{"id":26720,"date":"2022-06-15T18:14:31","date_gmt":"2022-06-15T16:14:31","guid":{"rendered":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=26720"},"modified":"2022-07-31T19:53:09","modified_gmt":"2022-07-31T17:53:09","slug":"komplexa-tal","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/mahifi.se\/?page_id=26720","title":{"rendered":"Komplexa tal"},"content":{"rendered":"\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

Komplexa tal - Historia och nuvarande anv\u00e4ndning <\/h2>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Historien om komplexa tal<\/b><\/p>

\\sqrt{-1}=i <\/span> \u00e4r ett speciellt tal. i <\/span> \u00e4r grunden f\u00f6r det man kallar f\u00f6r komplexa tal. Komplexa tal har genom historien bem\u00f6tts av f\u00f6rvirring och misst\u00e4nksamhet av b\u00e5de elever och matematiker. Under en l\u00e5ng tid accepterade inte matematiker att det fanns komplexa tal men idag \u00e4r de allm\u00e4nt erk\u00e4nda och anv\u00e4nds mycket frekvent i modern matematik och fysik.\u00a0<\/p>

Historiskt ignorera man komplexa tal. Komplexa tal uppst\u00e5r vanligtvis n\u00e4r man tar kvadratroten ur (eller 2n <\/span> roten ur d\u00e4r\u00a0 n=1,2,3,4,5… <\/span>) ett negativt tal. Problematiken \u00e4r att det finns inget reellt tal som multiplicerat med sig (j\u00e4mnt antal g\u00e5nger) blir negativt. Av den anledningen var matematiker skeptiska till dessa l\u00f6sningar p\u00e5 ekvationer och borts\u00e5g helt enkelt fr\u00e5n det. Exempel p\u00e5 en s\u00e5dana ekvationer \u00e4r\u00a0<\/span> x^2+1=0 <\/span> eller\u00a0<\/span> x^2+2x+2=0 <\/span>. Den italienska matematikern Cardano (1501-1576) var den f\u00f6rsta att acceptera dess existens men samtidigt kallade han dem f\u00f6r ”v\u00e4rdel\u00f6sa” och det var den synen man hade p\u00e5 komplexa tal under l\u00e5ng tid. Den store filosofen och matematikern Rene Decartes (1596-1650) var den som introducerade termen imagin\u00e4ra tal, eftersom han t\u00e4nkte att dessa tal enbart var f\u00f6r tanken och inte f\u00f6r verkligheten. Termen imagin\u00e4r ses ofta som ett d\u00e5ligt ord f\u00f6r beskriva komplexa tal och nedan kommer du f\u00f6rst\u00e5 varf\u00f6r.\u00a0<\/span><\/p>

Under 1700-talet vidareutvecklade Leonhard Euler den komplexa analysen. Man hade insett n\u00e5gra \u00e5r innan Euler att komplexa tal var v\u00e4ldigt anv\u00e4ndbara i ber\u00e4knandet av trigonometriska funktioner. Det underl\u00e4ttade f\u00f6r ber\u00e4kningar och man ins\u00e5g dess praktiska nytta. Euler hittade sedan det som man kallar f\u00f6r Eulers formel:\u00a0<\/span> e^{i\\beta}=cos(\\beta)+isin(\\beta) <\/span> (e \u00e4r basen f\u00f6r den naturliga logaritmen). Det h\u00e4r blev en revolution som resulterade i flera viktiga resultat fr\u00e5n bland annat Caspar Wessel och Carl Friedrich Gauss. Man kunde visa komplexa tal g\u00e5r att uttryckas som en punkt i ett koordinatsystem d\u00e4r y-axeln \u00e4r komplex och x-axeln reell. Man kunde sedan utnyttja Eulers identitet och visa att\u00a0<\/span> i <\/span> g\u00e5r att anv\u00e4nda f\u00f6r att beskriva v\u00e5gr\u00f6relser p\u00e5 grund av dess koppling till trigonometri och dess egenskaper (se funktionen till h\u00f6ger).\u00a0<\/span><\/p>

Det f\u00e4lt inom matematiken som behandlar komplexa tal uppkom sedan och idag kallar vi den f\u00f6r komplex analys. Den utvecklades ytterligare med Bernhard Riemann som bland annat med hj\u00e4lp av komplexa tal formulerade den k\u00e4nda Riemann-hypotesen, som verkar ha en koppling till primtal. Det ser allts\u00e5 ut som att komplex analys g\u00e5r att sammanfoga med n\u00e5got som vi verkligen tycker \u00e4r konkret n\u00e4mligen primtal.\u00a0 Om du l\u00f6ser Riemann-hypotesen som du kan tj\u00e4na 1000000 dollar eftersom det ing\u00e5r i milleniumproblemen.\u00a0\u00a0<\/p>

Anv\u00e4ndningsomr\u00e5den idag<\/b><\/p>

Idag anv\u00e4nds komplexa tal bland annat i ren matematik f\u00f6r att vidareutveckla den komplexa analysen men ocks\u00e5 inom andra f\u00e4lt inom matematiken och ingen <\/b>matematiker ser idag p\u00e5 komplexa tal med skepsis.\u00a0<\/p>

Inom fysiken anv\u00e4nder man komplexa tal hela tiden f\u00f6r att beskriva olika fysiska fenomen. Som tidigare stycke n\u00e4mner \u00e4r komplexa tal v\u00e4ldigt anv\u00e4ndbara f\u00f6r att kunna beskriva v\u00e5gr\u00f6relser och n\u00e4r utr\u00e4kningar blir f\u00f6r komplexa (hehe) vill man g\u00e4rna h\u00e5lla det enkelt och komplexa tal hj\u00e4lper till med det. V\u00e5gr\u00f6relser dyker upp p\u00e5 flera st\u00e4llen i fysiken: Analysen av str\u00e5lning (till exempel ljus och radiov\u00e5gor), analysen av hur en massa r\u00f6r sig p\u00e5 en fj\u00e4der \u00f6ver tid, \u00e4ven inom ell\u00e4ra \u00e4r komplexa tal anv\u00e4ndbara f\u00f6r att underl\u00e4tta utr\u00e4kningar.\u00a0<\/p>

Ett annat omr\u00e5de inom fysiken d\u00e4r komplexa tal inte bara \u00e4r ett anv\u00e4ndbart hj\u00e4lpmedel utan m\u00e5ste anv\u00e4ndas f\u00f6r att f\u00f6rst\u00e5 verkligheten \u00e4r inom kvantfysiken. Kvantfysiken ses idag som en av de mest komplexa f\u00e4lten inom fysiken och d\u00e4rf\u00f6r \u00e4r det intressant att komplexa tal har en central roll i att kunna beskriva kvantfysiken matematiskt. Ett k\u00e4nt samband som beskriver centrala delar av kvantfysiken \u00e4r Schr\u00f6dingers ekvation<\/a> (till h\u00f6ger). Schr\u00f6dingers ekvation \u00e4r en v\u00e5gekvation som f\u00f6r att kunna representera verkligheten beh\u00f6ver talet\u00a0 i <\/span> f\u00f6r att fungera. Man har kunnat verifiera med hj\u00e4lp av experiment att sambandet i Schr\u00f6dingers ekvation ocks\u00e5 st\u00e4mmer. Det verkar allts\u00e5 som inom fysiken beh\u00f6ver vi komplexa tal f\u00f6r att kunna beskriva hur v\u00e4rlden fungerar. D\u00e4rf\u00f6r \u00e4r\u00a0<\/span> i <\/span> ett fantastiskt tal som hj\u00e4lper oss f\u00f6rst\u00e5 och l\u00f6sa n\u00e5gra av de mest avancerade koncepten som vi kan finna.<\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\"\"\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Cardano (1501-1576)<\/p>

\u00a0<\/p>

\u00a0<\/p>

\u00a0<\/p>

\u00a0<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\"\"\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

En trigonometrisk funktion som \u00e4r anv\u00e4ndbar f\u00f6r att beskriva v\u00e5gr\u00f6relser<\/p>\n


<\/p>\n


<\/p>\n


<\/p>\n


<\/p>\n


<\/p>\n


<\/p>\n


<\/p>\n

\n<\/p>

\n<\/p>

\n<\/p>

\n<\/p>

\n<\/p>

\n<\/p>

\n<\/p>

\n<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\"\"\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Schr\u00f6dingers ekvation (notera i <\/span> i v\u00e4nsterledet)<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Komplexa tal – Historia och nuvarande anv\u00e4ndning Historien om komplexa tal \u00e4r ett speciellt tal. \u00e4r grunden f\u00f6r det man kallar f\u00f6r komplexa tal. Komplexa tal har genom historien bem\u00f6tts av f\u00f6rvirring och misst\u00e4nksamhet av b\u00e5de elever och matematiker. Under en l\u00e5ng tid accepterade inte matematiker att det fanns komplexa tal men idag \u00e4r de […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"om_disable_all_campaigns":false,"_uag_custom_page_level_css":"","_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"site-sidebar-layout":"no-sidebar","site-content-layout":"page-builder","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"disabled","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"disabled","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"footnotes":""},"class_list":["post-26720","page","type-page","status-publish","hentry"],"aioseo_notices":[],"uagb_featured_image_src":{"full":false,"thumbnail":false,"medium":false,"medium_large":false,"large":false,"1536x1536":false,"2048x2048":false},"uagb_author_info":{"display_name":"joji9555@hotmail.com","author_link":"https:\/\/mahifi.se\/?author=1"},"uagb_comment_info":0,"uagb_excerpt":"Komplexa tal – Historia och nuvarande anv\u00e4ndning Historien om komplexa tal \u00e4r ett speciellt tal. \u00e4r grunden f\u00f6r det man kallar f\u00f6r komplexa tal. Komplexa tal har genom historien bem\u00f6tts av f\u00f6rvirring och misst\u00e4nksamhet av b\u00e5de elever och matematiker. Under en l\u00e5ng tid accepterade inte matematiker att det fanns komplexa tal men idag \u00e4r de…","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/26720","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=26720"}],"version-history":[{"count":58,"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/26720\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":27731,"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/26720\/revisions\/27731"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mahifi.se\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=26720"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}