 81 \\\$cm^{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-212112.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l23\"\n },\n {\n fraga: `\"Joakim har hittat ett m\u00f6nster. Unders\u00f6k om det g\u00e4ller f\u00f6r alla heltal.\" \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-072415.png\" alt=\"M\u00f6nster\">`,\n svar: `Det st\u00e4mmer bra`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-072726.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l24\"\n },\n {\n fraga: `I en djurpark best\u00e5r en flock av 80% alpackor och resten lamor. Efter att 5 alpackor s\u00e4ljs och 10 lamor k\u00f6ps in \u00e4ndras andelen alpackor till 70%. Hur m\u00e5nga djur fanns det ursprungligen?`,\n svar: `Flocken var 85 st`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-214452.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l25\"\n },\n {\n fraga: `En glasflaska fylld till en femtedel v\u00e4ger 560 g. Samma flaska fylld till fyra femtedelar v\u00e4ger 740 g. Hur mycket v\u00e4ger en tom flaska?`,\n svar: `500 gram`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-064648.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l26\"\n },\n {\n fraga: `P\u00e5 ett f\u00f6retag \u00f6kade antalet anst\u00e4llda p\u00e5 ingenj\u00f6rsavdelningen med 10% under ett \u00e5r, medan antalet p\u00e5 marknadsavdelningen minskade med 5%. \n Totalt \u00f6kade antalet p\u00e5 de tv\u00e5 avdelningarna fr\u00e5n 150 till 156 personer. Hur m\u00e5nga fanns ursprungligen p\u00e5 varje avdelning?`,\n svar: `90 ingenj\u00f6rer och 60 p\u00e5 marknadsavdelningen`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-215702.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l27\"\n },\n {\n fraga: `Joakim cyklar till stranden i 30 km\/h och p\u00e5 hemv\u00e4gen 20 km\/h. Vad \u00e4r medelhastigheten f\u00f6r hela resan?`,\n svar: `24 km\/h`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-17-220528.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"textproblem\"],\n kod: \"l28\"\n },\n {\n fraga: `Triangeln nedan har basen 3 och h\u00f6jden 4. Best\u00e4m sidl\u00e4ngden i kvadraten A: \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-082242.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `\\\$\\\\frac{12}{7}\\\$ l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-082346.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l29\"\n },\n {\n fraga: `Visa att den svartmarkerade arean g\u00e5r att beskriva som \\\$r^{2}(4-\\\\pi)\\\$ d\u00e4r r \u00e4r radien f\u00f6r en cirkel: \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-091334.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Visa att det st\u00e4mmer`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-092344.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l30\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m en formel f\u00f6r f\u00f6ljande m\u00f6nster och unders\u00f6k om n\u00e5gon figur inneh\u00e5ller \\\$16^{3}\\\$ prickar: \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-093525.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Figur 32 (enligt ursprungsfilen)`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-093851.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l31\"\n },\n {\n fraga: `Observera m\u00f6nstret nedan. Vilken figur i ordningen inneh\u00e5ller \\\$3^{6}\\\$ prickar? \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-105945.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Figur 14`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-110352.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l32\"\n },\n {\n fraga: `Observera f\u00f6ljande m\u00f6nster d\u00e4r antalet mindre kvadrater f\u00f6r\u00e4ndras. Lotta menar att\nantalet kvadrater g\u00e5r att beskriva med f\u00f6ljande formel \\\$K=n^2+4n+4\\\$ d\u00e4r \ud835\udc3e \u00e4r\nantalet kvadrater och \ud835\udc5b \u00e4r figuren i ordningen. Visa hur Lotta f\u00e5tt fram sin formel.? \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-180017.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Skriv ett uttryck f\u00f6r rutorna och utveckla sedan det uttrycket`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-180057.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l33\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m en formel f\u00f6r m\u00f6nstret och unders\u00f6k eventuell koppling till \\\$16^{3}\\\$: \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-093525.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Figur 32`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-18-093851.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l34\"\n },\n {\n fraga: `Nedan visas en cirkel och en inskriven kvadrat. Kvadraten har sidl\u00e4ngden \ud835\udc4e. Best\u00e4m\nett uttryck f\u00f6r arean p\u00e5 cirkeln uttryckt i \ud835\udc4e.\n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmbild-2025-12-05-083941.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `Arean \\\$=2\\\\pi a^2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"geometri\"],\n kod: \"l35\"\n }\n ],\n geogebra: [\n {\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation med ditt digitala verktyg \\\$x^5=10\\\$, svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar:`\\\$x=1,58\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n kod: \"g1\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$5,2^x=13,71\\\$ med hj\u00e4lp av ditt digitala hj\u00e4lpmedel. Svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar:`\\\$x=1,59\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n kod: \"g2\"\n},\n{\n fraga: `Rita upp funktionerna \\\$f(x)=x^2\\\$ och \\\$g(x)=2x\\\$ i ditt digitala hj\u00e4lpmedel. Best\u00e4m f\u00f6r vilka \\\$x\\\$ \\\$g(x) > f(x)\\\$`,\n svar:`\\\$0< x <2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true,\n kod: \"g3\"\n},\n {\n fraga: `Vi definierar funktioner \\\$f(x)=3x+2\\\$ och \\\$g(x)=2^x\\\$. L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=g(x)\\\$ med ditt digitala hj\u00e4lpmedel och svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar:`\\\$x_1=-0,42, x_2=3,72\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true,\n kod: \"g4\"\n},\n{\n fraga: `Rita upp funktionerna \\\$f(x)=x^2\\\$ och \\\$g(x)=2x-1\\\$ i ditt digitala verktyg. F\u00f6r vilket\/vilka v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$x\\\$ \u00e4r \\\$f(x)=g(x)\\\$`,\n svar:`\\\$x=1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true,\n kod: \"g5\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$x\\\$ \u00e4r funktionen \\\$-x^2+6x>0\\\$. L\u00f6s uppgiften med ditt digitala hj\u00e4lpmedel.`,\n svar:`\\\$0< x <6\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true,\n kod: \"g6\"\n},\n {\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation med ditt digitala verktyg \\\$5^x=21\\\$, svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar:`\\\$x=1,89\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n kod: \"g7\"\n}\n ]\n },\n\n \/\/ MATEMATIK 2\n ma2: {\n algebra: [\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x+4)(x-2)=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=-4, x_2=2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a1\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-4x+4=0\\\$`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a2\"\n},\n{\n fraga: `Utveckla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x-4)^2\\\$`,\n svar: `\\\$x^2-8x+16\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a3\"\n},\n{\n fraga: `Anv\u00e4nd konjugatregeln f\u00f6r att ber\u00e4kna f\u00f6ljande<\/p> \\\$96^2-4^2\\\$ `,\n svar: `9200`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a4\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+2)^2-4x\\\$`,\n svar: `\\\$x^2+4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a5\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x-10)^2-(x^2+100)\\\$`,\n svar: `\\\$-20x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a6\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationssystemet \\\$\\\\begin{cases} 2x+y=11 \\\\\\\\ y-x=-4 \\\\end{cases}\\\$`,\n svar: `\\\$x=5, y=1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a7\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6rklara varf\u00f6r f\u00f6ljande ekvatitionssystem saknar l\u00f6sningar \\\$\\\\begin{cases} y-3x=0 \\\\\\\\ 2y=10+6x \\\\end{cases}\\\$`,\n svar: `De r\u00e4ta linjerna som utg\u00f6r ekvationerna har samma k-v\u00e4rde (parallella), d\u00e4rmed sk\u00e4r de inte varandra och systemet saknar l\u00f6sningar. `,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a8\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x-10)(x+10)+100\\\$`,\n svar: `\\\$x^2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a9\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(\\\\sqrt{x}+\\\\sqrt{y})(\\\\sqrt{x}-\\\\sqrt{y})\\\$`,\n svar: `\\\$x-y\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a10\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\sqrt{2x+8}=2x-4\\\$`,\n svar: `\\\$x=4\\\$ \\\$x=\\\\frac{1}{2}\\\$ \u00e4r en falskrot.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a11\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\sqrt{x+9}-\\\\sqrt{x}-1=0\\\$`,\n svar: `\\\$x=16\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-170912.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a11\"\n},\n{\n fraga: `Tv\u00e5 p\u00e5 varandra f\u00f6ljande heltal kvadrerade har summan 265. Best\u00e4m vilka tal som har\ns\u00e5dan egenskap.`,\n svar: `Talen \u00e4r antingen 11, 12 eller -12, -11`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-11-215616.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a12\"\n},\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna f\u00f6ljande \\\$123456^2-123454\\\\cdot 123458\\\$`,\n svar: `4`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-11-220257.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a13\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\frac{9}{\\\\sqrt{x+3}}+\\\\sqrt{x+3}=6\\\$`,\n svar: `\\\$x=6\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-17.53.47.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a14\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$c\\\$ kommer f\u00f6ljande ekvation enbart ha en l\u00f6sning \\\$x^2-6x+c=0\\\$`,\n svar: `\\\$c=9\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a15\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x-\\\\sqrt{x}-2=0\\\$`,\n svar: `\\\$x=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a16\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m \\\$y\\\$ om du vet att \\\$y^2+x^2=53\\\$ och \\\$x+y=9\\\$ om du vet att \\\$y>x\\\$`,\n svar: `\\\$y=7\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.24.14.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsekvationer\", \"ekvationssystem\"],\n kod: \"a17\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilket\/vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$c\\\$ har f\u00f6ljande ekvation enbart en l\u00f6sning <\/p> \\\$x^2+2cx+4c-4=0\\\$ `,\n svar: `\\\$c=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a18\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilka \\\$a\\\$ som f\u00f6ljande ekvation saknar l\u00f6sningar \\\$\\\\sqrt{6x+a}-x=3\\\$`,\n svar: `\\\$a<9\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a19\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du en rektangel. Vilken eller vilka m\u00f6jliga tal p\u00e5 \ud835\udc65 kan anta om vi vet att\narean av triangeln \u00e4r 12 areaenheter <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-083836.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$x\\\$ m\u00e5ste vara 2 l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a20\"\n},\n{\n fraga: `Om du vet att \\\$a+b=25\\\$ samt att \\\$a^2-b^2=75\\\$ best\u00e4m differensen \\\$a-b\\\$`,\n svar: `\\\$a-b=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a21\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$p\\\$ om f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer <\/p> \\\$(2x+p)(2x-p)=4x^2-2\\\$ `,\n svar: `\\\$p=\\\\pm \\\\sqrt2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a22\"\n},\n{\n fraga: `Du har 15 sedlar som enbart \u00e4r 20-lappar och 50-lappar. Unders\u00f6k om du\nkan ha 550 kr med de sedlarna. `,\n svar: `Det g\u00e5r tyv\u00e4rr inte. Tips: st\u00e4ll upp ett ekvationssystem`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a23\"\n},\n{\n fraga: ` L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation med hj\u00e4lp av kvadreringsreglerna <\/p> \\\$4x^4-4x^2+1=0\\\$ `,\n svar: `\\\$x=\\\\pm \\\\frac{1}{\\\\sqrt{2}}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a24\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim p\u00e5st\u00e5r att det finns tv\u00e5 tal som har f\u00f6ljande egenskaper.<\/p> \n\u2022 Summan av talen \u00e4r 10 <\/p> \n\u2022 Differensen av talen resulterar i en tredjedel av summan av talen <\/p>\nUnders\u00f6k om Joakim har r\u00e4tt att det finns tv\u00e5 s\u00e5dana tal`,\n svar: `Det ena talet \u00e4r \\\$\\\\frac{10}{3}\\\$ och det andra \u00e4r \\\$\\\\frac{20}{3}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-11-222123.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a25\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m produkten \\\$x\\\\cdot y\\\$ om du vet att \\\$x+y=9\\\$ samt att \\\$x^2+y^2=53\\\$`,\n svar: `\\\$x\\\\cdot y=14\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a26\"\n},\n{\n fraga: `Summan av tv\u00e5 tal \u00e4r 20, differensen av samma tal \u00e4r 10. Vilka tal har de egenskaperna?`,\n svar: `15 och 5 \u00e4r talen`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a27\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{4-x}{2+\\\\sqrt{x}}\\\$`,\n svar: `\\\$2-\\\\sqrt{x}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a28\"\n},\n{\n fraga: `I koordinatssystemet nedan \u00e4r tv\u00e5 linjer ritade. Ange ekvationerna\nf\u00f6r dessa linjer. L\u00f6s d\u00e4refter, exakt, det ekvationssystem som best\u00e5r\nav ekvationerna f\u00f6r de b\u00e5da linjerna. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-080322.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{20}{3}, y=\\\\frac{2}{3}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a29\"\n},\n{\n fraga: `Joakim och Astrid tittar p\u00e5 samma rektangel. Joakim adderar 3 av sidorna och f\u00e5r 20\ncm och Astrid g\u00f6r samma sak och f\u00e5r 13 cm. De blir b\u00e5da fundersamma hur det kan\nbli s\u00e5. Vilka m\u00e5tt har rektangeln? `,\n svar: `2x9 cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a30\"\n},\n{\n fraga: `Joakim t\u00e4nker p\u00e5 tv\u00e5 tal. Summan av talen \u00e4r 20 och det st\u00f6rre talet \u00e4r 3 g\u00e5nger st\u00f6rre\n\u00e4n det mindre talet. Vilka tal t\u00e4nker Joakim p\u00e5? Pr\u00f6vning ger inga po\u00e4ng.`,\n svar: `Talen \u00e4r 5 och 15.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a31\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har gjort ett l\u00f6fte med sin son inf\u00f6r sonens matteprov. Joakim sa att f\u00f6r varje\nr\u00e4tt du f\u00e5r kommer du f\u00e5 5 kr f\u00f6r varje fel f\u00e5r du b\u00f6ta 8 kr (l\u00e4tt omoraliskt). Provet\ninneh\u00f6ll 26 uppgifter och n\u00e4r Joakims son fick tillbaka provet fick han inga pengar\noch slapp betala n\u00e5got. Hur m\u00e5nga r\u00e4tt fick sonen?`,\n svar: `16 r\u00e4tt och 10 fel`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a32\"\n},\n{\n fraga: `I Joakimsk\u00f6ping ska man snart r\u00f6sta. Det finns flera partier men tv\u00e5 av dem\nGladpartiet och Sn\u00e4llpartiet har f\u00f6ljande situation: Om 10 procentenheter av r\u00f6sterna\ng\u00e5r fr\u00e5n Gladpartiet till Sn\u00e4llparitet kommer Sn\u00e4llpartiet vara tv\u00e5 g\u00e5nger s\u00e5 stort som\nGladpartiet. Samtidigt om 10 procentenheter av r\u00f6sterna g\u00e5r fr\u00e5n Sn\u00e4llpartiet till\nGladpartiet kommer Gladpartiet vara tre g\u00e5nger s\u00e5 stort som Sn\u00e4llpartiet. Hur m\u00e5nga\nprocent av r\u00f6sterna har respektive parti?`,\n svar: `Sn\u00e4llpartiet har 22% och Gladpartiet har 26%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a33\"\n},\n{\n fraga: `Joakim extrajobbar p\u00e5 ett fik och tj\u00e4nar 180 kr\/h p\u00e5 l\u00f6rdagar och 210 kr\/h p\u00e5 s\u00f6ndagar.\nEn helg jobbade han 15 timmar och tj\u00e4nade 2880 kr. St\u00e4ll upp ett ekvationssystem och\nbest\u00e4m hur m\u00e5nga timmar Joakim jobbade respektive dag. `,\n svar: `9 timmar p\u00e5 l\u00f6rdagen och 6 timmar p\u00e5 s\u00f6ndagen.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a34\"\n},\n{\n fraga: `Joakim p\u00e5st\u00e5r att det finns tv\u00e5 tal som har f\u00f6ljande egenskaper.\n\u2022 Summan av talen \u00e4r 10\n\u2022 Differensen av talen resulterar i en tredjedel av summan av talen\nUnders\u00f6k om Joakim har r\u00e4tt att det finns tv\u00e5 s\u00e5dana tal`,\n svar: `Ena talet \u00e4r \\\$\\\\frac{10}{3}\\\$ och det andra \u00e4r \\\$\\\\frac{20}{3}\\\$.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a35\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilken\/vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$p\\\$ som f\u00f6ljande ekvationssystem saknar l\u00f6sningar \\\$\\\\begin{cases} p^2x-y=12\\\\\\\\ 4px+y=-5 \\\\end{cases}\\\$`,\n svar: `\\\$p_1=0, p_2=-4\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a36\"\n},\n{\n fraga: `Visa att \\\$a\\\$ m\u00e5ste vara ett kvadrattal f\u00f6r att f\u00f6ljande likhet ska st\u00e4mma<\/p> \\\$\\\\frac{(n+2)(n+1)}{k}+\\\\frac{n+2}{k}-\\\\frac{a}{k}=0\\\$`,\n svar: `Visa att \\\$a\\\$ kan skrivas som ett kvadrattal.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a37\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m med n\u00e5got matematiskt argument vilken av f\u00f6ljande uttryck som \u00e4r st\u00f6rst<\/p> \\\$20123^2+40246+1\\\$ <\/p>\\\$20126^2-40252+1\\\$ <\/p> \\\$20124^2-1\\\$<\/p> `,\n svar: `\\\$20126^2-40252+1\\\$ \u00e4r st\u00f6rst. Tips skriv om alla som kvadreringsregler.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a38\"\n},\n{\n fraga: `Joakim gick till en teaff\u00e4r. Han valde tv\u00e5 olika tesorter d\u00e4r det billigare teet kostade 25\nkr\/hg och det dyrare 35 kr\/hg. Joakim k\u00f6pte totalt 9 hg och betalade 255 kr. Hur\nmycket k\u00f6pte han av respektive sort?`,\n svar: `6 gram av det billigare och 3 gram av det .`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a39\"\n},\n{\n fraga: `Joakim vill ta reda p\u00e5 vad det kostar att \u00e5ka med Taxilund. Han vet att f\u00f6retaget har en\nstartkostnad och ett km-pris. Han hittar tv\u00e5 gamla kvitton d\u00e4r det st\u00e5r att han p\u00e5 den ena\nresan \u00e5kte 7 km f\u00f6r ett pris av 450 kr och en annan resa som han \u00e5kte 13 km med en\nkostnad p\u00e5 750 kr. Best\u00e4m vilket startpris och km-pris Taxilund har.`,\n svar: `50 kr\/km och 100 kr som startkostnad.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a40\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ saknar ekvationssystemet l\u00f6sningar.<\/p> \\\$\\\\begin{cases} ax+y=12 \\\\\\\\ 2y-10x-1=0 \\\\end{cases}\\\$`,\n svar: `\\\$a=-5\\\$.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a41\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har tagit hj\u00e4lp av ett st\u00e4df\u00f6retag vid tv\u00e5 tillf\u00e4llen. Joakim vill veta hur mycket\ndet kostar f\u00f6r en timmes st\u00e4dning respektive en timmes f\u00f6nsterputs. Han tittade\ntillbaka p\u00e5 tv\u00e5 mail fr\u00e5n f\u00f6retaget f\u00f6r att kunna r\u00e4kna ut det. Hj\u00e4lp Joakim best\u00e4mma\npriserna <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-071117.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `St\u00e4dning 250kr\/h och f\u00f6nsterputs 200kr\/h.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a42\"\n},\n{\n fraga: `Joakim och Astrid \u00e4r ute och vandrar i fj\u00e4llen. Efter ett antal dagar b\u00f6rjar de klaga p\u00e5\nvarandra. Joakim s\u00e4ger: om du ger mig 10 kg av din vikt s\u00e5 b\u00e4r jag dubbelt s\u00e5 mycket\nsom du Astrid. Astrid svarar: vad klagar du \u00f6ver? Om du ger mig 10 kg av din vikt\nkommer jag b\u00e4ra 3 g\u00e5nger s\u00e5 mycket som du.\nHur mycket v\u00e4ger Joakims respektive Astrids packning innan de b\u00f6rjar byta?`,\n svar: `Astrid b\u00e4r 26 kg och Joakim 22 kg`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a43\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har \u00f6ppnat ett st\u00e5nd d\u00e4r han s\u00e4ljer champinjoner. Joakim har gjort en analys av\nf\u00f6rs\u00e4ljningen av sina champinjoner. Om Joakim s\u00e4nker sitt kilopris p\u00e5 champinjoner\nmed 5 kr kommer han s\u00e4lja f\u00f6r 10 tusen kr. Om han d\u00e4remot h\u00f6jer priset p\u00e5 sina\nchampinjoner med 7 kr kommer h\u00e4lften s\u00e5 m\u00e5nga kg champinjoner s\u00e4ljas i f\u00f6rh\u00e5llande\ntill s\u00e4nkningen med 5 kr och d\u00e5 kommer f\u00f6rs\u00e4ljningen resultera i 8 tusen kr.\nBest\u00e4m vilket kilopris Joakim har satt p\u00e5 sina champinjoner?`,\n svar: `25 kr \u00e4r kilopriset`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-170849.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a44\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m heltalskonstanterna \\\$a\\\$, \\\$b\\\$ och \\\$c\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande likhet<\/p> \\\$a(bx+c)^2=12x^2+60x+75\\\$`,\n svar: `\\\$a=3, b=2, c=5\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a45\"\n},\n{\n fraga: `Observera n\u00e4ringsintaget f\u00f6r dryck A och dryck B nedan. DRI st\u00e5r f\u00f6r dagligt\nrekommenderat intag av vitaminen.\n<\/p> <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-072311.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> <\/p> St\u00e4ll upp ett ekvationssystem med tydliga definitioner vars l\u00f6sning \u00e4r hur mycket Joakim\nb\u00f6r dricka av varje dryck f\u00f6r att f\u00e5 i sig exakt 50% av DRI av b\u00e5da vitaminerna B12 och\nD. Notera: du beh\u00f6ver inte l\u00f6sa ekvationssystemet bara st\u00e4lla upp det.`,\n svar: `Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-072209.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a46\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationssystemet \\\$\\\\begin{cases} x+y=5 \\\\\\\\ 2x-y=1 \\\\end{cases}\\\$`,\n svar: `\\\$x=2, y=3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a47\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-5x=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a48\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2+8x=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=-8\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a49\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-4x-5=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=5, x_2=-1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a50\"\n},\n{\n fraga: `I en r\u00e4tvinklig triangel \u00e4r den l\u00e4ngsta kateten 2 cm l\u00e4ngre \u00e4n den kortaste.\nHypotenusan \u00e4r dubbelt s\u00e5 l\u00e5ng som den kortaste kateten. Best\u00e4m exakt den kortaste\nkatetens l\u00e4ngd`,\n svar: `L\u00e4ngden \u00e4r \\\$1+\\\\sqrt{3}\\\$ cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a51\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-2x-48=0\\\$ .`,\n svar: `\\\$x_1=6, x_2=8\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a52\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x(x-421)-2(x-421)=0\\\$ .`,\n svar: `\\\$x_1=2, x_2=421\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a53\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-10x+9=0\\\$ .`,\n svar: `\\\$x_1=9, x_2=1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a54\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x-5)(x+2,5)=0\\\$ .`,\n svar: `\\\$x_1=5, x_2=-2,5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a55\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim vill l\u00f6sa ekvationssystemet grafiskt \\\$\\\\begin{cases} 4x+2y=10 \\\\\\\\ y=-2x+5 \\\\end{cases}\\\$. N\u00e4r han skriver in funktionerna i geogebra f\u00f6r att titta p\u00e5 sk\u00e4rningen mellan graferna. Joakim blir f\u00f6rvirrad han ser bara en graf. F\u00f6rklara f\u00f6r Joakim varf\u00f6r.`,\n svar: `Det \u00e4r samma r\u00e4ta linjer respektive ekvation. De ligger s\u00e5ledes \u00f6ver varandra.`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a56\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-3x+2=0\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=2, x_2=1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a57\"\n},\n{\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck \\\$x^2-(y+z)^2\\\$.`,\n svar: `\\\$(x+y+z)(x-y-z)\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a58\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$((x-2)^2+1)^2=4\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=1, x_2=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a59\"\n},\n{\n fraga: `I Joakimk\u00f6ping har befolkningen \u00f6kat med lika m\u00e5nga procent varje \u00e5r de senaste \u00e5ren. Inf\u00f6r n\u00e4sta \u00e5r har matematikern i kommunen hittat att om procentsatsen som kommunen \u00f6kat med varje \u00e5r \u00f6kar med 3% kommer kommunen ha en befolkning p\u00e5 18360 personer efter n\u00e4sta \u00e5r. Om den d\u00e4remot minskar med 2% kommer befolkningen vara 17510 personer. Best\u00e4m hur m\u00e5nga som bor i Joakimk\u00f6ping just nu. `,\n svar: `17000 personer`,\n niva: \"A\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163531.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a60\"\n},\n{\n fraga: `Joakim menar att f\u00f6ljande uttryck g\u00e5r att faktorisera till 4 parenteser. Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt .\\\$x^4-2x^2y^2+y^4\\\$`,\n svar: `Han har r\u00e4tt \\\$x+y)(x+y)(x-y)(x-y)\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a61\"\n},\n{\n fraga: `Joakim \u00e4r lite fundersam. Han tror att f\u00f6ljande p\u00e5st\u00e5ende st\u00e4mmer: <\/p> \n\u201dOm differensen mellan tv\u00e5 tal \u00e4r 1 s\u00e5 \u00e4r differensen mellan det st\u00f6rre talets kvadrat och det mindre talets kvadrat alltid lika stor som talens summa.\u201d. Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt. `,\n svar: `Det st\u00e4mmer. Skriv om uttrycket med hj\u00e4lp av konjugatregeln.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163459.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a62\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation \\\$x+\\\\frac{5}{x}=6\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=1 x_2=5\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a63\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r positiva tal \\\$x\\\$ och \\\$y\\\$ d\u00e4r \\\$y>x\\\$ vet du att <\/p> \\\$x^2+2xy+y^2=25\\\$ samt att <\/p> \\\$x^2-2xy+y^2=9\\\$. <\/p> Best\u00e4m talen \\\$x\\\$ och \\\$y\\\$`,\n svar: `\\\$x=1 y=4\\\$`,\n niva: \"A\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163543.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\", \"ekvationssystem\"],\n kod: \"a64\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en rektangel vet du att den har omkretsen 32 cm. Du vet ocks\u00e5 att om du minskar basen med 2 cm och \u00f6kar h\u00f6jden med 2 cm kommer arean att vara 64\\\$cm^2\\\$. Best\u00e4m sidl\u00e4ngderna f\u00f6r retangeln.`,\n svar: `10 respektive 6 cm. `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163355.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsekvationer\", \"ekvationssystem\"],\n kod: \"a65\"\n},\n{\n fraga: `Joakim ska g\u00f6ra ett smycke med tv\u00e5 olika metaller. Den ena metallen har ett pris p\u00e5 100 kr\/gram och den andra har 150 kr\/gram. Joakims smycke kostar 1225 kr och har nu ett kilopris p\u00e5 136,1 kr\/gram. Hur m\u00e5nga gram av respektive metall anv\u00e4nde Joakim till sitt smycke?`,\n svar: `2,5 gram respektive 6,5 gram.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a67\"\n},\n{\n fraga: `Joakim och hans kompisar g\u00e5r till en pizzeria f\u00f6r att k\u00f6pa pizza. De best\u00e4mmer sig f\u00f6r att alla k\u00f6per antingen Vesuvius eller Kebabpizza. Vesuvius kostar 120 kr och Kebabpizzan kostar 150 kr. Joakim st\u00e4ller upp f\u00f6ljande ekvationssystem f\u00f6r att kunna best\u00e4mma hur m\u00e5nga som k\u00f6pte respektive pizza <\/p> \\\$\\\\begin{cases} x+y=10 \\\\\\\\ 120x+150y=1260 \\\\end{cases}\\\$<\/p> a) Hur m\u00e5nga kompisar var det i s\u00e4llskapet? <\/p> \n\nb) Vad definierade Joakim som variabeln x och vad definierade Joakim som variabeln y <\/p>\n\n\tc) Best\u00e4m hur m\u00e5nga som \u00e5t Vesuvius-pizza\n`,\n svar: `a) 10 st b) \\\$x=\\\$ Antal personer som k\u00f6pte Vesuvius \\\$y=\\\$ Antal personer som k\u00f6pte Kebabpizza. c) 8 st.`,\n niva: \"E\",\n poang: [4,0,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a68\"\n},\n{\n fraga: `\tJoakim ritar upp tv\u00e5 kvadrater d\u00e4r den ena har en sidl\u00e4ngd som \u00e4r 2 cm l\u00e4ngre \u00e4n den andra. Den summerade arean f\u00f6r b\u00e5da kvadraterna \u00e4r 100 kvadratcentimeter . Best\u00e4m sidl\u00e4ngden p\u00e5 den mindre kvadraten.`,\n svar: `6 cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a69\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(\\\\sqrt{x+1}-2)^{2}+3\\\\sqrt{x+1}=6\\\$`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a70\"\n},\n{\nfraga: `Joakim ska plantera blommor p\u00e5 en rektangul\u00e4r ytan. Den totala ytan \u00e4r 48 meter bred och 40 meter h\u00f6g. Men han vill inte planera blommor p\u00e5 allt utan vill ha en grusdel d\u00e4r man kan g\u00e5 runt blommorna vars bredd och h\u00f6jd han definierar som \ud835\udc65 (se bilden nedan). Att planera blommor kostar 20 kr per kvadratmeter och grus 15 kr per kvadratmeter. Vilka m\u00e5tt ska blomdelen ha om Joakim vill l\u00e4gga exakt 37540 kr p\u00e5 omr\u00e5det. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/Skarmbild-2026-02-11-191559.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `46x38 meter`,\n digital: true,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163423.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a71\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-7x=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=7\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a72\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x-2)(x-5)=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=2, x_2=5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a73\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$321(x-450)+x(x-450)=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=450, x_2=-321\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163327.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a74\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2x^2+18=12x\\\$`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a75\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\sqrt{x}+x=6\\\$`,\n svar: `\\\$x=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a76\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{x^2-6x+9}{x-3}\\\$`,\n svar: `\\\$x-3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a77\"\n},\n{\n fraga: ` Joakim har gjort ett misstag. Han r\u00e5kade k\u00f6pa l\u00e4ttmj\u00f6lk (inneh\u00e5llande 0,5% fett) och\nstandardmj\u00f6lk (inneh\u00e5llande 3% fett) n\u00e4r han skulle k\u00f6pa mellanmj\u00f6lk (inneh\u00e5llande\n1,5% fett). Astrid blev sur p\u00e5 Joakim men Joakim hade en plan. Han blanda\nl\u00e4ttmj\u00f6lken och standardmj\u00f6lken f\u00f6r att kunna f\u00e5 1 liter mellanmj\u00f6lk, allts\u00e5 att\nfetthalten ska vara 1,5%. Hur mycket ska Joakim blanda av l\u00e4ttmj\u00f6lken respektive\nstandardmj\u00f6lken f\u00f6r att f\u00e5 1 liter mellanmj\u00f6lk?`,\n svar: `0,6 liter l\u00e4ttmj\u00f6lk respektive 0,4 liter standardmj\u00f6lk`,\n digital: true, \n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a78\"\n},\n{\n fraga: ` Nedan ser du tv\u00e5 uttryck som inkluderar de positiva konstanterna \ud835\udc50 och \ud835\udc51 d\u00e4r \\\$d < c\\\$ .\nBest\u00e4m f\u00f6r vilka \ud835\udc50 och \ud835\udc51 s\u00e5 b\u00e5da uttrycken g\u00e5r att faktorisera till formen \\\$(a+b)^2\\\$\n.<\/p> \n\u2022 \\\$x^2+cx-dx+9\\\$ <\/p> \n\u2022 \\\$x^2+dx+cx+36\\\$ <\/p>`,\n svar: `\\\$c=9\\\$ och \\\$d=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ekvationssystem\", \"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a79\"\n},\n{\n fraga: ` Observera f\u00f6ljande m\u00f6nster nedan\n.<\/p> \n\u2022 \\\$\\\\frac{10^2-1}{11}=9\\\$ <\/p> \n\u2022 \\\$\\\\frac{21^2-1}{22}=20\\\$ <\/p> \n\u2022 \\\$\\\\frac{100^2-1}{101}=99\\\$ <\/p> Unders\u00f6k om du alltid kommer f\u00e5 ett resultat som \u00e4r ett heltal enligt ovanst\u00e5ende\nm\u00f6nster. Visa generellt.\n`,\n svar: `St\u00e4ll upp det generella uttrycket \\\$\\\\frac{x^2-1}{x+1}\\\$. Vilket g\u00e5r att f\u00f6renkla till uttrycket \\\$x-1\\\$ med hj\u00e4lp av konjugatregeln. Eftersom \\\$x\\\$ \u00e4r ett heltal kommer ocks\u00e5 \\\$x-1\\\$ vara det.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a80\"\n},\n{\n fraga: `En grupp v\u00e4nner ska hyra en stuga f\u00f6r 12000 kr och dela kostnaden lika. Precis innan de ska boka hoppar 2 personer av. Detta medf\u00f6r att kostnaden f\u00f6r de kvarvarande personerna \u00f6kar med 300 kr per person. Best\u00e4m hur m\u00e5nga v\u00e4nner som var med fr\u00e5n b\u00f6rjan.`,\n svar: `10 Personer`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163340.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a81\"\n},\n{\n fraga: `Joakim ska h\u00e4gna in en rektangul\u00e4r hage intill en rak bergv\u00e4gg, vilket betyder att han bara beh\u00f6ver st\u00e4ngsel p\u00e5 tre sidor. Han har totalt 100 meter st\u00e4ngsel. Joakim vill att hagens area ska vara exakt 1250 m\u00b2. St\u00e4ll upp en ekvation f\u00f6r arean d\u00e4r x \u00e4r l\u00e4ngden p\u00e5 de tv\u00e5 kortsidorna som st\u00e5r vinkelr\u00e4tt mot bergv\u00e4ggen och best\u00e4md l\u00e4ngderna p\u00e5 rektangeln. `,\n svar: `25x50 meter`,\n niva: \"A\",\n digital: true,\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a82\"\n},\n{\n fraga: `Joakim plancerade 50,000 kr p\u00e5 tv\u00e5 olika konton. P\u00e5 det ena kontot \u00e4r \u00e5rsr\u00e4ntan 3 % och p\u00e5 det andra 5 %. Efter ett \u00e5r har det totala beloppet p\u00e5 kontona vuxit till 52,100 kr. Hur mycket pengar fanns p\u00e5 respektive konto fr\u00e5n b\u00f6rjan?`,\n svar: `30 000 respektive 20 000 kr`,\n niva: \"C\",\n digital: true,\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a83\"\n},\n{\n fraga: `En guldsmed har tv\u00e5 legeringar av guld. Den f\u00f6rsta inneh\u00e5ller 90 % guld och den andra 50 % guld. Hur m\u00e5nga gram av varje legering ska sm\u00e4ltas samman f\u00f6r att f\u00e5 200 gram av en legering som inneh\u00e5ller 75 % guld?`,\n svar: `125 gram av 90-procentiga och 75 gram av 50-procentiga`,\n niva: \"C\",\n digital: true,\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\", \"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a84\"\n},\n{\n fraga: `Joakim och Roger har konstruerat var sin cylinder. H\u00f6jden i Joakims cylinder \u00e4r dubbelt\nsa stor som h\u00f6jden i Rogers, medan radien i Rogers cylinder ar 5 cm st\u00f6rre \u00e4n\nradien i Joakims. Det visar sig att de b\u00e5da cylindrarna har samma volym. Best\u00e4m i s\u00e5\nfall, p\u00e5 exakt form, radien i Joakims cylinder.\n`,\n svar: `\\\$r=5+\\\\sqrt{50}\\\$. F\u00f6rkasta \\\$r=5-\\\\sqrt{50}\\\$ eftersom det \u00e4r mindre \u00e4n 0`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163434.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a85\"\n},\n{\n fraga: `Joakim ritar upp tv\u00e5 olika kvadrater. Differensen mellan kvadraternas area \u00e4r \\\$56 m^2\\\$ och om man summerar deras omkretser f\u00e5r man 64 m. Best\u00e4m sidl\u00e4ngderna p\u00e5 respektive kvadrat \n`,\n svar: `9,75 m repspektive 6,25 m`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true, \n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163448.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"ekvationssystem\", \"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a86\"\n},\n{\n fraga: `Joakim ska h\u00e4gna in en rektangul\u00e4r hage som ligger intill en rak flod. Han beh\u00f6ver inget st\u00e4ngsel l\u00e4ngs floden. Han har totalt 80 meter st\u00e4ngsel och hagens area ska vara 750 m\u00b2. Vilka m\u00e5tt ska hagen ha?\n`,\n svar: `Antingen 25x30m eller 15x50m`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true, \n underkategori: [\"ekvationssystem\", \"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a87\"\n},\n{\n fraga: `Produkten av tv\u00e5 positiva tal \u00e4r 120. Om det f\u00f6rsta talet \u00f6kas med 2 och det andra talet minskas med 3, f\u00f6rblir produkten 120. Vilka \u00e4r de ursprungliga tv\u00e5 talen?`,\n svar: `8 och 15`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2], \n digital: true, \n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163317.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"ekvationssystem\", \"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a88\"\n},\n{\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck \\\$x^2-2+\\\\frac{1}{x^2}\\\$`,\n svar: `\\\$(x-\\\\frac{1}{x})^2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1], \n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a89\"\n},\n{\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck \\\$x^2+6x+9-y^2\\\$`,\n svar: `Tips: Observera att \\\$x^2+6x+9\\\$ \u00e4r en kvadreringsregel Svar: \\\$(x+3-y)(x+3+y)\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2], \n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163515.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a90\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$a\\\$ saknar f\u00f6ljande ekvation reella l\u00f6sningar \\\$x^2-10x+a=10\\\$`,\n svar: `\\\$a>35\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1], \n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-170830.png\">`,\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a91\"\n},\n{\n fraga: ` Ett logistikf\u00f6retag fakturerar baserat p\u00e5 k\u00f6rstr\u00e4cka (per mil) och tids\u00e5tg\u00e5ng (per timme). En kund har f\u00e5tt tv\u00e5 fakturor men tappat bort prislistan. <\/p>\n\nFaktura A: 12,4 mil k\u00f6rning och 2,5 timmars arbete. Totalkostnad: 2 822 kr. <\/p>\n\n Faktura B: 8,2 mil k\u00f6rning och 4,0 timmars arbete. Totalkostnad: 3 016 kr. <\/p>\n\nBest\u00e4m kostnaden per mil respektive kostnaden per timme.\n`,\n svar: `Kostnad per mil: Ungef\u00e4r 129 kr. Kostnad f\u00f6r arbete: 490 kr`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0], \n digital: true, \n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a92\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation \\\$\\\\sqrt{2x+9}-\\\\sqrt{x+1}=2\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=0\\\$ och \\\$x_2=8\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2], \n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a93\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation \\\$6x^2=36x\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=0\\\$ och \\\$x_2=6\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0], \n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a94\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationssystemet \\\$\\\\begin{cases} x+y=15 \\\\\\\\ 10^{2lgx}-10^{2lgy} \\\\end{cases}\\\$`,\n svar: `\\\$x=9\\\$ och \\\$y=6\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a95\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\sqrt{2x^2+7x+1}+1=x\\\$`,\n svar: `Ekvationen saknar l\u00f6sningar. Alla \u00e4r falskr\u00f6tter.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a96\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2=3x\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a97\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2=\\\\frac{x}{2}\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a98\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(2x-1)(3-x)=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=\\\\frac{1}{2}, x_2=3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a99\"\n},\n{\n fraga: `En klass samlar in pengar genom att s\u00e4lja burkar och flaskor.<\/p> \n\nDag 1: <\/b> De l\u00e4mnar in 45 aluminiumburkar och 20 plastflaskor och f\u00e5r 85 kr. <\/p> \n\nDag 2: <\/b> De l\u00e4mnar in 30 aluminiumburkar och 50 plastflaskor och f\u00e5r 130 kr. <\/p> \nHur mycket f\u00e5r man i pant f\u00f6r en burk respektive en plastflaska?\n`,\n svar: `Burk ger 1 kr och plastflaska ger 2 kr`,\n niva: \"C\",\n digital: true, \n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a100\"\n},\n{\n fraga: ` Ett logistikf\u00f6retag fakturerar baserat p\u00e5 k\u00f6rstr\u00e4cka (per mil) och tids\u00e5tg\u00e5ng (per timme). En kund har f\u00e5tt tv\u00e5 fakturor men tappat bort prislistan. <\/p> \n\nFaktura A:<\/b> 12,4 mil k\u00f6rning och 2,5 timmars arbete. Totalkostnad: 2 822 kr. <\/p> \n\n Faktura B: <\/b> 8,2 mil k\u00f6rning och 4,0 timmars arbete. Totalkostnad: 3 016 kr. <\/p>\n\nBest\u00e4m kostnaden per mil respektive kostnaden per timme.\n\n`,\n svar: `8.\tKostnad per mil: Ungef\u00e4r 129 kr. Kostnad f\u00f6r arbete: 490 kr`,\n niva: \"C\",\n digital: true, \n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a101\"\n},\n{\n fraga: `Utveckla f\u00f6ljande uttryck \\\$(\\\\sqrt{x}-4)(\\\\sqrt{x}+4)\\\$`,\n svar: `\\\$x+16\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a102\"\n},\n{\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck \\\$100a^2-36b^2\\\$`,\n svar: `\\\$(10a-6b)(10a+6b)\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a103\"\n},\n{\n fraga: `Joakim ska bygga en cirkul\u00e4r pool i sin tr\u00e4dg\u00e5rd. Poolen kommer delas in i tv\u00e5 delar, en del med vatten och en poolkant. Tanken \u00e4r att poolkanten ska vara 3 dm bred. Kostnaden f\u00f6r respektive del \u00e4r 800 kr per \\\$dm^2\\\$ f\u00f6r vattendelen och 500 kr per \\\$dm^2\\\$ f\u00f6r poolkanten. Joakim vill spendera 250 000 kr. Hur stor blir vattendelen av polen? Svara med n\u00e4rmsta heltal. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Skarmbild-2026-05-03-205204.png\">`,\n svar: `201 \\\$dm^2\\\$`,\n niva: \"A\",\n digital: true, \n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a104\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har k\u00f6pt ett nytt abonnemang f\u00f6r sin telefon. Joakim betalar f\u00f6r hur m\u00e5nga timmar han talat i telefon varje m\u00e5nad, hur m\u00e5nga sms han skickar samt en fast kostnad f\u00f6r internet p\u00e5 100 kr. Fyll i tabellen i den tomma rutan om f\u00f6ljande g\u00e4ller. Motivera ditt svar <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Skarmbild-2026-05-08-100749.png\">`,\n svar: `407,8 kr`,\n niva: \"C\",\n digital: true, \n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a105\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\sqrt{2x+2}+3-x=0\\\$`,\n svar: `\\\$x=7\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"rotekvationer\"],\n kod: \"a106\"\n},\n{\n fraga: `Utveckla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+6)^2+4\\\$`,\n svar: `\\\$x^2+12x+40\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a107\"\n},\n{\n fraga: `Utveckla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x-5)(x+5)+x^2\\\$`,\n svar: `\\\$2x^2-25\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a108\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+3)^2-6x\\\$`,\n svar: `\\\$x^2+9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a109\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+4)(x-4)+16\\\$`,\n svar: `\\\$x^2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a110\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x-7)(x+3)=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=7, x_2=-3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a111\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-6x=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a112\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2+10x=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=-10\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a113\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-6x+9=0\\\$`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a114\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-6x+8=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=2, x_2=4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a115\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2+4x-12=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=2, x_2=-6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a116\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationssystemet \\\$\\\\begin{cases} 2x+2y=16 \\\\\\\\ x-y=2 \\\\end{cases}\\\$`,\n svar: `\\\$x=5, y=3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a117\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationssystemet \\\$\\\\begin{cases} 3x+y=10 \\\\\\\\ y=x+2 \\\\end{cases}\\\$`,\n svar: `\\\$x=2, y=4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a118\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationssystemet \\\$\\\\begin{cases} 2x+3y=12 \\\\\\\\ x=y-4 \\\\end{cases}\\\$`,\n svar: `\\\$x=0, y=4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a119\"\n},\n{\n fraga: `Summan av tv\u00e5 tal \u00e4r 15 och deras differens \u00e4r 3. Best\u00e4m de b\u00e5da talen genom att st\u00e4lla upp och l\u00f6sa ett ekvationssystem.`,\n svar: `Talen \u00e4r 9 och 6`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a120\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x-5)^2-(x^2+25)\\\$`,\n svar: `\\\$-10x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a121\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x+1)(x-9)=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=-1, x_2=9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a122\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-12x+35=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=5, x_2=7\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsekvationer\"],\n kod: \"a123\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$(x+7)(x-7)+49\\\$`,\n svar: `\\\$x^2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"kvadreringsregler\"],\n kod: \"a124\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationssystemet \\\$\\\\begin{cases} x+2y=10 \\\\\\\\ 2y=2x+4 \\\\end{cases}\\\$`,\n svar: `\\\$x=2, y=4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationssystem\"],\n kod: \"a125\"\n}\n\n ],\n\n funktioner: [\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2-4x-5\\\$. Best\u00e4m funktionens nollst\u00e4llen.`,\n svar: `\\\$x_1=-1, x_2=5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f1\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=-2x^2-10x+105\\\$. Best\u00e4m om funktionen har en maximipunkt eller en minimipunkt.`,\n svar: `Maximipunkt`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f2\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2-6x+5\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r funktionens symmetrilinje.`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f3\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en andragradsfunktion vet du att den har nollst\u00e4llen i \\\$x_1=2\\\$ samt i \\\$x_2=4\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r symmetrilinjen.`,\n svar: `\\\$x=3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f4\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en andragradsfunktion vet du att den har nollst\u00e4llen i \\\$x_1=1\\\$ samt symmetrilinje i \\\$x=5\\\$. Best\u00e4m det andra nollst\u00e4llen f\u00f6r funktionen.`,\n svar: `\\\$x=9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f5\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$ vet du att den sk\u00e4r \\\$y\\\$-axeln i \\\$y=5\\\$. Best\u00e4m konstaten \\\$c\\\$.`,\n svar: `\\\$c=5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f6\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en exponentiell funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=C\\\\cdot a^x\\\$ vet du f\u00f6ljande <\/p> \\\$\\\\frac{f(b+7)}{f(b+4)}=27\\\$ <\/p> \\\$f(4)-f(2)=100\\\$<\/p> Best\u00e4m funktionen \\\$f(x)\\\$ `,\n svar: `\\\$f(x)=\\\\frac{25}{18}\\\\cdot 3^x\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"exponentialfunktioner\"],\n kod: \"f7\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$ vet du att \\\$a>0\\\$ Best\u00e4m d\u00e5 om funktionen har en maximipunkt eller minimipunkt.`,\n svar: `Minimipunkt.`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f8\"\n },\n{\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2-6x+c\\\$. Best\u00e4m f\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$c\\\$ som funktionen enbart f\u00e5r ett nollst\u00e4lle.`,\n svar: `\\\$c=9\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f9\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m extremv\u00e4rdet f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=x^2-10x+16\\\$`,\n svar: `\\\$y=-9\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f10\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m \\\$f(4)\\\$ om \\\$f(x+y)=x^2+2xy+y^2\\\$`,\n svar: `\\\$f(4)=16\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f11\"\n },\n{\n fraga: `Joakim ser grafen till en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$. Tyv\u00e4rr \u00e4r hans datorsk\u00e4rm skadad och d\u00e4rf\u00f6r kan han inte se hela grafen. Joakim vill best\u00e4mma funktionsekvationen. Hj\u00e4lp honom g\u00f6ra det. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-152937.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$f(x)=x^2-4x+4\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f12\"\n },\n{\n fraga: `Joakim ser grafen till en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande.<\/p> a) Funktionens nollst\u00e4llen<\/p> b) Ekvationen f\u00f6r symmetrilinjen<\/p> c) Funktionens extremv\u00e4rde <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-07.06.38.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a) \\\$x_1=-2, x_2=2\\\$ b) \\\$x=0\\\$ c) \\\$y=4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f13\"\n },\n{\n fraga: `Funktionen \\\$f(x)=ax^2+a^2x+2\\\$ \u00e4r definierad. Du vet att \\\$f(x)\\\$ har enbart en nollst\u00e4lle. Best\u00e4m \\\$f(1)\\\$`,\n svar: `\\\$f(1)=8\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f14\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r en andragradsfunktion vet du f\u00f6ljande<\/p> \\\$f(a+3)\\\$ ger funktionens extremv\u00e4rde<\/p> \\\$f(a+6)\\\$ \u00e4r ett nollst\u00e4lle <\/p> Best\u00e4m \\\$f(a)\\\$ `,\n svar: `\\\$f(a)=0\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f15\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du grafen till en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$ Best\u00e4m talet \\\$k\\\$ om \\\$f(k+7)=f(k-7)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-151300.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$k=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f16\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du grafen till en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$ Best\u00e4m \\\$f(2)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-151426.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$f(2)=11\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f17\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du grafen till en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$ Best\u00e4m med n\u00e5gon matematisk motivering om produkten \\\$a\\\\cdot b\\\\cdot c\\\$ \u00e4r st\u00f6rre eller mindre \u00e4n noll. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-07-092037.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$a\\\\cdot b\\\\cdot c\\\\ <0 \\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f18\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en andragradsfunktion \\\$f(x)\\\$ vet du att funktionen har nollst\u00e4llen i \\\$x_1=4+\\\\sqrt{13}\\\$ och \\\$x_2=-\\\\sqrt{13}\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r symmetrilinjen f\u00f6r \\\$f(x)\\\$.`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f19\"\n },\n{\n fraga: ` F\u00f6r en exponentiell funktion \\\$f(x)\\\$ vet du f\u00f6ljande <\/p> \\\$f(1)=12\\\$<\/p> \\\$f(3)=3\\\$ <\/p> Best\u00e4m funktionen \\\$f(x)\\\$.`,\n svar: `\\\$f(x)=24\\\\cdot (\\\\frac{1}{2})^x\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"exponentialfunktioner\"],\n kod: \"f20\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$ vet du att \\\$a>0\\\$. Du vet ocks\u00e5 att funktionen har nollst\u00e4llet i \\\$x=2\\\$ och \\\$x=6\\\$. Skriv f\u00f6ljande funktionsuttryck i storleksordning med minsta f\u00f6rst.<\/p> \\\$f(1), f(5), f(-10), f(8)\\\$`,\n svar: `Minst: \\\$f(5), f(1), f(8), f(-10)\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n losningsforslag:`<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-154000.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f21\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du graferna till \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$ Best\u00e4m konstanten \\\$k\\\$ om \\\$f(k)=g(k-3)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-151718.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$k=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\", \"exponentialfunktioner\"],\n kod: \"f22\"\n },\n{\n fraga: ` Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2-3x+4\\\$ <\/p> L\u00f6s ekvationen \\\$f(\\\\sqrt{x})=3\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=1, x_2=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\", \"rotekvationer\"],\n kod: \"f23\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$ vet du att funktionen har en maximipunkt i \\\$(4,8)\\\$ och har en nollst\u00e4lle i \\\$x=2\\\$. Best\u00e4m funktionen.`,\n svar: `\\\$f(x)=-2x^2+16x-24\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163249.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f24\"\n },\n{\n fraga: `Visa att funktionen \\\$f(x)=x^2+ax+a^2\\\$ d\u00e4r \\\$a\\\\neq 0\\\$ saknar nollst\u00e4llen f\u00f6r alla v\u00e4rden p\u00e5 \\\$a\\\$`,\n svar: `St\u00e4mmer. Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag f\u00f6r bevis.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-06-132932.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f25\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du 3 bilder p\u00e5 olika delar av en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$. Anv\u00e4nd bilderna f\u00f6r att best\u00e4mma en annan punkt p\u00e5 grafen. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-152359.png\">`,\n svar: `\\\$(-1,0)\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f26\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du en del av grafen till en andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$ L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=3\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-155450.png\">`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=-2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f27\"\n },\n{\n fraga: `En andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=a^2+bx+c\\\$ har nollst\u00e4llen i \\\$x_1=-1\\\$ och \\\$x_2=3\\\$ samt har ett extremv\u00e4rde i \\\$y=4\\\$<\/p> a) Best\u00e4m extrempunkten f\u00f6r funktionen <\/p>b) Vilken av f\u00f6ljande funktionsekvationen kan \\\$f(x)\\\$ vara om samtliga krav i a) ska uppfyllas. . <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-17.28.04.png\">`,\n svar: `a)\\\$(1,4)\\\$ b) A) `,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f28\"\n },\n{\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2+2bx+6\\\$. Du vet att funktionen g\u00e5r igenom punkten \\\$(1,12)\\\$. Best\u00e4m konstanten \\\$b\\\$`,\n svar: `\\\$b=2,5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f29\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du grafen till en andragradsfunktion. Best\u00e4m ett \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ s\u00e5dant att \\\$f(a)=f(b)\\\$ d\u00e4r \\\$a\\\$ inte \u00e4r lika med \\\$b\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-154759.png\">`,\n svar: `Till exempel \\\$a=0, b=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f30\"\n },\n{\n fraga: `Under grafen till funktionen \\\$f(x)=4x-x^2\\\$ placeras en rektangel med bas l\u00e4ngst med x-axeln och en h\u00f6jden som n\u00e5r grafen<\/p> Visa att omkretsen f\u00f6r rektangeln \\\$R\\\$ g\u00e5r att beskriva med funktionen \\\$O(x)=-2x^2+4x+8\\\$ om \\\$x\\\$ \u00e4r x-v\u00e4rdet f\u00f6r punkten P. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-145729.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Det st\u00e4mmer. Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-150353.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f31\"\n },\n {\n fraga: `Observera funktionen p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$ nedan. Best\u00e4m f\u00f6ljande.<\/p> a) Funktionens nollst\u00e4llen<\/p> b) Extremv\u00e4rdet f\u00f6r funktionen <\/p> c) Best\u00e4m konstanten \\\$c\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-01-085342.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `a) \\\$x_1=1, x_2=3\\\$ b) \\\$y=-1\\\$ c) \\\$c=3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f32\"\n },\n{\n fraga: `Vi definierar funktionerna \\\$f(x)=x+6\\\$ och \\\$g(x)=x^2\\\$<\/p> L\u00f6s ekvationen \\\$g(f(x))=0\\\$`,\n svar: `\\\$x=-6\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f33\"\n},\n{\n fraga: `Joakim p\u00e5st\u00e5r att det finns ett samband f\u00f6r andragradsfunktioner p\u00e5 formen \\\$f(x)=x^2+px+q\\\$. Enligt Joakim kommer alltid produkten av nollst\u00e4llena f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ vara lika med konstanten \\\$q\\\$. <\/p> a) Unders\u00f6k om det g\u00e4ller f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=x^2-4x-5\\\$ <\/p> b) Visa att det g\u00e4ller f\u00f6r alla funktioner p\u00e5 formen \\\$f(x)=x^2+px+q\\\$`,\n svar: `a) Det st\u00e4mmer. b) Tips: St\u00e4ll upp ett uttryck f\u00f6r respektive nollst\u00e4lle f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ och visa sedan produkten g\u00e5r att f\u00f6renkla till \\\$q\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [2,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163232.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f34\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=x^2+px+q\\\$ vet du att den har nollst\u00e4llen i \\\$x_1=3+\\\\sqrt{2}\\\$ samt \\\$x_2=3-\\\\sqrt{2}\\\$. Best\u00e4m konstanterna \\\$p\\\$ och \\\$q\\\$.`,\n svar: `\\\$p=-6\\\$ och \\\$q=7\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f35\"\n},\n{\n fraga: `Observera andragradsfunktionen \\\$f(x)=ax^2+bx+c\\\$ nedan. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) Best\u00e4m om konstanten \\\$a\\\$ \u00e4r st\u00f6rre eller mindre \u00e4n noll <\/p> b) Best\u00e4m konstanten \\\$c\\\$ <\/p> c) Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r symmetrilinjen <\/p> d) Avg\u00f6r vilket av f\u00f6ljande uttryck som \u00e4r st\u00f6rst \\\$f(100)\\\$ eller \\\$f(-100)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-03-23-123543.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `a) \\\$a>0\\\$ b) \\\$c=3\\\$ c) \\\$x=1\\\$ d) \\\$f(-100)>f(100)\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [3,1,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f36\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=x^2+bx+c\\\$ har extrempunkten \\\$(4, 10)\\\$ Best\u00e4m konstanterna \\\$b\\\$ och \\\$c\\\$ `,\n svar:`\\\$b=-8\\\$ och \\\$c=26\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f37\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m det minsta v\u00e4rdet f\u00f6ljande funktion kan anta \\\$f(x)=\\\\sqrt{x^2-4x+8}\\\$ `,\n svar: `Minsta v\u00e4rdet \u00e4r \\\$y=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f38\"\n},\n{\n fraga: `Skriv ett uttryck f\u00f6r symmetrilinjen f\u00f6r andragradsfunktionen \\\$f(x)=(x-a)(x-5a)\\\$`,\n svar: `\\\$x=3a\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f39\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m om f\u00f6ljande funktion har en maximipunkt eller minimipunkt, motivera ocks\u00e5 ditt svar \\\$f(x)=-0,36x^2-54x+101\\\$`,\n svar: `Maximipunkt eftersom konstanten framf\u00f6r \\\$x^2\\\$ \u00e4r negativ.`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f40\"\n},\n{\n fraga: `En rektangel skapas fr\u00e5n en andragradsfunktions \\\$f(x)\\\$ maximipunkt och nollst\u00e4llen. Basen \u00e4r l\u00e4ngre \u00e4n h\u00f6jden p\u00e5 rektangeln. Arean f\u00f6r rektangeln \u00e4r 8 areaenheter och omkretsen \u00e4r 12 l\u00e4ngdenheter. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r andragradsfunktionen. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-29-133447.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `\\\$f(x)=-\\\\frac{x^2}{2}+2x\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f41\"\n},\n{\n fraga: `\tF\u00f6r en andragradsfunktion vet du att \\\$f(a)=6\\\$, att \\\$f(24)=6\\\$ samt att funktionen har en extrempunkt i \\\$(-2,542)\\\$. Best\u00e4m talet \\\$a\\\$. `,\n svar: `\\\$a=-28\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f42\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r f\u00f6ljande funktion <\/p>\n\n \\\$f(x)=x^2-6x-16\\\$`,\n svar: `\\\$-25 \\\\leq y\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f43\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en andragradsfunktion vet du att \\\$f(a)=6\\\$, att \\\$f(24)=6\\\$ samt att funktionen har en extrempunkt i \\\$(-2,542)\\\$. Best\u00e4m talet \\\$a\\\$. `,\n svar: `\\\$a=-28\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f44\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2-6x+25\\\$ <\/p> a) Har funktionen en maximipunkt eller en minimipunkt? <\/p> b) Best\u00e4m koordinaterna f\u00f6r funktionens extrempunkt`,\n svar: `a) Minimipunkt b) \\\$y=-25\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f45\"\n},\n{\n fraga: `En andragradsfunktion \\\$f(x)\\\$ g\u00e5r igenom punkterna \\\$(3,0)\\\$ och \\\$(5,0)\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r symmetrilinjen f\u00f6r \\\$f(x)\\\$`,\n svar: `\\\$x=4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f46\"\n},\n{\n fraga: `Funktionen \\\$f(x)=x^2-4x+4\\\$ har enbart ett nollst\u00e4lle. Best\u00e4m det nollst\u00e4llet.`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f47\"\n},\n{\n fraga: `Funktionen \\\$f(x)=(x-4)(x-6)\\\$ har tv\u00e5 nollst\u00e4llen. Best\u00e4m dessa nollst\u00e4llen.`,\n svar: `\\\$x_1=4\\\$ och \\\$x_2=6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f48\"\n},\n{\n fraga: ` Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2-8x+7\\\$ <\/p> a) F\u00f6r vilket \\\$y\\\$-v\u00e4rde sk\u00e4r funktionen \\\$y\\\$-axeln. <\/p> b) Best\u00e4m symmetrilinjens ekvation f\u00f6r funktionen`,\n svar: `a) \\\$y=7\\\$ b) \\\$x=4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f49\"\n},\n{\n fraga: `Joakim menar att funktionen \\\$f(x)=x^2-6x+10\\\$ saknar nollst\u00e4llen. Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt. `,\n svar: `Han har r\u00e4tt. V\u00e4rdet under rottecknet \u00e4r mindre \u00e4n noll.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f50\"\n},\n{\n fraga: `Funktionerna \\\$f(x)=x^2-4x+5\\\$ och \\\$g(x)=x^2-3x+4\\\$ sk\u00e4r varandra i en punkt. Best\u00e4m \\\$x\\\$-v\u00e4rdet f\u00f6r den sk\u00e4rningspunkten.`,\n svar: `\\\$x=1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f51\"\n},\n{\n fraga: ` Vilken av f\u00f6ljande nollst\u00e4llen kan andragradsfunktion \\\$f(x)\\\$ ha och den har en extrempunkt i \\\$(5, 10)\\\$ <\/p> \n a) \\\$x_1=4, x_2=7\\\$ \\\$\\\\space\\\$ b) \\\$x_1=0, x_2=10\\\$ \\\$\\\\space\\\$ c) \\\$x_1=8, x_2=5\\\$ \\\$\\\\space\\\$ d) \\\$x_1=4, x_2=6\\\$`,\n svar: `b) och d) `,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f52\"\n},\n{\n fraga: ` Sant eller falskt? <\/p> En funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2\\\$ har alltid extrempunkt i origo `,\n svar: `Sant, oavsett v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$a\\\$ kommer \\\$f(0)=0\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f53\"\n},\n{\n fraga: ` Om en andragradsfunktion \\\$f(x)\\\$ har nollst\u00e4llen i \\\$x_1=1\\\$ och \\\$x_2=5\\\$. Vilken av f\u00f6ljande punkter kan vara en extrempunkt f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ <\/p> \n a) \\\$(1,12)\\\$ \\\$\\\\space\\\$ b) \\\$(3,-8)\\\$ \\\$\\\\space\\\$ c) \\\$(5,3)\\\$ \\\$\\\\space\\\$ d) \\\$(2,-5)\\\$`,\n svar: `b) eftersom symmetrilinjen m\u00e5ste ligga p\u00e5 \\\$x=3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f54\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=ax^2\\\$ vet du att \\\$f(-31)=14\\\$ Best\u00e4m \\\$f(31)\\\$`,\n svar: `\\\$f(31)=14\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f55\"\n},\n{\n fraga: `En andragradsfunktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=x^2+bx\\\$ har ett nollst\u00e4lle i \\\$x=5\\\$. Best\u00e4m konstanten \\\$b\\\$`,\n svar: `\\\$b=-5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f56\"\n},\n{\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2-2x-8\\\$. Best\u00e4m funktionens nollst\u00e4llen.`,\n svar: `\\\$x_1=-2, x_2=4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f57\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilket \\\$y\\\$-v\u00e4rde funktionen \\\$f(x)=3x^2-5x+12\\\$ sk\u00e4r \\\$y\\\$-axeln.`,\n svar: `\\\$y=12\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f58\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m om funktionen \\\$f(x)=5x^2+12x-7\\\$ har en maximipunkt eller en minimipunkt. Motivera ditt svar.`,\n svar: `Minimipunkt, eftersom koefficienten framf\u00f6r \\\$x^2\\\$ \u00e4r positiv (\\\$5>0\\\$).`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f59\"\n },\n {\n fraga: `En andragradsfunktion har sina nollst\u00e4llen i \\\$x_1=-3\\\$ och \\\$x_2=7\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r funktionens symmetrilinje.`,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f60\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en exponentialfunktion g\u00e4ller att \\\$f(x)=150 \\\\cdot 1{,}05^x\\\$. Best\u00e4m startv\u00e4rdet \\\$f(0)\\\$.`,\n svar: `\\\$f(0)=150\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"exponentialfunktioner\"],\n kod: \"f61\"\n },\n {\n fraga: `En andragradsfunktion har symmetrilinjen \\\$x=4\\\$ och ett nollst\u00e4lle i \\\$x=1\\\$. Best\u00e4m det andra nollst\u00e4llet.`,\n svar: `\\\$x=7\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f62\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna \\\$f(3)\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=2 \\\\cdot 3^x\\\$.`,\n svar: `\\\$f(3)=54\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"exponentialfunktioner\"],\n kod: \"f63\"\n },\n {\n fraga: `Givet funktionen \\\$f(x)=(x-3)(x+5)\\\$, best\u00e4m funktionens nollst\u00e4llen.`,\n svar: `\\\$x_1=3, x_2=-5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f64\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m symmetrilinjens ekvation f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=x^2-10x+18\\\$.`,\n svar: `\\\$x=5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f65\"\n },\n {\n fraga: `En exponentialfunktion beskrivs av \\\$f(x)=500 \\\\cdot 0{,}85^x\\\$. Ange med hur m\u00e5nga procent v\u00e4rdet minskar f\u00f6r varje \u00f6kning av \\\$x\\\$ med 1.`,\n svar: `\\\$15\\\\%\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"exponentialfunktioner\"],\n kod: \"f66\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m koordinaterna f\u00f6r minimipunkten till funktionen \\\$f(x)=(x-2)^2+5\\\$.`,\n svar: `\\\$(2, 5)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f67\"\n },\n {\n fraga: `Funktionerna \\\$f(x)=2x+3\\\$ och \\\$g(x)=x^2-5\\\$ \u00e4r givna. Best\u00e4m \\\$g(f(1))\\\$.`,\n svar: `\\\$g(f(1))=20\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f68\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$b\\\$ om funktionen \\\$f(x)=x^2+bx+9\\\$ har symmetrilinjen \\\$x=3\\\$.`,\n svar: `\\\$b=-6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f69\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=0\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=4x^2-16\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=-2, x_2=2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f70\"\n },\n {\n fraga: `Avg\u00f6r om punkten \\\$(2, 9)\\\$ ligger p\u00e5 grafen till funktionen \\\$f(x)=x^2+2x+1\\\$. Motivera med en ber\u00e4kning.`,\n svar: `Nej, eftersom \\\$f(2)=2^2+2\\\\cdot 2+1=9\\\$ st\u00e4mmer, s\u00e5 punkten ligger faktiskt p\u00e5 grafen. (Svar: Ja, punkten ligger p\u00e5 grafen).`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"andragradsfunktioner\"],\n kod: \"f71\"\n }\n\n ],\n\n logaritmer: [\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$10^x=13\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `\\\$x=lg13\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l1\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$3^x=20\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{lg20}{lg3}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l2\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$5^x=11\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{lg11}{lg5}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l3\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$lgx=2\\\$.`,\n svar: `\\\$x=100\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l4\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$lgx=3,4\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `\\\$x=10^{3,4}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l5\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2^x=14\\\$. Svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar: `\\\$x=3,81\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l6\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$8^x=25\\\$. Svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar: `\\\$x=1,55\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l7\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 f\u00f6ljande uttryck \\\$lg100+lg1000\\\$`,\n svar: `5`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l8\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 f\u00f6ljande uttryck \\\$lg10^4+lg1\\\$`,\n svar: `4`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l9\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$3^{2x}=10\\\$. Svara exakt`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{2lg3}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l10\"\n },\n {\n fraga: `Du vet att \\\$lg2=0,3\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 \\\$lg8\\\$`,\n svar: `0,9`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l11\"\n },\n {\n fraga: `Du vet att \\\$lg4=0,6\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 \\\$lg40^3\\\$`,\n svar: `4,8`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l12\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck om du vet att \\\$lg5=0,7\\\$<\/p> \\\$lg5^{10}+lg25\\\$`,\n svar: `8,4`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l13\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$(\\\\frac{1}{10})^{lg2}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l14\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$10^{\\\\frac{lg16}{lg100}}\\\$`,\n svar: `4`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163018.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l15\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m talet \\\$a\\\$ om \\\$lg(a^{\\\\frac{1}{3}})=2\\\$`,\n svar: `\\\$a=1000000\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-162850.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l16\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$lg4^x+lg25^x=10\\\$`,\n svar: `\\\$x=5\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l17\"\n },\n {\n fraga: `Den brittiska matematikern Henry Briggs var viktigt i f\u00f6rst\u00e5elsen och inf\u00f6randet av logaritmer. Han skrev en bok d\u00e4r han gjorde logaritmiska v\u00e4rden i basen 10. Nedan ser du en del av tabellen. Best\u00e4m a och b med hj\u00e4lp av tabellen nedan. Svara med 3 decimaler vid behov. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-06-125239.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$a=1\\\$ \\\$b=0,778\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l18\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$10^{7x}=17\\\$. Svara exakt`,\n svar: `\\\$\\\\frac{lg17}{7}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l19\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 f\u00f6ljande uttryck \\\$10^{lg19}\\\$`,\n svar: `19`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l20\"\n },\n {\n fraga: `Joakim menar att att uttrycket \\\$lg921-lg16\\\$ \u00e4r mindre \u00e4n 2. Hur kan han veta det? `,\n svar: `\\\$lg921\\\$ \u00e4r mindre \u00e4n 3 och \\\$lg16\\\$ \u00e4r lite st\u00f6rre \u00e4n 1.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l21\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 f\u00f6ljande uttryck \\\$10^{lg1}+10^{lg10}\\\$`,\n svar: `11`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l22\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vilket som \u00e4r det n\u00e4rmaste heltalet till f\u00f6ljande uttryck \\\$lg2194-lg220\\\$`,\n svar: `Ungef\u00e4r lika med 1`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l23\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation \\\$10^{lg2x}+10^{lg5}=3x+lg10\\\$`,\n svar: `\\\$x=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l24\"\n },\n { \n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r \\\$lgx^2+lgy^2\\\$ om \\\$x\\\\cdot y=10^3\\\$`,\n svar: `6`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163024.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l25\"\n },\n { \n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r \\\$lg0,01\\\$`,\n svar: `-2`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l26\"\n },\n { \n fraga: `Best\u00e4m de positiva talen \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ om <\/p> \\\$\\\\begin{cases} lga^b=16 \\\\\\\\ 10^b=a \\\\end{cases}\\\$ `,\n svar: `\\\$a=10000, b=4\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-162840.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l27\"\n },\n { \n fraga: ` L\u00f6s ekvationssystemet <\/p> \\\$\\\\begin{cases} lgx+lgy=2 \\\\\\\\ 10^{lgx}+10^{lgy}=29 \\\\end{cases}\\\$ `,\n svar: `\\\$x=25, y=4\\\$ eller tv\u00e4rtom.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-162928.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l28\"\n },\n { \n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$4^x=(3^x-2^x)(3^x+2^x)\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{lg2}{lg(\\\\frac{9}{4})}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163004.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l29\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$lg10^{3,8}+lg10^{9,2}\\\$`,\n svar: `13`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l30\"\n },\n {\n fraga: `Joakim l\u00f6ser ekvationen \\\$2lgx-lg4x+lg3=0\\\$ p\u00e5 f\u00f6ljande s\u00e4tt: <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-18.00.13.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> N\u00e4r Joakim unders\u00f6ker sina l\u00f6sningar inser han att de inte st\u00e4mmer. Hj\u00e4lp Joakim l\u00f6sa ekvationen korrekt. `,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{4}{3}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-18.05.00.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\", \"logaritmregler\"],\n kod: \"l31\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$4^x=20\\\\cdot 3^x\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{lg20}{lg(\\\\frac{4}{3})}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-162911.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l32\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$19^x=91\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{lg91}{lg19}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l33\"\n },\n {\n fraga: `Om du vet att \\\$lga^4=3\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 v\u00e4rdet p\u00e5 uttrycket \\\$3a^{\\\\frac{8}{3}}\\\$`,\n svar: `300`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163138.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l34\"\n },\n {\n fraga: `Om du vet att \\\$lg2=0,3\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 ett exakt v\u00e4rde p\u00e5 \\\$lg50\\\$`,\n svar: `1,7`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l35\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$10^{-lg2x}=22\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{1}{44}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l36\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$100^{lgx}-2\\\\cdot 10^{lgx}-lg10^8=0\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=4\\\$. Vi m\u00e5ste f\u00f6rkasta \\\$x_2=-2\\\$, funkar inte med ursprungsekvation`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163040.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l37\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{lg27+lg8}{lg6}\\\$`,\n svar: `3`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l38\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$lgx \\\\cdot lgx^2 \\\\cdot lgx^3=48\\\$`,\n svar: `\\\$x=100\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-162945.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l39\"\n },\n {\n fraga: `Joakim st\u00e4ller upp f\u00f6ljande uttryck <\/p> \\\$x^{\\\\frac{a}{lgx}}\\\$ d\u00e4r \\\$a\\\$ \u00e4r en konstant<\/p> Joakim menar att uttrycket har samma v\u00e4rde oavsett vilket v\u00e4rde \\\$x\\\$ unders\u00f6k om han har r\u00e4tt. `,\n svar: `Ta logaritmen av uttrycket och sedan f\u00f6renkla uttrycket. `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163150.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l40\"\n },\n {\n fraga: `a) F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck s\u00e5 l\u00e5ngt som m\u00f6jligt \\\$(\\\\sqrt{10})^{lg16}\\\$ <\/p>\n b) Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$(\\\\sqrt{10})^{lgb}=\\\\sqrt{b}\\\$`,\n svar: `a) 4 b) Skriv om v\u00e4nsterledet och visa likheten`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l41\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$lg(7-\\\\sqrt{48})+lg(7+\\\\sqrt{48})\\\$`,\n svar: `F\u00f6renklas till 0`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l42\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\${10^{lg4}}\\\$`,\n svar: `4`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l43\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\${10^{lg7,8}}\\\$`,\n svar: `7,8`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l44\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\${10^{lg2x}+4x}\\\$`,\n svar: `6x`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l45\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen, svara exakt \\\${3^{2x}+3^{2x}=20}\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{lg10}{2lg3}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l46\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$lg(lg(x))=1\\\$`,\n svar: `\\\$x=10^{10}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-162803.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l47\"\n },\n {\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer <\/p> \\\$\\\\frac{lga+lgb}{2}=lg\\\\sqrt{ab}\\\$`,\n svar: `Skriv om n\u00e5got av leden med hj\u00e4lp av logaritmreglerna och visa sedan att HL=VL`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l48\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 f\u00f6ljande uttryck i br\u00e5kform \\\$\\\\frac{lg32}{lg8}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{5}{3}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l49\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 f\u00f6ljande uttryck i br\u00e5kform \\\$2 \\\\cdot lg5+\\\\frac{1}{2} \\\\cdot lg16\\\$`,\n svar: `2`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l50\"\n },\n {\n fraga: ` Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer <\/p> \\\$10^{\\\\frac{lgx}{2}}=\\\\sqrt{x}\\\$`,\n svar: `Skriv om VL med hj\u00e4lp av potensreglerna. Anv\u00e4nd sedan logaritmreglerna f\u00f6r att visa VL=HL`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163158.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l51\"\n },\n {\n fraga: `Visa att du kan f\u00f6renkla \\\$\\\\frac{1}{lg2}+\\\\frac{1}{lg5}\\\$ till \\\$\\\\frac{1}{lg2 \\\\cdot lg5}\\\$`,\n svar: `Tips: Skriv br\u00e5ken p\u00e5 gemensam n\u00e4mnare och f\u00f6renkla sedan t\u00e4ljaren.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l52\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$7^{\\\\frac{lg22}{lg7} }\\\$`,\n svar: `22`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l53\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2lgx+lg5x+lg25=3\\\$ `,\n svar: `\\\$x=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-170712.png\">`,\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l54\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en tabell med v\u00e4rden f\u00f6r logaritmtiska uttryck. Best\u00e4m \\\$a)\\\$ och \\\$b)\\\$ f\u00f6r tabellen <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-15-103136.png\">`,\n svar: `\\\$a) = 2,38\\\$ och \\\$b) = 2,08\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-18-072806.png\">`,\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l55\"\n },\n {\n fraga: `\tRichterskalan \u00e4r ett s\u00e4tt att m\u00e4ta hur kraftig en jordb\u00e4vning \u00e4r. Forskaren Richter formulerade f\u00f6ljande modell: \\\$M=\\\\frac{2}{3}(lgE-K)\\\$ d\u00e4r \\\$M\\\$ \u00e4r magnituden och \\\$E\\\$ \u00e4r energin som frig\u00f6rs samt \\\$K\\\$ \u00e4r en konstant. L\u00f6s ut \\\$E\\\$ ur formeln. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-15-105653.png\">`,\n svar: `\\\$E=10^{\\\\frac{3M}{2}+K}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-15-105413.png\">`,\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l56\"\n },\n {\n fraga: ` Nedan ser du en tallinje med ett utmarkerat v\u00e4rde f\u00f6r \\\$lg5\\\$. Rita av tallinjen och placera ut f\u00f6ljande uttryck.<\/p> a) \\\$lg50\\\$ \\\$\\\\space\\\$ b) \\\$lg25\\\$ \\\$\\\\space\\\$ c) \\\$lg\\\\sqrt{5}\\\$ \\\$\\\\space\\\$ d) \\\$lg(\\\\frac{1}{5})\\\$ \\\$\\\\space\\\$ e) \\\$lg\\\\sqrt{125}\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-14-080751.png\">`,\n svar: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-15-080318.png\">`,\n niva: \"C\",\n poang: [3,2,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l57\"\n },\n {\n fraga: `\tJoakim har uppt\u00e4ckt ett samband (se rutorna nedan). Det framst\u00e5r som att du kan byta plats p\u00e5 talen i v\u00e4nsterledet av likheten och f\u00e5 samma resultat. Unders\u00f6k om sambandet g\u00e4ller f\u00f6r alla positiva heltal. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-21-195519.png\">`,\n svar: ` Det st\u00e4mmer f\u00f6r alla heltal <\/p> \\\$a^{lgb}=(10^{lga})^{lgb}=10^{lga \\\\cdot lgb}=(10^{lgb})^{lga}=b^{lga}\\\$ `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l58\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$100^{lg9}\\\$`,\n svar: `81 `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l59\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$lg200-lg2\\\$`,\n svar: `2`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l60\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=C\u22c5a^x\\\$ d\u00e4r du vet att \\\$C>1\\\$ och \\\$0 < a < 1\\\$. Vilken av f\u00f6ljande grafer kan representera funktionen \\\$g(x)=lg(f(x))\\\$. Motivera ditt svar. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-21-195411.png\">`,\n svar: `C. Skriv om \\\$g(x)=lg(f(x))\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"logaritmregler\"],\n kod: \"l61\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$lg(x+10^{2,7})+1,3=4\\\$.`,\n svar: `\\\$x=0\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l62\"\n }, \n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(5^{2x}-12)(15-13^x)=0\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=\\\\frac{lg12}{2lg5}\\\$ och \\\$x_2=\\\\frac{lg15}{lg13}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l63\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x\\\\cdot7^x-45x=0\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=0\\\$ och \\\$x_2=\\\\frac{lg45}{lg7}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l64\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$lg2+lg2+lg5+lg5\\\$`,\n svar: `2`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l65\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$lg(\\\\frac{1}{\\\\sqrt{1000}})\\\$`,\n svar: `\\\$-\\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"logaritmekvationer\"],\n kod: \"l66\"\n },\n ],\n problemlosningfunktioner: [\n {\n fraga: `Joakim som bor i Lund ska \u00e5ka EPA-traktor till en stad som ligger 120 km fr\u00e5n Lund. N\u00e4r\nhan skulle \u00e5ka tillbaka var det v\u00e4garbete l\u00e4ngs med v\u00e4gen och Joakim tvingades \u00e5ka i snitt\n10 km\/h l\u00e5ngsammare och hela resan tog 1 timme l\u00e4ngre \u00e4n ditv\u00e4gen. Med vilken\nsnitthastighet \u00e5kte Joakim till staden p\u00e5 ditv\u00e4gen? `,\n svar: `40 km\/h`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-19.57.25.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p1\"\n },\n {\n fraga: `Joakim k\u00f6per en bostad f\u00f6r 1,2 miljoner. Efter 3 \u00e5r har bostadens v\u00e4rde \u00f6kat med 9%.\nF\u00f6rutsatt att bostaden \u00f6kar med samma \u00e5rliga procentuella v\u00e4rde fram\u00f6ver. Efter hur\nm\u00e5nga \u00e5r efter bostadsk\u00f6pet har bostadens v\u00e4rde \u00f6kat med 30%.`,\n svar: `9 \u00e5r`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p2\"\n },\n {\n fraga: `Joakim s\u00e4tter in 10 000 kr i en fond som f\u00f6rv\u00e4ntas v\u00e4xa med 4% varje \u00e5r. Efter hur m\u00e5nga \u00e5r\nhar pengarna f\u00f6rdubblats.`,\n svar: `17 \u00e5r`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p3\"\n },\n {\n fraga: `En bakteriekultur inneh\u00e5ller 1 000 bakterier. Efter 5 timmar inneh\u00e5ller bakteriekulturen 2 000\nbakterier. Hur stor var den procentuella f\u00f6r\u00e4ndringen (f\u00f6r\u00e4ndringsfaktorn) f\u00f6r varje timme om\nvi antar att den var samma f\u00f6r varje timme? St\u00e4ll upp en ekvation och l\u00f6s den. `,\n svar: `\u00d6kar med ungef\u00e4r 15%`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p4\"\n },\n {\n fraga: `Byggnaden Gate to the east ligger i den kinesiska staden Suzhou. H\u00f6jden f\u00f6r den inre\nb\u00e5gen g\u00e5r att beskriva med funktionen \\\$h(x)=-0,1x^2+10x\\\$ d\u00e4r \u210e(\ud835\udc65) \u00e4r h\u00f6jden fr\u00e5n\nmarken och \ud835\udc65 \u00e4r meter l\u00e4ngst med marken fr\u00e5n botten av b\u00e5gen.\nBest\u00e4m hur h\u00f6gt upp den inre b\u00e5gen i Gate to the East \u00e4r. Enbart svar kr\u00e4vs <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-17.26.32.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `250 meter.`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p5\"\n },\n {\n fraga: `Joakim driver en bokhandel d\u00e4r alla b\u00f6cker kostar lika mycket.\nJoakim har insett om han s\u00e4nker priset p\u00e5 b\u00f6ckerna med 10 kr\nkommer en person som k\u00f6per b\u00f6cker f\u00f6r 1200 kr kunna k\u00f6pa 4\nb\u00f6cker fler f\u00f6r samma pris som originalpriset. Best\u00e4m priset p\u00e5\nb\u00f6ckerna idag.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.06.27.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `60 kr`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-170813.png\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p6\"\n },\n {\n fraga: `Tiden det tar att l\u00f6sa en Rubriks kub \\\$T(n)\\\$ g\u00e5r att beskriva med\nfunktionen \\\$T(n)=T_0-k\\\\cdot lg(n+1)\\\$ d\u00e4r \\\$T_0\\\$ \u00e4r tiden det tar\nutan tr\u00e4ning och \ud835\udc5b \u00e4r antalet Rubriks kub man har l\u00f6st och\nkonstanten \ud835\udc58 \u00e4r hur l\u00e4tt man l\u00e4r sig.<\/p>\nF\u00f6r Joakim tar det utan tr\u00e4ning 50 minuter att l\u00f6sa en Rubriks\nkub. Det tog honom 15 kuber att komma ner till 40 minuter. Hur\nm\u00e5nga kuber m\u00e5ste han l\u00f6sa f\u00f6r att halvera sin ursprungstid?.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.38.29.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `1028 kuber`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p7\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har ett bageri som s\u00e4ljer semlor. Han har bara haft problem\nmed att s\u00e4tta pris p\u00e5 semlorna. Han anst\u00e4llde d\u00e5 en matematiker som\nskulle titta p\u00e5 f\u00f6rs\u00e4ljningsstatistiken och har komma fram till det b\u00e4sta priset f\u00f6r att\nmaximera vinsten.<\/p> a) Matematikern tog fram funktionen \\\$V(p)=-0,1p^2+8p-70\\\$ d\u00e4r \\\$V(p)\\\$ beskriver\nvinsten i tusen kr beroende p\u00e5 vilket pris \ud835\udc5d Joakim s\u00e4tter p\u00e5 semlorna. Vilken \u00e4r\nden maximala vinsten Joakim kan f\u00e5 ut? <\/p> b) Joakim skrev tillbaka till matematikern och fr\u00e5gade hur han fick fram funktionen.\nMatematikern svarade d\u00e5 med f\u00f6ljande mail: .<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.44.25.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> Visa hur matematikern fick fram sin funktion. Kom ih\u00e5g att bara utg\u00e5 fr\u00e5n\ninformationen matematikern utgick ifr\u00e5n i mailet.`,\n svar: `a) 90 tusen b) Modellera problemet. Titta l\u00f6sningsf\u00f6rslaget.`,\n niva: \"A\",\n poang: [1,2,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.46.32.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p8\"\n },\n {\n fraga: `I en sj\u00f6 med mycket f\u00f6roreningar trivs torsken j\u00e4ttebra samtidigt som m\u00f6rten m\u00e5r\nv\u00e4ldigt d\u00e5ligt. 2023 finns det 15 000 torskar i sj\u00f6n och 30 000 m\u00f6rtar. Man r\u00e4knar med\natt m\u00f6rten kommer minska med 5% varje \u00e5r samtidigt som torsken kommer v\u00e4xa med\n8% varje \u00e5r. Efter hur m\u00e5nga \u00e5r kommer det finnas tre g\u00e5nger s\u00e5 m\u00e5nga torskar som\nm\u00f6rtar i sj\u00f6n?.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.08.14.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Ungef\u00e4r 14 \u00e5r`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-160817.png\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p9\"\n },\n {\n fraga: `Joakim och Joachim ska springa 100 meter. De startar samtidigt och Joakim springer 1\nm\/s snabbare \u00e4n Joachim och Joakim springer hela distansen 2 sekunder snabbare \u00e4n\nJoachim. Best\u00e4m vilka tider Joakim och Joachim f\u00e5r p\u00e5 100 meter.`,\n svar: `Joakim: 15,18 sekunder, Joachim: 13,18 sekunder `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-11-210549.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p11\"\n },\n {\n fraga: `Differensen av tv\u00e5 tal \u00e4r 10. Vilken \u00e4r den minsta produkten talen kan anta? Gissning\nger ingen po\u00e4ng.`,\n svar: `Minsta produkten \u00e4r -25`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-11-215021.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p12\"\n },\n {\n fraga: `Joakim jobbar p\u00e5 en marknad och vill\nmaximera sin vinst n\u00e4r han s\u00e4ljer bl\u00e5b\u00e4r.\nJust nu tar han 80kr\/liter och han s\u00e4ljer i\nsnitt 300 liter om dagen. Han har r\u00e4knat ut\natt om han \u00f6kar literpriset med 5 kr kommer\nhan s\u00e4lja 10 liter mindre i snitt om dagen.\nVilket pris ska Joakim s\u00e4tta f\u00f6r att\nmaximera sin vinst? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.56.25.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Ungef\u00e4r 14 \u00e5r`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.58.04.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p13\"\n },\n {\n fraga: `Turismen i v\u00e4rlden har \u00f6kat stort sedan 1950. 1950\nr\u00e4knade man med att 25 miljoner m\u00e4nniskor turistade\ninternationellt \u00e5rligen. \u00c5r 2005 hade siffran \u00f6kat till 800\nmiljoner m\u00e4nniskor som turistade internationellt \u00e5rligen.<\/p>\na) Hur m\u00e5nga miljoner m\u00e4nniskor f\u00f6rv\u00e4ntas turista\ninternationellt \u00e5r 2025 om vi antar att utvecklingen \u00e4r\nexponentiell?<\/p>\nb) Vilket \u00e5r f\u00f6rv\u00e4ntas turismen vara \u00f6ver 5 miljarder?.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-21.14.35.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a) 2821 miljoner b) \u00e5r 2034`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,4,0],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-21.13.00.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p14\"\n },\n {\n fraga: `Antalet \u00e5lar har minskat kraftigt under m\u00e5nga \u00e5r. Om man j\u00e4mf\u00f6r med 1950 finns idag\nbara 3% av best\u00e5ndet kvar. Man r\u00e4knar med att \u00e5lens best\u00e5nd minskar exponentiellt.<\/p>\na) Konstruera en funktion som beskriver minskningen av antalet \u00e5lar.<\/p>\nb) Best\u00e4m ocks\u00e5 vilket \u00e5r det enbart finns 1% kvar av best\u00e5ndet fr\u00e5n 1950.`,\n svar: `a) \\\$f(x)=C\\\\cdot 0,9543^x\\\$ b) \u00e5r 2048`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-21.09.18.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p15\"\n },\n {\n fraga: `En font\u00e4n har en ok\u00e4nd h\u00f6jd. Den sprutar ut en vattenstr\u00e5le som n\u00e5r 3 meter \u00f6ver\nmarken som max och landar sedan 3 meter fr\u00e5n font\u00e4nen. Se bild nedan. Best\u00e4m\nfont\u00e4nens h\u00f6jd. Anta att vattenstr\u00e5len r\u00f6r sig som en andragradsfunktion. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-21.00.28.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `H\u00f6jden \u00e4r \\\$\\\\frac{9}{4}\\\$ meter eller 2,25 meter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.58.47.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.58.59.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p16\"\n },\n {\n fraga: `Under grafen till den r\u00e4ta linjen \\\$y=-2x+6\\\$ placeras en rektangel. Rektangeln har\nett h\u00f6rn i origo och ett annat h\u00f6rn som tangerar grafen till den r\u00e4ta linjen. Vilket \u00e4r den\nmaximala arean som rektangeln kan anta? Tips konstruera en areafunktion. .<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.09.16.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Maximala arean \u00e4r \\\$\\\\frac{9}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p17\"\n },\n {\n fraga: `En basketspelare ska kasta ett straffkast. I ett straffkast i basket\nst\u00e5r du 4,6 meter fr\u00e5n korgen som sitter 3 meter upp fr\u00e5n marken\noch ska f\u00e5 bollen i korgen p\u00e5 ett kast. En basketspelare som \u00e4r 2\nmeter l\u00e5ng kastar ett straffkast. Bollen l\u00e4mnar spelaren 2 meter\n\u00f6ver marken och han tr\u00e4ffar korgen. Bollen n\u00e5r sin maxh\u00f6jd efter\natt den f\u00e4rdats 3,6 meter l\u00e4ngst med marken. Hur h\u00f6gt blev\nkastet? Anta att kastet kan beskrivas som en andragradsfunktion. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.05.21.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `3,08 meter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p18\"\n },\n {\n fraga: `Richterskalan \u00e4r ett s\u00e4tt att m\u00e4ta hur kraftig en\njordb\u00e4vning \u00e4r. Forskaren Richter formulerade f\u00f6ljande\nmodell: \\\$M=\\\\frac{2}{3}(lgE-K)\\\$ d\u00e4r \ud835\udc40 \u00e4r magnituden och \ud835\udc38 \u00e4r\nenergin som frig\u00f6rs samt \ud835\udc3e \u00e4r en konstant. L\u00f6s ut \ud835\udc38 ur\nformeln.. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.52.58.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$E=10^{\\\\frac{3}{2}M+K}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-160751.png\">`,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p19\"\n },\n {\n fraga: `Antalet elbilar har \u00f6kat exponentiellt i Sverige under de senaste\n\u00e5ren. Hemsidan Alltomelbil.se publicerar statistik kring antalet\nelbilar i Sverige. 2016 fanns det 10 000 elbilar i Sverige och\n2024 fanns det 400 000 elbilar.\nAlltomelbil.se menar att Sverige kommer ha mer \u00e4n 1 miljon\nelbilar redan 2026 om exponentiella trenden forts\u00e4tter.\nUnders\u00f6k om Alltomelbil.se har r\u00e4tt i sin prognos. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.28.30.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Prognosen st\u00e4mmer. Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.29.42.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p20\"\n },\n {\n fraga: `Nedan visas ett framtida byggnadsprojekt i St. Petersburg. Byggnadens \u00f6vre del g\u00e5r att\nbeskriva med en andragradsfunktion \u210e(\ud835\udc65). Enligt arkitekten ska byggnaden vara 200\nmeter bred och man har placerat ut n\u00e5gra m\u00e5tt f\u00f6r byggnaden nedan. Den l\u00e4gsta\npunkten p\u00e5 den \u00f6vre b\u00e5gen ligger 100 m \u00f6ver marken. Best\u00e4m byggnadens h\u00f6gsta\npunkt. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.32.11.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `238,8 meter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.32.49.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p21\"\n },\n {\n fraga: `Den 1 mars 2025 b\u00f6rjade aktien f\u00f6r Matematikhuset AB att sjunka. Efter 13 dagar n\u00e5dde den sin l\u00e4gsta notering med 70% av v\u00e4rdet fr\u00e5n 1 mars 2025. Den ansvariga ekonomen p\u00e5 f\u00f6retaget meddelar att v\u00e4rdef\u00f6r\u00e4ndringen f\u00f6rv\u00e4ntas f\u00f6lja en andragradsfunktion \ud835\udc49(\ud835\udc65) d\u00e4r \ud835\udc65 \u00e4r antalet dagar fr\u00e5n 1 mars och \ud835\udc49(\ud835\udc65) visar hur m\u00e5nga procent aktien har g\u00e5tt upp eller ner.<\/p> Ekonomen menar att ingen i f\u00f6retaget beh\u00f6ver vara orolig eftersom v\u00e4rdet till och med f\u00f6rv\u00e4ntas ha \u00f6kat med mer \u00e4n 20% den 31 mars enligt funktionen \ud835\udc49(\ud835\udc65). Unders\u00f6k om ekonomen har r\u00e4tt om vi antar att v\u00e4rdeutvecklingen f\u00f6ljer en andragradsfunktion. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-17.59.09.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Den har \u00f6kat med ungef\u00e4r 27%.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p22\"\n },\n {\n fraga: `Gateway Arch \u00e4r ett ber\u00f6mt monument i Saint\nLouis, USA. Konstruktionen \u00e4r 192 meter h\u00f6g och 192 meter\nbred vid basen.<\/p>\nMan kan modellera Gateway archs h\u00f6jd med hj\u00e4lp\nav en andragradsfunktion.\nDen funktionen g\u00e5r att skriva som \\\$h(x)=-0,0208x^2+bx\\\$ d\u00e4r x \u00e4r meter l\u00e4ngst med marken. Best\u00e4m konstanten \\\$b\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-21.22.06.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$b=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p23\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har bytt jobb och \u00e4r numera potatisodlare\ni Peru och ska s\u00e4lja hela sitt f\u00f6rr\u00e5d med potatis.\nHan har den h\u00e4r veckan 150 ton potatis i sitt\nf\u00f6rr\u00e5d och resonerar kring hur han kan\nmaximera sin vinst p\u00e5 potatisf\u00f6rs\u00e4ljningen. Idag\nkan han s\u00e4lja potatisen f\u00f6r 920 kr\/ton och han\nvet att priset p\u00e5 potatis kommer g\u00e5 upp med\n40kr\/vecka. Samtidigt vet Joakim av erfarenhet\natt hans potatis i f\u00f6rr\u00e5det blir s\u00e4mre desto mer\ntiden g\u00e5r vilket resulterar i att 2,5 ton potatis blir\nos\u00e4ljbar varje vecka. Hur l\u00e4nge ska han v\u00e4nta\ninnan han s\u00e4ljer sin potatis f\u00f6r att maximera\nvinsten? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.13.50.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `18,5 veckor f\u00e5r han maximal vinst.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p24\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har ett 10 meter l\u00e5ngt sn\u00f6re. Av det sn\u00f6ret ska han klippa s\u00f6nder det och av de\ntv\u00e5 bitarna ska han skapa en cirkel och en kvadrat. Dessa tv\u00e5 geometriska figurer\nkommer sedan ha en sammanlagd area (arean av cirkeln adderat med arean f\u00f6r\nkvadraten). Hur ska Joakim klippa sn\u00f6ret f\u00f6r att den sammanlagda arean ska bli s\u00e5\nliten som m\u00f6jligt? `,\n svar: `Han ska klippa s\u00e5 att 5,6 cm g\u00e5r till kvadraten och 4,4 cm till cirkeln.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p25\"\n },\n {\n fraga: `Joakim vill f\u00f6rb\u00e4ttra tiden han springer en km p\u00e5.\nJust nu springer han p\u00e5 6 minuter och enligt hans\nprognos kommer hans km-tid \ud835\udc47(\ud835\udc61) minska efter \ud835\udc61\ntr\u00e4ningstimmar enligt funktionen <\/p> \\\$T(t)=6-0,73\\\\cdot lg(t+1)\\\$ <\/p> Joakim vill veta hur m\u00e5nga tr\u00e4ningstimmar han m\u00e5ste\nl\u00e4gga ner f\u00f6r att f\u00e5 ner sin km-tid till 4 minuter. Hj\u00e4lp\nhonom best\u00e4mma det.`,\n svar: `Ungef\u00e4r 548 timmar.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p26\"\n },\n {\n fraga: `Joakim ska sparka en fotboll s\u00e5 l\u00e5ngt som han kan. Bollen g\u00e5r som en parabel och g\u00e5r\natt beskriva med funktionen \\\$h(x)=-0,1x^2+1,5x\\\$ d\u00e4r \u210e(\ud835\udc65) \u00e4r h\u00f6jden och \ud835\udc65 \u00e4r hur\nl\u00e5ngt bollen f\u00e4rdats. Best\u00e4m bollen h\u00f6gsta h\u00f6jd och hur l\u00e5ngt bollen kommer n\u00e4r den\nn\u00e5r marken efter sparken`,\n svar: `Bollen n\u00e5r 15 meter och h\u00f6jden \u00e4r 5,63 meter.`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p27\"\n },\n {\n fraga: `Under Vasaloppet finns det ett antal stationer som man kan stanna p\u00e5 och f\u00e5 lite v\u00e4tska\noch bullar. Tv\u00e5 av dessa \u00e4r M\u00e5ngsbodarna och Risberg. H\u00f6jdprofilen (Hur m\u00e5nga\nmeter man \u00e4r \u00f6ver havet) mellan M\u00e5ngsbodarna och Risberg g\u00e5r att beskriva med en\nandragradsfunktion \u210e(\ud835\udc65), d\u00e4r \u210e(\ud835\udc65) \u00e4r h\u00f6jden \u00f6ver havet i meter och \ud835\udc65 \u00e4r antalet km\nfr\u00e5n M\u00e5ngsbodarna.<\/p>\nM\u00e5ngsbodarna ligger 410 meter \u00f6ver havet och man m\u00e5ste \u00e5ka 8 km f\u00f6r att komma\ntillbaka till samma h\u00f6jd. Den l\u00e4gsta punkten mellan M\u00e5ngsbodarna och Risberg ligger\np\u00e5 300 meter \u00f6ver havet. Best\u00e4m h\u00f6jden p\u00e5 den h\u00f6gsta punkten mellan M\u00e5ngsbodarna\noch Risberg som ligger 9 km fr\u00e5n M\u00e5ngsbodarna. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.18.40.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `471,9 meter \u00f6ver havet.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-06-kl.-20.21.05.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p28\"\n },\n {\n fraga: `Hicks lag \u00e4r en lag inom psykologin som visar p\u00e5 hur l\u00e5ng tid det tar f\u00f6r oss att ta ett\nbeslut beroende p\u00e5 hur m\u00e5nga alternativ vi har. Hicks lag f\u00f6r enklare beslut g\u00e5r att\nbeskriva p\u00e5 f\u00f6ljande s\u00e4tt<\/p> \\\$R=7,68\\\\cdot lg(n)\\\$<\/p> d\u00e4r \ud835\udc45 \u00e4r tiden i sekunder det tar f\u00f6r att ta ett beslut och \ud835\udc5b \u00e4r antalet valbara m\u00f6jligheter.\nBest\u00e4m hur m\u00e5nga valalternativ man har om ens beslutstid \u00e4r 10 sekunder. `,\n svar: `20 valalternativ`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p29\"\n },\n {\n fraga: `Joakim ska h\u00e4gna in en rektangul\u00e4r hage intill en rak bergv\u00e4gg, vilket betyder att han\nbara beh\u00f6ver st\u00e4ngsel p\u00e5 tre sidor. Han har totalt 100 meter st\u00e4ngsel. Vilken \u00e4r den\nmaximala arean som den rektangul\u00e4ra hagen kan ha?`,\n svar: `1250 kvadratmeter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-170732.png\">`,\n digital: true ,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p30\"\n },\n {\n fraga: `Joakim ska inh\u00e4ngna ett omr\u00e5de till en uteg\u00e5rd med tv\u00e5 delar f\u00f6r sina h\u00f6nor. Han har\nk\u00f6pt 24 m st\u00e4ngsel och vill bygga en uteg\u00e5rd enligt figuren nedan. Hela ena sidan\nutg\u00f6rs av sj\u00e4lva h\u00f6nshuset och beh\u00f6ver inte ha staket. Vilka m\u00e5tt ska omr\u00e5det ha f\u00f6r att man ska maximera arean? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmavbild-2026-03-21-kl.-06.54.28.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `4x12 meter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-170758.png\">`,\n digital: true ,\n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p31\"\n },\n {\n fraga: `Den afrikanska skogselefanten har minskat i antal v\u00e4ldigt mycket under de senaste 20 \u00e5ren. Fr\u00e5n 2006 till 2026 har de minskat med 81% till stor del p\u00e5 grund av tjuvjakt. Vilket \u00e5r ber\u00e4knar man att det bara finns 10% kvar av 2006 \u00e5rs population. Anta att minskningen \u00e4r exponentiell. `,\n svar: `2034`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p32\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en exponentiell funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=C \\\\cdot a^x\\\$ vet du att <\/p> \\\$f(1)=20\\\$ <\/p> \\\$f(lg5)=10\\\$ <\/p> Best\u00e4m heltals-konstanterna \\\$C\\\$ och \\\$a\\\$`,\n svar: `\\\$C=2\\\$ och \\\$a=10\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p33\"\n },\n {\n fraga: ` \tR\u00e5ttpopulationen har \u00f6kat exponentiellt i Lund. Forskarna Joakim och hans kompis Pelle har f\u00f6rs\u00f6kt uppskatta hur populationerna f\u00f6r\u00e4ndras. <\/p> \n\nJoakims modell: \\\$r(x)=20000\\\\cdot 1,019^x\\\$ d\u00e4r \\\$r(x)\\\$ \u00e4r antalet r\u00e5ttor och \\\$x\\\$ \u00e4r antalet dagar fr\u00e5n 10 februari<\/b> <\/p> \n\nPelles modell: \\\$R(t)=25000\\\\cdot 1,01^t\\\$ d\u00e4r \\\$R(t)\\\$ \u00e4r antalet r\u00e5ttor och \\\$t\\\$ \u00e4r antalet dagar fr\u00e5n 17 februari<\/b> <\/p>\n\nEfter hur m\u00e5nga dagar fr\u00e5n 10 februari<\/b> visar modellerna p\u00e5 samma antal r\u00e5ttor i Lund? \n`,\n svar: `Ungef\u00e4r 17 dagar`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true, \n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p34\"\n },\n {\n fraga: `Ett f\u00f6rem\u00e5l kastas fr\u00e5n en 20 meters h\u00f6g byggnad. Hur m\u00e5nga meter \u00f6ver marken f\u00f6rem\u00e5let \u00e4r g\u00e5r att beskriva med funktionen <\/p> \\\$h(t)=20+8t-4,9t^2\\\$ <\/p> d\u00e4r \\\$t\\\$ \u00e4r tiden i sekunder. <\/p> \n\na) Efter hur m\u00e5nga sekunder tar det f\u00f6r f\u00f6rem\u00e5let att n\u00e5 marken? <\/p>\n\nb) Vilken \u00e4r f\u00f6rem\u00e5lets h\u00f6gsta h\u00f6jd? \n\n`,\n svar: `a) 3 sekunder b) 23,27 meter`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p35\"\n },\n {\n fraga: ` \tEn simhoppare hoppar fr\u00e5n 10-meterssvikten. H\u00f6jden \u00f6ver vattenytan kan beskrivas som <\/p> \n\\\$h(t)=10+2t-4,9t^2\\\$ <\/p>\n d\u00e4r \\\$h(t)\\\$ \u00e4r h\u00f6jden \u00f6ver vattenytan och \\\$t\\\$ \u00e4r tiden i sekunder. <\/p>\n a) Efter hur l\u00e5ng tid bryter simhopparen vattenytan? <\/p>\n b) Vilken \u00e4r den h\u00f6gsta h\u00f6jden simhopparen n\u00e5r under hoppet?\n`,\n svar: `a) 1,65 sekunder b) 10,2 meter`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p36\"\n },\n {\n fraga: ` En fyrverkeripj\u00e4s skickas upp i luften fr\u00e5n marken. pj\u00e4sens bana g\u00e5r att beskriva med funktionen \\\$h(x)=-4,9t^2+50t\\\$ <\/p> d\u00e4r \\\$h(t)\\\$ \u00e4r h\u00f6jden p\u00e5 pj\u00e4sen i meter och \\\$t\\\$ \u00e4r tiden i sekunder. Hur h\u00f6gt upp n\u00e5r fyrverkeripj\u00e4sen, svara med en decimal.`,\n svar: `127,6 meter`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"problemandra\"],\n kod: \"p37\"\n },\n {\n fraga: `Ett smittsamt virus sprids i den lilla staden Joakimk\u00f6ping. Den 1 april 2026 uppt\u00e4ckte man 10 personer som bar p\u00e5 viruset. Den 10 april var det personer 90 personer som bar p\u00e5 viruset. Om man antar att \u00f6kningen \u00e4r exponentiell, efter hur m\u00e5nga dagar b\u00e4r 200 personer p\u00e5 viruset? `,\n svar: `Ungef\u00e4r 12 dagar`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p38\"\n },\n{\n fraga: `Joakim \u00e4r biolog och unders\u00f6ker olika populationers tillv\u00e4xt. Djuren Spykantilop har minskat mycket de senaste \u00e5ren. Man r\u00e4knar med att 2010 fanns det 35 000 Spykantiloper i v\u00e4rlden. 2020 hade de minskat till 23 000. <\/p> \n\na)\tOm man antar att f\u00f6r\u00e4ndringen \u00e4r exponentiell samt att f\u00f6r\u00e4ndringen forts\u00e4tter i samma takt. Vilket \u00e5r f\u00f6rv\u00e4ntas Spykantilopens population vara enbart 15 000? <\/p>\n\nb)\tEn annan djurart \u00e4r Spyklejonet. Det lejonet v\u00e4xer ist\u00e4llet exponentiellt. 2015 fanns det 17 000 och 2020 fanns det 20 000. Vilket \u00e5r f\u00f6rv\u00e4ntas antalet Spykantiloper och Spyklejon vara lika m\u00e5nga? \n`,\n svar: `a) Ungef\u00e4r 2030 b) Ungef\u00e4r 2021`,\n niva: \"A\",\n poang: [1,2,2],\n digital: true, \n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p39\"\n },\n{\n fraga: ` F\u00f6ljande funktion beskriver hur l\u00e5ng tid det tar att ladda en mobiltelefon fr\u00e5n att batteriet n\u00e5tt 50% <\/p> \\\$y=35\\\\cdot lg(x-49\\\$) <\/p> \nd\u00e4r \\\$x\\\$ \u00e4r batteriniv\u00e5n i procent och \ud835\udc66 \u00e4r hur m\u00e5nga minuter som g\u00e5tt fr\u00e5n att batteriet \u00e4r 50%. Vad \u00e4r batteriniv\u00e5n efter 45 minuter laddning. L\u00f6s uppgiften algebraiskt utan referering till geogebra. `,\n svar: `68,3%`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"problemlogaritm\"],\n kod: \"p40\"\n },\n\n\n ],\n\n geometri: [\n {\n fraga: `Best\u00e4m vinklarn \\\$x\\\$ och \\\$y\\\$ om du vet att O \u00e4r mittpunkten f\u00f6r cirkeln. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-18.49.39.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$x=70^\\\\circ\\\$ och \\\$y=20^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g1\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vinklarna \\\$x\\\$ och \\\$y\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.58.22.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$x=45^\\\\circ\\\$ och \\\$y=90^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g2\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vinkeln \\\$W\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-20.08.22.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$W=120^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g3\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m str\u00e4ckan \\\$x\\\$ om du vet att AB \u00e4r en parallelltransversal. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-20.14.08.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$x=10\\\$ l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true, \n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-20.16.21.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g4\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vinkeln \\\$V\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-20.11.49.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$V=120^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g5\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en triangel ABC dras en parallelltransversal vilket skapar en topptriangel BDE. Du vet att\nstr\u00e4ckan AC 10 cm, str\u00e4ckan DE 6 cm och str\u00e4ckan AB \u00e4r 12 cm. Best\u00e4m str\u00e4ckan DB.`,\n svar: `DB=7,2`,\n niva: \"E\",\n digital: true,\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g6\"\n },\n {\n fraga: `En r\u00e4tvinklig triangel \u00e4r den ena kateten en cm l\u00e4ngre \u00e4n den andra. Hypotenusan \u00e4r 5 cm.\nBest\u00e4m arean av triangeln. .`,\n svar: `Arean \u00e4r 6 `,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g7\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vinkeln \\\$V\\\$ om \\\$DF=DG\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-20.22.58.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$V=60^\\\\circ\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-20.24.27.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g8\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en utmarkerad str\u00e4cka AB samt 4 identiska kvadrater. Om\nstr\u00e4ckan AB \u00e4r \\\$\\\\sqrt{52}\\\$ l\u00e4ngdenheter. Best\u00e4m d\u00e5 sidl\u00e4ngden p\u00e5 en kvadrat. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-20.28.03.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Sidl\u00e4ngden \u00e4r 2 l\u00e4ngdenheter.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-20.27.56.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g9\"\n },\n {\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande samband st\u00e4mmer f\u00f6r figuren nedan \ud835\udc34 + \ud835\udc35 + \ud835\udc36 = \ud835\udc37.\nPunkten i mitten \u00e4r medelpunkten f\u00f6r cirkeln. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-20.03.33.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-20.05.23.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g10\"\n },\n {\n fraga: `Triangeln ABC \u00e4r r\u00e4tvinklig visa att \\\$v+w=270^\\\\circ\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.28.13.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.30.08.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g11\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m omkretsen f\u00f6r triangeln ABC. Figuren \u00e4r ej skalenligt ritad. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.44.29-1.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Omkretsen \u00e4r 31,94 l.e`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.45.01.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g12\"\n },\n { fraga: `Du vet att str\u00e4ckan \ud835\udc34\ud835\udc36 \u00e4r parallell med \ud835\udc37\ud835\udc38. Du vet ocks\u00e5 att \ud835\udc35\ud835\udc37 = 2, \ud835\udc36\ud835\udc38 = 3,5 samt\natt \ud835\udc34\ud835\udc37 = \ud835\udc35\ud835\udc38. Best\u00e4m str\u00e4ckan \ud835\udc34\ud835\udc37.\n\n\n<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.44.04.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `AD=\\\$\\\\sqrt{7}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g13\"\n },\n {\n fraga: `I figuren nedan vet du att vinkeln D \u00e4r 30 grader. Best\u00e4m d\u00e5 vinkel A. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.31.49.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `A \u00e4r 60 grader.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g14\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vinkeln V. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.34.10.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `V \u00e4r 140 grader.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g15\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m det kortaste avst\u00e5ndet mellan origo och den r\u00e4ta linjen \\\$y=10-2x\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\sqrt{20}\\\$ l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g16\"\n },\n {\n fraga: `Pythagoras sats \u00e4r ett samband i matematiken som har ett stort antal bevis. Den tyske matematikern Gottfried Leibnitz publicerade p\u00e5 1600-talet ett bevis f\u00f6r Pythagoras\n\nsats d\u00e4r han anv\u00e4nde skissen i en cirkel nedan. Han anv\u00e4nde sedan en eller flera satser f\u00f6r cirklar och str\u00e4ckor som vi l\u00e4rt oss i kursen Matematik 2c. Slutf\u00f6r Leibnitz bevis.. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/ChatGPT-Image-10-juni-2026-14_58_22-1.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Anv\u00e4nd kordasatsen f\u00f6r att slutf\u00f6ra beviset.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-170608.png\">`,\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g17\"\n },\n {\n fraga: `Visa att \\\$A+B=180^{\\\\circ}\\\$ genom att anv\u00e4nda randvinkelsatsen. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.12.27.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar:`Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.19.11.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g18\"\n},\n {\n fraga: `Den gamla presidenten J.A Garfield presenterade p\u00e5 1800-talet ett bevis f\u00f6r Pytagoras\nsats. Han ritade f\u00f6ljande bild. Anv\u00e4nd skissen f\u00f6r att bevisa Pythagoras sats. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.13.08.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar:`Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-19.23.30.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g19\"\n},\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett samband mellan \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ . <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-18.56.58.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$b=2a\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g20\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m radien i cirkeln. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-31-072119.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `radie\\\$=5\\\$ cm`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g21\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4tvinklig triangel vet du att hypotenusan \u00e4r 25 cm. Om du \u00f6kar l\u00e4ngden p\u00e5 den ena kateten med 8 cm samtidigt som du minskar sidl\u00e4ngden p\u00e5 den andra kateten med 4 cm kommer hypotenusans l\u00e4ngd best\u00e5 allts\u00e5 vara 25 cm. Best\u00e4m kateternas ursprungliga l\u00e4ngd.`,\n svar: `7 cm och 24 cm.`,\n niva: \"A\",\n digital: true,\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-25-163302.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g22\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4tvinklig triangel vet du att omkretsen \u00e4r 60 cm och arean \u00e4r \\\$120 cm^2\\\$. Best\u00e4m samtliga sidl\u00e4ngder f\u00f6r den r\u00e4tvinkliga triangeln.`,\n svar: `10 cm, 24 cm, 26 cm.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true, \n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g23\"\n }, \n {\n fraga: `Nedan ser du en cirkel med mittpunkt \ud835\udc40. Visa att str\u00e4ckan \ud835\udc34\ud835\udc35 \u00e4r lika l\u00e5ng som radien\ni cirkeln.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmavbild-2026-03-21-kl.-07.13.09.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Dra radier till punkterna A och B och analysera sedan trianglarna som uppst\u00e5r.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-170622.png\">`,\n underkategori: [\"strackor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g24\"\n }, \n {\n fraga: `Om \\\$M\\\$ \u00e4r mittpunkten i cirkeln. Best\u00e4m d\u00e5 vinkeln \\\$V\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-01-114117.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$V=120^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g25\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m radien i cirkeln. Svara med tv\u00e5 decimaler. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-18-065808.png\">`,\n svar: `\\\$r=7,04 l.e\\\$`,\n niva: \"A\",\n digital: true,\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-18-070012.png\">`,\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g34\"\n }, \n {\n fraga: `\tStr\u00e4ckorna \\\$AB\\\$ och \\\$CD\\\$ \u00e4r \nparallella. Best\u00e4m str\u00e4ckan \\\$x\\\$\n. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-06-150405.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$x=3,84\\\$ l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"C\",\n digital: true,\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g26\"\n }, \n {\n fraga: `\tNedan ser du en figur. Du vet att \\\$AD=8\\\$ l.e och \\\$BE=5\\\$ l.e. Best\u00e4m omkretsen i triangeln \\\$CDE\\\$.\n. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-07-152717.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `16 l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-08-170659.png\">`,\n underkategori: [\"strackor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g27\"\n }, \n {\n fraga: `Best\u00e4m arean av rektangeln \\\$R\\\$.\n. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-15-161345.png\">`,\n svar: `21 areanenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"strackor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g28\"\n }, \n {\n fraga: `Best\u00e4m str\u00e4ckan \\\$x\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-14-091540.png\">`,\n svar: `\\\$x=12,5\\\$ cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"strackor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g29\"\n }, \n {\n fraga: `Best\u00e4m str\u00e4ckan \\\$x\\\$ om du vet att \\\$AB\\\$ och \\\$CD\\\$ \u00e4r paralella <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-14-090139.png\">`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{9}{4}\\\$ cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"strackor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g30\"\n }, \n {\n fraga: `Str\u00e4ckan \\\$AB\\\$ \u00e4r diametern i cirkeln. Best\u00e4m vinkeln \\\$x\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-14-093048.png\">`,\n svar: `\\\$x=29^{\\\\circ}\\\$ `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g31\"\n },\n {\n fraga: `Str\u00e4ckan \\\$BC\\\$ \u00e4r 16 cm. Best\u00e4m str\u00e4ckan \\\$AD\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-14-073613.png\">`,\n svar: `\\\$AD=20\\\$ cm `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g32\"\n },\n {\n fraga: `\tTv\u00e5 r\u00e4ta linjen tangerar en cirkel i punkterna \\\$A\\\$ och \\\$B\\\$. Att en linje tangerar n\u00e5got inneb\u00e4r att den sk\u00e4r objektet i en punkt. De r\u00e4ta linjerna sk\u00e4r sedan varandra i en punkt \\\$P\\\$. Visa att \\\$AP=BP\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-14-071323.png\">`,\n svar: `Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-15-123813.png\">`,\n underkategori: [\"strackor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g33\"\n },\n {\n fraga: `Str\u00e4ckan \\\$AC=6\\\$ l\u00e4ngdenheter och \\\$AB\\\$ \u00e4r diametern i cirkeln. Best\u00e4m radien i cirkeln. Svara exakt. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-17-114255.png\">`,\n svar: `\\\$r=\\\\frac{25}{3}\\\$ l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g35\"\n }, \n {\n fraga: `Best\u00e4m radien i cirkeln. Svara med tv\u00e5 decimaler. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-17-115000.png\">`,\n svar: `\\\$r=7,04\\\$ l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true, \n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g36\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m str\u00e4ckan \\\$x\\\$. Samtliga str\u00e4ckor i i cm. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-17-162400.png\">`,\n svar: `\\\$x=23\\\$ cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"str\u00e4ckor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g37\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vinkeln \\\$V\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-22-065347.png\">`,\n svar: `\\\$V=125^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g37\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en r\u00e4tvinklig triangel vet du att hypotenusan \u00e4r 41 cm samt att kateternas l\u00e4ngd summeras till 49 cm. Best\u00e4m l\u00e4ngden p\u00e5 den kortaste kateten. `,\n svar: `9 cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g38\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$x\\\$ i triangeln \\\$B\\\$. Trianglarna \u00e4r likformiga. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-21-195619.png\">`,\n svar: `30 cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g39\"\n }, \n{\n fraga: `Nedan ser du en triangel \\\$ABC\\\$ inskriven i en cirkel med mittpunkt M. Str\u00e4ckan \\\$AC\\\$ \u00e4r diametern i cirkeln. Triangelns area \u00e4r \\\$2\\\\sqrt3\\\$ areaenheter. Best\u00e4m l\u00e4ngden p\u00e5 radien i cirkeln. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-22-065326.png\">`,\n svar: `2 l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"strackor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g40\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r en triangel \\\$ABC\\\$ dras en parallelltransversal till basen \\\$AC\\\$ som sk\u00e4r i triangeln i punkterna \\\$D\\\$ och \\\$E\\\$. Du vet att str\u00e4ckan \\\$AD=3\\\$ cm, \\\$BD=CE\\\$, samt att \\\$BE\\\$ \u00e4r 6 cm l\u00e4ngre \u00e4n \\\$CE\\\$. Best\u00e4m l\u00e4ngden p\u00e5 \\\$BD\\\$`,\n svar: `\\\$BD=6\\\$ cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"strackor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g41\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r cirkeln nedan vet du att \\\$A\\\$ \u00e4r mittpunkten i cirkeln. Best\u00e4m str\u00e4ckan \\\$AB\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-23-092410.png\">`,\n svar: `\\\$AB=3\\\$ l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"strackor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g42\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vinkeln \\\$x\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-23-092926.png\">`,\n svar: `\\\$x=30^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g43\"\n },\n {\n fraga: `Rektangeln \u00e4r 45 \\\$cm^2\\\$. Best\u00e4m omkretsen f\u00f6r samma rektangel. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-20-132549.png\">`,\n svar: `36 cm`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"vinklar\", \"strackor\"],\n kod: \"g44\"\n },\n {\n fraga: `\\\$M\\\$ \u00e4r mittpunkten i cirkeln. Best\u00e4m vinkeln \\\$v\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-29-114221.png\">`,\n svar: `\\\$v=122^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"vinklar\"],\n kod: \"g45\"\n },\n {\n fraga: `I en liksidig triangeln med sidl\u00e4ngden 1 l\u00e4ngdenhet placeras en rektangel med basen mot en av sidorna (se bild nedan). Best\u00e4m den st\u00f6rsta m\u00f6jliga arean en s\u00e5dan rektangel kan ha. Svara exakt. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/Skarmbild-2026-04-29-102725.png\">`,\n svar: `\\\$\\\\frac{\\\\sqrt{3}}{8}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g46\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du tre cirklar som tangerar varandra. Du vet att str\u00e4ckan \\\$AC=13\\\$ l.e samt radien f\u00f6r cirkeln med mittpunkt \\\$C\\\$ \u00e4r 2 l\u00e4ngdenheter och radien f\u00f6r cirkeln med mittpunkt \u00e4r 9 l\u00e4ngdenheter. Best\u00e4m radien i cirkeln med mittpunkt \\\$B\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Skarmbild-2026-05-05-090548.png\">`,\n svar: `Radien \u00e4r 3 l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true, \n underkategori: [\"strackor\"],\n kod: \"g47\"\n },\n {\n fraga: `Str\u00e4ckan \\\$AB\\\$ \u00e4r diametern i cirkeln. Str\u00e4ckan \\\$AC=12\\\$ l.e samt att str\u00e4ckan \\\$CD=3,5\\\$ l.e. Best\u00e4m radien i cirkeln om \\\$M\\\$ \u00e4r mittpunkten i cirkeln. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Skarmbild-2026-05-05-110254.png\">`,\n svar: `Radien \u00e4r 10 l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true, \n underkategori: [\"strackor\", \"vinklar\"],\n kod: \"g48\"\n },\n ],\n\n statistik: [\n {\n fraga: `F\u00f6r att komma in p\u00e5 det prestigefyllda universitetet Joakimvard kan man g\u00f6ra ett\nintr\u00e4desprov i matematik. \u00c5r 2023 skrev 10 000 personer provet. Medelv\u00e4rdet f\u00f6r alla\nsom skrev var 600 po\u00e4ng. Standardavvikelsen f\u00f6r provresultatet var 59 po\u00e4ng. F\u00f6r att\nkomma in p\u00e5 universitetet kr\u00e4vs 750 po\u00e4ng. Hur m\u00e5nga personer kom in p\u00e5\nuniversitetet 2023? Anta att provresultatet \u00e4r normalf\u00f6rdelat.`,\n svar: `Ungef\u00e4r 55 personer kommer in. Tips: Anv\u00e4nd geogebra och sannolikhetsf\u00f6rdelningen.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s1\"\n },\n {\n fraga: ` Observera det normalf\u00f6rdelade materialet nedan i Geogebra. <\/p> a) Best\u00e4m standardavvikelsen f\u00f6r materialet<\/p> b) Hur stor andel av materialet ligger under 14?.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-07-142111.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a) 2 b) 2,3%`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s2\"\n },\n {\n fraga: ` Observera l\u00e5dagrammet nedan. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) Medianen <\/p> b) Variationsbredden <\/p> c) Kvartilavst\u00e5ndet .<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-07-141258.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a) 15 b) 11 c) 8 `,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0]\n ,\n underkategori: [\"ladagram\"],\n kod: \"s3\"\n },\n {\n fraga: `Observera statistisken nedan. Konstruera ett l\u00e5dagram fr\u00e5n informationen. .<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-08-kl.-06.44.42.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Se losningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n losningsf\u00f6rslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-08-kl.-07.01.44.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">` ,\n underkategori: [\"ladagram\"],\n kod: \"s4\"\n },\n {\n fraga: `I sj\u00f6n Joakimsj\u00f6n finns det massor med fiskar. Man r\u00e4knar med att det finns 10 000\nfiskar i sj\u00f6n och att vikten p\u00e5 fiskarna \u00e4r normalf\u00f6rdelade. En fiskare menar att\nmedelvikten p\u00e5 fisken \u00e4r 2 kg och att standardavvikelsen \u00e4r 1,5 kg. Hur m\u00e5nga fiskar i\nsj\u00f6n \u00e4r st\u00f6rre \u00e4n 5 kg om man antar att fiskarna \u00e4r normalf\u00f6rdelade? `,\n svar: `230`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s5\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en normalf\u00f6rdelningskurva. F\u00f6rklara vad som kommer ske med kurvan om <\/p> a) Medelv\u00e4rdet minskar med standardavvikelsen \u00e4r samma <\/p> b) Medelv\u00e4rdet \u00e4r samma med standardavvikelsen \u00f6kar. .<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-08-kl.-07.06.32.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a) Den kommer flyttas till v\u00e4nster men ha samma form. b) Den kommer dras is\u00e4r och bli bredare. `,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s6\"\n },\n {\n fraga: `Ett normalf\u00f6rdelat material ska representeras som ett l\u00e5dagram. Best\u00e4m vilket\/vilka av\nf\u00f6ljande l\u00e5dagram kan representera ett normalf\u00f6rdelat material med en motivering.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-07.57.37.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `A) \u00e4r korrekt. `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s7\"\n },\n{\n fraga: `Joakim och hans kompis Pelle st\u00e5r och diskuterar ett normalf\u00f6rdelat\nmaterial med medelv\u00e4rdet 20 meter och standardavvikelsen 5 meter.\nJoakim p\u00e5st\u00e5r att vi kan veta att 15,9% av materialet kommer ligga \u00f6ver\n25 meter. Visa med n\u00e5got matematiskt argument att Joakim har r\u00e4tt. `,\n svar: `Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-07-140813.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s8\"\n },\n{\n fraga: `I ett normalf\u00f6rdelat material \u00e4r \ud835\udf07 12 cm och \ud835\udf0e 3 cm.<\/p> \na) Hur m\u00e5nga procent av m\u00e4tdatan \u00e4r st\u00f6rre \u00e4n 18 cm? <\/p>\nb) Hur m\u00e5nga procent av m\u00e4tdatan \u00e4r mindre \u00e4n 9 cm?`,\n svar: `a) 2,3% b) 15,9%`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s9\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har planterat torskar i en sj\u00f6 och unders\u00f6ker nu 4 generationer av torskar.\nTorskarnas vikt \u00e4r normalf\u00f6rdelade och varje generation visas med en\nnormalf\u00f6rdelningskurva nedan. Vad har h\u00e4nt skett fr\u00e5n den f\u00f6rsta och den sista\ngenerationen utifr\u00e5n normalf\u00f6rdelningen? Inkludera begreppen f\u00f6r normalf\u00f6rdelning.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-08.49.23.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Medelv\u00e4rdet och standardavvikelsen minskade f\u00f6r varje generation. `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s10\"\n },\n {\n fraga: `Flynn-effekten \u00e4r ett fenomen som visar p\u00e5 att m\u00e4nsklighetens IQ g\u00e5r upp\u00e5t med tiden.\nMan har sett att v\u00e5r genomsnittliga IQ har \u00f6kat linj\u00e4rt med 17 po\u00e4ng mellan 1950 och\n2000. Om vi antar att IQ i normalf\u00f6rdelat, medelv\u00e4rdet var 100 po\u00e4ng 1950 samt att\nstandardavvikelsen \u00e4r 15 po\u00e4ng. Vilket \u00e5r kommer de 2,3% fr\u00e5n 1950 med h\u00f6gst IQ\nvara medel enligt Flynn-effekten?`,\n svar: `2038`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-08.44.48.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s11\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har f\u00f6rt statistik \u00f6ver hur h\u00f6ga tr\u00e4d \u00e4r i hans favoritskog. H\u00f6jden p\u00e5 tr\u00e4den \u00e4r\nnormalf\u00f6rdelade och Joakim kunde notera att 2010 var de 2,3% st\u00f6rsta tr\u00e4den 70\nmeter eller mer. Sedan har Joakim noterat medelv\u00e4rdet f\u00f6r tr\u00e4den har minskat med 3%\nvarje \u00e5r samtidigt som standardavvikelsen minskat med 4% varje \u00e5r. 2020 var de 2,3%\nst\u00f6rsta tr\u00e4den 50 meter eller mer. Best\u00e4m medelv\u00e4rdet och standardavvikelsen f\u00f6r\ntr\u00e4den 2010. `,\n svar: `Medelv\u00e4rdet \u00e4r 47,68 meter och standardavvikelsen \u00e4r 11,15 meter.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s12\"\n },\n {\n fraga: `Ett normalf\u00f6rdelat material med vikt \u00e4r standardavvikelsen 20% av medelv\u00e4rdet. Det\n2,3% tyngsta delen av materialet v\u00e4ger 40 kg. Best\u00e4m medelv\u00e4rdet och\nstandardavvikelsen f\u00f6r materialet.`,\n svar: `Standardavvikelsen \u00e4r 5,7 kg och Medelv\u00e4rdet \u00e4r 28,57 kg`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s13\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r ett normalf\u00f6rdelat material \u00e4r 50% av materialet st\u00f6rre \u00e4n 20 cm och 50% av\nmaterialet \u00e4r mindre \u00e4n 20 cm. Ungef\u00e4r 2,3% \u00e4r ocks\u00e5 mindre \u00e4n 14 cm. Best\u00e4m hur\nm\u00e5nga procent av m\u00e4tdatan som \u00e4r st\u00f6rre \u00e4n 23 cm`,\n svar: `15,9%`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s14\"\n },\n {\n fraga: `Ett f\u00f6retag tillverkar matl\u00e5dor f\u00f6r studenter. Matl\u00e5dorna vikt \u00e4r normalf\u00f6rdelade och\nhar standardavvikeslen 30 gram. I en unders\u00f6kning av matl\u00e5dorna noterade man att\nungef\u00e4r 82% av matl\u00e5dorna inneh\u00e5ll mellan 470 gram och 560 gram. Unders\u00f6k\nvilket\/vilka medelv\u00e4rden matl\u00e5dorna kan ha. Utg\u00e5 fr\u00e5n hela standardavvikelser`,\n svar: `500 cm eller 530 cm`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s15\"\n },\n {\n fraga: `Det normalf\u00f6rdelade materialet nedan \u00e4r medianen 100 och standardavvikelsen 20.\nHur stor andel av materialet \u00e4r markerat i bilden nedan? .<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-08.14.57.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `53%. Tips: Anv\u00e4nd geogebras sannolikhetsf\u00f6rdelning`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s16\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har m\u00e4tt skostorleken p\u00e5 alla spykister och har antagit att det \u00e4r\nnormalf\u00f6rdelat. Han har kommit fram till att medelv\u00e4rdet f\u00f6r materialet \u00e4r storlek 40\noch standardavvikelsen \u00e4r 2. Anta att det finns 1200 spykister.<\/p> a) Hur m\u00e5nga spykister har en skostorlek som \u00e4r 45 eller st\u00f6rre? <\/p> b) Best\u00e4m \\\$P_{75}\\\$ f\u00f6r materialet.`,\n svar: `a) 7 personer b) Ungef\u00e4r 41`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s17\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r ett normalf\u00f6rdelat material vet du att \ud835\udf07 = 10 cm. Du vet 20% av\nmaterialet ligger \u00f6ver 13 cm samt att 28% av materialet ligger under 8 cm.\nBest\u00e4m hur stor andel som ligger mellan 7 cm och 12 cm.`,\n svar: `52%`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-08.01.25.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s18\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r ett normalf\u00f6rdelat material vet du att medelv\u00e4rdet \u00e4r \ud835\udf07 och standardavvikelsen \ud835\udf0e.<\/p>\na) Skriv ett uttryck som inkluderar \ud835\udf07 och \ud835\udf0e som \u00e4r definierar den 30:onde\npercentilen.<\/p>\nb) Skriv ett uttryck som inkluderar \ud835\udf07 och \ud835\udf0e som \u00e4r definierar \\\$P_{70}\\\$`,\n svar: `Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n losningsforslag:`<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-08.10.28.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s19\"\n },\n{\n fraga: `Medell\u00e4ngden f\u00f6r 12 m\u00e5naders gamla flickor \u00e4r 74,8 cm och kvartilavst\u00e5ndet \u00e4r 3,4\ncm. Anta att l\u00e4ngden \u00e4r normalf\u00f6rdelad. Best\u00e4m standardavvikelsen f\u00f6r 12 m\u00e5naders\ngamla flickors l\u00e4ngd.`,\n svar: `2,527 cm. Tips: Anv\u00e4nd geogebra och sannolikhetsf\u00f6rdelningen.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s20\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r ett normalf\u00f6rdelat \u00e4r medelv\u00e4rdet 100 cm och standardavvikelsen 10 cm. Best\u00e4m\nkvartilavst\u00e5ndet f\u00f6r materialet.`,\n svar: `13,45 cm. Tips: Anv\u00e4nd geogebra och sannolikhetsf\u00f6rdelningen.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s21\"\n },\n{\n fraga: `Joakim vill veta hur m\u00e5nga procent av ett normalf\u00f6rdelat material som ligger inom\nintervallet \ud835\udf07 \u2212 \ud835\udf0e \u2264 \ud835\udc65 \u2264 \ud835\udf07 + 1,5\ud835\udf0e. Hur m\u00e5nga procent \u00e4r det? `,\n svar: `77,5%.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s22\"\n },\n{\n fraga: `I en generation torskar, som \u00e4r normalf\u00f6rdelade med medelv\u00e4rdet \ud835\udf07 och\nstandardavvikelsen \ud835\udf0e v\u00e4gde de 2,3 procent tyngsta torskarna minst 10 kg. I n\u00e4sta\ngeneration halverades medelv\u00e4rdet samtidigt som standardavvikelsen minskade med\n30%. De st\u00f6rsta 2,3 procenten av fiskarna v\u00e4gde nu minst 5.5 kg.<\/p>\nSt\u00e4ll upp ett ekvationssystem som kan anv\u00e4ndas f\u00f6r att best\u00e4mma \ud835\udf07 och \ud835\udf0e. Notera att du inte beh\u00f6ver l\u00f6sa ekvationssystemet.`,\n svar: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-07.54.16.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s23\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du ett l\u00e5dagram som representerar en m\u00e4ngd data best\u00e4m inom vilket\nintervall f\u00f6ljande ligger inom.<\/p> a) \\\$P_{65}\\\$ <\/p> b)\\\$P_{80}-P_{55}\\\$.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-30-140546.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-30-140717.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"ladagram\"],\n kod: \"s24\"\n },\n{\n fraga: `L\u00e4ngden p\u00e5 18-\u00e5ringa killar i Sverige \u00e4r normalf\u00f6rdelad. Medell\u00e4ngden \u00e4r 2025 180 cm och standardavvikelsen \u00e4r 7 cm. Enligt statistik kommer medell\u00e4ngden p\u00e5 18-\u00e5riga \u00f6ka med 1 cm var tionde \u00e5r och standardavvikelsen f\u00f6rv\u00e4ntas minska med 0,3 cm var tionde \u00e5r. Vilket \u00e5r kommer de l\u00e4ngsta 2,3% av 18-\u00e5riga killar vara 200 cm eller l\u00e4ngre.`,\n svar: `150 \u00e5r`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s25\"\n },\n{\n fraga: `P\u00e5 ett nationellt prov i matematik skrev 15 000 elever provet. Medelpo\u00e4ngen f\u00f6r provet f\u00f6r alla som skrev var 42 po\u00e4ng. Best\u00e4m standardavvikelsen f\u00f6r po\u00e4ngf\u00f6rdelningen om 414 elever skrev 65 po\u00e4ng eller mer. Anta att po\u00e4ngf\u00f6rdelningen \u00e4r normalf\u00f6rdelad.`,\n svar: `Standardavvikelsen \u00e4r 12 po\u00e4ng, tips: anv\u00e4nd normalf\u00f6rdelningsverktyget i geogebra.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n digital: true, \n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s26\"\n },\n{\n fraga: `I en laxpopulation \u00e4r vikten normalf\u00f6rdelad. Du vet att medelv\u00e4rdet \u00e4r 1,5 kg och standardavvikelsen \u00e4r 0,2 kg. Den totala populationen \u00e4r 30 000 fiskar. <\/p> \n\na)\tHur m\u00e5nga fiskar \u00e4r st\u00f6rre \u00e4n 1,8 kg? <\/p>\n\nb)\tMan kan inte s\u00e4lja fiskar som v\u00e4ger mindre 1 kg. Hur m\u00e5nga fiskar i populationen kan inte s\u00e4ljas? `,\n svar: `a) 2010 b) 186. Tips: Anv\u00e4nd normalf\u00f6rdelningsverktyget i geogebra.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s27\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r ett normalf\u00f6rdelat material vet du att medelv\u00e4rdet \u00e4r 10 cm och standardavvikelsen 3 cm. <\/p> \n\na)\tHur stor andel av materialet ligger 10 cm och 13 cm? <\/p>\n\nb)\tHur stor andel av materialet \u00e4r st\u00f6rre \u00e4n 16 cm? `,\n svar: `a) 34,1% b) 2,3%.`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s28\"\n },\n{\n fraga: `Observera de tre normalf\u00f6rdelningskurvorna som representerar 3 olika fiskpopulationers vikter <\/p> \n\na) Vilken fiskpopulation har st\u00f6rst medelv\u00e4rde? <\/p> \n\nb) Vilken fiskpopulation har minst standardavvikelse? <\/p> \n\nc) Beskriv i ord vad som skulle h\u00e4nda med normalf\u00f6rdelningskurvan f\u00f6r fiskpopulation A om medelv\u00e4rdet skulle \u00f6ka och standardavvikelsen skulle minska \n<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/Skarmbild-2026-01-16-092105.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a) C. b) B. c) Kurvan skulle f\u00f6rflyttas till h\u00f6ger och tryckas ihop. `,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s29\"\n },\n{\n fraga: ` Nedan visas ett l\u00e5dagram som representerar l\u00f6nef\u00f6rdelningen i tusen kr p\u00e5 ett f\u00f6retag. Best\u00e4m om f\u00f6ljande p\u00e5st\u00e5enden \u00e4r sanna eller falska <\/p> \n\na)\tDet \u00e4r fler personer som tj\u00e4nar mellan 33 tusen och 45 tusen \u00e4n mellan 20 tusen och 24 tusen. <\/p>\n\nb)\tMedell\u00f6nen m\u00e5ste vara 29 tusen. \n<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/Skarmbild-2026-01-16-101851.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a) Falskt b) Falskt.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ladagram\"],\n kod: \"s30\"\n },\n{\n fraga: ` Observera f\u00f6ljande l\u00e5dagram nedan. Svara p\u00e5 fr\u00e5gorna nedan. <\/p> \n\na) Best\u00e4m variationsbredden <\/p> \n\nb)\tBest\u00e4m medianen <\/p> \nc) Best\u00e4m kvartilavst\u00e5ndet <\/p>\nd) Kan \\\$P_{30}=12\\\$?\n<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/Skarmbild-2026-01-16-083551.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `a) 11 b) 15 c) 8 d) Det g\u00e5r bra`,\n niva: \"E\",\n poang: [4,0,0],\n underkategori: [\"ladagram\"],\n kod: \"s31\"\n },\n{\n fraga: `Krympflation ett fenomen n\u00e4r ett f\u00f6retag minskar p\u00e5 inneh\u00e5llet i en produkt men\nbibeh\u00e5ller priset f\u00f6r konsumenten. F\u00f6rr v\u00e4gde en normal chokladkaka fr\u00e5n Marabou\n200 gram och hade standardavvikelsen 4 gram. Anta att chokladkakornas vikt \u00e4r\nnormalf\u00f6rdelade <\/p> \na) Om Joakim k\u00f6pte 100 chokladkakor av den gamla typen hur m\u00e5nga av dessa f\u00f6rv\u00e4ntas\nv\u00e4ga mellan 205-211 gram? <\/p> \nb) Krympflationen har gjort att Marabou minskat vikten p\u00e5 sina chokladkakor till 160\ngram. Joakim k\u00f6per 100 chokladkakor och noterar att 15 kakor ligger mellan 162 och\n165 gram. Best\u00e4m den nya standardavvikelsen.\n`,\n svar: `a) 10 st b) 2 gram `,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s32\"\n },\n{\n fraga: ` F\u00f6r ett normalf\u00f6rdelat material vet du att medelv\u00e4rdet \u00e4r 15 cm. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> \n\na)\tOm standardavvikelsen \u00e4r 2 cm. Hur m\u00e5nga procent ligger d\u00e5 \u00f6ver 19 cm? <\/p>\n\nb)\tBest\u00e4m hur stor andel av materialet som \u00e4r mindre 12 cm om det finns 31% mellan 15\ncm och 18 cm `,\n svar: `a) 2,3% b) 19%.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s31\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r ett normalf\u00f6rdelat material vet du att de st\u00f6rsta 2,3% \u00e4r 18 cm eller mer. Om du halverar medelv\u00e4rdet och \u00f6kar standardavvikelsen med en faktor 2 kommer de st\u00f6rsta 2,3% nu vara 15 cm eller mer. Best\u00e4m medelv\u00e4rdet och standardavvikelsen f\u00f6r materialet. `,\n svar: `Medelv\u00e4rdet \u00e4r 14 cm och standardavvikelsen 2 cm`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"normalfordelning\"],\n kod: \"s32\"\n }\n ],\n\n geogebra: [\n {\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation med ditt digitala verktyg \\\$x^5=10\\\$, svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar:`\\\$x=1,58\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true\n ,\n underkategori: [\"geogebra\"],\n kod: \"d1\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$5,2^x=13,71\\\$ med hj\u00e4lp av ditt digitala hj\u00e4lpmedel. Svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar:`\\\$x=1,59\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"geogebra\"],\n kod: \"d2\"\n},\n{\n fraga: `Under april \u00f6kade l\u00e4ngden p\u00e5 dagen (tiden solen \u00e4r uppe) linj\u00e4rt i Lund. Nedan visas\nstatistik p\u00e5 hur l\u00e5nga dagarna var f\u00f6r respektive datum i april. Anpassa en linj\u00e4r\nfunktion till statistiken som beskriver hur l\u00e5ng dagarna beroende p\u00e5 vilket datum det\nvar i april. Enbart svar kr\u00e4vs <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-18.15.01.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar:`\\\$y=0,07x+13.02\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"regressionsanalys\"],\n kod: \"d3\"\n},\n{\n fraga: `Turismen i v\u00e4rlden har \u00f6kat stort sedan 1950. Nedan\nvisas statistik p\u00e5 hur m\u00e5nga m\u00e4nniskor som rest\nutomland under det specifika \u00e5ret. Anta att \u00f6kningen \u00e4r\nexponentiell. Best\u00e4m d\u00e5 vilket \u00e5r den internationella\nturismen \u00f6versteg 2 miljarder. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-18.25.53.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar:`2015`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"regressionsanalys\"],\n kod: \"d4\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har unders\u00f6kt hur hans hund Bosse har v\u00e4xt de senaste 6 m\u00e5naderna. Titta p\u00e5\nstatistiken nedan och en linj\u00e4r funktion till Bosses tillv\u00e4xt. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-18.23.26.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar:`\\\$y=0,3x+0,78\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"regressionsanalys\"],\n kod: \"d5\"\n},\n{\n fraga: `Anv\u00e4nd tabellen nedan f\u00f6r att anpassa en linj\u00e4r funktion till v\u00e4rdena. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-18.19.45.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar:`\\\$y=2,5x+9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"regressionsanalys\"],\n kod: \"d6\"\n},\n{\n fraga: `Aralsj\u00f6n i Centralasien har p\u00e5 grund av uttorkning sedan 1960-talet minskat i area.\nFr\u00e5n att ha varit en av v\u00e4rldens st\u00f6rsta sj\u00f6ar \u00e4r den idag n\u00e4stan borta. Statistiken nedan\nvisar p\u00e5 hur sj\u00f6ns area i tusen kvadratkilometer har minskat sedan \u00e5r 1960. Om vi\nantar att f\u00f6r\u00e4ndringen \u00e4r exponentiell vilket \u00e5r ber\u00e4knas sj\u00f6ns area vara 3 tusen \\\$km^2\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-12-081211.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-12-081217.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">\n?`,\n svar:`\u00c5r 2044`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true, \n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-12-081238.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"regressionsanalys\"],\n kod: \"d7\"\n},\n{\n fraga: `Tv\u00e5 forskare unders\u00f6kte korrelationen i tv\u00e5 olika unders\u00f6kningar A och B. I unders\u00f6kning A hade\nsambandet en korrelationskofficient p\u00e5 0,89 och i B hade sambandet en korrelationskofficient p\u00e5\n\u22120,94. Vilken unders\u00f6kning hade starkast korrelation? `,\n svar:`B`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"regressionsanalys\"],\n kod: \"d8\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har unders\u00f6kt tv\u00e5 datainsamlingar f\u00f6r skid\u00e5kare. D\u00e4r den ena unders\u00f6kningen A\ntittade p\u00e5 vilket placering skid\u00e5karna fick i v\u00e4rldscupen i f\u00f6rh\u00e5llande till\ntr\u00e4ningstimmar de lagt ner. Den andra unders\u00f6kningen B unders\u00f6kte\nv\u00e4rldscupsplaceringen i f\u00f6rh\u00e5llande till ekonomiska bidrag fr\u00e5n landslaget<\/p> \nJoakim fick fram att unders\u00f6kning A hade en korrelationskofficient p\u00e5 \ud835\udc5f = 0,872<\/p> \nJoakim fick fram att unders\u00f6kning B hade en korrelationskofficient p\u00e5 \ud835\udc5f = \u22120,891<\/p>\nVilket samband hade starkast korrelation? `,\n svar:`B`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"regressionsanalys\"],\n kod: \"d9\"\n},\n{\n fraga: `8. Glaci\u00e4ren Ok p\u00e5 Island har sedan\n\u00e5r 1900 minskat och definieras inte\nl\u00e4ngre som en glaci\u00e4r. Experter menar\natt Ok slutade definieras\nsom glaci\u00e4r d\u00e5 den var 1\\\$km^2\\\$.\nKonstruera en funktion utifr\u00e5n m\u00e4t-\ndatan nedan och best\u00e4m vilket \u00e5r\nOk inte l\u00e4ngre definierades som en\nglaci\u00e4r. M\u00e4tdatan g\u00e5r att anpassa\ntill en exponentiell funktion. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/007cd8fd-abe1-480c-b5e9-6ee4605c15bc-1.png\"> <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-18.29.46.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar:`Ungef\u00e4r 2015`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"regressionsanalys\"],\n kod: \"d10\"\n},\n{\n fraga: `Koncentrationen av koldioxid (CO2) har \u00f6kat linj\u00e4rt de senaste 65 \u00e5r. Nedan visas\nstatistik kring m\u00e4ngden koldioxid (ppm eller miljontedelar) som finns i atmosf\u00e4ren. Vilket \u00e5r ber\u00e4knas det vara 500 ppm CO2 i atmosf\u00e4ren? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-07-kl.-18.16.58.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar:`2089`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"regressionsanalys\"],\n kod: \"d11\"\n}\n\n ]\n },\n\n \/\/ MATEMATIK FORT. 1\n ma_fort_1: {\n algebra: [\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(x+4)(x-2)(x-10)=0\\\$ .`,\n svar: `\\\$x_1=-4, x_2=2, x_3=10\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a1\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^3-2x^2+x=0\\\$ .`,\n svar: `\\\$x_1=-0, x_2=1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a2\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\mid x \\\\mid^2-4\\\\mid x \\\\mid +3=0\\\$ .`,\n svar: `\\\$x_1=1, x_2=-1, x_3=3, x_4=-3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"ekvationer\", \"absolut\"],\n kod: \"a3\"\n},\n{\n fraga: `Joakim p\u00e5st\u00e5r att f\u00f6ljande uttryck g\u00e5r att f\u00f6renkla till 1. Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt \\\$(\\\\frac{y-x}{x-y})^4\\\$.`,\n svar: `Det g\u00e5r absolut. Tips bryt ut en -1 fr\u00e5n antingen t\u00e4ljare eller n\u00e4mnare.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"rationella\"],\n kod: \"a4\"\n},\n{\n fraga: `\\\$\\\\mid x \\\\mid = 10\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=10, x_2=-10\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\", \"absolut\"],\n kod: \"a5\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\mid x+2 \\\\mid = x+4\\\$ unders\u00f6k sedan om l\u00f6sningarna st\u00e4mmer.`,\n svar: `\\\$x=-3\\\$ \u00e4r den enda l\u00f6sningen.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationer\", \"absolut\"],\n kod: \"a6\"\n},\n{\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck <\/p> \\\$x^2-2x-8\\\$`,\n svar: `\\\$(x+2)(x-4)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a7\"\n},\n{\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck <\/p> \\\$(x-1)^2-(y+1)^2\\\$`,\n svar: `\\\$(x+y)(x-y-2)\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a8\"\n},\n{\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck <\/p> \\\$2x^3-20x^2+50x\\\$`,\n svar: `\\\$2x(x-5)^2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a9\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation \\\$\\\\frac{1}{x}-\\\\frac{1}{x+1}+\\\\frac{1}{x(x+1)}=1\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=-2, x_2=1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"ekvationer\", \"rationella\"],\n kod: \"a10\"\n},\n{\n fraga: `Faktorisera f\u00f6ljande uttryck <\/p> \\\$x^2-4x-5\\\$`,\n svar: `\\\$(x+1)(x-5)\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a11\"\n},\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna \\\$\\\\mid 5 - \\\\sqrt{27} \\\\mid + \\\\mid 10- \\\\sqrt{27} \\\\mid \\\$`,\n svar: `5`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"absolut\"],\n kod: \"a12\"\n},\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna \\\$\\\\mid -10 \\\\mid + \\\\mid 2^3 \\\\mid \\\$`,\n svar: `18`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"absolut\"],\n kod: \"a13\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ om f\u00f6ljande ekvation \\\$x^2-2ax+16=0\\\$ enbart ska ha en l\u00f6sning.`,\n svar: `\\\$a=\\\\pm4\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a14\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilket\/vilka x-v\u00e4rden \u00e4r det rationella uttrycket odefinierat? \\\$\\\\frac{1}{x^3-x^2}\\\$ `,\n svar: `\\\$x_1=1, x_2=0\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"rationella\"],\n kod: \"a15\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilket\/vilka x-v\u00e4rden \u00e4r det rationella uttrycket odefinierat? \\\$\\\\frac{1}{(x-5)(x^2-1)}\\\$ `,\n svar: `\\\$x_1=1, x_2=-1, x_3=5\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"rationella\"],\n kod: \"a16\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^4-10x^2+9\\\$ `,\n svar: `\\\$x_1=1, x_2=-1, x_3=3, x_4=-3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a17\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r ett tredjegradspolynom vet du att<\/p> \\\$p(1)=0\\\$ <\/p> \\\$p(2)=0\\\$ <\/p> \\\$p(3)=0\\\$ <\/p> \\\$p(4)=12\\\$ <\/p> Best\u00e4m uttrycket f\u00f6r polynomet p\u00e5 valfri form `,\n svar: `\\\$p(x)=2(x-1)(x-2)(x-3)\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"faktorisera\"],\n kod: \"a18\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande rationella uttryck \\\$\\\\frac{2x^2-18}{4x-12}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{x+3}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"rationella\"],\n kod: \"a19\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande rationella uttryck \\\$\\\\frac{2(2-y)^2-y(2-y)^2}{(2-y)^3}\\\$`,\n svar: `1`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"rationella\"],\n kod: \"a20\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$a\\\$ har f\u00f6ljande ekvation 3 l\u00f6sningar?<\/p> \\\$x^3-2ax=0\\\$`,\n svar: `\\\$a>0\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a21\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\frac{2x^2+4x-30}{50-2x^2}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{3-x}{x-5}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"rationella\"],\n kod: \"a22\"\n},\n{\n fraga: `Du vet att \\\$a < b\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 ett f\u00f6renklat uttryck f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$\\\\mid a-b \\\\mid \\\$ `,\n svar: `\\\$b-a)\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"absolut\"],\n kod: \"a23\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande rationella uttryck \\\$\\\\frac{x^2-2x-24}{x-6}\\\$`,\n svar: `\\\$x+4\\\$ tips: faktorisera t\u00e4ljaren`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"rationella\"],\n kod: \"a24\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilket\/vilka x-v\u00e4rden \u00e4r det rationella uttrycket odefinierat? \\\$\\\\frac{3+x}{(x-1)^{n+1}+2(x-1)^n}\\\$ `,\n svar: `\\\$x_1=1, x_2=-1\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"rationella\"],\n kod: \"a25\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande ekvation har samma l\u00f6sningar med avseende p\u00e5\noavsett vilket heltal n \u00e4r om \\\$n>1\\\$ <\/p> \\\$(x-2)^{n+2}-(x-2)^n=0\\\$.`,\n svar: `Visa att \\\$n\\\$ inte spelar n\u00e5gon roll genom att faktorisera uttrycket och visa att l\u00f6sningarna \u00e4r konstanta.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a26\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\mid x-5 \\\\mid =10\\\$ .`,\n svar: `\\\$x_1=15, x_2=-10\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\", \"absolut\"],\n kod: \"a27\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\frac{4}{x-2}+\\\\frac{1}{x+3}=0\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=-2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ekvationer\", \"rationella\"],\n kod: \"a28\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\frac{x}{x+4}+\\\\frac{1}{x-2}=1\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ekvationer\", \"rationella\"],\n kod: \"a29\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x+4+\\\\frac{4}{x-3}=2\\\$ .`,\n svar: `\\\$x_1=-1, x_2=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ekvationer\", \"rationella\"],\n kod: \"a30\"\n},\n{\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande rationella uttryck som ett br\u00e5k. \\\$\\\\frac{x+2}{x-1}+\\\\frac{1}{x+1}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{x^2+4x+1}{x^2-1}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"rationella\"],\n kod: \"a31\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation och unders\u00f6k om din l\u00f6sning \u00e4r giltig <\/p> \\\$\\\\frac{6}{x-3}-\\\\frac{18}{x^2-3x}=2\\\$`,\n svar: `Ingen l\u00f6sning \u00e4r giltig`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"rationella\"],\n kod: \"a32\"\n}\n ],\n\n funktioner: [\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^3-4x^2+4x\\\$. Best\u00e4m funktionens nollst\u00e4llen.`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f1\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^3-2x^2-99x\\\$. Best\u00e4m funktionens nollst\u00e4llen.`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=11, x_3=-9\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f2\"\n },\n{\n fraga: `Joakim vill veta vad funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{x+8}{x^3-4x^2+4x}\\\$ \u00e4r d\u00e5 \\\$x=2\\\$ han sl\u00e5r in det p\u00e5 minir\u00e4knaren och f\u00e5r error. Han blir fundersam. Varf\u00f6r f\u00e5r Joakim error?`,\n svar: `Uttrycket \u00e4r inte definierat d\u00e5 \\\$x=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f3\"\n },\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna gr\u00e4nsv\u00e4rdet \\\$ \\\\lim\\\\limits_{x \\\\to 4} x+4 \\\$.`,\n svar: `8`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"grans\"],\n kod: \"f4\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ om \\\$ \\\\lim\\\\limits_{x \\\\to 3} \\\\frac{x^2+ax+9}{x-3}=0 \\\$.`,\n svar: `\\\$a=-6\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"grans\"],\n kod: \"f5\"\n},\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna gr\u00e4nsv\u00e4rdet \\\$ \\\\lim\\\\limits_{x \\\\to 1} \\\\frac{x^2-3x+2}{x-1} \\\$.`,\n svar: `\\\$-1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"grans\"],\n kod: \"f6\"\n},\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna gr\u00e4nsv\u00e4rdet \\\$ \\\\lim\\\\limits_{x \\\\to \\\\\\infty} \\\\frac{\\\\sqrt{x}}{x^{4,31}}+12,3 \\\$.`,\n svar: `12,3`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"grans\"],\n kod: \"f7\"\n},\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna gr\u00e4nsv\u00e4rdet \\\$ \\\\lim\\\\limits_{x \\\\to \\\\infty} \\\\frac{1}{x^2}+3 \\\$.`,\n svar: `3`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"grans\"],\n kod: \"f8\"\n},\n{\n fraga: `Om du vet f\u00f6ljande likhet \\\$ \\\\lim\\\\limits_{x \\\\to \\\\infty} \\\\frac{ax+1}{7x-27}+1=3\\\$. Best\u00e4m talet \\\$a\\\$`,\n svar: `\\\$a=14\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"grans\"],\n kod: \"f9\"\n},\n{\n fraga: `Titta p\u00e5 grafen till funktionen \\\$f(x)\\\$ nedan. Best\u00e4m genom att titta p\u00e5 grafen vilken av f\u00f6ljande funktionsuttryck som \\\$f(x)\\\$ kan vara.<\/p> A: \\\$f(x)=x(x+2)^2\\\$ <\/p> B: \\\$f(x)=x(x-1)(x+1)\\\$ <\/p> C: \\\$f(x)=x(x-2)^2\\\$ <\/p> Best\u00e4m vilken funktionsekvation som beskriver \\\$f(x)\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-26-210821.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `C: \\\$f(x)=x(x-2)^2\\\$.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f10\"\n },\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna gr\u00e4nsv\u00e4rdet \\\$ \\\\lim\\\\limits_{x \\\\to 5} \\\\frac{x^2-4x-5}{x-5}\\\$.`,\n svar: `6`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"grans\"],\n kod: \"f11\"\n},\n{\n fraga: `Funktionen \\\$f(x)\\\$ Beskriver befolknings\u00f6kningen i stad Joakimk\u00f6ping fr\u00e5n 2010. Beskriv i ord vad f\u00f6ljande f\u00f6r\u00e4ndringskvot inneb\u00e4r i det h\u00e4r sammanhanget.<\/p> \\\$\\\\frac{f(5)-f(2)}{3}\\\$`,\n svar: `Medelf\u00f6r\u00e4ndringen i befolkningen f\u00f6r varje \u00e5r mellan 2015 och 2012.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f12\"\n},\n{\n fraga: `Joakim har hittat grafen till en tredjegradsfunktion \\\$f(x)\\\$ Tyv\u00e4rr \u00e4r hans dator trasig och han kan inte se hela grafen bara vissa delar. Joakim vill best\u00e4mma \\\$f(2)\\\$. Hj\u00e4lp honom med det. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-21.41.58.png\">`,\n svar: `\\\$f(2)=24\\\$ tips: skriv funktionen i faktorform.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f13\"\n},\n{\n fraga: `Ge ett exempel p\u00e5 en \\\$f(x)\\\$ d\u00e4r f\u00f6ljande likhet g\u00e4ller \\\$ \\\\lim\\\\limits_{x \\\\to -2} f(x) =10 \\\$.`,\n svar: `Till exempel \\\$f(x)=x+12\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"grans\"],\n kod: \"f14\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$k\\\$ \u00e4r den r\u00e4ta linjen \\\$y=kx-25\\\$ en tangent till funktionen \\\$f(x)=x^2\\\$`,\n svar: `\\\$k=\\\\pm 10`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f15\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m medellutningen i intervallet \\\\(0< x <3\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=x^2\\\$.`,\n svar: `3`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f16\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r\u00e4ndringskvoten f\u00f6r \\\$f(x)=x^2\\\$ <\/p> \\\$\\\\frac{f(3)-f(1)}{2}\\\$.`,\n svar: `Kvoten \u00e4r lika med 4`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f17\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r\u00e4ndringskvoten f\u00f6r \\\$f(x)=\\\\sqrt{x}\\\$<\/p> \\\$\\\\frac{f(9)-f(4)}{5}\\\$.`,\n svar: `Kvoten \u00e4r lika med \\\$\\\\frac{1}{5}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f18\"\n},\n{\n fraga: `En sekant sk\u00e4r funktionen \\\$f(x)=-x^2+4x\\\$ i \\\$x=0\\\$ och \\\$x=3\\\$ Best\u00e4m sekantens lutning.`,\n svar: `1`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f19\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m nollst\u00e4llena f\u00f6r f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=x^3-2x^2-8x\\\$`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=4, x_3=-2`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f20\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m vilken\/vilka av f\u00f6ljande r\u00e4ta linjer som \u00e4r sekanter eller tangenter. \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-072917.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur`,\n svar: `a) och d) tangent b) c) sekanter`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f21\"\n},\n{\n fraga: `Observera grafen till funktionen \\\\(f(x)\\\$ nedan. L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=0\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-26-212310.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n svar: `\\\$x_1=-1, x_2=0, x_3=2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f22\"\n},\n{\n fraga: `Ber\u00e4kna gr\u00e4nsv\u00e4rdet \\\$ \\\\lim\\\\limits_{x \\\\to 2} \\\\frac{x^2-4}{x-2} \\\$.`,\n svar: `4`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"grans\"],\n kod: \"f23\"\n}\n ],\n\n derivata: [\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=x^3+2x+4\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=3x^2+2\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d1\"\n },\n{\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{\\\\sqrt{x}}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{-1}{2x\\\\sqrt{x}}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d2\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r en funktion \\\$f(x)\\\$ vet att du att \\\$f'(2)=10\\\$ best\u00e4m k-v\u00e4rdet f\u00f6r den tangent som tangerar funktionen \\\$f(x)\\\$ i \\\$x=2\\\$ `,\n svar: `\\\$k=10\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d3\"\n },\n{\n fraga: `Linjen \\\$y=2x+m\\\$ tangerar funktionen \\\$f(x)=ax^3\\\$ i \\\$x=1\\\$ best\u00e4m konstanterna \\\$a\\\$ och \\\$m\\\$`,\n svar: `\\\$a=\\\\frac{2}{3}\\\$ och \\\$m=-\\\\frac{4}{3}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d4\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m k-v\u00e4rdet f\u00f6r den tangent som tangerar funktionen \\\$f(x)=x^3+3x\\\$ i \\\$x=1\\\$ `,\n svar: `\\\$k=6\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d5\"\n },\n{\n fraga: `Om du vet att \\\$f(x)=x^6+x^5+x^4\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 gr\u00e4nsv\u00e4rdet \\\$ \\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\\$`,\n svar: `Gr\u00e4nsv\u00e4rdet \u00e4r lika med 15`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d6\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m \\\$f''(x)\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=x^3\\\$`,\n svar: `\\\\f''(x)=6x`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d7\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ om \\\$f(x)=a\\\\cdot \\\\sqrt{x}\\\$ samt att \\\$f'(4)=\\\\frac{3}{4}\\\$`,\n svar: `\\\$a=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d8\"\n },\n{\n fraga: `Unders\u00f6k f\u00f6r vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=ax^3-bx\\\$ har tv\u00e5 l\u00f6sningar f\u00f6r f\u00f6ljande ekvation \\\$f'(x)=0\\\$`,\n svar: `a och b m\u00e5ste vara samma tecken. allts\u00e5, b\u00e5da positiva eller b\u00e5da negativa.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-103629.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d9\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$f'(x)=-4\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{2}{x}\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm \\\\sqrt{\\\\frac{1}{2}}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-104002.png\">`,\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d10\"\n },\n{\n fraga: `Visa att funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{x^3}{3}-ex^2+e^2x\\\$ aldrig \u00e4r avtagande.`,\n svar: \"Unders\u00f6k derivatafunktionen och visa att den aldrig \u00e4r negativ.\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-133409.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\", \"talete\"],\n kod: \"d11\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilket \\\$y\\\$-v\u00e4rde funktionen \\\$f(x)=x^3-12x+3\\\$ har sin maximipunkt`,\n svar: \"\\\$y=19\\\$.\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d12\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{a^{-x}}\\\$ om du vet att \\\$f'(0)=4\\\$. Svara exakt.`,\n svar: \"\\\$a=e^4\\\$.\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d13\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)\\\$ Best\u00e4m f\u00f6ljande gr\u00e4nsv\u00e4rde <\/p> a) \\\$ \\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{f(3+h)-f(3)}{h} \\\$ <\/p> b) Uppskatta v\u00e4rdet p\u00e5 konstanten \\\$a\\\$ om \\\$ \\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{f(a+h)-f(a)}{h} =-4\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-13-103320.png\"> `,\n svar: \"a) 0 b) \\\$a=1\\\$ Ett v\u00e4rde n\u00e4ra 1 \u00e4r ocks\u00e5 godk\u00e4nt.\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,3],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d14\"\n },\n{\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{x^{-2}}\\\$`,\n svar: \"\\\$f'(x)=2x).\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d15\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\\(e^{\\\\frac{x}{4}}=lne^4\\\$. Svara exakt.`,\n svar: \"\\\$x=4\\\\cdot ln4\\\$.\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"talete\"],\n kod: \"d16\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$e^{4x}=10\\\$. Svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar: \"\\\$x=0,58\\\$.\",\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"talete\"],\n kod: \"d17\"\n },\n{\n fraga: `Visa med hj\u00e4lp av derivata att funktionen \\\$f(x)=x^3+3x\\\$ bara sk\u00e4r x-axeln en g\u00e5ng`,\n svar: \"Se l\u00f6sningsf\u00f6rslaget\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-18.37.09.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d18\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6ljande gr\u00e4nsv\u00e4rde \\\$ \\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{e^h-1}{h}\\\$`,\n svar: \"Det \u00e4r derivatans definition f\u00f6r \\\$f(x)=e^x\\\$. Vi s\u00f6ker s\u00e5ledes \\\$f'(0)\\\$. \\\$f'(0)=1\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"derivatadef\", \"talete\"],\n kod: \"d20\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r tangenten som tangerar funktionen \\\$f(x)=\\\\sqrt{x}\\\$ i \\\$x=1\\\$`,\n svar: \"\\\$y=\\\\frac{x}{2}+\\\\frac{1}{2}\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d21\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilken eller vilka punkter som \\\$f'(x)<0\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande funktion <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-18.54.03.png\">`,\n svar: \"A och E\",\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d22\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. Om vi definierar funktionen \\\$h(x)=f(x)+g(x)\\\$ best\u00e4m d\u00e5 f\u00f6r vilka \\\$x\\\$ f\u00f6ljande olikhet g\u00e4ller \\\$h'(x)<2\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-19.02.16.png\">`,\n svar: \"-2 < x < 3 \",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d23\"\n },\n{\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=ax^2+b\\\$ d\u00e4r \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ \u00e4r konstanter. Best\u00e4m \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ om du vet att \\\$f'(1)=4\\\$ samt att \\\$x=1\\\$ \u00e4r ett nollst\u00e4lle till funktionen.`,\n svar: \"\\\$a=2\\\$ och \\\$b=-2\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"derivatagraf\"],\n kod: \"d24\"\n },\n{\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2\\\$ och vi vet att \\\$ \\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x)}{h}=x^2+2x+1\\\$.<\/p> Best\u00e4m d\u00e5 \\\$g'(1)\\\$.`,\n svar: \"Det \u00e4r derivatans definition svar: 2\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d25\"\n },\n{\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^2\\\$ best\u00e4m d\u00e5 f\u00f6ljande gr\u00e4nsv\u00e4rde \\\$ \\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\\\$`,\n svar: \"Det \u00e4r derivatans definition svar: 2\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d26\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$e^{2x}=15\\\$. Svara exakt`,\n svar: \"\\\$x=\\\\frac{ln15}{2}\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"talete\"],\n kod: \"d27\"\n },\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$e^{x}=3\\\$. Svara exakt`,\n svar: \"\\\$x=ln3\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"talete\"],\n kod: \"d28\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=e^{2x}\\\$. Best\u00e4m \\\$f'(1)\\\$. Svara exakt.`,\n svar: \"\\\$f'(1)=2e^2\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"talete\"],\n kod: \"d29\"\n },\n{\n fraga: `\tAntalet bakterier i en bakteriekultur g\u00e5r att beskriva med funktionen \\\$f(t)=Ce^{-0,04t}\\\$ d\u00e4r C \u00e4r en konstant och t \u00e4r tiden i dagar. <\/p>\n\n a)Best\u00e4m konstanten C om du vet att \\\$f(20)=337\\\$ <\/p>\n\nb) Best\u00e4m och tolka \\\$f'(10)\\\$`,\n svar: \"a) \\\$C=750\\\$ b) \\\$f'(10)=-20\\\$ Antalet bakterier minskar med 20 baktierer\/dag efter 10 dagar.\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"talete\"],\n kod: \"d30\"\n },\n{\n fraga: `Antalet bilolyckor har minskat sedan 2000. F\u00f6renklat g\u00e5r antalet bilolyckor i trafiken beskrivas med funktionen \\\$f(t)=290e^{k\\\\cdot t}+210\\\$ <\/p>\n\na) Best\u00e4m konstanten k om du vet att \\\$f(11)=300\\\$ <\/p>\n\nb) Joakim menar att antalet bilolyckor kommer stabiliseras \u00f6ver tid. Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt. \n`,\n svar: \"a) \\\$k=-0,1\\\$ b) Det kommer stabiliseras vid 210.\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"talete\"],\n kod: \"d31\"\n },\n{\n fraga: `Visa att tredjegradsfunktioner p\u00e5 formen \\\$f(x)=x(x-a)(x+a)\\\$ kommer tangenterna som tangerar funktionerna i dess nollst\u00e4llen kommer alltid ha samma k-v\u00e4rde.`,\n svar: \"Det st\u00e4mmer! Kolla l\u00f6sningsf\u00f6rslaget.\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-18.30.33.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d32\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilket\/vilka \\\$a\\\$ f\u00f6ljande funktion har en terrasspunkt \\\$x^3+ax^2+3x\\\$`,\n svar: \"\\\$a=\\\\pm 3\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d33\"\n },\n{\n fraga: `Joakim p\u00e5st\u00e5r att funktionen \\\$f(x)=x^3+x+100\\\$ har tv\u00e5 extrempunkter. St\u00e4mmer det?`,\n svar: \"St\u00e4mmer inte. \\\$f'(x)=0\\\$ saknar reella l\u00f6sningar\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d34\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m talet \\\$a\\\$ om du vet att funktionen \\\$f(x)=e^{\\\\frac{x}{10}}+ax\\\$ har en extrempunkt i \\\$(0,1)\\\$`,\n svar: \"\\\$a=\\\\frac{-1}{10}\\\$.\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\",\"talete\"],\n kod: \"d35\"\n },\n{\n fraga: `Vi definierar f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=ax^6\\\$. Du vet att funktionen har en tangent som \u00e4r \\\$y=12x-20\\\$ i ett ok\u00e4nt x-v\u00e4rde. Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$`,\n svar: `\\\$a=\\\\frac{1}{16}}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-132802.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d36\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m hur m\u00e5nga tangenter som tangerar funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{x^3}{3}-2x^2+6x\\\$ som har ett k-v\u00e4rde som \u00e4r 2`,\n svar: \"Enbart en tangent d\u00e5 x=2\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d37\"\n },\n{\n fraga: `Visa att alla tangenter som tangerar funktionen \\\$f(x)=-x^2\\\$ har ett m-v\u00e4rde som \u00e4r ett kvadrattal`,\n svar: \"Fullst\u00e4ndigt bevis\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-110239.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d38\"\n },\n{\n fraga: `Visa att funktionen \\\$f(x)=x^3+3x^2+3x\\\$ har en terraspunkt`,\n svar: \"Funktionen har en terraspunkt i \\\$x=-1\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d39\"\n },\n{\n fraga: `Visa att funktionen \\\$f(x)=x^3+4,2x+1000\\\$ saknar extrempunkter`,\n svar: \"Visa att derivatan aldrig \u00e4r mindre \u00e4n noll\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d40\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r funktionen \\\$f(x)=ax^3+bx\\\$ vet du att den har en lokal maximiv\u00e4rde 6 i \\\$x=1\\\$. Best\u00e4m konstanterna \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ `,\n svar: \"\\\$a=-3\\\$ och \\\$b=9\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"derivatagraf\"],\n kod: \"d41\"\n },\n{\n fraga: `Visa att funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{x^2}+2x \\\\geq 3\\\$ f\u00f6r alla \\\$x>0\\\$`,\n svar: \"Tips: ta fram y-v\u00e4rdet f\u00f6r extrempunkterna och best\u00e4m dess karakt\u00e4r. D\u00e4refter kan du dra slutsatsen.\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d42\"\n },\n{\n fraga: `En funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=e^{kx}\\\$ och dess derivatafunktion visas i koordinatsystemet nedan. Joakim menar att man kan best\u00e4mma talet \\\$k\\\$ med hj\u00e4lp av graferna. G\u00f6r det. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-114325.png\">`,\n svar: \"\\\$k=\\\\frac{1}{2}\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"derivatagraf\", \"talete\"],\n kod: \"d43\"\n },\n{\n fraga: `Nedan visas graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. Vi definierar funktionen \\\$h(x)=f(x)-g(x)\\\$ Best\u00e4m \\\$h'(3)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-114815.png\"> `,\n svar: \"\\\$h'(3)=2\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d44\"\n },\n{\n fraga: `Linjen som tangerar funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{x^3}{4}\\\$ i \\\$x=2\\\$ skapar en triangel enligt bilden nedan. Best\u00e4m arean av triangeln. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-110511.png\">`,\n svar: \"Arean \u00e4r \\\$frac{2}{3}\\\$ areaenheter\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-110659.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d45\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m k-v\u00e4rdet f\u00f6r den tangent som tangerar funktionen \\\$f(x)=\\\\sqrt{x}+x\\\$ i \\\$x=4\\\$`,\n svar: \"\\\$k=\\\\frac{5}{4}\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-104002.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d46\"\n },\n{\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=\\\\frac{1}{e^{-2x}}+e\\\$`,\n svar: \"\\\$f'(x)=2e^{2x}\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"talete\"],\n kod: \"d47\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du grafen till en tredjegradsfunktion \\\$f(x)\\\$. Anv\u00e4nd funktionen f\u00f6r att best\u00e4mma ett n\u00e4rmev\u00e4rde till l\u00f6sningen till ekvationen \\\$f''(x)=0\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-115745.png\">`,\n svar: \"\\\$x\\\$ \u00e4r ungef\u00e4r 1\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d48\"\n },\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=x(x-a)(x-b)\\\$ kommer tangenterna som tangerar grafen i nollst\u00e4llena d\u00e4r x inte \u00e4r noll har samma lutning. `,\n svar: \"Det st\u00e4mmer bra. F\u00f6renkla och unders\u00f6k derivatauttrycken\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-111205.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d49\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r tangenten som tangerar funktionen \\\$f(x)=e^x\\\$ i \\\$x=1\\\$`,\n svar: \"\\\$y=ex\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\", \"talete\"],\n kod: \"d50\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m andraderivatan f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=x^3\\\$`,\n svar: \"\\\$f''(x)=6x\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d51\"\n },\n{\n fraga: `Skissa grafen till funktionen \\\$f(x)=x^3-12x+3\\\$`,\n svar: \"Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-112336.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d52\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r vilka \\\$x\\\$-v\u00e4rden har f\u00f6ljande funktion extrempunkter \\\$f(x)=x^3-12x^2\\\$`,\n svar: \"\\\$x_1=0, x_2=8\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d53\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r en tredjegradsfunktion \\\$f(x)\\\$ vet du f\u00f6ljande<\/p> \\\$f(x)\\\$ har en extrempunkt i \\\$x=4\\\$ <\/p> \\\$f'(x)\\\$ har en extrempunkt i \\\$x=2\\\$ <\/p> Best\u00e4m \\\$x\\\$-v\u00e4rdet f\u00f6r den andra extrempunkten f\u00f6r \\\$f(x)\\\$`,\n svar: \"D\u00e5 \\\$x=0\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-112546.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d54\"\n },\n{\n fraga: `Skissa grafen till funktionen \\\$f(x)=x^3-12x+3\\\$`,\n svar: \"Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-112336.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d55\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ om du vet att \\\$f(x)=x^a+10x\\\$ samt att \\\$f'(1)=-2\\\$`,\n svar: \"\\\$a=-12\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d56\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion, svara p\u00e5 enklaste form \\\$f(x)=3x^{100}+\\\\frac{x^2}{6}+(\\\\frac{2}{7})^9\\\$`,\n svar: \"\\\$f'(x)=300x^{99}+\\\\frac{x}{3}\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d57\"\n },\n {\n fraga: `Nedan visas derivatafunktionen \\\$f'(x)\\\$ till funktionen \\\\f(x)\\\\). F\u00f6r vilket\/vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$x\\\$ har \\\$f(x)\\\$ en extrempunkt. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-24-101224.png\">`,\n svar: \"\\\$x_1=0, x_2=4\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d58\"\n },\n {\n fraga: `En funktion \\\$f(x)\\\$ \u00e4r definierad. Nedan visas grafen till \\\$f''(x)\\\$. Vilken\/vilka av f\u00f6ljande grafer kan representera \\\$f(x)\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-24-101257.png\">`,\n svar: \"A och E\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d59\"\n },\n{\n fraga: `Grafen tiill funktionen \\\$f(x)\\\$ visas nedan. Best\u00e4m ett \\\$x\\\$ d\u00e4r \\\$f''(x)=0\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-24-101308.png\">`,\n svar: \"\\\$x=2\\\$ eller \\\$x=4\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d60\"\n },\n{\n fraga: `Nedan ser du grafen till derivata-funktion \\\$f'(x)\\\$ f\u00f6r n\u00e5gon funktion \\\$f(x)\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande<\/p> a) Vilken grad har \\\$f(x)\\\$ <\/p> b) Hur m\u00e5nga extrempunkter har \\\$f(x)\\\$ <\/p> c) F\u00f6r vilka \\\$x\\\$-v\u00e4rden har \\\$f(x)\\\$ minimipunkt respektive maximipunkt <\/p> <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-104418.png\">`,\n svar: \"a) tredjegradare b) \\\$x=0, x=4\\\$ c) Maximipunkt i x=0 och minimipnukt i x=4 \",\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d61\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m \\\$f'(3)\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=x^2-3x\\\$ med hj\u00e4lp av derivatans definition`,\n svar: `\\\$f'(3)=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d62\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m en funktion \\\$f(x)\\\$ som har f\u00f6ljande samband f\u00f6r alla v\u00e4rden p\u00e5 \\\$a\\\$ \\\$\\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\\\\frac{1}{5}\\\$`,\n svar: `Alla linj\u00e4ra funktioner som har ett k-v\u00e4rde som \u00e4r \\\$\\\\frac{1}{5}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d63\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{ax}\\\$ som har f\u00f6ljande samband \\\$\\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\\\\frac{1}{8}\\\$`,\n svar: \"\\\$a=-2\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d64\"\n },\n{\n fraga: `F\u00f6r en andragradsfunktion vet du att <\/p> \\\$f(-5)=0\\\$<\/p> \\\$f'(-1)=0\\\$ <\/p> \\\$f'(1)=8\\\$ <\/p> Best\u00e4m funktionen \\\$f(x)\\\$ `,\n svar: `\\\$f(x)=2x^2+4x-30\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-103001.png\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\", \"derveringsregler\"],\n kod: \"d65\"\n },\n{\n fraga: `Visa med hj\u00e4lp av derivatans definition att \\\$f'(x)=\\\\frac{-1}{(x+1)^2}\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{x+1}\\\$`,\n svar: `St\u00e4ll upp gr\u00e4nsv\u00e4rdet och f\u00f6renkla korrekt. `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-101332.png\">`,\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d66\"\n },\n{\n fraga: `Best\u00e4m vilket gr\u00e4nsv\u00e4rde som ska best\u00e4mmas om man ska best\u00e4mma \\\$f'(x)\\\$ f\u00f6r \\\$f(x)=x^{\\\\frac{1}{3}}\\\$ med hj\u00e4lp av derivatans definition. Notera du beh\u00f6ver inte l\u00f6sa gr\u00e4nsv\u00e4rdet.`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{(x+h)^{\\\\frac{1}{3}}-x^{\\\\frac{1}{3}}}{h}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d67\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=2x^3+x+1\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=6x^2+1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d68\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=ax^5-bx^3+cx\\\$ Vi att tangenterna som tangerar funktionen \\\$f(x)\\\$ i \\\$x=\\\\pm q\\\$ allt \u00e4r parallella.`,\n svar: `Det st\u00e4mmer. Visa genom att derivera funktionen och s\u00e4tt in \\\$x=\\\\pm q\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-12-153500.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d69\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{e^{2x}}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{-2}{e^{2x}}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"talete\"],\n kod: \"d70\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=4^{2x}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=2ln4\\\\cdot 4^{2x}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d71\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) Best\u00e4m \\\$f'(0)\\\$ <\/p> b) F\u00f6r vilka punkter \u00e4r \\\$f'(x)>0\\\$ \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-28-080719.png\" alt=\"Gr\u00e5 figur\"> `,\n svar: `a) \\\$f'(0)=0\\\$ b) b och f. `,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d72\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=\\\\sqrt{x}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{1}{2\\\\sqrt{x}}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d73\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=e^{3x}+e^x\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=3e^{3x}+e^x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"talete\"],\n kod: \"d74\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m tangenten som tangerer funktionen \\\$f(x)=e^x\\\$ i \\\$x=2\\\$.`,\n svar: `\\\$y=e^2x-e^2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\", \"talete\"],\n kod: \"d75\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=e^{-x}+4e^x+e^2\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=-e^{-x}+4e^x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"talete\"],\n kod: \"d76\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m talet \\\$a\\\$ om \\\$f(x)=e^{ax}+\\\\frac{1}{e^{4x}}\\\$ om \\\$f'(0)=0\\\$`,\n svar: `\\\$a=4\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"talete\"],\n kod: \"d77\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{x}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{-1}{x^2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d78\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$f''(2)\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{x}\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{4}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d79\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)\\\$. Rita av grafen och s\u00e4tt ut punkter d\u00e4r du med s\u00e4kerhet kan s\u00e4ga att \\\$f''(x)=0\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-20.42.33.png\">`,\n svar: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-20.44.26.png\">`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d80\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du derivatafunktionen \\\$f'(x)\\\$ f\u00f6r en tredjegradsfunktion \\\$f(x)\\\$. Best\u00e4m hur m\u00e5nga nollst\u00e4llen \\\$f(x)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-22.09.18.png\">`,\n svar: `\\\$f(x)\\\$ har enbart ett nollst\u00e4lle.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d81\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=x^{3,32}\\\$ Best\u00e4m f\u00f6r vilket x-v\u00e4rde \\\$f'(x)=1\\\$. Svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar: `\\\$x=0,59\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d82\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=e^{0,34x}\\\$. Best\u00e4m k-v\u00e4rdet f\u00f6r den tangent som tangerar funktionen \\\$f(x)\\\$ i \\\$x=2\\\$. Svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar: `\\\$k=0,67\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"derivatagraf\", \"talete\"],\n kod: \"d83\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m medellutningen i intervallet \\\$0< x< 1\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=2,3^x\\\$. Svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar: `Medellutningen \u00e4r 1,32`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d84\"\n },\n{\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=5^x\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=ln5\\\\cdot 5^x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d85\"\n },\n{\n fraga: `Skissa derivatafunktionen till en tredjegradsfunktion som inte har n\u00e5gra extrempunkter.`,\n svar: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-21.14.40.png\">`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d86\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m gr\u00e4nsv\u00e4rdet \\\$\\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{(1+h)^8-1^8}{h}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(1)=8\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d87\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=6e^{\\\\frac{x}{3}}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=2e^{\\\\frac{x}{3}}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"talete\"],\n kod: \"d88\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=e^{kx}\\\$ vet du att \\\$f''(x)-2f'(x)-8f(x)=0\\\$ Best\u00e4m talet \\\$k\\\$ `,\n svar: `\\\$k_1=4, k_2=-2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"talete\"],\n kod: \"d89\"\n },\n {\n fraga: `Vilket tal m\u00e5ste \\\$a\\\$ vara f\u00f6r att f\u00f6ljande likhet ska uppst\u00e5? \\\$\\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{a^h-1}{h}=1\\\$`,\n svar: `\\\$a=e\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"derivatadef\", \"talete\"],\n kod: \"d90\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en graf f\u00f6r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=e^{kx}\\\$ och en tangent till grafen som sk\u00e4r i \\\$x=2\\\$. Best\u00e4m talet \\\$k\\\$ f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-03-105833.png\">`,\n svar: `\\\$k=3\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"derivatagraf\", \"talete\"],\n kod: \"d91\"\n },\n {\n fraga: `Visa att funktionen \\\$f(x)=e^x-e^ax\\\$ har en minimipunkt i \\\$x=a\\\$ oavsett v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ d\u00e4r \\\$a\\\$ \u00e4r en konstant.`,\n svar: `Derivera funktionen och visa att extrempunkten alltid \u00e4r i \\\$x=a\\\$, visa d\u00e4refter att den alltid \u00e4r en minimipunkt.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\", \"talete\"],\n kod: \"d92\"\n },\n {\n fraga: `Unders\u00f6k om funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{x^3}{3}+2x^2+5x\\\$ har n\u00e5gra extrempunkter.`,\n svar: `Funktionen har inga extrempunkter eftersom \\\$f'(x)=0\\\$ saknar reella l\u00f6sningar`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\", \"deriveringsregler\"],\n kod: \"d93\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=e^{3x+2}\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=3e^2 \\\\cdot e^{3x}=3e^{3x+2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\", \"talete\"],\n kod: \"d94\"\n },\n {\n fraga: ` Observera graferna till funktionerna \\\$f(x)\\\$ och \\\$g(x)\\\$. Besvara f\u00f6ljande fr\u00e5gor. <\/p> a) L\u00f6s ekvationen \\\$f'(x)=0\\\$ <\/p> b) L\u00f6s ekvationen \\\$f''(x)=0\\\$<\/p> c) L\u00f6s ekvationen \\\$f'(x)+g'(x)=0\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-15-135846.png\">`,\n svar: `a) \\\$x=2)\\\$ b) \\\$x=2\\\$ c) Ungef\u00e4r \\\$x=1\\\$ och \\\$x=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,1],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d95\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en funktion \\\$f(x)=2x^5+3x^3-ax^2+10\\\$ vet du att \\\$\\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=9\\\$. Best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$.`,\n svar: `\\\$a=5\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d96\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en funktion \\\$f(x)\\\$ vet du att \\\$f'(3)=\\\\lim\\\\limits_{h \\\\to 0} \\\\frac{(3+h)^3-3^3}{h}=27\\\$. Best\u00e4m \\\$f'(4)\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(4)=48\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"derivatadef\"],\n kod: \"d97\"\n }\n ],\n problemlosningderivata: [\n {\n fraga: `Joakim \u00e4lskar fisk. D\u00e4rf\u00f6r vill han att det ska finnas mycket fisk i hans sj\u00f6 Jidesj\u00f6n.\nEnligt hans modell kommer m\u00e4ngden fisk att f\u00f6r\u00e4ndras mellan \u00e5ren 2023\u20132027 p\u00e5\nf\u00f6ljande s\u00e4tt d\u00e4r \ud835\udc61 \u00e4r \u00e5ren fr\u00e5n 2023.<\/p> \\\$F(t)=5t^3-60t+200\\\$ <\/p> Best\u00e4m vilket \u00e5r det finns mest respektive minst fisk i Jidesj\u00f6n `,\n svar: `Mest 2027 och minst 2025`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p1\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du funktionen \\\$f(x) = e^{-x}\\\$. F\u00f6r tangenter som tangerar funktionen\nf\u00f6r x > 0 skapas en triangel som avgr\u00e4nsas av den postiva x- och y-axeln.\nTangenten tangerar funktionen i x = a. F\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 a skapas den\nst\u00f6rsta m\u00f6jliga arean? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-30-075926.png\">`,\n svar: `\\\$a=1\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true,\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p2\"\n},\n {\n fraga: `En rektangel placeras under grafen till funktionen \\\$f(x)=18-x^2\\\$. Rektangeln har h\u00f6rn p\u00e5 grafen och avgr\u00e4nsas av x-axeln. Best\u00e4m den maximala arean p\u00e5 rektangeln.`,\n svar: `58,8 areaenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p3\"\n},\n {\n fraga: `Tempteraturen \\\$f(t)\\\$ \\\$C^\\\\circ\\\$ p\u00e5 kaffe i en termos g\u00e5r att beskriva med funktionen \\\$f(t)=92e^{-0,097t}\\\$ d\u00e4r \\\$t\\\$ \u00e4r tiden i timmar. Best\u00e4m om tolka f\u00f6ljande <\/p> a) \\\$f(3)\\\$ <\/p> b) \\\$f'(4)\\\$`,\n svar: `a) \\\$f(3)=68,8\\\$ temperaturen \u00e4r 68,8 efter 3 timmar. b) \\\$f'(4)=-6\\\$ efter 4 timmar minskar temperaturen med 6 grader per timme.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p4\"\n},\n {\n fraga: `Ett virus sprids i en storstad Joakimk\u00f6ping. Antalet smittade g\u00e5r att beskriva med funktionen \\\$f(x)=200\\\\cdot 2,1^x\\\$ d\u00e4r \\\$x\\\$ \u00e4r antalet veckor fr\u00e5n utbrottet. Forskare menar att man m\u00e5ste ta vid \u00e5tg\u00e4rder d\u00e5 smitthastigheten \u00e4r 6000\/vecka. Hur l\u00e5ng tid kommer det ta? `,\n svar: `5 veckor`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p5\"\n},\n {\n fraga: `Joakim ska bygga en l\u00e5da och vill maximera dess volym. Han har gjort f\u00f6ljande skiss\nd\u00e4r han kommer vika upp sidorna enligt bilden nedan. Best\u00e4m den maximala volymen\nl\u00e5dan kan anta och best\u00e4m dess dimensioner <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-30-152537.png\">`,\n svar: `Volymen \u00e4r 128 volymenheter.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-30-152807.png\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p6\"\n},\n{\n fraga: `En epidemi sprids i ett isolerat land. Antalet smittade g\u00e5r att beskriva med f\u00f6ljande funktion \\\$S(t)=\\\\frac{10000}{9e^{\\\\frac{-t}{25}}+1}\\\$. d\u00e4r \\\$t\\\$ \u00e4r antal dagar fr\u00e5n den 100 smittade. Man r\u00e4knar med att alla i byn kommer smittas f\u00f6rr eller senare. Efter hur m\u00e5nga dagar smittas flest personer p\u00e5 en dag? `,\n svar: `Ungef\u00e4r 55 dagar.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p7\"\n},\n{\n fraga: `Ett f\u00f6rem\u00e5l \u00e4r i fritt fall. Str\u00e4ckan i meter f\u00f6rem\u00e5let har n\u00e5tt efter \\\$t\\\$ sekunder g\u00e5r att\nbeskriva med funktionen \\\$S(t)=50t+5e^{\\\\frac{-t}{5}}+5\\\$. Unders\u00f6k vad som sker med hastigheten p\u00e5 f\u00f6rem\u00e5let \u00f6ver tid.`,\n svar: `Det g\u00e5r mot 50 m\/s`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-21.11.01.png\">`,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p8\"\n},\n{\n fraga: `Fiskpopulationen i en sj\u00f6 minskar exponentiellt efter att en fabrik byggts i n\u00e4rheten. En milj\u00f6organisation vill uppm\u00e4rksamma hur fiskarna p\u00e5verkas av fabriken och vill d\u00e4rf\u00f6r best\u00e4mma hur m\u00e5nga fiskar det fanns 2010 d\u00e5 fabriken b\u00f6rjade byggas.<\/p>\n\nOrganisationen noterar att det 2025 finns 10 000 fiskar i sj\u00f6n och att de just det \u00e5ret minskar med 500 fiskar\/\u00e5r. Best\u00e4m hur m\u00e5nga fiskar det fanns innan fabriken byggdes. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-13-100915.png\">\n`,\n svar: `Ungef\u00e4r 21170 fiskar`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n digital: true ,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p9\"\n},\n{\n fraga: `Joakim ska h\u00e4mta vatten i ett vattendrag. Han b\u00f6rjar p\u00e5 punkten A som \u00e4r 1 km\n(vinkelr\u00e4tt) fr\u00e5n vattendraget ska h\u00e4mta vatten och sedan g\u00e5 till punkt B som \u00e4r 0,75\nkm (vinkelr\u00e4tt) fr\u00e5n vattendraget. N\u00e4r Joakim g\u00e5r utan vatten g\u00e5r han med en hastighet\n\ud835\udc49. N\u00e4r han g\u00e5r med vattnet minskar hastigheten med 50%. Hur ska Joakim g\u00e5 f\u00f6r att\nminimera tiden det tar f\u00f6r honom att h\u00e4mta vatten? : \n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-30-155730.png\"> `,\n svar: `Han ska g\u00e5 1,65 meter l\u00e4ngst med vattnet f\u00f6r att minimera str\u00e4ckan (se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-30-155905.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true ,\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p10\"\n},\n{\n fraga: `Du har funktionen \\\$f(x)=ax^6\\\$ och du vet att tangenten \\\$y=12x-20\\\$ tangerar grafen till funktionen i ett ok\u00e4nt x-v\u00e4rde. Best\u00e4m talet \\\$a\\\$`,\n svar: `\\\$a=\\\\frac{1}{16}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p11\"\n},\n{\n fraga: `Ett r\u00e4tblock utan lock har volymen 36 \\\$m^3\\\$ F\u00f6r vilka sidl\u00e4ngder p\u00e5 2\ud835\udc4e, \ud835\udc4e \ud835\udc5c\ud835\udc50\u210e \ud835\udc4f har\nr\u00e4tblockets sammanlagda sidor den minsta arean men fortfarande den best\u00e4mda\nvolymen p\u00e5 \\\$m^3\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-30-153902.png\">`,\n svar: `\\\$a=3, b=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-30-154302.png\">`,\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p12\"\n},\n{\n fraga: `Nedan ser du en r\u00e4tvinklig triangel. Arean f\u00f6r den bl\u00e5 fyrh\u00f6rningen med ok\u00e4nda\nsidl\u00e4ngder \u00e4r 12 a.e. Vilken \u00e4r den minsta triangeln (i area) utifr\u00e5n figuren som\ntillfredsst\u00e4ller kravet att ha en inritad fyrh\u00f6rning som har arean 12 a.e? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-20.04.06.png\">`,\n svar: `24 areaenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-20.05.55.png\">`,\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p13\"\n},\n{\n fraga: `En rektangel placeras under grafen till funktionen \\\$f(x)=12-x^2\\\$ och avgr\u00e4nsas av x-axeln. Best\u00e4m den maximala arean rektangeln kan anta`,\n svar: `32 areaenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p14\"\n},\n{\n fraga: `Joakim spelar i bandet Joakim Rockers och ska anordna en v\u00e4rldsturn\u00e9 och de ska nu\nbest\u00e4mma vilket pris de ska ta f\u00f6r biljetterna. Enligt bokningsbolaget Joakim Rockers\nhar anst\u00e4llt kommer 100 000 personer p\u00e5 en spelning om de s\u00e4tter ett pris p\u00e5 500 kr.\nMen om de h\u00f6jer priset 20 kr kommer 2% mindre m\u00e4nniskor, om de h\u00f6jer med 40 kr\nkommer ytterligare 2% mindre osv. Vilket biljettpris ska Joakim Rockers s\u00e4tta f\u00f6r att\nmaximera sin vinst?`,\n svar: `990 per biljett`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p15\"\n},\n{\n fraga: `En s\u00e4lunges vikt de f\u00f6rsta levnads\u00e5ren g\u00e5r att beskriva med funktionen<\/p> \\\$f(x)=\\\\frac{150}{3e^{-0,43x}+1,3}\\\$<\/p> Hur gammal \u00e4r s\u00e4lungen d\u00e5 den v\u00e4xer som snabbast?`,\n svar: `Ungef\u00e4r 2 \u00e5r`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p16\"\n},\n{\n fraga: `Joakim ska bygga en ny rabatt f\u00f6r sina blommor. Han ska bygga rabatten p\u00e5 en form\nsom figuren visar nedan. Rektanglarna a och b ska vara identiska och han beh\u00f6ver bara\nbygga staket f\u00f6r rabatten f\u00f6r de helstr\u00e4ckade linjerna. Joakim vill att arean f\u00f6r hela\nomr\u00e5det ska vara 20 \\\$m^2\\\$. Best\u00e4m den minimala omkretsen som rabattomr\u00e5det kan ha. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-10.03.22.png\">`,\n svar: `Ungef\u00e4r 2 \u00e5r`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-10.03.58.png\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p17\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6r en medicin Spyketrabon kan man se att medicinen avtar i blodet exponentiellt. Om\nman tar en tablett som inneh\u00e5ller en ok\u00e4nd m\u00e4ngd kan man efter 5 timmar se att\nm\u00e4ngden medicin avtagit till 0,30 gram och avtar d\u00e5 med en hastighet p\u00e5 0,1\ngram\/timme.<\/p>\nF\u00f6retaget som tar fram Spyketrabon har best\u00e4mt att man kan ta n\u00e4sta tablett n\u00e4r 0,2\ngram av medicinen \u00e4r kvar i bloden. Hur l\u00e5ng tid kommer det ta? `,\n svar: `6,23 timmar`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-10.09.11.png\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p18\"\n},\n{\n fraga: `Ett f\u00f6retag har gjort en prognos f\u00f6r hur mycket koldioxid f\u00f6retaget kommer sl\u00e4ppa ut\nde n\u00e4rmsta \u00e5ren. De har tagit fram f\u00f6ljande modell som beskriver hur m\u00e5nga ton\nkoldioxid de sl\u00e4pper ut efter \ud835\udc65 \u00e5r fr\u00e5n 2023<\/p> \\\$K(x)=240e^{-0,32x}+100\\\$. <\/p> a) F\u00f6retaget har ett m\u00e5l att koldioxidutsl\u00e4ppet ska har halverats 2028 i f\u00f6rh\u00e5llande till\n2023 niv\u00e5er. Lyckas dem? <\/p> b) Ungef\u00e4r vilket \u00e5r minskar koldioxidutsl\u00e4ppen med hastigheten 40 ton\/\u00e5r? `,\n svar: `a) Ja de lyckas. b) Ungef\u00e4r 2025`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p19\"\n},\n{\n fraga: `Tv\u00e5 olika organisationer har gjort modeller f\u00f6r hur s\u00e4lungars vikt i kg f\u00f6r\u00e4ndras efter f\u00f6dseln. Organisationen 1 har gjort f\u00f6ljande modell \\\$V(t)=3,5e^{0,354t}\\\$ d\u00e4r \\\$t\\\$ \u00e4r tiden i m\u00e5nader. <\/p> Organisation 2 har tagit fram f\u00f6ljande modell f\u00f6r att beskriva samma sak \\\$W(t)=0,45t^2+1,5t+3,5\\\$<\/p> Best\u00e4m vilken m\u00e5nad efter f\u00f6dseln som s\u00e4lungarnas tillv\u00e4xthastighet \u00e4r samma f\u00f6r b\u00e5da modellerna?.`,\n svar: `N\u00e4stan 13 m\u00e5nader.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p20\"\n},\n{\n fraga: `Ett f\u00f6retag som anordnar fester f\u00f6r studenter vill maximera sin vinst. F\u00f6retaget har\ngjort prognosen att om priset p\u00e5 en biljett \u00e4r 100 kr kommer 2000 personer. Om de\nh\u00f6jer priset med 5 kr kommer 50 personer mindre att komma p\u00e5 festen och om de\nh\u00f6jer priset med 10 kr kommer 100 f\u00e4rre personer osv. Vilket \u00e4r det optimala priset p\u00e5\nbiljetterna om de vill optimera sin vinst`,\n svar: `150 kr`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p21\"\n},\n{\n fraga: `Visa att om man placerar en rektangel i en godtycklig r\u00e4tvinklig triangel kommer den st\u00f6rsta m\u00f6jliga rektangeln i triangeln alltid t\u00e4cka \\\$\\\\frac{1}{2}\\\$ av triangeln area. Tips: Anv\u00e4nd koordinatsystem `,\n svar: `Korrekt bevis: se till exempel l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/Skarmbild-2025-09-30-153635.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p22\"\n},\n{\n fraga: `Ett f\u00f6retag ska konstruera en kon som har f\u00f6ljande begr\u00e4nsning\nRadien f\u00f6r konen och h\u00f6jden f\u00f6r konen ska summeras till 3 dm. Best\u00e4m\nvilken som \u00e4r den maximala volymen en s\u00e5dan kon kan anta. Svara exakt. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Skarmavbild-2025-12-10-kl.-06.50.04.png\">`,\n svar: `Maximala arean \u00e4r \\\$\\\\frac{4\\\\pi}{3}\\\$ kvadratdecimeter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p23\"\n},\n{\n fraga: `Temperaturen i grader \\\$C^{\\\\circ}\\\$\nen vinternatt g\u00e5r att beskriva med funktionen <\/p> \\\$T(t)=e^{0,4t}-2t+4\\\$ <\/p> \nd\u00e4r t \u00e4r antalet timmar r\u00e4knat fr\u00e5n 00.00. Best\u00e4m vad klockan \u00e4r i det\n\u00f6gonblick d\u00e5 temperaturen \u00f6kar med hastigheten 1 \\\$C^{\\\\circ}\\\$\/timme.<\/p>`,\n svar: `Ungef\u00e4r kl 05.00`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p24\"\n},\n{\n fraga: `Joakim ska bygga nya f\u00f6nster till sin dyra l\u00e4genhet i New York. F\u00f6nstret\nkommer ha formen som visas nedan och kommer ha omkretsen 5 meter.\nNotera att toppen \u00e4r en halvcirkel. Joakim vill maximera ljusinsl\u00e4ppet\n(allts\u00e5 arean p\u00e5 f\u00f6nstret). Vilken \u00e4r den maximala arean som f\u00f6nstret kan\nha? Du kan t\u00e4nka bort samtliga detaljer i f\u00f6nstret. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-15-133500.png\">`,\n svar: `1,75 kvadratmeter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true, \n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p25\"\n},\n{\n fraga: `Du jobbar p\u00e5 ett f\u00f6retag Joakims el som ska dra en elkabel fr\u00e5n ett elkraftverk till en \u00f6.\nElkraftverket ligger tv\u00e5 km fr\u00e5n kusten. \u00d6n ligger en km fr\u00e5n kusten i \u00f6stlig riktning\noch sedan tv\u00e5 km fr\u00e5n elkraftverket i sydlig riktning. Att dra kabeln p\u00e5 land kostar 100\nkr\/m och i vattnet kostar det 50 kr\/m. Joakims el vill s\u00e5klart minimera kostnaden f\u00f6r\nkabeln. Hur mycket blir den billigaste dragningen av elkabeln som Joakims el kan dra??`,\n svar: `235579 kr`,\n niva: \"A\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-15-134151.png\">`,\n poang: [0,0,3],\n digital: true, \n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p26\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6ljande funktion \\\$G(t)\\\$ beskriver hur m\u00e5nga personer som \u00e4r p\u00e5 Joakims\nlilla gym fr\u00e5n 12.00 p\u00e5 en torsdag. D\u00e4r \\\$G(t)\\\$ \u00e4r antalet personer och \\\$t\\\$ \u00e4r\ntimmar fr\u00e5n 12.00. <\/p> \n\\\$G(t)=4,4t^2 \\\\cdot e^{-0,4t}+10\\\$ <\/p> a) Vad \u00e4r tiden d\u00e5 antalet bes\u00f6kare \u00e4r som h\u00f6gst? <\/p> b) Vad \u00e4r tiden d\u00e5 antalet bes\u00f6kare \u00f6kar som mest? `,\n svar: `a) 17.00 b) Ungef\u00e4r 13.30`,\n niva: \"C\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-15-134151.png\">`,\n poang: [0,2,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"p27\"\n},\n{\n fraga: `Joakims f\u00f6retag vill konstruera en burk som har en cirkul\u00e4r botten som ska g\u00e5 att\nfyllas med 0.5 \\\$dm^3\\\$ v\u00e4tska. Men Joakims f\u00f6retag \u00e4r s\u00e5klart milj\u00f6medvetna, de vill\nanv\u00e4nda s\u00e5 lite material som m\u00f6jligt. D\u00e4rf\u00f6r vill de minimera materialet f\u00f6r burken (s\u00e5\nlite area som m\u00f6jligt). Antag att toppen av burken har ett h\u00e5l i form av en cirkel som\nhar diametern 1 cm. Vilka dimensioner ska burken ha f\u00f6r att Joakims f\u00f6retag ska\nminimera material\u00e5tg\u00e5ngen, allts\u00e5 s\u00e5 att burken inneh\u00e5ller s\u00e5 lite area som m\u00f6jligt men\nsamtidigt inneh\u00e5ller 0.5 \\\$dm^3\\\$ JJ-l\u00e4sk? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-15-155627.png\">`,\n svar: `Radie 0,4 dm och h\u00f6jden ska vara 0,9 dm`,\n niva: \"A\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-15-155817.png\">`,\n poang: [0,0,3],\n digital: true, \n underkategori: [\"extrem\"],\n kod: \"p28\"\n}\n ],\n\n integraler: [\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{2} 3x^2+1 dx\\\$.`,\n svar: `10`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i1\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{1}^{2} \\\\frac{1}{x^2} dx\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i2\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{1}^{2} \\\\frac{x^2-9}{x-3} dx\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{9}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i3\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{2} 3x+1 dx\\\$.`,\n svar: `8`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i4\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{1} 4x^3 dx\\\$.`,\n svar: `1`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i5\"\n },\n {\n fraga: `Visa att \\\$\\\\int_{0}^{1} nx^{n-1} dx=1\\\$ oavsett v\u00e4rde p\u00e5 \\\$n\\\$.`,\n svar: `Best\u00e4m den primitiva funktionen och visa att sambandet g\u00e4ller.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i6\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{3} x^{2,32} dx\\\$. Svara med tv\u00e5 decimler`,\n svar: `11,56`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i7\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{3} f(x) dx\\\$. Om du vet att \\\$\\\\int_{0}^{10} f(x) dx=25\\\$ och \\\$\\\\int_{3}^{10} f(x) dx=19\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\int_{0}^{10} f(x) dx=6\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i8\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du tv\u00e5 markerade omr\u00e5den och andragradsfunktionen \\\$f(x)=-x^2+a\\\$. Visa att det r\u00f6dmarkerade omr\u00e5det \u00e4r dubbelt s\u00e5 stort som det bl\u00e5markerade. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-26-164516.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Skriv ett integraluttryck f\u00f6r respektive area och visa att den ena \u00e4r dubbelt s\u00e5 stor som den andra.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i9\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{-2}^{0} f(x) dx\\\$. Om du vet att den markerade arean nedan \u00e4r \\\$\\\\frac{8}{3}\\\$ areaenheter. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-24-102645.png\">`,\n svar: `\\\$\\\\frac{8}{3}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i10\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m talet \\\$a\\\$ om \\\$\\\\int_{1}^{a} \\\\frac{1}{2 \\\\sqrt{x}} dx=1\\\$.`,\n svar: `a=4`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i12\"\n },\n {\n fraga: `Om du vet att funktionen \\\$f(x)\\\$ Beskriver hastigheten i vilket en befolkning \u00f6kar fr\u00e5n 2020. Beskriv d\u00e5 i ord vad f\u00f6ljande integral betyder \\\$\\\\int_{0}^{5} f(x) dx=25000\\\$.`,\n svar: `Mellan 2020 och 2025 \u00f6kade befolkningen med 25000 personer.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i13\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m konstanten \\\$k\\\$ om \\\$\\\\int_{0}^{2} kx^2 dx=8\\\$`,\n svar: `\\\$k=3\\\$.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i14\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{-a}^{a} -x^3+x dx\\\$ f\u00f6r alla a>0.`,\n svar: `Det kommer alltid bli 0`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i15\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)\\\$.<\/p> a) Best\u00e4m \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ s\u00e5 att f\u00f6ljande integral blir s\u00e5 stor som m\u00f6jligt. \\\$\\\\int_{a}^{b} f(x) dx\\\$ <\/p> b) Best\u00e4m \\\$c\\\$ och \\\$d\\\$ s\u00e5 att f\u00f6ljande integral blir s\u00e5 stor som m\u00f6jligt. \\\$\\\\int_{c}^{d} f'(x) dx\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-09.09.21.png\">`,\n svar: `a) \\\$a=1\\\$ och \\\$b=3\\\$ b) \\\$c=-0,1\\\$ och \\\$d=2\\\$.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,2],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i16\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{-1}^{2} f'(x) dx\\\$ med hj\u00e4lp av grafen nedan.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-08.39.59.png\">`,\n svar: `3. Tips: utveckla integraluttrycket och g\u00f6r sedan en grafisk l\u00f6sning.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i17\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m den markerade arean. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-09.29.56.png\">`,\n svar: `\\\$\\\\frac{3}{4}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i18\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)\\\$ Best\u00e4m \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$ s\u00e5 att f\u00f6ljande integral blir s\u00e5 stor som m\u00f6jligt \\\$\\\\int_{a}^{b} f'(x) dx\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-09.30.07.png\">`,\n svar: `\\\$a=4\\\$ \\\$b=7\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i19\"\n },\n {\n fraga: `Grafen till \\\$f(x)\\\$ nedan beskriver hastigheten som en persom h\u00e5ller i m\/s. Vad vill Joakim best\u00e4mma om han st\u00e4mmer upp f\u00f6ljande integral \\\$\\\\int_{1}^{3} f(x) dx\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-09.30.18.png\">`,\n svar: `Hur l\u00e5ngt personen har f\u00e4rdats mellan 1 och 3 sekunder in i f\u00e4rden.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i20\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m arean av det markerade omr\u00e5det nedan. Svara exakt. Graferna tillh\u00f6r funktionenerna \\\$f(x)=e^x+1\\\$ och \\\$g(x)=e^{-x}+1\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-08.45.42.png\">`,\n svar: `\\\$2-\\\\frac{2}{e}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-08.49.20.png\">`,\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i21\"\n },\n {\n fraga: `Visa att integralen \\\$\\\\int_{-a}^{a} kx dx = 0\\\$.`,\n svar: `Visa att om man utvecklar integraluttrycket kommer man alltid f\u00e5 noll.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i22\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en funktion \\\$f(x)\\\$ vet du att \\\$f''(x)=4x+2\\\$ <\/p> Du vet ocks\u00e5 att \\\$f(x)\\\$ har en extrempunkt i \\\$x=1\\\$<\/p> Grafen till \\\$f(x)\\\$ sk\u00e4r y-axeln i \\\$y=5\\\$. Best\u00e4m funktionen \\\$f(x)\\\$ `,\n svar: `\\\$f(x)=\\\\frac{2x^3}{3}+x^2-4x+5\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i23\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{-1}^{1} e^{2x} \\\\ dx\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{e^2-e^{-2}}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i24\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{1} x^4 \\\\ dx\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{5}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i25\"\n },\n {\n fraga: `Observera den markerade arean nedan. St\u00e4ll upp ett integraluttryck som beskriver arean. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-24-131803.png\">`,\n svar: `\\\$\\\\int_{0}^{5} f(x) \\\\ dx\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i26\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{1} \\\\frac{3}{e^{2x}} \\\\ dx\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{-3e^{-2}+3}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i27\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga primitiva funktioner till f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=2x+e^x\\\$ `,\n svar: `\\\$F(x)=x^2+e^x+C\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i28\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga primitiva funktioner till f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=\\\\frac{-1}{x^2}\\\$ `,\n svar: `\\\$F(x)=\\\\frac{1}{x}+C\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i29\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m den primitiva funktion f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ som uppfyller kravet \\\$F(1)=3\\\$. \\\$f(x)=4x^3+1\\\$`,\n svar: `\\\$F(x)=x^4+x+1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i30\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m den primitiva funktion f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ som uppfyller kravet \\\$F(0)=10\\\$. \\\$f(x)=4e^{2x}\\\$`,\n svar: `\\\$F(x)=2e^{2x}+8\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i31\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m den primitiva funktion f\u00f6r \\\$f(x)\\\$ som uppfyller kravet \\\$F(4)=7\\\$. \\\$f(x)=\\\\frac{1}{2\\\\sqrt{x}}\\\$`,\n svar: `\\\$F(x)=\\\\sqrt{x}+5\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i32\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{4} \\\\sqrt{x} \\\\ dx\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{16}{3}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i33\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m talet \\\$a\\\$ om \\\$\\\\int_{-1}^{a} x^2 \\\\ dx=3\\\$.`,\n svar: `\\\$a=2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i34\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en area i ett koordinatsystem. Beskriv i ord vad arean \ud835\udc34 beskriver rent\npraktiskt. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-12-152712.png\">`,\n svar: `Hur l\u00e5ngt man f\u00e4rdats mellan 2 och 5 sekunder `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i35\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m arean av det markerade omr\u00e5dena.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-08.33.06.png\">`,\n svar: `a) \\\$e-1\\\$ b) \\\$\\\\frac{5}{3}\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i36\"\n },\n {\n fraga: `Det markerade omr\u00e5det mellan funktionerna \u00e4r \\\$\\\\frac{1}{2}\\\$ areaenheter. Best\u00e4m konstanten \\\$C\\\$.<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-24-143625.png\">`,\n svar: `\\\$C=2\\\$ `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i37\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{1} \\\\frac{e^x+xe^{x+1}}{1+xe} \\\\ dx\\\$.`,\n svar: `\\\$e-1\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag:\n `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-08.29.11.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i38\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{1} \\\\frac{x^2-4}{x+2} \\\\ dx\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{-3}{2}=-1,5\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i40\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en funktion \\\$f(x)\\\$ vet du f\u00f6ljande:<\/p>\n\n<ul>\n <li>\\\$f''(x)=3x^2\\\$<\/li>\n <li>\\\$f(x)\\\$ har en extrempunkt i \\\$x=3\\\$<\/li>\n <li>Den r\u00e4ta linjen \\\$y=-19x+38\\\$ tangerar funktionen \\\$f(x)\\\$<\/li>\n<\/ul>\n\nBest\u00e4m funktionen \\\$f(x)\\\$.<\/p>\t\n`,\n svar: `\\\$f(x)=\\\\frac{x^4}{4}-27x+50\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"primitiv\",\"derivatagraf\"],\n kod: \"i41\"\n},\n {\n fraga: `F\u00f6r en funktion vet du att \\\$f''(x)=x\\\$, du vet ocks\u00e5 att \\\$f'(1)=2\\\$ samt att \\\$f(1)=3\\\$. Best\u00e4m funktionen \\\$f(x)\\\$`,\n svar: `\\\$f(x)=\\\\frac{x^3}{6}+\\\\frac{3x}{2}+\\\\frac{4}{3}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n losningsforslag:\n `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmbild-2025-10-31-114332.png\">`,\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i39\"\n }\n ],\n\n problemlosningintegral: [\n {\n fraga: `Joakimtremonie \u00e4r en bakterie som f\u00f6rekommer i sushi. Den kan vara mycket farlig\noch d\u00e4rf\u00f6r vill man inte att bakterieantalet ska \u00f6verstiga 100 000 i en sushi. Joakim har\ni sitt labb unders\u00f6kt olika sushi och kommit fram till att de flesta har 1000 bakterier i\nsig fr\u00e5n b\u00f6rjan n\u00e4r de serveras och sedan \u00f6kar bakterieantalet med hastigheten \\\$v(t)=64,5e^{0,215t}\\\$ d\u00e4r \ud835\udc61 \u00e4r antalet minuter efter servering. Efter hur m\u00e5nga minuter \u00e4r inte\nsushin l\u00e4ngre \u00e4tbar enligt modellen?`,\n svar: \"Ungef\u00e4r 27 minuter\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"integralproblem\"],\n kod: \"b1\"\n },\n {\n fraga: `Joakim vill unders\u00f6ka hur m\u00e5nga fiskar det finns i hans favoritsj\u00f6 Pekingsj\u00f6n. Han vet\natt antalet minskar exponentiellt och med en hastighet under \u00e5ren 2010\u20132023 som g\u00e5r\natt beskriva med funktionen d\u00e4r \ud835\udc53(\ud835\udc61) \u00e4r fiskar\/\u00e5r<\/p> \\\$f(t)=-34,7e^{-0,0072t}\\\$ <\/p> Hur m\u00e5nga fiskar har f\u00f6rsvunnit fr\u00e5n Pekingsj\u00f6n under \u00e5ren 2010-2023?`,\n svar: \"Det har minskat med ungef\u00e4r 430 fiskar\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-04-kl.-09.48.25.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"integralproblem\"],\n kod: \"b2\"\n },\n {\n fraga: `Joakim vill unders\u00f6ka hur l\u00e5ng tid det tar innan hans bil g\u00f6r slut p\u00e5 bensin. Han vet\nutifr\u00e5n bruksanvisningen att bensinen f\u00f6rbrukas med en hastighet liter\/mil med\nfunktionen \\\$f(x)=e^{-0,054x}+0,73\\\$. Joakim fyller p\u00e5 med 50 liter. Hur l\u00e5ng tid\nkommer det ta innan Joakim har f\u00f6rbrukat hela tanken utifr\u00e5n modellen? `,\n svar: `45,32 mil`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"integralproblem\"],\n kod: \"b3\"\n},\n {\n fraga: `Nedan ser du tv\u00e5 markerade areor. Den orange-markerade arean \u00e4r arean under grafen\ntill funktionen \\\$f(x)=x^a\\\$ d\u00e4r \ud835\udc4e \u00e4r ett positivt heltal. Visa att den bl\u00e5a arean alltid \u00e4r \ud835\udc4e\ng\u00e5nger st\u00f6rre \u00e4n den orangea arean. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-22.26.51.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-22.27.05.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"integralproblem\"],\n kod: \"b4\"\n},\n {\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)=e^{-x}\\\$ samt linjen \\\$y=1\\\$. som tillsammans avgr\u00e4nsar tv\u00e5 areaomr\u00e5den.\nF\u00f6r vilken koordinat p\u00e5 punkten A \u00e4r den r\u00f6da och den bl\u00e5 arean lika stora? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-22.20.23.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$(1,59,1)\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Skarmavbild-2025-10-03-kl.-22.23.25.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"integralproblem\"],\n kod: \"b5\"\n}\n ],\n\n trigonometri: [\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$sinx=1\/2\\\$ i intervallet \\\$0^{\\\\circ}< x <360^{\\\\circ}\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=30^{\\\\circ}, x_2=150^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t1\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$cosx=1\/2\\\$ i intervallet \\\$0^{\\\\circ}< x <360^{\\\\circ}\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=60^{\\\\circ}, x_2=300^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t2\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$cosx=\\\\frac{1}{\\\\sqrt{2}}\\\$ i intervallet \\\$0^{\\\\circ}< x <360^{\\\\circ}\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=45^{\\\\circ}, x_2=315^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t3\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$sinx=-1\\\$ i intervallet \\\$0^{\\\\circ}< x <360^{\\\\circ}\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=270^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t4\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$cosv=-1\\\$ i intervallet \\\$0^{\\\\circ}< v <270^{\\\\circ}\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=180^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t5\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2cosv=-1\\\$ i intervallet \\\$0^{\\\\circ}< v <270^{\\\\circ}\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=120^{\\\\circ}, x_2=240^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t6\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$cosv=0,24\\\$ i intervallet \\\$0^{\\\\circ}< v < 180^{\\\\circ}\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=76^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t7\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$sinv=0,8\\\$ i intervallet \\\$0^{\\\\circ}< v < 180^{\\\\circ}\\\$.`,\n svar: `\\\$x_1=53^{\\\\circ}, x_2=127^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t8\"\n },\n {\n fraga: `Motivera om f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$cos(89^{\\\\circ})=cos(271^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `De har samma v\u00e4rde, titta p\u00e5 enhetscirkeln`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t9\"\n }, \n {\n fraga: `Om du vet att \\\$cos(31^{\\\\circ})=0,86\\\$. Best\u00e4m d\u00e5 v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$cos(211^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `\\\$cos(211^{\\\\circ})=-0,86\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t10\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r vilka vinklar i intervallet \\\$0^{\\\\circ}< v <360^{\\\\circ}\\\$ \u00e4r \\\$cosv < cos(155^{\\\\circ\\\$`,\n svar: `\\\$155^{\\\\circ} < v < 205^{\\\\circ}\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t11\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande trigonometriska uttryck<\/p> a) \\\$sin(120^{\\\\circ})\\\$ <\/p> b) \\\$cos(-30^{\\\\circ})\\\$ <\/p> c) \\\$cos(405^{\\\\circ})\\\$ <\/p> d) \\\$sin(225^{\\\\circ})\\\$ `,\n svar: `a) \\\$\\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\$ b) \\\$\\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\$ c) \\\$\\\\frac{1}{\\\\sqrt{2}}\\\$ d)\\\$-\\\\frac{1}{\\\\sqrt{2}}\\\$ `,\n niva: \"E\",\n poang: [4,0,0],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t12\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r vilka vinklar i intervallet \\\$0^{\\\\circ}< v <360^{\\\\circ}\\\$ \u00e4r \\\$sin(v+90^{\\\\circ}) < cos(v-90^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `\\\$45^{\\\\circ} < v < 225^{\\\\circ}\\\$ `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"enhetscirkeln\"],\n kod: \"t13\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en triangel vet du att vet du att den har str\u00e4ckorna 16 cm, 17cm och\n18 cm. Best\u00e4m arean av triangeln.`,\n svar: `125 kvadratcentimeter`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"trigsatser\"],\n kod: \"t14\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en triangel vet du att tv\u00e5 vinklar \u00e4r \\\$58^{\\\\circ}\\\$ , \\\$72^{\\\\circ}\\\$ samt att arean \u00e4r 100 \\\$m^2\\\$. Best\u00e4m l\u00e4ngden p\u00e5 den kortaste str\u00e4ckan i triangeln.`,\n svar: `13,78 m`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"trigsatser\"],\n kod: \"t15\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar en liksidig triangel med sidl\u00e4ngden \ud835\udc4e. Visa att arean \ud835\udc34 f\u00f6r\nden liksidiga triangeln g\u00e5r att skriva som \\\$A=\\\\frac{\\\\sqrt{3}a^2}{4}\\\$`,\n svar: `Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-15-152119.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"trigsatser\"],\n kod: \"t16\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en oktagon (8-h\u00f6rning) d\u00e4r samtliga str\u00e4ckor \u00e4r lika l\u00e5nga. Visa att om a \u00e4r en str\u00e4cka fr\u00e5n ett h\u00f6rn till mittpunkten i oktagonen kan arean f\u00f6r oktagonen skrivas som \\\$A=\\\\frac{4a^2}{\\\\sqrt{2}}\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-15-152503.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag`,\n niva: \"A\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-03-15-152742.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"trigsatser\"],\n kod: \"t17\"\n },\n {\n fraga: `\tLandet Nicaraguas landyta g\u00e5r f\u00f6renklat rita som en liksidig triangel. Nicaragua har en landyta p\u00e5 130 000 \\\$km^2\\\$. Best\u00e4m sidl\u00e4ngden p\u00e5 triangeln som visas i bilden nedan om vi antar att den utg\u00f6r hela landsytan. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-01-28-152435.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `548 km`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"trigsatser\"],\n kod: \"t18\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vinkeln \\\$v\\\$. Svara med tv\u00e5 decimaler <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-01-28-150930.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `\\\$47,61^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"trigsatser\"],\n kod: \"t19\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m vinkeln \\\$v\\\$. Svara med tv\u00e5 decimaler <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-01-28-134825.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `\\\$39,33^{\\\\circ}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"trigsatser\"],\n kod: \"t20\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m str\u00e4ckan \\\$x\\\$. Svara med en decimal <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-01-28-133223.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `4,1 cm`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"trigsatser\"],\n kod: \"t21\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m str\u00e4ckan \\\$x\\\$. Svara med en decimal <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/Skarmbild-2026-01-28-133541.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\"> `,\n svar: `6,5 cm`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"trigsatser\"],\n kod: \"t22\"\n },\n ],\n geogebra: [\n{\n fraga: `F\u00f6ljande funktion kan du inte derivera algebraiskt i den h\u00e4r kursen \\\$f(x)=x\\\\cdot e^x\\\$.<\/p> Best\u00e4m \\\$f'(1)\\\$ med hj\u00e4lp av geogebra, svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar: `\\\$f'(1)=5,43\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"geogebraderivata\"],\n kod: \"g1\"\n},\n{\n fraga: `F\u00f6ljande funktion kan du inte derivera algebraiskt i den h\u00e4r kursen \\\$f(x)=\\\\frac{x}{x-1}\\\$.<\/p> Best\u00e4m \\\$f'(2)\\\$ med hj\u00e4lp av geogebra.`,\n svar: `\\\$f'(2)=-1\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"geogebraderivata\"],\n kod: \"g2\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation med hj\u00e4lp av geogebra \\\$f'(x)+3f(x)=50\\\$. Om \\\$f(x)=e^{3x}\\\$, svara med en dacimal. `,\n svar: `\\\$x=0,7\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true ,\n underkategori: [\"geogebraekvation\"],\n kod: \"g3\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$5,2^x=13,71\\\$ med hj\u00e4lp av ditt digitala hj\u00e4lpmedel. Svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar:`\\\$x=1,59\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"geogebraderivata\"],\n kod: \"g4\"\n},\n {\n fraga: `Vi definierar funktioner \\\$f(x)=3x+2\\\$ och \\\$g(x)=2^x\\\$. L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=g(x)\\\$ med ditt digitala hj\u00e4lpmedel och svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar:`\\\$x_1=-0,42, x_2=3,72\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"geogebraderivata\"],\n kod: \"g5\"\n},\n ]\n\n},\n\n \/\/ MATEMATIK 4\n ma4: {\n trig: [\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$sinx=\\\\frac{1}{2}\\\$. Svara i grader.`,\n svar: `\\\$x=30^{\\\\circ}+360^{\\\\circ}\\\\cdot n\\\$ och \\\$x=150^{\\\\circ}+360^{\\\\circ}\\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a1\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2cosx=1\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 60^{\\\\circ}+360^{\\\\circ}\\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a2\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$cos2x=\\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\$. Svara i grader.`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm 15^{\\\\circ}+180^{\\\\circ}\\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a3\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2sin\\\\frac{x}{2}=\\\\sqrt{3}\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=120^{\\\\circ}+720^{\\\\circ}\\\\cdot n\\\$ och \\\$x=240^{\\\\circ}+720^{\\\\circ}\\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a4\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2sinxcosx=1\\\$ .`,\n svar: `\\\$x=45^{\\\\circ}+180^{\\\\circ}\\\\cdot n\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a5\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$(cosx-sinx)(cosx+sinx)=\\\\frac{1}{\\\\sqrt{2}}\\\$. Svara i radianer .`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm \\\\frac{\\\\pi}{8}+ \\\\pi \\\\cdot n\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a6\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$sinx=-1\\\$. Svara i radianer.`,\n svar: `\\\$x= \\\\frac{3\\\\pi}{2} + 2\\\\pi \\\\cdot n\\\$ `,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a7\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s f\u00f6ljande ekvation \\\$sinx+cosx=1\\\$. Svara i radianer`,\n svar: `\\\$x=0 + 2\\\\pi \\\\cdot n\\\$ eller \\\$x=\\\\frac{\\\\pi}{2} + 2\\\\pi \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a8\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde p\u00e5 uttrycket \\\$sin(75^{\\\\circ})cos(285^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{4}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a9\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$sin(\\\\pi)+cos(\\\\pi)\\\$`,\n svar: `-1`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a10\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$2sin(15^{\\\\circ})cos(15^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a11\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r uttrycket \\\$sin^2(\\\\frac{\\\\pi}{5})+cos^2(\\\\frac{\\\\pi}{5})\\\$`,\n svar: `1 Tips: det \u00e4r trig.ettan`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a12\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$sin^2x+cos^2x+sin(30^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a13\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$cos(51\\\\pi)\\\$`,\n svar: `-1`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a14\"\n},\n{\n fraga: `Joakim menar att uttrycket \\\$sin(\\\\frac{40 \\\\pi}{79})\\\$ \u00e4r v\u00e4ldigt n\u00e4ra ett v\u00e4rde men \u00e4r inte exakt. Vilket v\u00e4rde t\u00e4nker han p\u00e5.`,\n svar: `V\u00e4ldigt n\u00e4ra 1 eftersom \\\$\\\\frac{40\\\\pi}{79}\\\$ \u00e4r v\u00e4ldigt n\u00e4ra \\\$\\\\frac{\\\\pi}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a15\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{sin2x}{2cosx}=sinx\\\$`,\n svar: `Skriv om v\u00e4nsterledet med hj\u00e4lp av sinus f\u00f6r dubbla vinkeln.`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a16\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$1-\\\\frac{cos^2x}{1+sinx}=sinx\\\$`,\n svar: `Skriv v\u00e4nsterledet p\u00e5 gemensam n\u00e4mnare och f\u00f6renkla sedan med de trigonometriska identiterna f\u00f6r att .`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a17\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\sqrt{\\\\frac{1}{cos^2x}-1}=tanx\\\$`,\n svar: `Skriv om v\u00e4nsterledet till gemensam n\u00e4mnare`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a18\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$sin^2x+cos^2x+sin(2\\\\pi)=1\\\$`,\n svar: `Skriv om v\u00e4nsterledet med trigettan och v\u00e4rdet f\u00f6r \\\$sin(2\\\\pi)=0\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a20\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$cos^4x-sin^4x=cos2x\\\$`,\n svar: `Anv\u00e4nd konjugatregeln f\u00f6r v\u00e4nsterledet och forts\u00e4tt f\u00f6renkla d\u00e4refter.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a21\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet g\u00e4ller \\\$(sinx+cosx)^2-1=sin2x\\\$`,\n svar: `Utveckla v\u00e4nsterledet med kvadreringsregeln och f\u00f6renkla sedan vidare.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a22\"\n},\n{\n fraga: `Vi anger vinklar i radianer. Best\u00e4m om sin10 \u00e4r ett positivt tal eller negativt tal med en motivering. `,\n svar: `Det \u00e4r ett negativt tal eftersom \\\$3\\\\pi\\\$ \u00e4r lite mindre \u00e4n 10 och \u00e4r lika med noll kommer det som g\u00e5r \u00f6ver \\\$3\\\\pi\\\$ till \\\$4\\\\pi\\\$ att vara negativt.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a23\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r uttrycket \\\$cos^2(75^{\\\\circ})-sin^2(255^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{-\\\\sqrt3}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a24\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde p\u00e5 \\\$tan15^{\\\\circ}\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{\\\\sqrt3-1}{sqrt3+1\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a25\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$cos^2x-\\\\frac{sin2x}{2sinx}=0\\\$`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm \\\\frac{\\\\pi}{2}+2\\\\pi \\\\cdot n\\\$ eller \\\$x= 2\\\\pi \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a26\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$sin(\\\\frac{\\\\pi}{10})+sin(-\\\\frac{\\\\pi}{10})+sin^2(0,21\\\\pi)+cos^2(-0,21\\\\pi)\\\$`,\n svar: `1`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a27\"\n},\n{\n fraga: `Visa att ekvationen \\\$sin(cosx)=1\\\$ saknar l\u00f6sningar.\\\$x\\\$ ges i radianer `,\n svar: `Visa att eftersom \\\$cosx\\\$ g\u00e5r mellan v\u00e4rdena -1 och 1 kommer likheten aldrig tillfredst\u00e4llas.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a28\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande uttryck \u00e4r konstant oavsett v\u00e4rde p\u00e5 \\\$x\\\$ <\/p> \\\$\\\\frac{(\\\\sqrt2cosx-1)(\\\\sqrt2cosx+1)}{cos2x}\\\$`,\n svar: `Skriv om t\u00e4ljaren och visa att den g\u00e5r att skriva som cosinus f\u00f6r dubbla vinkeln.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a29\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$tan2x=\\\\sqrt{3}\\\$. Svara i radianer. `,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{\\\\pi}{6}+\\\\frac{\\\\pi}{2} \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a30\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$sinxcosx=\\\\frac{1}{4}\\\$. Svara i radianer. `,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{\\\\pi}{12}+\\\\pi \\\\cdot n\\\$ eller \\\$x=\\\\frac{5\\\\pi}{12}+\\\\pi \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a31\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$cos3x=\\\\frac{1}{2}\\\$. Svara i radianer. `,\n svar: `\\\$x=\\\\pm \\\\frac{\\\\pi}{9}+\\\\frac{2\\\\pi}{3} \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a32\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$tanx=1\\\$. Svara i grader. `,\n svar: `\\\$x= 45^{\\\\circ}+180^{\\\\circ} \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a33\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$2sin2x=-1\\\$. Svara i radianer. `,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{7\\\\pi}{12}+\\\\pi \\\\cdot n\\\$ eller \\\$x=\\\\frac{11\\\\pi}{12}+\\\\pi \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a34\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$sinx=\\\\frac{-\\\\sqrt{3}}{2}\\\$. Svara i radianer. `,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{4\\\\pi}{3}+2\\\\pi \\\\cdot n\\\$ eller \\\$x=\\\\frac{5\\\\pi}{3}+2\\\\pi \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a35\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$cosx=-\\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\$. Svara i radianer. `,\n svar: `\\\$x=\\\\pm \\\\frac{5\\\\pi}{6}+2\\\\pi \\\\cdot n\\\$ `,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a36\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$cos^2x-sin^2x+sin^2x+cos^2x=2\\\$. Svara i grader. `,\n svar: `\\\$x=\\\\pi \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a37\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$sinxcos(35^{\\\\circ})=1-cosxsin(35^{\\\\circ})\\\$. Svara i grader. `,\n svar: `\\\$x=55^{\\\\circ} + 360^{\\\\circ}\\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a38\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$cos(27^{\\\\circ})cos(3^{\\\\circ})-sin(27^{\\\\circ})sin(3^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a39\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt f\u00f6r \\\$sin(15^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{\\\\sqrt{6}-\\\\sqrt{2}}{4}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a40\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$cos^2(75^{\\\\circ})-sin^2(75^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `\\\$-\\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a41\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$sin(11\\\\pi)\\\$`,\n svar: `0`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a42\"\n},\n{\n fraga: `Motivera varf\u00f6r \\\$cos(30^{\\\\circ})=sin(120^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `Anv\u00e4nd enhetscirkeln och motivera genom det.`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a43\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$cos2x=cos(x+\\\\frac{\\\\pi}{3})\\\$. Svara i radianer.`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{\\\\pi}{3}+2\\\\pi \\\\cdot n\\\$ eller \\\$x=-\\\\frac{\\\\pi}{9}+\\\\frac{2\\\\pi}{3} \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a44\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{2sinxcosx}{(1-\\\\sqrt{2}sinx)(1+\\\\sqrt{2}sinx)}=tan2x\\\$`,\n svar: `Skriv om t\u00e4ljare och n\u00e4rmnare till sinus och cosinus f\u00f6r dubbla vinkeln.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a45\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r uttrycket \\\$sin^2(\\\\frac{\\\\pi}{13})+cos^2(\\\\frac{\\\\pi}{13})+sin(\\\\pi)\\\$`,\n svar: `0`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a46\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$cos^2(347^{\\\\circ})+sin^2(167^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `1, anv\u00e4nd trignomotriettan. `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a47\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r uttrycket \\\$cos(345^{\\\\circ})sin(165^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `\\\$\\\\frac{1}{4}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a48\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$sin^2(124^{\\\\circ})+sin^2(34^{\\\\circ})\\\$`,\n svar: `1`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a49\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{sin^2x}{1-cos^2x}=1\\\$`,\n svar: `Anv\u00e4nd trigettan p\u00e5 n\u00e4mnaren `,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a50\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{sin^2x}{1-sin^2x}=tan^2x\\\$`,\n svar: `Anv\u00e4nd trigettan p\u00e5 n\u00e4mnaren `,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a51\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{1-cos2x}{sin2x}=tanx\\\$`,\n svar: `Anv\u00e4nd sinus och cosinus f\u00f6r dubbla vinkeln.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a52\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{sinx}{1+cosx}=\\\\frac{1-cosx}{sinx}\\\$`,\n svar: `Tips: F\u00f6rl\u00e4ng h\u00f6ger och v\u00e4nsterledet med respektives konjugat. `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a53\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{sinx}{cosx}+\\\\frac{cosx}{sinx}=\\\\frac{1}{sinxcosx}\\\$`,\n svar: `F\u00f6rl\u00e4ng VL och skriv p\u00e5 gemensamt br\u00e5k.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a54\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{1-cos2x}{1+cos2x}=tan^2x\\\$`,\n svar: `Skriv om cosinus f\u00f6r dubbla vinkeln.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a55\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}=\\\\frac{1+sin2x}{cos2x}\\\$`,\n svar: `Anv\u00e4nd relevanta trigregler och skriv om VL med en f\u00f6rl\u00e4gning eller HL med dubbla vinkeln. `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a56\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$sin2x=sinx\\\$. Svara med radianer. `,\n svar: `\\\$x=0+2\\\\pi \\\\cdot n\\\$ eller \\\$x=\\\\pi+2\\\\pi \\\\cdot n\\\$ eller \\\$x=\\\\pm \\\\frac{\\\\pi}{3}+2\\\\pi \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a57\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\frac{sin2x}{1+cos2x}=1\\\$ Svara med grader. `,\n svar: `\\\$x=45^{\\\\circ}+180^{\\\\circ} \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a58\"\n},\n{\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$sinx=\\\\sqrt{3}cosx\\\$. Svara med radianer. `,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{\\\\pi}{3}+\\\\pi \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"ekvationer\"],\n kod: \"a59\"\n},\n{\n fraga: `Skriv 6 grader i radianer.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{\\\\pi}{30}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a60\"\n},\n{\n fraga: `Skriv 15 grader i radianer.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{\\\\pi}{12}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a61\"\n},\n{\n fraga: `Skriv \\\$\\\\frac{4\\\\pi}{15}\\\$ i grader.`,\n svar: `48 grader`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a62\"\n},\n{\n fraga: `Visa att \\\$sin(3x)=3sinx-4sin^3x\\\$`,\n svar: `Skriv om VL med hj\u00e4lp av additionsformler. Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"formler\"],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-23-kl.-22.20.20.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n kod: \"a63\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{1-cos2x+sin2x}{1+cos2x+sin2x}=tanx\\\$`,\n svar: `Skriv om VL med hj\u00e4lp av sinus och cosinus f\u00f6r dubbla vinkeln.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a64\"\n},\n{\n fraga: ` Under kursens g\u00e5ng har ni v\u00e4rt er formlerna f\u00f6r dubbla vinkeln f\u00f6r sinus och cosinus. Det finns \u00e4ven en formel f\u00f6r dubbla vinkeln f\u00f6r tangens. <\/p> \\\$tan2x=\\\\frac{2tanx}{1-tan^2x}\\\$ <\/p> Visa att likheten st\u00e4mmer. `,\n svar: `Skriv om VL med hj\u00e4lp av sinus och cosinus f\u00f6r dubbla vinkeln.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a65\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande uttryck \u00e4r konstant \\\$2sin^2(2x)+cos(4x)\\\$`,\n svar: `Anv\u00e4nd formlerna f\u00f6r dubbla vinkeln och visa sedan att uttrycket \u00e4r konstant 2`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a66\"\n},\n{\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer \\\$\\\\frac{sinx+tanx}{cosx+1}=tanx\\\$`,\n svar: `Skriv om VL genom att f\u00f6rst skriva \\\$tanx=\\\\frac{sinx}{cosx}\\\$ forts\u00e4tt sedan genom att skriva uttrycken p\u00e5 gemensamt br\u00e5kst\u00e4ck.`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a67\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$sin^2(\\\\frac{\\\\pi}{7})+cos^2(\\\\frac{\\\\pi}{7})-cos(\\\\frac{\\\\pi}{3})\\\$`,\n svar: `\\\$frac{-1}{2}\\\$\\\\)`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a68\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$4sin(\\\\frac{\\\\pi}{12})cos(-\\\\frac{\\\\pi}{12})\\\$`,\n svar: `1`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a69\"\n},\n{\n fraga: `Best\u00e4m ett exakt v\u00e4rde f\u00f6r f\u00f6ljande uttryck \\\$cos(28^{\\\\circ}\n) cos(343^{\\\\circ}\n) + sin(152^{\\\\circ}\n) sin(197^{\\\\circ}\n)\\\$`,\n svar: `\\\$frac{1}{\\\\sqrt{2}}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a70\"\n},\n{\n fraga: `Observera f\u00f6ljande m\u00f6nster <\/p> \\\$\\\\frac{sin(45^{\\\\circ})}{sin(15^{\\\\circ})}-\\\\frac{cos(45^{\\\\circ})}{cos(15^{\\\\circ})}=2\\\$ <\/p> \\\$\\\\frac{sin(33^{\\\\circ})}{sin(11^{\\\\circ})}-\\\\frac{cos(33^{\\\\circ})}{cos(11^{\\\\circ})}=2\\\$ <\/p> \\\$\\\\frac{sin(3^{\\\\circ})}{sin(1^{\\\\circ})}-\\\\frac{cos(3^{\\\\circ})}{cos(1^{\\\\circ})}=2\\\$ <\/p> Unders\u00f6k om sambandet g\u00e4ller f\u00f6r alla vinklar som uttrycket \u00e4r definierat f\u00f6r. Enbart algebraiska l\u00f6sningar godk\u00e4nns.`,\n svar: `Likheten st\u00e4mmer. Skriv ett generellt uttryck och visa sedan att det alltid blir lika med 2`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"formler\"],\n kod: \"a71\"\n}\n ],\n\n funktioner: [\n {\n fraga: `Best\u00e4m amplituden f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=4sin(2x)\\\$.`,\n svar: `Amplituden=4`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f1\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m perioden i radianer f\u00f6r f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=3cos(2x)\\\$.`,\n svar: `Perioden=\\\$\\\\pi\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f2\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$f(\\\\pi)\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=5cos(2x)\\\$`,\n svar: `\\\$f(\\\\pi)=5\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f3\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$f(x)=2\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=4cos(x)\\\$. Svara i radianer`,\n svar: `\\\$x=\\\\pm \\\\frac{\\\\pi}{3}+2\\\\pi \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f4\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$y\\\$ sk\u00e4r funktionen \\\$f(x)=2sin(x+\\\\frac{\\\\pi}{6})\\\$ \\\$y\\\$-axeln`,\n svar: `1`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f5\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=acosx+a\\\$ uttryckt i \\\$a\\\$`,\n svar: `\\\$0 \\\\le y \\\\le 2a\\\$ `,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f6\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m det minsta v\u00e4rdet f\u00f6ljande funktion kan anta \\\$f(x)=e^{2sinx}\\\$`,\n svar: `Minst v\u00e4rdet \u00e4r \\\$y=\\\\frac{1}{e^2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f7\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=asinkx+b\\\$ vet du att dess st\u00f6rsta v\u00e4rde \u00e4r 10 och dess minsta v\u00e4rde \u00e4r 6. Funktionens perioden \u00e4r \\\$4\\\\pi\\\$. Best\u00e4m konstanterna a, b och k`,\n svar: `\\\$a=2, b=8, k=\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"problemfunk\"],\n kod: \"f8\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m det st\u00f6rsta v\u00e4rdet f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=sinx+cosx\\\$`,\n svar: `St\u00f6rsta v\u00e4rdet \u00e4r \\\$\\\\sqrt2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f9\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m det st\u00f6rsta v\u00e4rdet f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=sin^{100}x+cos^{100}x\\\$`,\n svar: `St\u00f6rsta v\u00e4rdet \u00e4r 1`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f10\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m perioden f\u00f6r f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=cos(3x+4\\\\pi)\\\$. Svara i radianer`,\n svar: `Perioden \u00e4r \\\$\\\\frac{2 \\\\pi}{3}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f11\"\n },\n {\n fraga: ` Funktionen \\\$f(x)=cosx\\\$ g\u00e5r att definieras som \\\$f(x)=\\\\sqrt{\\\\frac{1}{2}+\\\\frac{1}{2}cos2x}\\\$ i till exempel intervallet \\\$0 \\\\le x \\\\le \\\\frac{\\\\pi}{2}\\\$ <\/p> a) Visa att \\\$cosx=\\\\sqrt{\\\\frac{1}{2}+\\\\frac{1}{2}cos2x}\\\$ <\/p> b) Ange ett annat intervall d\u00e4r likheten st\u00e4mmer `,\n svar: `a) Skriv om h\u00f6gerledet! b) Till exempel \\\$\\\\frac{3\\\\pi}{2} \\\\le x \\\\le 2\\\\pi\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f12\"\n },\n {\n fraga: `Visa att f\u00f6ljande likhet aldrig kommer g\u00e4lla \\\$\\\\frac{3cos(2,4x+\\\\frac{\\\\pi}{13})-4}{sin^2x}=0\\\$`,\n svar: `Visa att t\u00e4ljaren aldrig blir noll. Det blir den aldrig eftersom t\u00e4ljaruttrycket aldrig sk\u00e4r x-axeln`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f13\"\n },\n {\n fraga: ` F\u00f6r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=sin(Ax+B)+C\\\$ vet du f\u00f6ljande <\/p>\n *\\\$f(x)\\\$ har perioden \\\$\\\\pi\\\$ <\/p> *\\\$f(x)\\\$ har sin f\u00f6rsta maximipunkt d\u00e5 \\\$0 < x\\\$ infaller i \\\$x=\\\\frac{\\\\pi}{2}\\\$ <\/p> *\\\$f(\\\\pi)=4\\\$ <\/p> Best\u00e4m konstanterna \\\$A, B\\\$ och \\\$C\\\$`,\n svar: `\\\$A=2, B=-\\\\frac{\\\\pi}{2}\\\$ och \\\$C=5\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"problemfunk\"],\n kod: \"f14\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m hur m\u00e5nga g\u00e5nger funktionen \\\$f(x)=cos2x\\\$ sk\u00e4r \\\$x\\\$-axeln i intervallet \\\$0 \\\\le x \\\\le 2\\\\pi\\\$`,\n svar: `4 g\u00e5nger`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f15\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=asinx+bcosx\\\$ och \\\$g(x)=asinx-bcosx\\\$. Du vet att \\\$f(\\\\frac{\\\\pi}{2})=1\\\$ samt att \\\$g(0)=2\\\$. Best\u00e4m \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$`,\n svar: `\\\$a=1, b=-2\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f16\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=sin(x+A)\\\$ vet du att den har en maximipunkt i \\\$x=\\\\frac{\\\\pi}{4}\\\$. Best\u00e4m ett exempel p\u00e5 \\\$A\\\$`,\n svar: `Till exempel \\\$A=\\\\frac{\\\\pi}{4}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f17\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m det st\u00f6rsta v\u00e4rdet f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=(sin^2x+cos^2x)^{100}+2cos2x\\\$`,\n svar: `St\u00f6rsta v\u00e4rdet \u00e4r \\\$y=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f18\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m v\u00e4rdem\u00e4ngden f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=3cos3x+2\\\$`,\n svar: `\\\$-1 \\\\le y \\\\le 5\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f19\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m perioden f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=sin(\\\\pi x)\\\$, \\\$x\\\$ \u00e4r skrivet i radianer`,\n svar: `Perioden \u00e4r 2`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f20\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6ljande funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=Asin(x+B)+C\\\$ d\u00e4r \\\$A, B\\\$ och \\\$C\\\$ \u00e4r konstanter. Svara i radianer. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-12-155132.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$f(x)=2sin(x+\\\\pi)+1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"grafer\"],\n kod: \"f21\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6ljande funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=Acos(kx)+B\\\$ d\u00e4r \\\$A, k\\\$ och \\\$B\\\$ \u00e4r konstanter. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-12-155157.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$f(x)=2cos(\\\\frac{x}{3})-1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"grafer\"],\n kod: \"f22\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=3a \\\\cdot sinx +4a \\\\cdot cosx\\\$ Om du vet att funktionen har sitt st\u00f6rsta v\u00e4rde \\\$y=15\\\$ best\u00e4m konstanten \\\$a\\\$`,\n svar: `\\\$a=3\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f23\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6ljande funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=Asin(k(x-v))+B\\\$ d\u00e4r \\\$A, k, v\\\$ och \\\$B\\\$ \u00e4r konstanter. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-12-155218.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$f(x)=2cos(3(x-20^{\\\\circ}))+1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"grafer\"],\n kod: \"f24\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m koordinaterna f\u00f6r samtliga extrempunkter f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=-sin(\\\\frac{x}{2})+1\\\$ i intervallet \\\$0 < x < 4\\\\pi\\\$`,\n svar: `\\\$(\\\\pi, 0)\\\$ och \\\$(\\\\frac{3\\\\pi}{2}, 2)\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f25\"\n },\n {\n fraga: `Temperaturen i en pool varierar under dygnets timmar. Den h\u00f6gsta temperaturen f\u00f6r\npoolen \u00e4r 32 \u00b0C och den l\u00e4gsta temperaturen \u00e4r 24 \u00b0C, vilket den \u00e4r klockan 04.00 p\u00e5\nmorgonen. Temperaturen under ett dygn kan beskrivas som en sinusfunktion p\u00e5\nformen \\\$T(x)=Asin(B(x+C))+D\\\$. D\u00e4r \ud835\udc65 \u00e4r antalet timmar fr\u00e5n 00.00. <\/p>\nBest\u00e4m konstanterna \\\$A, B, C\\\$ och \\\$D\\\$\n`,\n svar: `\\\$A=4, B=\\\\frac{\\\\pi}{12}, C=-10, D=28\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [1,1,1],\n underkategori: [\"problemfunk\"],\n kod: \"f26\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: `Funktionen \\\$d(t)=10-8sin(\\\\frac{\\\\pi t}{6})\\\$ beskriver havsdjupet i meter vid en position p\u00e5\nstranden i kuststaden Playa Jide. \\\$t\\\$ st\u00e5r f\u00f6r tiden i timmar fr\u00e5n 07.00 <\/p> a) Best\u00e4m och tolka \\\$d(4)\\\$ <\/p> b) Best\u00e4m och tolka \\\$d(t)=10\\\$`,\n svar: `a) Kl 11.00 \u00e4r havsdjupet ungef\u00e4r 3 meter. b) kl 13.00 \u00e4r havsdjupet 10 meter och sedan \u00e4r det det var 12 timme.`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"problemfunk\"],\n kod: \"f27\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: ` H\u00f6jden f\u00f6r en vagn i ett parishjul g\u00e5r att beskriva med funktionen \\\$f(x)=80sin(\\\\frac{\\\\pi x}{25}-\\\\frac{9 \\\\pi}{25})+84\\\$ d\u00e4r \\\$x\\\$ \u00e4r antalet minuter fr\u00e5n start. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) Hur h\u00f6gt g\u00e5r parishjulet som h\u00f6gst? <\/p> \nb) Hur l\u00e5ng tid tar det f\u00f6r parishjulet att snurra ett varv? <\/p>`,\n svar: `a) 164 meter b) 50 minuter`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"problemfunk\"],\n kod: \"f28\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: ` I ett naturomr\u00e5de g\u00e5r antalet lejon i tusental att beskriva med funktionen \\\$L(t)=9+6sin(\\\\frac{\\\\pi t}{4})\\\$ och antalet gnuer i tusental g\u00e5r att beskriva med funktionen \\\$G(t)=27+19cos(\\\\frac{\\\\pi t}{4})\\\$ d\u00e4r \\\$t\\\$ \u00e4r antalet \u00e5r fr\u00e5n 2010.<\/p> Best\u00e4m efter hur m\u00e5nga \u00e5r f\u00f6rh\u00e5llandet mellan lejon och gnuer \u00e4r som st\u00f6rst om vi ser 10 \u00e5r fram\u00f6ver. `,\n svar: `3,64 \u00e5r`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"problemfunk\"],\n kod: \"f29\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: ` M\u00e5nens synlighet i procent \\\$P(t)\\\$ fr\u00e5n nym\u00e5ne (tillst\u00e5ndet d\u00e4r m\u00e5nen inte syns\n\u00f6verhuvudtaget) g\u00e5r att modellera med funktionen <\/p> \\\$P(t)=50-50cos(\\\\frac{2\\\\pi t}{29,53})\\\$ <\/p> a) Efter hur m\u00e5nga dagar fr\u00e5n nym\u00e5ne syns hela m\u00e5nen? Svara med\nen decimal. Endast svar kr\u00e4vs. <\/p> b) Under hur m\u00e5nga dagar syns m\u00e5nen mer \u00e4n 80%? Svara med en decimal. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-21-kl.-17.35.46.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">\n`,\n svar: `a) 14,8 dagar b) 8,7 dagar`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"problemfunk\"],\n kod: \"f30\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en funktion p\u00e5 formen \\\$f(x)=2sin(kx+v)+1\\\$ Best\u00e4m konstanterna \\\$k\\\$ och \\\$v\\\$. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-21-kl.-17.46.29.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">\n`,\n svar: `\\\$k=\\\\pi\\\$ och \\\$v=-\\\\frac{\\\\pi}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"funktioner\"],\n kod: \"f31\"\n },\n {\n fraga: ` En fl\u00e4kts varvtal (i varv per minut, rpm) varierar harmoniskt \u00f6ver tid enligt modellen: <\/p> \n\n\\\$f(t) = A \\\\cdot sin(B \\\\cdot t) + D\\\$ <\/p> Vid \\\$t=2\\\$ har fl\u00e4kten 1200 varv\/minut <\/p> Vid \\\$t=6\\\$ har fl\u00e4kten 400 varv\/minut vilket \u00e4r det l\u00e4gsta varvantalet. <\/p> Best\u00e4m konstanterna \\\$A, B\\\$ och \\\$D\\\$.\n`,\n svar: `\\\$A=400, B=\\\\frac{\\\\pi}{4}\\\$ och \\\$D=800\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"problemfunk\"],\n kod: \"f32\"\n }\n ],\n\n derivata: [\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=sin2x\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=2cos2x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d1\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=x\\\\cdot e^x\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=e^x+xe^x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d2\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=x^2\\\\cdot e^{2x}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=2xe^{2x}+2x^2e^{2x}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d3\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=2cos3x\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=-6sin3x\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d4\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=lnx\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{1}{x}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d5\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=cos^2x\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=-2cosxsinx\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d6\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=sin^2x\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=2cosxsinx\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d7\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=\\\\sqrt{2x+1}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{1}{\\\\sqrt{2x+1}}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d8\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=x\\\\cdot sinx\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=sinx+x\\\\cdot cosx\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d11\"\n },\n {\n fraga: `Visa att derivatafunktionen f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=lnax\\\$ blir samma oavsett v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$.`,\n svar: `Visa att oavsett v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ blir derivatan alltid \\\$f'(x)=\\\\frac{1}{a}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d12\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{sinx}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{-cosx}{sin^2x}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d13\"\n },\n {\n fraga: `Visa att derivatan till \\\$f(x)=tanx\\\$ \u00e4r \\\$f(x)=\\\\frac{1}{cos^2x}\\\$.`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{-cosx}{sin^2x}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d14\"\n },\n {\n fraga: `Funktionen \\\$f(x)=x \\\\cdot e^{-x}\\\$ har en extrempunkt. Best\u00e4m \\\$x\\\$-koordinaten till den punkten.`,\n svar: `\\\$x=1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d15\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=e^{h(x)}\\\$ d\u00e4r \\\$h(x)\\\$ \u00e4r definierad f\u00f6r alla \\\$x\\\$. Visa att om \\\$h(x)\\\$ har en extrempunkt eller terrasspunkt \u00e4ven \\\$f(x)\\\$ det.`,\n svar: `Visa att n\u00e4r \\\$h'(x)=0\\\$ \u00e4r \\\$f'(x)=0\\\$.` ,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d16\"\n },\n {\n fraga: `Under grafen till \\\$f(x)=e^{kx}\\\$ placeras en rektangel som avgr\u00e4nsas av de positiva koordinataxlarna. F\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 konstanten k kommer den rektangel\nsom har st\u00f6rsta arean att vara en kvadrat? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-15-143121.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$k=-e\\\$` ,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d18\"\n },\n {\n fraga: `En isskulptur i form av ett klot sm\u00e4lter p\u00e5 ett s\u00e5dant s\u00e4tt att den hela tiden \u00e4r ett\nklot. Volymen p\u00e5 klotet minskar med en konstant hastighet p\u00e5 2\u03c0 kubikmeter\nper timme. Med vilken hastighet f\u00f6r\u00e4ndras arean p\u00e5 klotet i det \u00f6gonblick d\u00e5\nskulpturens radie \u00e4r 5 meter?`,\n svar: `\\\$\\\\frac{-4\\\\pi}{5}\\\$` ,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d19\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-15-143451.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: \"true\" \n },\n {\n fraga: `Nedan ser du grafen till funktionen \\\$f(x)=sin4x\\\$. Under grafen till funktionen\nplacerar vi en rektangel vars omkrets beror p\u00e5 var man s\u00e4tter punkten \ud835\udc34. Vid vilken\npunkt \ud835\udc34 blir omkretsen maximal? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-15-144046.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$x=\\\\frac{\\\\pi}{12}\\\$` ,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d20\",\n digital: `true` \n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$h(x)=ln(f(x))\\\$. Nedan ser du grafen till \\\$f(x)\\\$. Best\u00e4m f\u00f6r vilket\/vilka \\\$x\\\$ \\\$h'(x)\\\$ \u00e4r odefinierat om \\\$f(x)\\\$ \u00e4r definierad \\\$0 \\\\le x \\\\le 5\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-15-144646.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\$x_1=0, x_2=2\\\$` ,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d22\" \n },\n {\n fraga: `Joakim menar att funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{x}{e^x}\\\$ saknar extrempunkter. Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt. `,\n svar: `Joakim har fel. Funktionen har en extrempunkt i \\\$x=1\\\$` ,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d23\" \n },\n {\n fraga: `Visa att de tangenteran som tangerar funktionen \\\$f(x)=sinx\\\$ i dess f\u00f6rsta positiva nollst\u00e4llen \u00e4r vinkelr\u00e4ta.`,\n svar: `Visa att \\\$k\\\$-v\u00e4rdet f\u00f6r tangenterna multiplicerade blir \\\$-1\\\$` ,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d24\" \n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=x^x\\\$ med hj\u00e4lp av ditt digitala hj\u00e4lpmedel.`,\n svar: `\\\$f'(x)=x^x\\\\cdot lnx+x^x\\\$` ,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d25\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=e^{x^2}\\\$ med hj\u00e4lp av ditt digitala hj\u00e4lpmedel.`,\n svar: `\\\$f(x)=2xe^{x^2}\\\$` ,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d26\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$f'(1)\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=cos^3x\\\$ med hj\u00e4lp av ditt digitala hj\u00e4lpmedel. Svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar: `\\\$f'(1)=-0,74\\\$` ,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d27\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$f'(2)\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=ln(sinx)\\\$ med hj\u00e4lp av ditt digitala hj\u00e4lpmedel. Svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar: `\\\$f'(1)=-0,46\\\$` ,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d28\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=(2+x^5)^{10}\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=50x^4(2+x^5)^9\\\$` ,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d29\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r tangenten som tangerar funktionen \\\$f(x)=\\\\sqrt{3x-2}\\\$ i \\\$x=1\\\$`,\n svar: `\\\$y=\\\\frac{3}{2}x-\\\\frac{1}{2}\\\$` ,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-15-151550.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d30\"\n },\n {\n fraga: `Visa att \\\$f(x)=ln(ax)+x\\\$ har en extrempunkt i \\\$x=1\\\$ oavsett v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$a\\\$`,\n svar: `Visa att derivatafunktionen inte beror p\u00e5 \\\$a\\\$ och visa sedan att extrempunkten \u00e4r i \\\$x=1\\\$` ,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d31\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en funktion \\\$h(x)\\\$ vet du att <\/p> \\\$h(x)>0\\\$ samt \\\$h'(0)>0\\\$ f\u00f6r alla \\\$x\\\$ inom definitionsm\u00e4ngden. <\/p> Visa att \\\$f(x)=\\\\frac{1}{(h(x))^2}\\\$ \u00e4r avtagande f\u00f6r alla \\\$x\\\$ inom definitionsm\u00e4ngden.`,\n svar: `Visa att derivatafunktionen inte beror p\u00e5 \\\$a\\\$ och visa sedan att extrempunkten \u00e4r i \\\$x=1\\\$` ,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-15-152916.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d32\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m koordinaterna f\u00f6r samtliga extrempunkter f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=-sin(\\\\frac{x}{2}+1)\\\$ i intervallet \\\$0 \\\\le x \\\\le 4\\\\pi\\\$`,\n svar: `\\\$(\\\\pi, 0)\\\$ och \\\$(\\\\frac{3\\\\pi}{2}, 2)\\\$` ,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d33\"\n },\n {\n fraga: ` Den trigonometriska funktionen \\\$T(t)=4cos(\\\\frac{\\\\pi}{12}t+4)+24\\\$ beskriver temperaturen\nen fin sommardag i Lund fr\u00e5n kl 07.00 d\u00e4r \ud835\udc61 \u00e4r tid i timmar.<\/p> \na) Best\u00e4m vilken tid p\u00e5 dygnet det \u00e4r som varmast respektive kallast p\u00e5 dagen.<\/p> \nb) Best\u00e4m vilken tid p\u00e5 dygnet temperaturen v\u00e4xer som mest. `,\n svar: `a) Kallast: ungef\u00e4r 3,30 p\u00e5 natten, varmast: 15.30 p\u00e5 dagen b) V\u00e4xer som snabbast 9.30 ` ,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d34\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: ` Funktionen \\\$d(t)=10-8sin(\\\\frac{\\\\pi t}{6})\\\$ beskriver havsdjupet i meter vid en position p\u00e5\nstranden i kuststaden Playa Jide. \ud835\udc61 st\u00e5r f\u00f6r tiden i timmar fr\u00e5n 07.00 <\/p> \na) Best\u00e4m och tolka \\\$d(4)\\\$ <\/p> \nb) Best\u00e4m och tolka \\\$d(t)=10\\\$ <\/p>\nc) Best\u00e4m och tolka \\\$d'(12)\\\$ `,\n svar: `a) Kl 11.00 \u00e4r vattendjupet ungef\u00e4r 3 meter. b) Kl 13.00 och sedan var 12 timme \u00e4r vattendjupet 10 meter. c) Vid kl 19.00 minskar havsdjupet med -4,19 meter per timme.` ,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d35\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: `Kroppstemperaturen f\u00f6r en person kan beskrivas med funktionen \\\$f(x)=1,1sin(\\\\frac{\\\\pi}{12}x-\\\\pi)+36\\\$ d\u00e4r \\\$x=0\\\$ \u00e4r timmen d\u00e5 personen somnar.<\/p> \na) Efter hur m\u00e5nga timmar fr\u00e5n insomning \u00e4r kroppstemperaturen som l\u00e4gst? <\/p> \nb) Efter hur m\u00e5nga timmar fr\u00e5n insomning \u00e4r kroppstemperaturen som h\u00f6gst? <\/p>\nc) Efter hur m\u00e5nga timmar \u00f6kar kroppstemperaturen som snabbast? `,\n svar: `a) 6 timmar b) 18 timmar c) 12 timmar ` ,\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d36\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har f\u00e5tt sitt blodsocker unders\u00f6kts av en duktig l\u00e4kare. Det visar sig att Joakims\nblodsocker efter en m\u00e5ltid g\u00e5r att beskriva med funktionen \\\$f(x)=0,032x^2e^{-0,07x}+4\\\$ d\u00e4r \\\$f(x)\\\$ \u00e4r sockerhalten i millimolar och \ud835\udc65 \u00e4r antalet\nminuter efter m\u00e5ltiden. Best\u00e4m n\u00e4r Joakims blodsocker \u00f6kar som snabbast. `,\n svar: `Ungef\u00e4r 8,4 minuter efter m\u00e5ltiden` ,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d37\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: `En sf\u00e4risk sn\u00f6boll sm\u00e4lter s\u00e5 att radien minskar med 2,0 cm\/h. Med vilken hastighet\n\u00e4ndras sn\u00f6bollens volym d\u00e5 dess radie \u00e4r 3,0 cm?`,\n svar: `Minskar med 226 cm\/timme` ,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d38\",\n digital: \"true\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r en funktion \\\$h(x)=sin(g(x))\\\$ vet du f\u00f6ljande<\/p> \n *\\\$h(\\\\pi)=\\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\$<\/p> \n *\\\$g'(\\\\pi)=2\\\$ <\/p> Best\u00e4m de t\u00e4nkbara v\u00e4rdena f\u00f6r \\\$h'(\\\\pi)\\\$`,\n svar: `\\\$h'(\\\\pi)=1\\\$ eller \\\$h'(\\\\pi)=-1\\\$` ,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-15-162348.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n kod: \"d40\"\n },\n {\n fraga: `Visa att derivatan till funktionen \\\$f(x)=2sinxcosx\\\$ \u00e4r \\\$f'(x)=2cos2x\\\$`,\n svar: `Skriv om \\\$f(x)\\\$ till \\\$sin2x\\\$ eller skriv om derivatafunktionen.` ,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d41\"\n } ,\n {\n fraga: `Roger \u00e4r p\u00e5 en marknad och ska k\u00f6pa en ballong som \u00e4r\nklotformad. N\u00e4r f\u00f6rs\u00e4ljaren bl\u00e5ser upp ballongen n\u00e5r den en\nvolym p\u00e5 6500 \\\$cm^3\\\$\n. Ballongen bl\u00e5ses upp s\u00e5 att dess volym \u00f6kar\nmed konstant hastighet och n\u00e4r ballongens radie \u00e4r 5,6 cm \u00f6kar\nradien med 4,4 cm\/s. Best\u00e4m hur m\u00e5nga sekunder det tar att\nbl\u00e5sa upp ballongen om den \u00e4r tom fr\u00e5n b\u00f6rjan.`,\n svar: `3,75 sekunder` ,\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d42\"\n },\n {\n fraga: `Visa att funktionen \\\$f(x)=x \\\\cdot e^{-\\\\frac{x}{a}}\\\$ har en extrempunkt i \\\$x=a\\\$ f\u00f6ruts\u00e4tt att \\\$a \\\\neq 0\\\$.`,\n svar: `Derivera funktionen och visa att derivatafunktionen \u00e4r lika med noll d\u00e5 \\\$x=a\\\$` ,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d43\"\n },\n {\n fraga: `Derivera funktionen \\\$f(x)=(e^{2x}+3)^{10}\\\$ ` ,\n svar: `\\\$f'(x)=20(e^{2x}+3)^9\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d44\"\n },\n {\n fraga: ` a) Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=x^x\\\$ genom att f\u00f6rst skriva om funktionen till \\\$f(x)=(e^{lnx})^x\\\$ <\/p> b) Observera f\u00f6ljande m\u00f6nster, h\u00f6gerleden \u00e4r n\u00e4rmev\u00e4rden till uttrycken. <\/p> \\\$\\\\sqrt[2]{2}=1,414\\\$ <\/p> \\\$\\\\sqrt[3]{3}=1,442\\\$ <\/p> \\\$\\\\sqrt[4]{4}=1,414\\\$ <\/p> \\\$\\\\sqrt[5]{5}=1,379\\\$ <\/p> \\\$\\\\sqrt[a]{a}\\\$ <\/p> F\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ maximeras uttryckets v\u00e4rde, svara exakt.` ,\n svar: `a) \\\$f'(x)=x^x(lnx+1)\\\$ b) \\\$a=e\\\$ ger det st\u00f6rsta v\u00e4rdet p\u00e5 uttrycket.`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,3],\n underkategori: [\"problemderivata\", \"deriveringsregler\"],\n kod: \"d45\"\n },\n {\n fraga: `L\u00e5t \\\$f(x)=e^{2x}-e^x+e\\\$. Visa att \\\$f(x) > 2\\\$ f\u00f6r alla \\\$x\\\$` ,\n svar: `Anv\u00e4nd derivata f\u00f6r att visa att funktionen inte n\u00e5r ett v\u00e4rde h\u00f6gre \u00e4n \\\$y=2\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d46\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den tangent som tangerar funktion \\\$f(x)=sin2x\\\$ i \\\$(\\\\frac{\\\\pi}{2},0)\\\$`,\n svar: `\\\$y=-2x+\\\\pi\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d47\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$x\\\$ har funktionen \\\$f(x)=x \\\\cdot e^x\\\$ har en extrempunkt`,\n svar: `\\\$x=-1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d48\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den tangent som tangerar funktion \\\$f(x)=x \\\\cdot e^{2x}\\\$ i \\\$x=1\\\$`,\n svar: `\\\$y=2ex-e\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d49\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r vilka v\u00e4rden i intervallet \\\$0 < x < 2\\\\pi\\\$ \u00e4r funktionen \\\$sin^3x\\\$ avtagande?`,\n svar: `\\\$\\\\frac{\\\\pi}{2} < x < \\\\frac{3\\\\pi}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d50\"\n },\n {\n fraga: `Visa att funktionen \\\$f(x)=ln(ax)+x\\\$ har en extrempunkt i \\\$x=-1\\\$ oavsett v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ d\u00e4r \\\$a \\\\neq 0\\\$`,\n svar: `Derivera funktionen och visa att \\\$f'(x)=0\\\$ har samma l\u00f6sning eftersom derivatan \u00e4r oberoende av \\\$a\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d51\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m det st\u00f6rsta v\u00e4rdet f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=ln(\\\\sqrt{x})-\\\\frac{x}{2}\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `Anv\u00e4nd derivata f\u00f6r att visa att funktionens st\u00f6rsta v\u00e4rde \u00e4r \\\$y=-\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d52\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r den r\u00e4ta linje som tangerar funktionen \\\$\\\\sqrt{3x-2}\\\$ i \\\$x=1\\\$`,\n svar: `\\\$y=\\\\frac{3x}{2}-\\\\frac{1}{2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d53\"\n },\n {\n fraga: `En konisk beh\u00e5llare har spetsen ned\u00e5t och lika stor radie som h\u00f6jd. Beh\u00e5llaren l\u00e4cker\nmed 300 \\\$cm^3\/minut\\\$. Hur f\u00f6r\u00e4ndras v\u00e4tskeniv\u00e5n i konen vid l\u00e4get att h\u00f6jden \u00e4r 15\ncm? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-21-kl.-21.35.15.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `0,42 cm\/minut`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d54\"\n },\n {\n fraga: `Visa att derivatans till \\\$f(x)=tanx\\\$ \u00e4r \\\$f'(x)=\\\\frac{1}{cos^2x}\\\$`,\n svar: `Skriv om funktionen till \\\$f(x)=\\\\frac{sinx}{cosx}\\\$ derivera sedan funktion och f\u00f6renkla uttrycket. `,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d55\"\n },\n {\n fraga: ` F\u00f6r funktionen \\\$h(x)=f(g(x))\\\$ vet du att <\/p> \\\$g(1)=3\\\$ <\/p> \\\$g'(1)=2\\\$ <\/p> \\\$f'(1)=7\\\$ <\/p> Best\u00e4m \\\$h'(1)\\\$`,\n svar: `\\\$h'(1)=14\\\$ `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d56\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=e^{\\\\sqrt{2x^2+1}}\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{2xe^{\\\\sqrt{2x^2+1}}}{\\\\sqrt{2x^2+1}}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d57\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=sin(\\\\frac{x}{2})\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{cos(\\\\frac{x}{2})}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d58\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=e^{x^2}\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=2xe^{x^2}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d59\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=2 \\\\cdot lnx\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{2}{x}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d60\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga asymptoter f\u00f6r f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=\\\\frac{1}{x-2}+3\\\$`,\n svar: `V\u00e5gr\u00e4t asymptot i \\\$x=2\\\$ och lodr\u00e4t asymptot i \\\$y=3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"analysgraf\"],\n kod: \"d61\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m de v\u00e5gr\u00e4ta asymptoterna f\u00f6r f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=\\\\frac{4}{x^2-9}\\\$`,\n svar: `V\u00e5gr\u00e4ta asymptoter i \\\$x=\\\\pm 3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"analysgraf\"],\n kod: \"d62\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga asymptoter till f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=\\\\frac{4}{e^{2x}-3}+2x+1\\\$`,\n svar: `V\u00e5gr\u00e4t asymptot i \\\$x=\\\\frac{ln3}{2}\\\$ och sned asymptot i \\\$y=2x+1\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"analysgraf\"],\n kod: \"d63\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m den sneda asymptoten f\u00f6r f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=\\\\frac{2x+2}{x^3}-3x+7\\\$`,\n svar: `Sned asymptot i \\\$y=-3x+7\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"analysgraf\"],\n kod: \"d64\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=e^{\\\\sqrt{x}}\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{e^{\\\\sqrt{x}}}{2\\\\sqrt{x}}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d65\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=sin(\\\\sqrt{x})\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{cos(\\\\sqrt{x})}{2\\\\sqrt{x}}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d66\"\n },\n {\n fraga: ` En matematiker har tagit fram statistik f\u00f6r kommunen Joakimk\u00f6ping. Hon har dels\ntagit fram en funktion som visar p\u00e5 hur mycket skatt (i miljoner) kommunen kan ta in\nberoende p\u00e5 hur stor befolkningen \\\$b\\\$ \u00e4r i tusental \\\$s(b)=9,7\\\\sqrt{0,5b}\\\$ Samtidigt har hon\ntagit fram statistisk f\u00f6r den f\u00f6rv\u00e4ntade befolkningsf\u00f6r\u00e4ndringen \nsom g\u00e5r att beskriva med funktionen \\\$b(t)=35+3,5sin(\\\\frac{\\\\pi t}{6})+1,6t\\\$ d\u00e4r \\\$t\\\$ \u00e4r antalet \u00e5r fr\u00e5n 2024. <\/p> a) Best\u00e4m vilket \u00e5r skatteint\u00e4kterna \u00f6verstiger 45 miljoner i Joakimk\u00f6ping. <\/p>\nb) Vilket\/vilka \u00e5r \u00f6kar skatteint\u00e4kterna med 0,91 miljoner per \u00e5r i under de f\u00f6rsta 11\n\u00e5ren fr\u00e5n 2024?`,\n svar: `a) Ungef\u00e4r 2027 b) Unged\u00e4r 2027 och 2032`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,3],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d67\",\n digital: true\n }, \n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=(2x+1)^4\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=8(2x+1)^3\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d70\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m extrempunkten och dess karakt\u00e4r f\u00f6r f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=x \\\\cdot e^{-x}\\\$`,\n svar: `Extrempunkt i \\\$(1, \\\\frac{1}{e})\\\$ det \u00e4r en maximipunkt`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d71\"\n },\n {\n fraga: `Unders\u00f6k f\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ som funktionen \\\$f(x)=ax \\\\cdot e^{-x}\\\$ har en extrempunkt i \\\$(1,1)\\\$`,\n svar: `D\u00e5 \\\$a=e\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d72\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=ln(g(x))\\\$, du vet att funktionen \\\$g(x)\\\$ har en tangent i \\\$x=4\\\$ vars ekvation \u00e4r \\\$y=-2x+10\\\$. Best\u00e4m \\\$f'(4)\\\$`,\n svar: `\\\$f'(4)=-1\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d73\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x)=e^{h(x)}\\\$. Funktionen \\\$h(x)\\\$ har en tangent \\\$y=3x-2\\\$ i \\\$x=1\\\$. Best\u00e4m ekvationen f\u00f6r tangenten som tangerar \\\$f(x)\\\$ i \\\$x=1\\\$`,\n svar: `\\\$y=3ex-2e\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d74\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=4sin^2xcos^2x\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=4cos(2x)sin(2x)=2sin(4x)\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d75\"\n },\n {\n fraga: `Funktionen \\\$f(x)=ax^2+bx-sin3x\\\$ har ett lokalt minimun i \\\$x=0\\\$. Best\u00e4m de t\u00e4nkbara v\u00e4rdena p\u00e5 konstanterna \\\$a\\\$ och \\\$b\\\$`,\n svar: `\\\$b=3\\\$ och \\\$a<0\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d76\"\n },\n {\n fraga: ` a) Visa att funktionen \\\$f(x)=x^3\\\\cdot e^{-x}\\\$ har en extrempunkt i \\\$x=3\\\$ <\/p> b) Unders\u00f6k om funktionen \\\$g(x)=x^n \\\\cdot e^{-x}\\\$ alltid har en extrempunkt i \\\$x=n\\\$`,\n svar: `a) Derivera funktionen och s\u00e4tt \\\$f'(x)=0\\\$ l\u00f6s ekvationen och visa att en av l\u00f6sningarna alltid \u00e4r \\\$x=3\\\$. b) G\u00f6r som a) fast det generella fallet. `,\n niva: \"A\",\n poang: [0,3,1],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d77\"\n },\n {\n fraga: ` \tI en Jidesj\u00f6n finns det tv\u00e5 olika typer av fiskar. Finfisk och Godfisk. Under de senaste 20 \u00e5ren har respektive fisksort g\u00e5tt upp och ner enligt funktionerna nedan. <\/p> \n\nFinfisk: \\\$F(t)=500+200sin(\\\\frac{\\\\pi t}{6})\\\$) <\/p> \nGodfisk: \\\$G(t)=800+100cos(\\\\frac{\\\\pi t}{6})\\\$ <\/p> \n\n\ta) Vilket\/vilka \u00e5r \u00f6kade den totala populationen av fisk med i sj\u00f6n med 50 individer\/\u00e5r <\/p> \n\n\tb) Mellan vilka \u00e5r minskade den totala populationen av fiskar i sj\u00f6n?\n`,\n svar: `a) F\u00f6rsta, nionde och trettonde \u00e5ret (\\\$x=1,3\\\$ och \\\$x=9\\\$ och \\\$x=13,3\\\$) b) \\\$2,1 < x < 8,1\\\$ och \\\$14,1 < x < 20\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d78\"\n },\n {\n fraga: `Funktionen \\\$f(x) = x(12 \u2212 ln x)\\\$ har enbart en extrempunkt som \u00e4r en \nmaximipunkt. Best\u00e4m koordinaterna f\u00f6r den maximipunkten.`,\n svar: `\\\$(e^{11},e^{11})\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"derivatagraf\"],\n kod: \"d79\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du graferna till funktionerna \\\$f(x) = cos^2x\\\$ och\n\\\$g(x) = sin^2x\\\$. Mellan graferna placeras en rektangel \\\$R\\\$ som avgr\u00e4nsas\nav den positiva y-axeln och graferna till funktionerna. Best\u00e4m den\nmaximala omkretsen som rektangeln \\\$R\\\$ kan anta. Svara exakt <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/09\/Skarmavbild-2026-09-05-kl.-11.11.16.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `Maximala omkretsen \u00e4r \\\$\\\\sqrt3+\\\\frac{\\\\pi}{6}\\\$ l\u00e4ngdenheter`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d80\"\n },\n {\n fraga: `Vid en specifik tidpunkt \u00f6kar arean p\u00e5 en cirkel med 3,5 \\\$cm^2\\\$\/minut\nsamtidigt som radien \u00f6kar med 0,4 cm\/minut. Best\u00e4m arean f\u00f6r cirkeln vid den tidpunkten, svara med en decimal.`,\n svar: `6,1 \\\$cm^2\\\$`,\n niva: \"A\",\n digital: true, \n poang: [0,2,1],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d81\"\n },\n {\n fraga: `Vilken av f\u00f6ljande grafer kan representera funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{x-7}+2x\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/09\/Skarmavbild-2026-09-05-kl.-11.26.54.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `A`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"analysgraf\"],\n kod: \"d82\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$f'(2)\\\$ f\u00f6r funktionen \\\$f(x)=e^{sinx}\\\$ med hj\u00e4lp av ditt digitala hj\u00e4lpmedel.`,\n svar: `\\\$f'(2)=-1,03\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d83\"\n },\n {\n fraga: `Derivera f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=ln(\\\\sqrt{x})\\\$`,\n svar: `\\\$f'(x)=\\\\frac{1}{2x}\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"deriveringsregler\"],\n kod: \"d84\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar funktionen \\\$f(x) = g(\ufe02h(x))\\\$\ufe02. Du vet att<\/p>\n\n<ul>\n <li>Funktionen \\\$h(x)\\\$ har en tangent i \\\$(2, 5)\\\$ som har ekvationen\n\\\$y = 3x \u2212 1\\\$<\/li>\n <li>\\Funktionen \\\$g(x)\\\$ har en tangent i \\\$(5, 8)\\\$ som har ekvationen\n\\\$y = \u22122x + 18\\\$<\/li>\n<\/ul>\n\nBest\u00e4m ekvationen f\u00f6r den tangent som tangerar \\\$f(x)\\\$ i \\\$x = 2\\\$`,\n svar: `\\\$y=-6x+20\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"problemderivata\"],\n kod: \"d85\"\n }\n ],\n\n integraler: [\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{2\\\\pi} sinx \\\\: dx\\\$.`,\n svar: `0`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i1\"\n }, \n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{2}} sin2x \\\\: dx\\\$.`,\n svar: `1`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i2\"\n }, \n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{1}^{e} \\\\frac{1}{x} \\\\: dx\\\$.`,\n svar: `1`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i3\"\n }, \n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{-1}^{1} e^{x^2} \\\\: dx\\\$. Svara med tv\u00e5 decimaler`,\n svar: `2,93`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n digital: \"true\",\n kod: \"i4\"\n }, \n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$\\\\int_{0}^{t} cosx \\\\: dx=0\\\$. Algebraiska och grafiska motiveringar godtas.`,\n svar: `\\\$t=\\\\pi \\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i5\"\n }, \n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga t\u00e4nkbara v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$k\\\$ f\u00f6r att f\u00f6ljande likhet ska st\u00e4mma \\\$\\\\int_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{2}} k\\\\cdot coskx \\\\: dx=1\\\$.`,\n svar: `\\\$k=1 + 4\\\\cdot n\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i6\"\n }, \n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen med ditt digitala hj\u00e4lpmedel \\\$\\\\int_{0}^{\\\\pi} sin^2x \\\\: dx\\\$.`,\n svar: `1,57`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n digital: \"true\",\n kod: \"i7\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{2\\\\pi} sin^3x dx\\\$.`,\n svar: `0, se l\u00f6sningsf\u00f6rslag f\u00f6r motivering`,\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-16-074656.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i8\"\n },\n {\n fraga: `Joakim vill att integralen \\\$\\\\int_{a}^{b} sinx+c \\\\: dx\\\$ ska vara st\u00f6rre eller lika med noll. F\u00f6r vilka v\u00e4rdet p\u00e5 \\\$c\\\$.`,\n svar: `\\\$1 \\\\le a\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i9\"\n },\n {\n fraga: ` Ber\u00e4kna f\u00f6ljande integraluttryck med hj\u00e4lp av graferna nedan. <\/p> \\\$\\\\int_{0}^{1} f'(x)g(x) \\\\: dx + \\\\int_{0}^{1} f(x)g'(x) \\\\: dx\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-22-kl.-21.07.03.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `4`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i10\"\n },\n {\n fraga: `Nedanf\u00f6r visas graferna till de\nprimitiva funktionerna till \\\$f(x)\\\$ och\n\\\$g(x)\\\$. Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 integralen \\\$\\\\int_{0}^{2} f(G(x))g(x) \\\\: dx \\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-22-kl.-21.22.21.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `2`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i11\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du tv\u00e5 funktioner \\\$f(x)\\\$ och\n\\\$g(x)\\\$ och en avgr\u00e4nsad area som \u00e4r\n25 areaenheter. Du vet att \\\$\\\\int_{0}^{a} f(x) \\\\: dx=18 \\\$ Best\u00e4m v\u00e4rdet p\u00e5 integralen \\\$\\\\int_{0}^{a} g(x) \\\\: dx\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-22-kl.-21.24.18.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `-7`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i12\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du tv\u00e5 funktioner \\\$f(x)=e^{\\\\frac{x}{2}}\\\$ och\n\\\$g(x)=lnx\\\$ och en avgr\u00e4nsad area. Best\u00e4m arean f\u00f6r den arean. Svara med tv\u00e5 decimaler. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-22-kl.-21.32.25.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `4,37 a.e`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i13\",\n digital: true\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{\\\\pi} sin^2x \\\\: dx\\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{\\\\pi}{2}. Tips skriv om funktionsuttrycket med trigonometriska identiteter`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i14\"\n },\n {\n fraga: ` a) Ber\u00e4kna integralen \\\\(\\\\int_{1}^{e} \\\\frac{4}{3x} \\\\: dx\\\$. <\/p> b) Visa att integralens v\u00e4rde alltid kommer vara \\\$a\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande integral \\\$\\\\int_{1}^{e} \\\\frac{a}{x} \\\\: dx\\\$`,\n svar: `a) \\\$\\\\frac{4}{3}\\\$ b) Ber\u00e4kna integraluttrycket och visa att uttrycket alltid blir \\\$a\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [2,2,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i15\"\n },\n {\n fraga: `Nedanf\u00f6r visas graferna \\\$f(x)=sinx\\\$ och\n\\\$g(x)=cosx\\\$ och en sk\u00e4rningspunkt till graferna. Best\u00e4m arean av den markerade arean, svara exakt. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-23-kl.-15.31.12.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `\\\\frac{2-\\\\sqrt2}{sqrt2}`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i16\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du tv\u00e5 funktioner d\u00e4r den ena \u00e4r en derivatafunktion och den andra\nursprungsfunktionen. Best\u00e4m den gr\u00f6na arean. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-23-kl.-15.38.24.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `2 a.e`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i17\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du funktionerna \\\$f(x)=sinx+ax\\\$ och \\\$g(x)=ax\\\$ d\u00e4r \\\$a > 0\\\$. Visa att den\nbl\u00e5markerade arean \u00e4r konstant oavsett v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-23-kl.-15.41.12.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: `S\u00e4tt in funktionerna i en integral med den f\u00f6rsta sk\u00e4rningspunkterna d\u00e5 \\\$x>0\\\$. Visa sedan att den bl\u00e5markerade \u00e4r oberoende av \\\$a\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"grafintegral\"],\n kod: \"i18\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{4}} 4cos2x \\\\: dx\\\$`,\n svar: `2`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i19\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{1} xe^x+e^x \\\\: dx\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `e`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i20\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{2}} cosx \\\\: dx\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `1`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i21\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integralen \\\$\\\\int_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{4}} 3cos2x \\\\: dx\\\$. Svara exakt.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{3}{2}\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i22\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m 2 olika v\u00e4rden p\u00e5 \\\$a\\\$ d\u00e4r \\\$a \\\\neq 0 \\\$ d\u00e4r du f\u00e5r f\u00f6ljande likhet \\\$\\\\int_{0}^{a} sinx \\\\: dx=0\\\$.`,\n svar: `Till exempel \\\$2\\\\pi\\\$ och \\\$4\\\\pi\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i23\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga primitiva funktioner till \\\$f(x)=2cosx\\\$`,\n svar: `\\\$F(x)=2sinx+C\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i24\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga primitiva funktioner till \\\$f(x)=cos2x\\\$`,\n svar: `\\\$F(x)=\\\\frac{sin2x}{2}+C\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i25\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga primitiva funktioner till \\\$f(x)=sinx+2x\\\$`,\n svar: `\\\$F(x)=-cosx+x^2+C\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i26\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m den primitiva funktion till \\\$f(x)=2cos2x\\\$ som uppfyller kravet \\\$F(\\\\pi)=4\\\$`,\n svar: `\\\$F(x)=sin2x+4\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i27\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga primitiva funktioner till \\\$f(x)=sin^2xcos^2x\\\$`,\n svar: `\\\$F(x)=\\\\frac{x}{8}-\\\\frac{sin4x}{32}+C\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i28\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga primitiva funktioner till \\\$f(x)=cos2x+e^{2x}\\\$`,\n svar: `\\\$F(x)=\\\\frac{sin2x}{2}+\\\\frac{e^{2x}{2}+C\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i29\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integraluttrycket \\\$\\\\int_{0}^{\\\\pi} sinxcos^2x \\\\: dx + \\\\int_{0}^{\\\\pi} sin^3x \\\\: dx\\\$.`,\n svar: `2`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i30\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integraluttrycket \\\$\\\\int_{0}^{e} xsin^2x \\\\: dx + \\\\int_{0}^{e} xcos^2x \\\\: dx \\\$.`,\n svar: `\\\$\\\\frac{e^2}{2}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i31\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga primitiva funktioner till f\u00f6ljande funktion \\\$f(x)=cos2xsinx+cosxsin2x\\\$`,\n svar: `\\\$F(x)=\\\\frac{-cos3x}{3}+C\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"primitiv\"],\n kod: \"i32\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integraluttrycket \\\$\\\\int_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{4}} tan^2x \\\\: dx \\\$.`,\n svar: `\\\$1-\\\\frac{\\\\pi}{4}\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i33\"\n },\n {\n fraga: ` Visa att f\u00f6ljande integraluttryck \u00e4r konstant oavsett v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ <\/p> \\\$\\\\int_{a}^{5a} \\\\frac{1}{x} \\\\: dx \\\$.`,\n svar: `Integraluttrycket har det konstanta v\u00e4rdet \\\$ln5\\\$`,\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i34\"\n },\n {\n fraga: `\tNedan ser du grafen till funktionen\n\\\$f(x)=asinx\\\$ och en linje som\ntangerar funktionens maximipunkt. \nTv\u00e5 areor \u00e4r definierade som \\\$A_1\\\$ och \\\$A_2\\\$. \nF\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$x\\\$ f\u00e5r vi likheten <\/p> \\\$\\\\frac{A_1}{A_2}=2\\\$ <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/08\/Skarmbild-2026-08-13-124420.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">\n`,\n svar: `\\\$x=0,69\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i35\"\n },\n {\n fraga: `Ber\u00e4kna integraluttrycket \\\$\\\\int_{0}^{1} e^xsin^2x \\\\: dx + \\\\int_{0}^{1} e^xcos^2x \\\\: dx \\\$.`,\n svar: `\\\$e-1\\\$`,\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"primintegral\"],\n kod: \"i36\"\n }\n ],\n\n tillampintegral: [\n {\n fraga: `Joakimtremonie \u00e4r en bakterie som f\u00f6rekommer i sushi. Den kan vara mycket farlig\noch d\u00e4rf\u00f6r vill man inte att bakterieantalet ska \u00f6verstiga 100 000 i en sushi. Joakim har\ni sitt labb unders\u00f6kt olika sushi och kommit fram till att de flesta har 1000 bakterier i\nsig fr\u00e5n b\u00f6rjan n\u00e4r de serveras och sedan \u00f6kar bakterieantalet med hastigheten \\\$v(t)=64,5e^{0,215t}\\\$ d\u00e4r \ud835\udc61 \u00e4r antalet minuter efter servering. Efter hur m\u00e5nga minuter \u00e4r inte\nsushin l\u00e4ngre \u00e4tbar enligt modellen?`,\n svar: \"Ungef\u00e4r 27 minuter\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"integralproblem\"],\n kod: \"b1\"\n },\n {\n fraga: `En tom tunna fylls med vatten med en hastighet \\\$cm^3\\\$\n\/minut som g\u00e5r att beskriva med\nfunktionen \\\$f(x)=2cos(\\\\frac{\\\\pi x}{30})+3\\\$ d\u00e4r \\\$x\\\$ \u00e4r antalet minuter. Samtidigt l\u00e4mnar vatten\ntunnan med en konstant hastighet p\u00e5 1,5 \\\$cm^3\\\$\n\/minut. Hur m\u00e5nga \\\$cm^3\\\$ har tunnan i sig\nefter 1 timme?`,\n svar: \"Ungef\u00e4r 90 \\\$cm^3\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"integralproblem\"],\n kod: \"b2\"\n },\n {\n fraga: `I ett samh\u00e4lle kan f\u00f6rdelningen av \u00e5ldrar beskrivas med t\u00e4thetsfunktionen nedan. Man\nvet att den \u00e4ldsta personer i samh\u00e4llet \u00e4r 100 \u00e5r gammal.<\/p> \na) Best\u00e4m t\u00e4thetsfunktions ekvation. <\/p>\nb) Vad \u00e4r sannolikheten att man v\u00e4ljer tre slumpm\u00e4ssigt valda personer som \u00e4r \u00f6ver 80\n\u00e5r? <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-23-kl.-17.13.53.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: \"a) \\\$f(x)=\\\\frac{-x}{500}+\\\\frac{1}{50}\\\$ b) 0,000064\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,2,1],\n digital: true,\n underkategori: [\"normal\"],\n kod: \"b3\"\n },\n {\n fraga: `Ett omr\u00e5de begr\u00e4nsas av kurvan \\\$y=x^2-4\\\$och linjen \\\$y=5\\\$. Best\u00e4m volymen som\nbildas n\u00e4r detta omr\u00e5de roterar runt linjen \\\$y=5\\\$`,\n svar: \"814 volymenheter\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n digital: true,\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b4\"\n },\n {\n fraga: `Visa med hj\u00e4lp av rotationsvolymer att volymen av en kon \u00e4r \\\$V=\\\\frac{\\\\pi r^2 h}{3}\\\$`,\n svar: \"S\u00e4tt upp ett integraluttryck f\u00f6r volymen med hj\u00e4lp av en r\u00e4t linje. Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-23-kl.-17.28.19.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b5\"\n },\n {\n fraga: `Joakim har designat ett glas som har modellen ungef\u00e4r som visas nedan. Glaset rymmer 300 \\\$cm^3\\\$ och dess cirkul\u00e4ra botten har en diameter som \u00e4r 6 cm.\nBest\u00e4m diametern p\u00e5 \u00f6ppningen om h\u00f6jden p\u00e5 glaset \u00e4r 10 cm. Svara med en\ndecimal. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-23-kl.-17.34.34.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: \"6,8 cm\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-23-kl.-17.35.50.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n digital: true,\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b6\"\n },\n {\n fraga: ` Joakim har designat ett vinglas. Ytterkanten\ntill vinglaset g\u00e5r att beskriva med\nfunktionen \\\$f(x)=a \\\\cdot sin(0,16x)\\\$ d\u00e4r \\\$a\\\$ \u00e4r\nen konstant. \\\$x\\\$ avger h\u00f6jden i glaset och \\\$y\\\$ \u00e4r\nbredden p\u00e5 glaset fr\u00e5n mitten med samtliga\nstr\u00e4ckor i cm (se bilden till nedanf\u00f6r). Om man\nskulle rotera funktionen \\\$f(x)\\\$ runt \\\$x\\\$-axeln\nskulle vinglasets design uppst\u00e5. Joakim vill\natt h\u00f6jden p\u00e5 glaset ska vara 13 cm och\nglaset ska rymma 250 \\\$cm^3\\\$ <\/p> a) Anv\u00e4nd funktionen f\u00f6r att best\u00e4mma glasets st\u00f6rsta bredd? <\/p>\nb) En restaurang \u00e4r intresserade att k\u00f6pa in glaset och vill veta hur h\u00f6gt upp i glaset man\nska fylla f\u00f6r att det ska vara fyllt till 70%. Hj\u00e4lp restaurangen!\n. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/Skarmavbild-2026-07-23-kl.-21.40.07.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: \"a) Bredden \u00e4r 8,2 cm b) Ungef\u00e4r 10,9 cm.\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,3],\n digital: true,\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b7\"\n },\n {\n fraga: `Grafen till funktionen \\\$f(x)=x^2\\\$ roteras runt \\\$x\\\$-axeln i intervallet \\\$x=0\\\$ till \\\$x=2\\\$. Best\u00e4m volymen f\u00f6r kroppen som uppst\u00e5r. Svara exakt`,\n svar: \"\\\$\\\\frac{32pi}{5} volymenheter\",\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b8\"\n },\n {\n fraga: `Grafen till funktionen \\\\(f(x)=e^x\\\$ roteras runt \\\$x\\\$-axeln i intervallet \\\$x=0\\\$ till \\\$x=1\\\$. Best\u00e4m volymen f\u00f6r kroppen som uppst\u00e5r. Svara exakt`,\n svar: \"\\\$\\\\pi \\\\cdot \\\\frac{e^2-1}{2}\\\$ volymenheter\",\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b9\"\n },\n {\n fraga: `Grafen till funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{\\\\sqrt{x}}\\\$ roteras runt \\\$x\\\$-axeln i intervallet \\\$x=1\\\$ till \\\$x=e\\\$. Best\u00e4m volymen f\u00f6r kroppen som uppst\u00e5r. Svara exakt`,\n svar: \"\\\$\\\\pi\\\$ volymenheter\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b10\"\n },\n {\n fraga: ` Under en sn\u00f6ig dag i Lund faller det sn\u00f6 med en hastighet \\\$S(t)\\\$ cm\/timme enligt\nfunktionen d\u00e4r \\\$t\\\$ \u00e4r timmar fr\u00e5n kl.12.00 <\/p> \\\$S(t)=4+2sin(\\\\frac{\\\\pi t}{6}) \\\\cdot e^{-0,1t}\\\$ <\/p> a) Hur m\u00e5nga timmar efter 12.00 sn\u00f6ar det som mest? Endast svar kr\u00e4vs. <\/p>\nb) Hur m\u00e5nga cm sn\u00f6ar det totalt mellan klockan 12:00 och 18:00?`,\n svar: \"a) 2,63 timmar efter 12.00 b) 29,7 cm.\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n digital: true, \n underkategori: [\"integralproblem\"],\n kod: \"b11\"\n },\n {\n fraga: `Grafen till funktionen \\\$f(x)=x^2\\\$ roteras runt \\\$y\\\$-axeln. i intervallet \\\$y=1\\\$ och \\\$y=3\\\$. Best\u00e4m volymen av den kropp som uppst\u00e5r. `,\n svar: \"\\\$4\\\\pi\\\$ volymenheter\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b12\"\n },\n {\n fraga: `Betrakta funktionen \\\$y=ax^2\\\$\n, \\\$0 \\\\leq x \\\\leq a\\\$, d\u00e4r \\\$a > 0\\\$ \u00e4r en konstant. Om grafen till funktionen\nroterar runt x-axeln respektive y-axeln skapas tv\u00e5 olika rotationskroppar. Det finns ett v\u00e4rde p\u00e5\n\\\$a\\\$ s\u00e5 att de b\u00e5da kropparna f\u00e5r samma volym. Best\u00e4m detta \\\$a\\\$.`,\n svar: \"\\\$a=\\\\sqrt{\\\\frac{5}{2}}=\\\\frac{sqrt{10}}{2}\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b13\"\n },\n {\n fraga: `Grafen till funktionen \\\$f(x)=\\\\sqrt{x}\\\$ roteras runt \\\$y\\\$-axeln. i intervallet \\\$y=1\\\$ och \\\$y=3\\\$. Best\u00e4m volymen av den kropp som uppst\u00e5r. `,\n svar: \"\\\$\\\\frac{242\\\\pi}{5}\\\$ volymenheter\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b14\"\n },\n {\n fraga: `Ett omr\u00e5de begr\u00e4nsas av grafen till funktionen \\\$f(x)=\\\\frac{1}{\\\\sqrt{x}}\\\$ och intevallet \\\$1 \\\\leq x \\\\leq 9\\\$. Detta omr\u00e5de roteras runt \\\$x\\\$-axeln och skapar en rotationskropp \\\$R\\\$. F\u00f6r vilket v\u00e4rde p\u00e5 \\\$a\\\$ konstrueras en rotationskropp f\u00f6r intervallet \\\$1 \\\\leq x \\\\leq a\\\$ som f\u00e5r volymen \\\$\\\\frac{R}{2}\\\$? Svara exakt.`,\n svar: \"\\\$a=3\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,3],\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b15\"\n },\n {\n fraga: `Grafen till funktionen \\\$f(x)=x^2\\\$ roteras kring \\\$x\\\$-axeln i intervallet \\\$0 \\\\leq x \\\\leq 2\\\$. Best\u00e4m volymen f\u00f6r den rotationsvolymen.`,\n svar: \"\\\$\\\\frac{32\\\\pi}{5}\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"rotation\"],\n kod: \"b16\"\n }\n ],\n\n komplex: [\n {\n fraga: `Vi definierar de komplexa talen \\\$z_1=3+2i\\\$ och \\\$z_2=-3+4i\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p>\n a) \\\$Re(z_1)\\\$ <\/p> b) \\\$z_1+z_2\\\$ <\/p> c) \\\$\\\\mid z_2 \\\\mid \\\$`,\n svar: \"a) \\\$Re(z_1)=3\\\$ b) \\\$6i\\\$ c)\\\$\\\\mid z_2 \\\\mid =5 \\\$ \",\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k1\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar det komplexa talet \\\$z=4(cos(\\\\frac{\\\\pi}{4})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{4}))\\\$ Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p>\n a) \\\$arg(z)\\\$ <\/p> b) \\\$\\\\mid z \\\\mid \\\$`,\n svar: \"a) \\\$arg(z)=\\\\frac{\\\\pi}{4}\\\$ b) \\\$\\\\mid z \\\\mid =4 \\\$ \",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k2\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar det komplexa talet \\\$z=2(cos(\\\\frac{\\\\pi}{3})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{3}))\\\$ Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p>\n a) \\\$arg(z)\\\$ <\/p> b) \\\$\\\\mid z \\\\mid \\\$ <\/p> c) \\\$z^5\\\$`,\n svar: \"a) \\\$arg(z)=\\\\frac{\\\\pi}{3}\\\$ b) \\\$\\\\mid z \\\\mid =2 \\\$ c) \\\$z^5=32(cos(\\\\frac{5\\\\pi}{3})+isin(\\\\frac{5\\\\pi}{3}))\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [2,1,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k3\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande komplexa tal \\\$z=1+\\\\sqrt3i\\\$ p\u00e5 pol\u00e4r form `,\n svar: \"\\\$z=2(cos(\\\\frac{\\\\pi}{3})+i sin(\\\\frac{\\\\pi}{3}))\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k4\"\n },\n {\n fraga: `Skriv f\u00f6ljande komplexa tal \\\$z=\\\\sqrt{5}e^{\\\\frac{5\\\\pi}{12}i}\\\$ p\u00e5 pol\u00e4r form `,\n svar: \"\\\$z=\\\\sqrt{5}(cos(\\\\frac{5\\\\pi}{12})+isin(\\\\frac{5\\\\pi}{12}))\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k5\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6r ett komplext tal \\\$z\\\$ vet du f\u00f6ljande \\\$z+i+4=7i-2\\\$`,\n svar: \"\\\$z=6i-6\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k6\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$\\\\mid z \\\\mid\\\$ f\u00f6r \\\$z=2(cos(\\\\frac{\\\\pi}{3})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{6}))\\\$`,\n svar: \"\\\$\\\\mid z \\\\mid = \\\\sqrt2\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k6\"\n },\n {\n fraga: `Visa att \\\\(arg(\\\\frac{1}{z})=-arg(z)\\\$`,\n svar: \"Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-073657.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k7\"\n },\n {\n fraga: `Visa att \\\$z\\\\cdot \\\\bar{z} = \\\\mid z \\\\mid^2\\\$`,\n svar: \"Se l\u00f6sningsf\u00f6rlag\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-075631.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k8\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar det komplexa talet \\\$z=6+8i\\\$ Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) \\\$\\\\bar{z}\\\$ <\/p> b) \\\$\\\\mid z \\\\mid\\\$ `,\n svar: \"a) \\\$6-8i\\\$ b) 10\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k9\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m talet \\\$z\\\$ om f\u00f6ljande likhet g\u00e4ller \\\$z(1+i)+i=1+4i\\\$ `,\n svar: \"\\\$z=2+i\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k10\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$z\\\\cdot (cos(30^{\\\\circ})+isin(30^{\\\\circ}))=i\\\$ `,\n svar: \"\\\$z=cos(60^{\\\\circ})+isin(60^{\\\\circ})\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k11\"\n },\n {\n fraga: `Cosinus g\u00e5r att definiera p\u00e5 flera olika s\u00e4tt. Visa att man kan definiera cosv med hj\u00e4lp av komplexa tal med hj\u00e4lp av f\u00f6ljande likhet \\\$cosv=\\\\frac{e^{vi}+e^{-vi}}{2}\\\$ `,\n svar: \"Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-085646.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k12\"\n },\n {\n fraga: `Skriv det komplexa talet \\\$z=1-\\\\sqrt3i\\\$ p\u00e5 exponentialform `,\n svar: \"\\\$z=2e^{-\\\\frac{\\\\pi}{3}i}\\\$ eller \\\$z=2e^{\\\\frac{5\\\\pi}{3}i}\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,2,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k13\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$x^2-4x+5=0\\\$`,\n svar: \"\\\$x=2\\\\pm i\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k14\"\n },\n {\n fraga: `L\u00f6s ekvationen \\\$z^3=-1\\\$ fullst\u00e4ndigt.`,\n svar: \" \\\$z_1=cos(\\\\frac{\\\\pi}{3})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{3})\\\$ <\/p> \\\$z_2=cos(\\\\pi)+isin(\\\\pi)\\\$ <\/p> \\\$z_3=cos(\\\\frac{5\\\\pi}{3})+isin(\\\\frac{5\\\\pi}{3})\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-090412.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k15\"\n },\n {\n fraga: `Visa att om man multiplicerar ett komplext tal med dess konjugat f\u00e5r man alltid ett reellt tal.`,\n svar: \"Skriv upp \\\$z=a+bi\\\$ och \\\$\\\\bar{z}=a-bi\\\$. Multiplicera sedan talen och visa att vi f\u00e5r \\\$a^2+b^2\\\$ som alltid \u00e4r reellt.\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k16\"\n },\n {\n fraga: ` Visa att \\\$(cos(\\\\frac{\\\\pi}{3})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{3}))^6=1\\\$`,\n svar: \"Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag\",\n niva: \"C\",\n poang: [1,1,0],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-091656.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k17\"\n },\n {\n fraga: ` F\u00f6r vilka v\u00e4rden p\u00e5 \\\$k\\\$ blir f\u00f6ljande uttryck reellt?<\/p> \\\$(cos(\\\\frac{\\\\pi}{3})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{3}))^k\\\$`,\n svar: \"\\\$k=6\\\\cdot n\\\$ eller \\\$k=3+6\\\\cdot n\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-091712.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k18\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar de komplexa talen \\\$z_1=2(cos(\\\\frac{\\\\pi}{3})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{3}))\\\$ och \\\$z_2=4(cos(\\\\frac{\\\\pi}{2})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{2}))\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) \\\$z_1 \\\\cdot z_2\\\$ <\/p> \\\$\\\\frac{z_2}{z_1}\\\$`,\n svar: \"a) \\\$z_1 \\\\cdot z_2=8(cos(\\\\frac{5\\\\pi}{6})+isin(\\\\frac{5\\\\pi}{6}))\\\$ b) \\\$2(cos(\\\\frac{\\\\pi}{6})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{6}))\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [4,0,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k19\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$(1+i)^6\\\$ p\u00e5 valfri form`,\n svar: \"\\\$(1+i)^6=8(cos(\\\\frac{3\\\\pi}{2})+isin(\\\\frac{3\\\\pi}{2}))=8e^{\\\\frac{3\\\\pi}{2}}\\\$\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,3,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k20\"\n },\n {\n fraga: `Visa att \\\$i^i\\\$ \u00e4r ett reellt tal`,\n svar: \"Tips: Skriv om \\\$i=e^{\\\\frac{\\\\pi}{2}i}\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k21\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$\\\\mid z \\\\mid\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande komplexa tal \\\$z=2isin(\\\\frac{\\\\pi}{2})+cos(\\\\frac{\\\\pi}{2})+i+1\\\$`,\n svar: \"\\\$\\\\mid z \\\\mid=5\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,1],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k22\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m \\\$\\\\mid z \\\\mid\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande komplexa tal \\\$z=(\\\\frac{1}{2}+\\\\frac{\\\\sqrt3i}{2})^{100}\\\$`,\n svar: \"\\\$\\\\mid z \\\\mid=1\\\$ Tips: Skriv om \",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k23\"\n },\n {\n fraga: `Nedan ser du en av l\u00f6sningarna till ekvationen \\\$z^{36}=a\\\$ i det komplexa talplanet, d\u00e4r \ud835\udc4e\n\u00e4r n\u00e5got komplext tal. Best\u00e4m hur m\u00e5nga l\u00f6sningar till ekvationen som ligger i\nintervallet \\\$100^{\\\\circ} < arg(z) < 130^{\\\\circ}\\\$. Motivera. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-094320.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n svar: \"3 st. \\\$102^{\\\\circ}, 112^{\\\\circ}, 122^{\\\\circ}\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,1,1],\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-094344.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k24\"\n },\n {\n fraga: `Joakim definierar f\u00f6ljande komplexa tal \\\$z=cos(\\\\frac{\\\\pi}{2})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{2})\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) \\\$arg(z)\\\$ <\/p> b) Joakim menar att \\\$z^{25}=z\\\$ unders\u00f6k om han har r\u00e4tt.`,\n svar: \"a) \\\$arg(z)=\\\\frac{\\\\pi}{2} b) Det st\u00e4mmer. \",\n niva: \"C\",\n poang: [1,2,0],\n losningsforslag:`<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-095341.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k25\"\n },\n {\n fraga: `F\u00f6renkla f\u00f6ljande uttryck \\\\((2+i)(1-i)\\\$`,\n svar: \"\\\$3-i\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k26\"\n },\n {\n fraga: `Vi definierar f\u00f6ljande komplexa tal \\\$z=4e^{\\\\frac{4\\\\pi}{3}i}\\\$. Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) \\\$\\\\mid z \\\\mid \\\$ <\/p> b) \\\$arg(z)\\\$`,\n svar: \"a) \\\$\\\\mid z \\\\mid =4\\\$ b) \\\$arg(z)=\\\\frac{4\\\\pi}{3}\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k27\"\n },\n {\n fraga: `Som f\u00f6ljande uttryck som ett komplexa tal p\u00e5 formen \\\$z=a+bi\\\$ <\/p> \\\$\\\\frac{7-i}{3+i}\\\$ `,\n svar: \"\\\$2-i\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [2,0,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k28\"\n },\n {\n fraga: `Joakim p\u00e5st\u00e5r att om \\\$a\\\$ \u00e4r ett reellt tal st\u00f6rre \u00e4n 1 kommer \\\$a^i\\\$ alltid resultera i ett komplext tal. Unders\u00f6k om han har r\u00e4tt.`,\n svar: \"Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag\",\n niva: \"A\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-101512.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n poang: [0,0,3],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k29\"\n },\n {\n fraga: `Joakim vill veta vilka komplexa tal som har f\u00f6ljande samband. Rita upp dem i det komplexa talplanet \\\$\\\\mid z+\\\\bar{z} \\\\mid =\\\\mid z-\\\\bar{z} \\\\mid\\\$`,\n svar: \"Se l\u00f6sningsf\u00f6rslag\",\n niva: \"A\",\n losningsforslag: `<img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/Skarmbild-2025-11-17-101832.png\" alt=\"L\u00f6sningsf\u00f6rslag\">`,\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k30\"\n },\n {\n fraga: `Visa att \\\$z_2-z_1=0\\\$ f\u00f6r f\u00f6ljande komplexa tal \\\$z_1=1+i\\\$ och \\\$z_2=\\\\sqrt2(cos(\\\\frac{\\\\pi}{4})+isin(\\\\frac{\\\\pi}{4}))\\\$`,\n svar: \"Skriv om d\u00e5 de komplexa talen \u00e4r p\u00e5 samma form och visa sedan att de \u00e4r samma.\",\n niva: \"C\",\n poang: [0,1,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k31\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m f\u00f6r vilka komplexa tal som f\u00f6ljande likhet st\u00e4mmer. Skriv det som ett f\u00f6renklat samband eller rita upp det i det komplexa talplanet \\\$\\\\mid z \\\\mid =Im(z)+1\\\$`,\n svar: \"Om det komplexa talet skrivs p\u00e5 formen \\\$z=a+bi\\\$ kommer f\u00f6ljande likhet g\u00e4lla de aktuella komplexa talen \\\$b=\\\\frac{a^2-1}{2}\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k32\"\n },\n {\n fraga: `Best\u00e4m samtliga komplexa tal \\\$z\\\$ d\u00e4r f\u00f6ljande kvot blir reell \\\$\\\\frac{z-2i}{z+2i}\\\$`,\n svar: \"Det komplexa talet \\\$z\\\$ f\u00e5r inte ha n\u00e5gon reell dvs. \\\$Re(z)=0\\\$\",\n niva: \"A\",\n poang: [0,0,2],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k33\"\n },\n {\n fraga: ` Vi definierar det komplexa talet \\\$z=5-2i\\\$ Best\u00e4m f\u00f6ljande <\/p> a) \\\$Im(z)\\\$<\/p> b) Best\u00e4m \\\$z^2\\\$ p\u00e5 formen \\\$z=a+bi\\\$`,\n svar: \"a) \\\$Im(z)=-2\\\$ b) \\\$z=21-20i\\\$\",\n niva: \"E\",\n poang: [3,0,0],\n underkategori: [\"komplexa\"],\n kod: \"k34\"\n }\n ],\n geogebra: [\n{\n fraga: `F\u00f6ljande funktion kan du inte derivera algebraiskt i den h\u00e4r kursen \\\$f(x)=x\\\\cdot e^x\\\$.<\/p> Best\u00e4m \\\$f'(1)\\\$ med hj\u00e4lp av geogebra, svara med tv\u00e5 decimaler.`,\n svar: `\\\$f'(1)=5,43\\\$`,\n niva: \"E\",\n poang: [1,0,0],\n digital: true,\n underkategori: [\"geogebraderivata\"],\n kod: \"g1\"\n}\n ]\n }\n};\n\n\/\/ =================================================================\n\/\/ 2. KATEGORIER OCH DERAS VISNINGSNAMN\n\/\/ H\u00c4R L\u00c4GGER DU TILL NYA KATEGORINAMN EFTERHAND DU SKAPAR DEM\n\/\/ =================================================================\nconst kategoriNamn = {\n algebra: \"Algebra\",\n procent: \"Procent\",\n potenser: \"Potenser\",\n funktioner: \"Funktioner\",\n trigonometri: \"Trigonometri\",\n sannolikhet: \"Sannolikhet & Statistik\",\n problemlosning: \"Probleml\u00f6sning\",\n geogebra: \"GeoGebra\",\n vektorer: \"Vektorer\",\n problemlosningfunktioner: \"Probleml\u00f6sning funktioner\",\n logaritmer: \"Logaritmer\",\n geometri: \"Geometri\",\n statistik: \"Statistik\",\n derivata: \"Derivata\",\n problemlosningderivata: \"Probleml\u00f6sning derivata\",\n problemlosningintegral: \"Probleml\u00f6sning integraler\",\n integraler: \"Integraler\",\n trig: \"Trigonometriska ekvationer\/formler\",\n tillampintegral: \"Till\u00e4mpningar integraler\",\n komplex: \"Komplexa tal\/polynomekvationer\"\n};\n\n\n\/\/ =================================================================\n\/\/ 3. LOGIK & FUNKTIONALITET\n\/\/ =================================================================\nlet aktuelltProv = [];\n\nfunction getAktivKursKey() {\n return document.getElementById(\"courseSelect\").value;\n}\n\nfunction getAktivKursFragorObjekt() {\n const k = getAktivKursKey();\n return fragor[k] || {};\n}\n\nfunction init() {\n skapaKategoriKontroller();\n oppdateraTillgangligaCount();\n updateSummary();\n initModalCategoryOptions();\n}\n\nfunction onCourseChange() {\n resetTest();\n skapaKategoriKontroller();\n oppdateraTillgangligaCount();\n initModalCategoryOptions();\n}\n\nfunction initKaTeX() { typesetMath(); }\n\nfunction skapaKategoriKontroller() {\n const c = document.getElementById(\"categoryControls\");\n c.innerHTML = \"\";\n const kursFragor = getAktivKursFragorObjekt();\n\n const valdaKategorier = Object.keys(kursFragor);\n if (valdaKategorier.length === 0) {\n c.innerHTML = 'Inga kategorier inlagda f\u00f6r denna kurs \u00e4nnu.<\/span>';\n return;\n }\n\n valdaKategorier.forEach(k => {\n const count = Array.isArray(kursFragor[k]) ? kursFragor[k].length : 0;\n const label = document.createElement(\"label\");\n label.innerHTML = `<input type=\"checkbox\" class=\"category-checkbox\" value=\"${k}\" checked onchange=\"oppdateraTillgangligaCount()\">\n ${kategoriNamn[k] || k} (${count})`;\n c.appendChild(label);\n });\n}\n\nfunction getValdaKategorier() {\n return [...document.querySelectorAll(\".category-checkbox:checked\")].map(x => x.value);\n}\n\nfunction getAllaFragor() {\n const kursFragor = getAktivKursFragorObjekt();\n return Object.entries(kursFragor).flatMap(([kategori, lista]) =>\n (lista || []).map((q, index) => ({ ...q, _kategori: kategori, _originalIndex: index }))\n );\n}\n\nfunction getTillgangligaFragor(niva = null) {\n const kategorier = getValdaKategorier();\n const filterType = document.getElementById(\"digitalFilter\").value;\n\n return getAllaFragor().filter(q => {\n const matchCat = kategorier.includes(q._kategori);\n const matchLevel = niva ? q.niva === niva : true;\n let matchDigital = true;\n if (filterType === \"analogOnly\") matchDigital = !q.digital;\n if (filterType === \"digitalOnly\") matchDigital = !!q.digital;\n return matchCat && matchLevel && matchDigital;\n });\n}\n\nfunction oppdateraTillgangligaCount() {\n document.getElementById(\"availE\").textContent = getTillgangligaFragor(\"E\").length;\n document.getElementById(\"availC\").textContent = getTillgangligaFragor(\"C\").length;\n document.getElementById(\"availA\").textContent = getTillgangligaFragor(\"A\").length;\n}\n\nfunction shuffle(a) {\n const x = [...a];\n for (let i = x.length - 1; i > 0; i--) {\n const j = Math.floor(Math.random() * (i + 1));\n [x[i], x[j]] = [x[j], x[i]];\n }\n return x;\n}\n\nfunction poangTotalt(q) {\n return Array.isArray(q.poang) ? q.poang.reduce((a, b) => a + (Number(b) || 0), 0) : 0;\n}\n\nfunction nivaRank(n) { return { E: 0, C: 1, A: 2 }[n] ?? 99; }\n\nfunction sorteraProv(p) {\n const separate = document.getElementById(\"separateParts\").checked;\n const sortNiva = document.getElementById(\"sortLevels\").checked;\n\n return [...p].sort((a, b) => {\n if (separate) {\n const digA = a.digital ? 1 : 0;\n const digB = b.digital ? 1 : 0;\n if (digA !== digB) return digA - digB;\n }\n if (sortNiva) {\n const d = nivaRank(a.niva) - nivaRank(b.niva);\n if (d !== 0) return d;\n }\n return poangTotalt(a) - poangTotalt(b);\n });\n}\n\nfunction createTest() {\n const reqE = Math.max(0, Number(document.getElementById(\"countE\").value) || 0);\n const reqC = Math.max(0, Number(document.getElementById(\"countC\").value) || 0);\n const reqA = Math.max(0, Number(document.getElementById(\"countA\").value) || 0);\n\n if (!getValdaKategorier().length) { alert(\"V\u00e4lj minst en kategori.\"); return; }\n if (reqE + reqC + reqA === 0) { alert(\"V\u00e4lj minst 1 fr\u00e5ga totalt.\"); return; }\n\n const availE = getTillgangligaFragor(\"E\");\n const availC = getTillgangligaFragor(\"C\");\n const availA = getTillgangligaFragor(\"A\");\n\n const selectedE = shuffle(availE).slice(0, Math.min(reqE, availE.length));\n const selectedC = shuffle(availC).slice(0, Math.min(reqC, availC.length));\n const selectedA = shuffle(availA).slice(0, Math.min(reqA, availA.length));\n\n aktuelltProv = sorteraProv([...selectedE, ...selectedC, ...selectedA]);\n renderPreview();\n}\n\nfunction renderPreview() {\n const p = document.getElementById(\"preview\");\n if (!aktuelltProv.length) {\n p.innerHTML = '<div class=\"empty-state\">Inga fr\u00e5gor valda.<\/div>';\n updateSummary(); return;\n }\n\n const showPoints = document.getElementById(\"showPoints\").checked;\n p.innerHTML = aktuelltProv.map((q, i) => `\n <div class=\"question-card\">\n <div class=\"question-head\">\n <div class=\"question-number\">${i + 1}.<\/div>\n <div class=\"question-content\">\n <div class=\"question-text\">${q.fraga}<\/div>\n <div class=\"meta-tags\">\n Niv\u00e5 ${q.niva}<\/span>\n \n ${q.digital ? '\ud83d\udcbb Minir\u00e4knare' : '\u270f\ufe0f Utan minir\u00e4knare'}\n <\/span>\n ${showPoints ? `${poangStr(q)}<\/span>` : ''}\n ${q.kod ? `Kod: ${q.kod}<\/span>` : ''}\n <\/div>\n \n <div id=\"solution-${i}\" class=\"preview-solution\">\n Facit:<\/strong> ${q.svar || 'Inget facit angivet.'}\n ${q.losningsforslag ? `<div style=\"margin-top:6px;\">L\u00f6sning:<\/strong> ${q.losningsforslag}<\/div>` : ''}\n <\/div>\n <\/div>\n <div class=\"question-actions\">\n <button class=\"btn btn-secondary\" onclick=\"toggleSolution(${i})\" title=\"Visa\/d\u00f6lj facit\">\ud83d\udc41\ufe0f Facit<\/button>\n <button class=\"btn btn-secondary\" onclick=\"replaceQuestion(${i})\" title=\"Byt ut mot en annan fr\u00e5ga i samma kategori\/niv\u00e5\">\ud83d\udd04 Byt ut<\/button>\n <button class=\"btn btn-secondary\" onclick=\"moveQuestion(${i},-1)\">\u2191<\/button>\n <button class=\"btn btn-secondary\" onclick=\"moveQuestion(${i},1)\">\u2193<\/button>\n <button class=\"btn btn-danger\" onclick=\"removeQuestion(${i})\">\u2715<\/button>\n <\/div>\n <\/div>\n <\/div>`).join(\"\");\n\n typesetMath(p);\n updateSummary();\n}\n\nfunction toggleSolution(index) {\n const elem = document.getElementById(`solution-${index}`);\n if (elem) elem.classList.toggle(\"show\");\n}\n\nfunction poangStr(q) {\n if (!Array.isArray(q.poang)) return \"0 p\";\n const [e, c, a] = q.poang;\n return `(${e + c + a} p: ${e}\/${c}\/${a})`;\n}\n\nfunction typesetMath(elem = document.body) {\n if (window.renderMathInElement) {\n renderMathInElement(elem, {\n delimiters: [\n {left: '\\\$', right: '\\\$', display: false},\n {left: '\\\\[', right: '\\\\]', display: true},\n {left: '$', right: '$', display: false}\n ],\n throwOnError: false\n });\n }\n}\n\nfunction updateSummary() {\n let eTot = 0, cTot = 0, aTot = 0;\n aktuelltProv.forEach(q => {\n if (Array.isArray(q.poang)) {\n eTot += q.poang[0] || 0;\n cTot += q.poang[1] || 0;\n aTot += q.poang[2] || 0;\n }\n });\n document.getElementById(\"questionCountBadge\").textContent = `${aktuelltProv.length} fr\u00e5gor`;\n document.getElementById(\"pointCountBadge\").textContent = `Totalt: ${eTot+cTot+aTot} p (${eTot}E \/ ${cTot}C \/ ${aTot}A)`;\n}\n\nfunction removeQuestion(i) { aktuelltProv.splice(i, 1); renderPreview(); }\n\nfunction moveQuestion(i, d) {\n const j = i + d; if (j < 0 || j >= aktuelltProv.length) return;\n [aktuelltProv[i], aktuelltProv[j]] = [aktuelltProv[j], aktuelltProv[i]];\n renderPreview();\n}\n\nfunction replaceQuestion(index) {\n const nuvarandeFraga = aktuelltProv[index];\n const kategori = nuvarandeFraga._kategori;\n const niva = nuvarandeFraga.niva;\n const kursFragor = getAktivKursFragorObjekt();\n\n const tillgangligaIBanken = (kursFragor[kategori] || []).map((q, i) => ({\n ...q, _kategori: kategori, _originalIndex: i\n })).filter(q => q.niva === niva);\n\n const kandidater = tillgangligaIBanken.filter(q => \n !aktuelltProv.some(p => p.kod && q.kod && p.kod === q.kod)\n );\n\n if (kandidater.length === 0) {\n alert(`Det finns inga fler tillg\u00e4ngliga fr\u00e5gor p\u00e5 niv\u00e5 ${niva} inom kategorin \"${kategoriNamn[kategori] || kategori}\".`);\n return;\n }\n\n const slumpadIndex = Math.floor(Math.random() * kandidater.length);\n aktuelltProv[index] = kandidater[slumpadIndex];\n renderPreview();\n}\n\nfunction resetTest() {\n aktuelltProv = [];\n document.getElementById(\"preview\").innerHTML = '<div class=\"empty-state\">Inga fr\u00e5gor valda.<\/div>';\n updateSummary();\n}\n\n\/* MODAL LOGIK *\/\nfunction initModalCategoryOptions() {\n const sel = document.getElementById(\"modalCatFilter\");\n sel.innerHTML = '<option value=\"all\">Alla kategorier<\/option>';\n const kursFragor = getAktivKursFragorObjekt();\n\n Object.keys(kursFragor).forEach(k => {\n const opt = document.createElement(\"option\");\n opt.value = k;\n opt.textContent = kategoriNamn[k] || k;\n sel.appendChild(opt);\n });\n}\n\nfunction openAddModal() {\n document.getElementById(\"addModal\").style.display = \"flex\";\n filterModalQuestions();\n}\n\nfunction closeAddModal() {\n document.getElementById(\"addModal\").style.display = \"none\";\n}\n\nfunction filterModalQuestions() {\n const cat = document.getElementById(\"modalCatFilter\").value;\n const level = document.getElementById(\"modalLevelFilter\").value;\n const dig = document.getElementById(\"modalDigitalFilter\").value;\n\n const all = getAllaFragor();\n const listElem = document.getElementById(\"modalQuestionsList\");\n\n const filtered = all.filter(q => {\n if (aktuelltProv.some(p => p.kod && p.kod === q.kod)) return false;\n if (cat !== \"all\" && q._kategori !== cat) return false;\n if (level !== \"all\" && q.niva !== level) return false;\n if (dig === \"analog\" && q.digital) return false;\n if (dig === \"digital\" && !q.digital) return false;\n return true;\n });\n\n if (!filtered.length) {\n listElem.innerHTML = `<div style=\"text-align:center; padding:20px; color:#64748b;\">Inga tillg\u00e4ngliga fr\u00e5gor matchar din filtrering.<\/div>`;\n return;\n }\n\n listElem.innerHTML = filtered.map(q => `\n <div class=\"pick-list-item\">\n <div style=\"flex:1;\">\n <div style=\"font-size:13px; line-height:1.4;\">${q.fraga}<\/div>\n <div class=\"meta-tags\">\n Niv\u00e5 ${q.niva}<\/span>\n ${q.digital ? '\ud83d\udcbb Med' : '\u270f\ufe0f Utan'}<\/span>\n ${q.kod ? `Kod: ${q.kod}<\/span>` : ''}\n <\/div>\n <\/div>\n <button class=\"btn btn-primary\" style=\"padding:6px 12px; font-size:12px;\" onclick=\"addSingleQuestion('${q.kod}')\">+ L\u00e4gg till<\/button>\n <\/div>\n `).join(\"\");\n\n typesetMath(listElem);\n}\n\nfunction addSingleQuestion(kod) {\n const q = getAllaFragor().find(x => x.kod === kod);\n if (q) {\n aktuelltProv.push(q);\n aktuelltProv = sorteraProv(aktuelltProv);\n renderPreview();\n filterModalQuestions();\n }\n}\n\nfunction addByCode() {\n const input = document.getElementById(\"searchCodeInput\").value.trim().toLowerCase();\n if (!input) return;\n\n const found = getAllaFragor().find(q => q.kod && q.kod.toLowerCase() === input);\n if (!found) {\n alert(`Hittade ingen fr\u00e5ga med koden \"${input}\".`);\n return;\n }\n\n if (aktuelltProv.some(p => p.kod && p.kod.toLowerCase() === input)) {\n alert(`Fr\u00e5gan med koden \"${input}\" finns redan i provet.`);\n return;\n }\n\n aktuelltProv.push(found);\n aktuelltProv = sorteraProv(aktuelltProv);\n renderPreview();\n document.getElementById(\"searchCodeInput\").value = \"\";\n closeAddModal();\n}\n\n\/* UTSKRIFT \/ PDF GENERERING *\/\nfunction buildPrintContent() {\n const printArea = document.getElementById(\"printArea\");\n printArea.innerHTML = \"\";\n\n const title = document.getElementById(\"testTitle\").value.trim() || \"\";\n const questions = document.getElementById(\"pdfQuestions\").checked;\n const answers = document.getElementById(\"pdfAnswers\").checked;\n const solutions = document.getElementById(\"pdfSolutions\").checked;\n const points = document.getElementById(\"pdfPoints\").checked;\n const separate = document.getElementById(\"separateParts\").checked;\n\n if (questions) {\n const sec = document.createElement(\"section\");\n sec.innerHTML = `\n <div class=\"pdf-header\">\n ${title ? `<div class=\"pdf-title\">${title}<\/div>` : ''}\n <div class=\"pdf-info-grid\">\n <div>Elev:<\/strong> ____________________________________<\/div>\n <div>Datum:<\/strong> __________________<\/div>\n <\/div>\n <\/div>`;\n\n const analoge = aktuelltProv.filter(q => !q.digital);\n const digitale = aktuelltProv.filter(q => q.digital);\n\n const renderGroup = (group, headerText) => {\n if (!group.length) return;\n if (separate && headerText) {\n const h = document.createElement(\"div\");\n h.className = \"pdf-section-header\";\n h.innerHTML = headerText;\n sec.appendChild(h);\n }\n group.forEach(q => {\n const i = aktuelltProv.indexOf(q);\n const d = document.createElement(\"div\");\n d.className = \"pdf-question-item\";\n const poangText = points && Array.isArray(q.poang) ? `(${q.poang[0]}\/${q.poang[1]}\/${q.poang[2]})` : '';\n d.innerHTML = `<div class=\"pdf-q-head\">${i + 1}.<\/span>${poangText}<\/span><\/div><div>${q.fraga}<\/div>`;\n sec.appendChild(d);\n });\n };\n\n if (separate) {\n renderGroup(analoge, \"Del I \u2013 Utan minir\u00e4knare\");\n renderGroup(digitale, \"Del II \u2013 Med minir\u00e4knare\");\n } else {\n renderGroup(aktuelltProv, \"\");\n }\n printArea.appendChild(sec);\n }\n\n if (answers) {\n const sec = document.createElement(\"section\");\n if (questions) sec.className = \"pdf-page-break\";\n sec.innerHTML = `<div class=\"pdf-title\" style=\"font-size:18pt; border-bottom:1.5px solid #000; padding-bottom:6px; margin-bottom:16px;\">Facit ${title ? '\u2013 ' + title : ''}<\/div>`;\n aktuelltProv.forEach((q, i) => {\n const d = document.createElement(\"div\");\n d.className = \"pdf-answer-item\";\n d.innerHTML = `${i + 1}.<\/strong> ${q.svar || \"Inget facit angivet.\"}`;\n sec.appendChild(d);\n });\n printArea.appendChild(sec);\n }\n\n if (solutions) {\n const withSolutions = aktuelltProv.filter(q => q.losningsforslag);\n if (withSolutions.length) {\n const sec = document.createElement(\"section\");\n sec.className = \"pdf-page-break\";\n sec.innerHTML = `<div class=\"pdf-title\" style=\"font-size:18pt; border-bottom:1.5px solid #000; padding-bottom:6px; margin-bottom:16px;\">L\u00f6sningsf\u00f6rslag ${title ? '\u2013 ' + title : ''}<\/div>`;\n withSolutions.forEach(q => {\n const i = aktuelltProv.indexOf(q);\n const d = document.createElement(\"div\");\n d.className = \"pdf-solution-item\";\n d.innerHTML = `Uppgift ${i + 1}<\/strong> ${q.losningsforslag}`;\n sec.appendChild(d);\n });\n printArea.appendChild(sec);\n }\n }\n\n typesetMath(printArea);\n}\n\nfunction waitForImages(element) {\n const imgs = element.querySelectorAll(\"img\");\n const promises = Array.from(imgs).map(img => {\n if (img.complete) return Promise.resolve();\n return new Promise(resolve => {\n img.onload = resolve;\n img.onerror = resolve;\n });\n });\n return Promise.all(promises);\n}\n\nasync function printPDF() {\n if (!aktuelltProv.length) { alert(\"Skapa ett prov f\u00f6rst.\"); return; }\n \n const printArea = document.getElementById(\"printArea\");\n buildPrintContent();\n \n await waitForImages(printArea);\n setTimeout(() => {\n window.print();\n }, 150);\n}\n\ninit();\n<\/script>\n<\/body>\n<\/html>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Skapa \u00f6vningsprov \u2013 mahifi.se 1. V\u00e4lj kurs och inst\u00e4llningar f\u00f6r Mahifi:s \u00f6vningsprovsgenerator V\u00e4lj kurs: Matematik 1bMatematik 1cMatematik 2Matematik fort. 1Matematik 4 Kategorier Antal fr\u00e5gor per niv\u00e5 Niv\u00e5 E (0 st) Niv\u00e5 C (0 st) Niv\u00e5 A (0 st) Minir\u00e4knare & Struktur Minir\u00e4knartyp: Alla fr\u00e5gor (B\u00e5de med & utan)Endast utan minir\u00e4knareEndast med minir\u00e4knare Dela upp i […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"om_disable_all_campaigns":false,"_uag_custom_page_level_css":"","_monsterinsights_skip_tracking":false,"site-sidebar-layout":"no-sidebar","site-content-layout":"page-builder","ast-site-content-layout":"full-width-container","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"disabled","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"disabled","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"set","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"footnotes":""},"class_list":["post-44245","page","type-page","status-publish","hentry"],"aioseo_notices":[],"aioseo_head":"\n\t\t\n\t<meta name=\"description\" content=\"Skapa \u00f6vningsprov \u2013 mahifi.se 1. V\u00e4lj kurs och inst\u00e4llningar f\u00f6r Mahifi:s \u00f6vningsprovsgenerator V\u00e4lj kurs: Matematik 1b Matematik 1c Matematik 2 Matematik fort. 1 Matematik 4 Kategorier Antal fr\u00e5gor per niv\u00e5 Niv\u00e5 E (0 st) Niv\u00e5 C (0 st) Niv\u00e5 A (0 st) Minir\u00e4knare & Struktur Minir\u00e4knartyp: Alla fr\u00e5gor (B\u00e5de med & utan) Endast utan minir\u00e4knare\" \/>\n\t<meta name=\"robots\" content=\"max-image-preview:large\" \/>\n\t<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245\" \/>\n\t<meta name=\"generator\" content=\"All in One SEO (AIOSEO) 5.0.1.1\" \/>\n\t\t<meta property=\"og:locale\" content=\"sv_SE\" \/>\n\t\t<meta property=\"og:site_name\" content=\"Mahifi - Matematik, historia och filosofi\" \/>\n\t\t<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n\t\t<meta property=\"og:title\" content=\"\u00d6vningsprovsgenerator - Mahifi\" \/>\n\t\t<meta property=\"og:description\" content=\"Skapa \u00f6vningsprov \u2013 mahifi.se 1. V\u00e4lj kurs och inst\u00e4llningar f\u00f6r Mahifi:s \u00f6vningsprovsgenerator V\u00e4lj kurs: Matematik 1b Matematik 1c Matematik 2 Matematik fort. 1 Matematik 4 Kategorier Antal fr\u00e5gor per niv\u00e5 Niv\u00e5 E (0 st) Niv\u00e5 C (0 st) Niv\u00e5 A (0 st) Minir\u00e4knare & Struktur Minir\u00e4knartyp: Alla fr\u00e5gor (B\u00e5de med & utan) Endast utan minir\u00e4knare\" \/>\n\t\t<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245\" \/>\n\t\t<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/cropped-Ska\u0308rmavbild-2022-06-08-kl.-10.39.30.png\" \/>\n\t\t<meta property=\"og:image:secure_url\" content=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/cropped-Ska\u0308rmavbild-2022-06-08-kl.-10.39.30.png\" \/>\n\t\t<meta property=\"article:published_time\" content=\"2026-09-05T14:15:54+00:00\" \/>\n\t\t<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2026-09-06T08:49:37+00:00\" \/>\n\t\t<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary\" \/>\n\t\t<meta name=\"twitter:title\" content=\"\u00d6vningsprovsgenerator - Mahifi\" \/>\n\t\t<meta name=\"twitter:description\" content=\"Skapa \u00f6vningsprov \u2013 mahifi.se 1. V\u00e4lj kurs och inst\u00e4llningar f\u00f6r Mahifi:s \u00f6vningsprovsgenerator V\u00e4lj kurs: Matematik 1b Matematik 1c Matematik 2 Matematik fort. 1 Matematik 4 Kategorier Antal fr\u00e5gor per niv\u00e5 Niv\u00e5 E (0 st) Niv\u00e5 C (0 st) Niv\u00e5 A (0 st) Minir\u00e4knare & Struktur Minir\u00e4knartyp: Alla fr\u00e5gor (B\u00e5de med & utan) Endast utan minir\u00e4knare\" \/>\n\t\t<meta name=\"twitter:image\" content=\"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/cropped-Ska\u0308rmavbild-2022-06-08-kl.-10.39.30.png\" \/>\n\t\t<script type=\"application\/ld+json\" class=\"aioseo-schema\">\n\t\t\t{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/?page_id=44245#breadcrumblist\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se#listItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\",\"nextItem\":{\"@type\":\"ListItem\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/?page_id=44245#listItem\",\"name\":\"\\u00d6vningsprovsgenerator\"}},{\"@type\":\"ListItem\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/?page_id=44245#listItem\",\"position\":2,\"name\":\"\\u00d6vningsprovsgenerator\",\"previousItem\":{\"@type\":\"ListItem\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se#listItem\",\"name\":\"Home\"}}]},{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/#organization\",\"name\":\"mahifi.se\",\"description\":\"Matematik, historia och filosofi\",\"url\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/\",\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"url\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/06\\\/cropped-Ska\\u0308rmavbild-2022-06-08-kl.-10.39.30.png\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/?page_id=44245\\\/#organizationLogo\",\"width\":572,\"height\":620},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/?page_id=44245\\\/#organizationLogo\"}},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/?page_id=44245#webpage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/?page_id=44245\",\"name\":\"\\u00d6vningsprovsgenerator - Mahifi\",\"description\":\"Skapa \\u00f6vningsprov \\u2013 mahifi.se 1. V\\u00e4lj kurs och inst\\u00e4llningar f\\u00f6r Mahifi:s \\u00f6vningsprovsgenerator V\\u00e4lj kurs: Matematik 1b Matematik 1c Matematik 2 Matematik fort. 1 Matematik 4 Kategorier Antal fr\\u00e5gor per niv\\u00e5 Niv\\u00e5 E (0 st) Niv\\u00e5 C (0 st) Niv\\u00e5 A (0 st) Minir\\u00e4knare & Struktur Minir\\u00e4knartyp: Alla fr\\u00e5gor (B\\u00e5de med & utan) Endast utan minir\\u00e4knare\",\"inLanguage\":\"sv-SE\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/#website\"},\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/?page_id=44245#breadcrumblist\"},\"datePublished\":\"2026-09-05T16:15:54+02:00\",\"dateModified\":\"2026-09-06T10:49:37+02:00\"},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/\",\"name\":\"Mahifi\",\"description\":\"Matematik, historia och filosofi\",\"inLanguage\":\"sv-SE\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/mahifi.se\\\/#organization\"}}]}\n\t\t<\/script>\n\t\t\n\n","aioseo_head_json":{"title":"\u00d6vningsprovsgenerator - Mahifi","description":"Skapa \u00f6vningsprov \u2013 mahifi.se 1. V\u00e4lj kurs och inst\u00e4llningar f\u00f6r Mahifi:s \u00f6vningsprovsgenerator V\u00e4lj kurs: Matematik 1b Matematik 1c Matematik 2 Matematik fort. 1 Matematik 4 Kategorier Antal fr\u00e5gor per niv\u00e5 Niv\u00e5 E (0 st) Niv\u00e5 C (0 st) Niv\u00e5 A (0 st) Minir\u00e4knare & Struktur Minir\u00e4knartyp: Alla fr\u00e5gor (B\u00e5de med & utan) Endast utan minir\u00e4knare","canonical_url":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245","robots":"max-image-preview:large","keywords":"","webmasterTools":{"miscellaneous":""},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245#breadcrumblist","itemListElement":[{"@type":"ListItem","@id":"https:\/\/mahifi.se#listItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/mahifi.se","nextItem":{"@type":"ListItem","@id":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245#listItem","name":"\u00d6vningsprovsgenerator"}},{"@type":"ListItem","@id":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245#listItem","position":2,"name":"\u00d6vningsprovsgenerator","previousItem":{"@type":"ListItem","@id":"https:\/\/mahifi.se#listItem","name":"Home"}}]},{"@type":"Organization","@id":"https:\/\/mahifi.se\/#organization","name":"mahifi.se","description":"Matematik, historia och filosofi","url":"https:\/\/mahifi.se\/","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/cropped-Ska\u0308rmavbild-2022-06-08-kl.-10.39.30.png","@id":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245\/#organizationLogo","width":572,"height":620},"image":{"@id":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245\/#organizationLogo"}},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245#webpage","url":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245","name":"\u00d6vningsprovsgenerator - Mahifi","description":"Skapa \u00f6vningsprov \u2013 mahifi.se 1. V\u00e4lj kurs och inst\u00e4llningar f\u00f6r Mahifi:s \u00f6vningsprovsgenerator V\u00e4lj kurs: Matematik 1b Matematik 1c Matematik 2 Matematik fort. 1 Matematik 4 Kategorier Antal fr\u00e5gor per niv\u00e5 Niv\u00e5 E (0 st) Niv\u00e5 C (0 st) Niv\u00e5 A (0 st) Minir\u00e4knare & Struktur Minir\u00e4knartyp: Alla fr\u00e5gor (B\u00e5de med & utan) Endast utan minir\u00e4knare","inLanguage":"sv-SE","isPartOf":{"@id":"https:\/\/mahifi.se\/#website"},"breadcrumb":{"@id":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245#breadcrumblist"},"datePublished":"2026-09-05T16:15:54+02:00","dateModified":"2026-09-06T10:49:37+02:00"},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/mahifi.se\/#website","url":"https:\/\/mahifi.se\/","name":"Mahifi","description":"Matematik, historia och filosofi","inLanguage":"sv-SE","publisher":{"@id":"https:\/\/mahifi.se\/#organization"}}]},"og:locale":"sv_SE","og:site_name":"Mahifi - Matematik, historia och filosofi","og:type":"article","og:title":"\u00d6vningsprovsgenerator - Mahifi","og:description":"Skapa \u00f6vningsprov \u2013 mahifi.se 1. V\u00e4lj kurs och inst\u00e4llningar f\u00f6r Mahifi:s \u00f6vningsprovsgenerator V\u00e4lj kurs: Matematik 1b Matematik 1c Matematik 2 Matematik fort. 1 Matematik 4 Kategorier Antal fr\u00e5gor per niv\u00e5 Niv\u00e5 E (0 st) Niv\u00e5 C (0 st) Niv\u00e5 A (0 st) Minir\u00e4knare & Struktur Minir\u00e4knartyp: Alla fr\u00e5gor (B\u00e5de med & utan) Endast utan minir\u00e4knare","og:url":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245","og:image":"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/cropped-Ska\u0308rmavbild-2022-06-08-kl.-10.39.30.png","og:image:secure_url":"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/cropped-Ska\u0308rmavbild-2022-06-08-kl.-10.39.30.png","article:published_time":"2026-09-05T14:15:54+00:00","article:modified_time":"2026-09-06T08:49:37+00:00","twitter:card":"summary","twitter:title":"\u00d6vningsprovsgenerator - Mahifi","twitter:description":"Skapa \u00f6vningsprov \u2013 mahifi.se 1. V\u00e4lj kurs och inst\u00e4llningar f\u00f6r Mahifi:s \u00f6vningsprovsgenerator V\u00e4lj kurs: Matematik 1b Matematik 1c Matematik 2 Matematik fort. 1 Matematik 4 Kategorier Antal fr\u00e5gor per niv\u00e5 Niv\u00e5 E (0 st) Niv\u00e5 C (0 st) Niv\u00e5 A (0 st) Minir\u00e4knare & Struktur Minir\u00e4knartyp: Alla fr\u00e5gor (B\u00e5de med & utan) Endast utan minir\u00e4knare","twitter:image":"https:\/\/mahifi.se\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/cropped-Ska\u0308rmavbild-2022-06-08-kl.-10.39.30.png"},"aioseo_meta_data":{"post_id":"44245","title":null,"description":null,"keywords":null,"keyphrases":{"focus":{"keyphrase":"","score":0,"analysis":{"keyphraseInTitle":{"score":0,"maxScore":9,"error":1}}},"additional":[]},"primary_term":null,"canonical_url":null,"og_title":null,"og_description":null,"og_object_type":"default","og_image_type":"default","og_image_url":null,"og_image_width":null,"og_image_height":null,"og_image_custom_url":null,"og_image_custom_fields":null,"og_video":"","og_custom_url":null,"og_article_section":null,"og_article_tags":null,"twitter_use_og":false,"twitter_card":"default","twitter_image_type":"default","twitter_image_url":null,"twitter_image_custom_url":null,"twitter_image_custom_fields":null,"twitter_title":null,"twitter_description":null,"schema":{"blockGraphs":[],"customGraphs":[],"default":{"data":{"Article":[],"Course":[],"Dataset":[],"FAQPage":[],"Movie":[],"Person":[],"Product":[],"ProductReview":[],"Car":[],"Recipe":[],"Service":[],"SoftwareApplication":[],"WebPage":[]},"graphName":"WebPage","isEnabled":true},"graphs":[]},"schema_type":"default","schema_type_options":null,"pillar_content":false,"robots_default":true,"robots_noindex":false,"robots_noarchive":false,"robots_nosnippet":false,"robots_nofollow":false,"robots_noimageindex":false,"robots_noodp":false,"robots_notranslate":false,"robots_max_snippet":"-1","robots_max_videopreview":"-1","robots_max_imagepreview":"large","priority":null,"frequency":"default","local_seo":null,"breadcrumb_settings":null,"limit_modified_date":false,"ai":{"faqs":[],"keyPoints":[],"schemas":[],"titles":[],"descriptions":[],"socialPosts":{"email":{"subject":"","preview":"","content":""},"linkedin":[],"twitter":[],"facebook":[],"instagram":[]}},"created":"2026-09-05 14:15:55","updated":"2026-09-06 11:23:48","seo_analyzer_scan_date":null,"focus_keyword":null,"additional_keywords":null,"truseo_locale":null},"aioseo_breadcrumb":"<div class=\"aioseo-breadcrumbs\">\n\t\t\t<a href=\"https:\/\/mahifi.se\" title=\"Home\">Home<\/a>\n\t\t<\/span>»<\/span>\n\t\t\t\u00d6vningsprovsgenerator\n\t\t<\/span><\/div>","aioseo_breadcrumb_json":[{"label":"Home","link":"https:\/\/mahifi.se"},{"label":"\u00d6vningsprovsgenerator","link":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=44245"}],"uagb_featured_image_src":{"full":false,"thumbnail":false,"medium":false,"medium_large":false,"large":false,"1536x1536":false,"2048x2048":false},"uagb_author_info":{"display_name":"joji9555@hotmail.com","author_link":"https:\/\/mahifi.se\/?author=1"},"uagb_comment_info":0,"uagb_excerpt":"Skapa \u00f6vningsprov \u2013 mahifi.se 1. V\u00e4lj kurs och inst\u00e4llningar f\u00f6r Mahifi:s \u00f6vningsprovsgenerator V\u00e4lj kurs: Matematik 1bMatematik 1cMatematik 2Matematik fort. 1Matematik 4 Kategorier Antal fr\u00e5gor per niv\u00e5 Niv\u00e5 E (0 st) Niv\u00e5 C (0 st) Niv\u00e5 A (0 st) Minir\u00e4knare & Struktur Minir\u00e4knartyp: Alla fr\u00e5gor (B\u00e5de med & utan)Endast utan minir\u00e4knareEndast med minir\u00e4knare Dela upp i…","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/44245","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=44245"}],"version-history":[{"count":122,"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/44245\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":44445,"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/44245\/revisions\/44445"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=44245"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}